新高考数学二轮复习培优训练专题20 数列综合问题的探究（含解析）

这是一份新高考数学二轮复习培优训练专题20 数列综合问题的探究（含解析），共22页。
1、【2022年全国乙卷】嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列：，，，…，依此类推，其中．则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】解：因为，
所以，，得到，
同理，可得，
又因为 ，
故，；
以此类推，可得，，故A错误；
，故B错误；
，得，故C错误；
，得，故D正确.
故选：D.
2、【2020年新课标2卷理科】0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且存在正整数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 成立，则称其为0-1周期序列，并称满足 SKIPIF 1 < 0 的最小正整数 SKIPIF 1 < 0 为这个序列的周期.对于周期为 SKIPIF 1 < 0 的0-1序列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足 SKIPIF 1 < 0 的序列是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 知，序列 SKIPIF 1 < 0 的周期为m，由已知， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
对于选项A，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，不满足；
对于选项B，
SKIPIF 1 < 0 ，不满足；
对于选项D，
SKIPIF 1 < 0 ，不满足；
故选：C
3、（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，前16项和为540，则 SKIPIF 1 < 0 ______________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 为奇数时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 为偶数时， SKIPIF 1 < 0 .
设数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
4、（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
（1）记 SKIPIF 1 < 0 ，写出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，并求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）求 SKIPIF 1 < 0 的前20项和.
【解析】（1）由题设可得 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 为等差数列，故 SKIPIF 1 < 0 .
（2）设 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
5、【2022年新高考1卷】记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
【答案】(1)
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）利用等差数列的通项公式求得，得到，利用和与项的关系得到当时，,进而得：，利用累乘法求得，检验对于也成立，得到的通项公式；
（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到，进而证得.
(1)
∵，∴,∴,
又∵是公差为的等差数列，
∴,∴,
∴当时，，
∴,
整理得：,
即,
∴
，
显然对于也成立，
∴的通项公式；
(2)

∴
6、【2022年新高考2卷】已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且．
(1)证明：；
(2)求集合中元素个数．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【解析】
【分析】
（1）设数列的公差为，根据题意列出方程组即可证出；
（2）根据题意化简可得，即可解出．
(1)
设数列的公差为，所以，，即可解得，，所以原命题得证．
(2)
由（1）知，，所以，即，亦即，解得，所以满足等式的解，故集合中的元素个数为．
题组一 等差、等比数列的含参问题
1-1、（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高三期末）已知数列{an}的前n项和为Sn，且2an－Sn＝2，记数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为Tn，若对于任意n∈N*，不等式k＞Tn恒成立，则实数k的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】依题意 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，两式相减并化简得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公比为 SKIPIF 1 < 0 的等比数列， SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
1-2、（2022·山东莱西·高三期末）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为等差数列；数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若对于 SKIPIF 1 < 0 ，总有 SKIPIF 1 < 0 成立，求实数m的取值范围.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 .
(2) SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
【分析】解：因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为等差数列，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，两式相减得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，所以数列 SKIPIF 1 < 0 是以2为公比的等比数列，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)
解：由（1）得不等式为 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最大值 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
所以实数m的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
1-3、（2022·湖北武昌·高三期末）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且对任意 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 是等比数列，并求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)求使得不等式 SKIPIF 1 < 0 成立的最大正整数m．
【答案】(1)证明见解析； SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【解析】(1)
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 是等比数列.
所以 SKIPIF 1 < 0
从而 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
所以， SKIPIF 1 < 0 ．
(2)
设 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，
于是， SKIPIF 1 < 0 ．
因为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，使 SKIPIF 1 < 0 成立的最大正整数 SKIPIF 1 < 0 ．
1-4、（2022·湖北襄阳·高三期末）设 SKIPIF 1 < 0 是正项等比数列， SKIPIF 1 < 0 是等差数列，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)设数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，是否存在实数 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，如果存在，求实数 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的值，如果不存在，请说明理由．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
(2)存在， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
【分析】
（1）利用等比数列的通项公式及等差数列的通项公式即求；
（2）由题可得 SKIPIF 1 < 0 ，然后利用错位相减法可得 SKIPIF 1 < 0 ，再结合条件即得.
