新高考数学二轮复习培优训练专题11 三角函数的图象与性质（ω的取值范围）（含解析）

这是一份新高考数学二轮复习培优训练专题11 三角函数的图象与性质（ω的取值范围）（含解析），共42页。试卷主要包含了热点题型归纳，最新模考题组练，十年高考真题练等内容，欢迎下载使用。
专题11 三角函数的图象与性质（ω的取值范围）
三角函数的图象与性质一直是高考的必考内容，也是高考热点内容，在三角函数图象中，对整个图象的性质影响巨大。因此近年高考中对ω的取值范围的考察就是高考的热门考点之一，这部分考题呈现出综合性较强，对学生的逻辑推理，直观想象素养要求较高，所以对的取值范围的系统研究，找到解题的通性通法对提高学生的整体数学素养有巨大的帮助。
一、热点题型归纳
题型1、