(1)
设数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，则
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍），又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
于是 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减可得： SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，又因为 SKIPIF 1 < 0
所以存在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 .
题组二 等差、等比数列中的不等或证明问题
2-1、（2022·河北深州市中学高三期末）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，若数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）证明见解析；
【解析】解：（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是首项为3，公比为3的等比数列，即 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
2-2、（2022·山东泰安·高三期末）在等比数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 分别是下表第一，二，三列中的某一个数，且 SKIPIF 1 < 0 中的任何两个数不在下表中的同一行，设数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)证明：数列 SKIPIF 1 < 0 中的任意连续三项按适当顺序排列后，可以成等差数列.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)证明见解析
【解析】(1)
当 SKIPIF 1 < 0 时，不论 SKIPIF 1 < 0 取7还是12都不能与 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 构成等比数列，不合题意
当 SKIPIF 1 < 0 时，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时符合题意，
当 SKIPIF 1 < 0 时，不论 SKIPIF 1 < 0 取7还是 SKIPIF 1 < 0 都不能与 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 构成等比数列，不合题意，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 .
(2) SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 成等差数列，
∴数列 SKIPIF 1 < 0 中的任意连续三项按适当顺序排列后可以成等差数列.
2-3、（2022·山东青岛·高三期末）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 .
(1)求证：存在实数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式.
【答案】(1)证明见解析
(2) SKIPIF 1 < 0
【解析】(1)
证明：由 SKIPIF 1 < 0 变形整理得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，经检验， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 都满足题意.
故存在实数 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 .
(2)
由（1）不妨取 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，所以数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公比为 SKIPIF 1 < 0 的等比数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
设其可变形为 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
即有 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，
故数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公比为 SKIPIF 1 < 0 的等比数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
经检验， SKIPIF 1 < 0 也满足上式，故 SKIPIF 1 < 0 .
题组三 等差、等比数列定义型问题
3-1、（2022·山东青岛·高三期末）在数列 SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 ，( SKIPIF 1 < 0 为常数)，则称 SKIPIF 1 < 0 为“等方差数列”，p称为“公方差”，下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 是等方差数列
B．若数列 SKIPIF 1 < 0 既是等方差数列，又是等差数列，该数列必为常数列
C．正项等方差数列 SKIPIF 1 < 0 的首项 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 是等比数列，则 SKIPIF 1 < 0
D．若等方差数列 SKIPIF 1 < 0 的首项为2，公方差为2，若将 SKIPIF 1 < 0 ，… SKIPIF 1 < 0 这种顺序排列的10个数作为某种密码，则可以表示512种不同密码
【答案】ABD
【解析】
选项A. 若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是等方差数列，故正确.
选项B. 由数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，则 SKIPIF 1 < 0
由数列 SKIPIF 1 < 0 既是等方差数列,则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时，数列 SKIPIF 1 < 0 为常数列
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，结合 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以数列 SKIPIF 1 < 0 为常数列
故数列 SKIPIF 1 < 0 为常数列，所以选项B正确.
选项C. 由题意 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 等比数列，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，满足题意，故选项C不正确.
选项D. 数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为2，公方差为2的等方差数列，则 SKIPIF 1 < 0
由题意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 中的每一项，可能取正或负，有2种取法.
所以 SKIPIF 1 < 0 ，… SKIPIF 1 < 0 有 SKIPIF 1 < 0 种不同的排法结果；所以选项D正确
故选：ABD
3-2、（2022·山东德州·高三期末）定义在区间 SKIPIF 1 < 0 上的函数 SKIPIF 1 < 0 ，如果对于任意给定的等比数列 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 仍是等比数列，则称 SKIPIF 1 < 0 为“保等比数列函数”.下列函数是“保等比数列函数”的为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】AC
【解析】
设等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为 SKIPIF 1 < 0 .
对于A，则 SKIPIF 1 < 0 ，故A是“保等比数列函数”；
对于B，则 SKIPIF 1 < 0 常数，故B不是“保等比数列函数”；
对于C，则 SKIPIF 1 < 0 ，故C是“保等比数列函数”；
对于D，则 SKIPIF 1 < 0 常数，故D不是“保等比数列函数”.
故选：AC.
3-3、（2022·山东青岛·高三期末）给定数列 SKIPIF 1 < 0 ，若满足 SKIPIF 1 < 0 ，对于任意的 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 ，则称 SKIPIF 1 < 0 为“指数型数列”.
(1)已知数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 为“指数型数列”；
(2)若数列 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 ；
（I）判断 SKIPIF 1 < 0 是否为“指数型数列”，若是给出证明，若不是说明理由；
(Ⅱ)若 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1)证明见解析
(2)（I）是，证明见解析；（Ⅱ） SKIPIF 1 < 0 .
【解析】(1)
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 为“指数型数列”
(2)（I）将 SKIPIF 1 < 0 两边同除 SKIPIF 1 < 0
得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项，公比为 SKIPIF 1 < 0 的等比数列
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 是“指数型数列”
（Ⅱ）因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
1、（2022·江苏扬州·高三期末）在正项等比数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，记数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项积为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则n的最小值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【解析】
设正项等比数列 SKIPIF 1 < 0 公比为q，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，于是得 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
因此， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，
从而得： SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以n的最小值为5.
故选：C
2、（2022·河北深州市中学高三期末）已知正项等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若对于一切正整数 SKIPIF 1 < 0 都有 SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 的公比 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
因为等比数列 SKIPIF 1 < 0 是正项等比数列，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，不满足题意；
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故数列 SKIPIF 1 < 0 的公比 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B.
3、（2021·山东菏泽市·高三期末）已知数列的前项和是，且，若，则称项为“和谐项”，则数列的所有“和谐项”的和为（ ）
A．1022B．1023C．2046D．2047
【答案】D
【解析】
当时，，∴，
又，，∴是等比数列，公比为2，首项为1，
所以，由得，即，
∴所求和为．
故选：D．
4、（2022·河北保定·高三期末）对于正整数 SKIPIF 1 < 0 是小于或等于 SKIPIF 1 < 0 的正整数中与 SKIPIF 1 < 0 互质的数的数目.函数 SKIPIF 1 < 0 以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0
B．数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列
C．数列 SKIPIF 1 < 0 单调递增
D．数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和恒小于4
【答案】ABD
【解析】
因为7为质数，所以与 SKIPIF 1 < 0 不互质的数为7，14，21，…， SKIPIF 1 < 0 ，共有 SKIPIF 1 < 0 个，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
因为与 SKIPIF 1 < 0 互质的数为1，2，4，5，7，8，10，11，…， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，共有 SKIPIF 1 < 0 个，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则数列 SKIPIF 1 < 0 为等比数列，故B正确；
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以数列 SKIPIF 1 < 0 不是单调递增数列，故C错误；
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，从而数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确.
故选：ABD
5、（2022·广东罗湖·高三期末）已知数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）．
(1)证明：数列 SKIPIF 1 < 0 是等比数列；
(2)记 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，均有 SKIPIF 1 < 0 ，求实数 SKIPIF 1 < 0 的最小值．
【答案】(1)证明见解析
(2) SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】
（1）对递推公式进行变形，利用等比数列的定义进行证明；
（2）先利用（1）结论得到 SKIPIF 1 < 0 ，再利用累加法和等比数列的前n项和公式求出 SKIPIF 1 < 0 ，再求出 SKIPIF 1 < 0 ，再分离参数，利用放缩法进行求解.
(1)
解：因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项， SKIPIF 1 < 0 为公比的等比数列；
(2)
解：由（1），得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…， SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），
经检验当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，亦满足 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 )，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为任意 SKIPIF 1 < 0 ，均有 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 ) ，
又因为 ( SKIPIF 1 < 0 )，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即实数 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
6、（2022·广东佛山·高三期末）设 SKIPIF 1 < 0 为等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 成等差数列.
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 成等差数列；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项积，求 SKIPIF 1 < 0 的最大值及相应 SKIPIF 1 < 0 的值.
【答案】(1)证明见解析；
(2)当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最大值 SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
【分析】
（1）设等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为 SKIPIF 1 < 0 ，分析得出 SKIPIF 1 < 0 ，利用已知条件可求得 SKIPIF 1 < 0 的值，再计算得出 SKIPIF 1 < 0 ，即可证得结论成立；
（2）分析可知 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项，以 SKIPIF 1 < 0 为公比的等比数列，求得 SKIPIF 1 < 0 ，解不等式 SKIPIF 1 < 0 ，求得 SKIPIF 1 < 0 的取值范围，可求得 SKIPIF 1 < 0 的最大值及其对应的 SKIPIF 1 < 0 值.
(1)
解：设等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
由已知可得 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，
因此， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 成等差数列.
(2)
解： SKIPIF 1 < 0 ，所以，数列 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为首项，以 SKIPIF 1 < 0 为公比的等比数列，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，显然 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取最大值，且 SKIPIF 1 < 0 .
7、（2022·江苏海门·高三期末）已知{an}是公差不为零的等差数列，a5＝17，a1，a2，a7成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)将数列{an}与{3n}的相同的项按由小到大的顺序排列构成的数列记为{bn}，求数列{bn}的前n项和Sn．
【答案】(1)an＝4n－3
(2) SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】
（1）由 SKIPIF 1 < 0 及 SKIPIF 1 < 0 成等差数列建立等式求解即可；
（2）根据条件求出数列 SKIPIF 1 < 0 ，再求和即可.
(1)
设等差数列的公差为d，d≠0，
由条件得 SKIPIF 1 < 0
解之得 SKIPIF 1 < 0
所以数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式为an＝4n－3．
(2)
设4n－3＝3m，
则n＝ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ，
当m＝2k，k∈N*时，(－1)m SKIPIF 1 < 0 ＋3＝4，所以 SKIPIF 1 < 0 N*，
当m＝2k－1，k∈N*时，(－1)m SKIPIF 1 < 0 ＋3＝2，所以 SKIPIF 1 < 0 N*，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
8、（2022·江苏通州·高三期末）已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ＝2，2( SKIPIF 1 < 0 )＝6－ SKIPIF 1 < 0 .
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)设 SKIPIF 1 < 0 的最大值为M，最小值为m，求M－m的值.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】
（1）由数列前n项和与通项公式之间的关系即可求得数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）求得数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 的解析式，求其最值后即可解决.
(1)
数列 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ＝2，2( SKIPIF 1 < 0 )＝6－ SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时，2( SKIPIF 1 < 0 )＝6－ SKIPIF 1 < 0
则2( SKIPIF 1 < 0 )-2( SKIPIF 1 < 0 )＝6－ SKIPIF 1 < 0 －（6－ SKIPIF 1 < 0 ），整理得 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时，由2( SKIPIF 1 < 0 )＝6－ SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0
综上，数列 SKIPIF 1 < 0 是首项为2，公比为 SKIPIF 1 < 0 的等比数列， SKIPIF 1 < 0
(2)
由（1）可知，等比数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为 SKIPIF 1 < 0
当n为奇数时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
当n为偶数时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
综上得，数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 的最大值为2，最小值为 SKIPIF 1 < 0
故M－m SKIPIF 1 < 0
9、（2022·江苏海安·高三期末）已知数列{an}满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)请你在①，②中选择一个证明：
①若 SKIPIF 1 < 0 ，则{bn}是等比数列；
②若 SKIPIF 1 < 0 ，则{bn}是等差数列．
注：如果选择多个分别解答，按第一个解答计分．
(2)求数列{an}的通项公式及其前n项和Sn．
【答案】(1)详见解析；
(2) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
【分析】
（1）选择①，利用条件可得 SKIPIF 1 < 0 ，即证；选择②，利用条件可得 SKIPIF 1 < 0 ，即证；
（2）由题可得 SKIPIF 1 < 0 ，利用累加法可求 SKIPIF 1 < 0 ，再利用由分组求和法即求.
(1)
选择①，由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
∴数列{bn}是以2为首项，以 SKIPIF 1 < 0 为公比的等比数列；
选择②，∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0
∴数列{bn}是等差数列.
(2)
由上可知 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .第一列
第二列
第三列
第一行
1
SKIPIF 1 < 0
16
第二行
2
7
SKIPIF 1 < 0
第三行
5
12
8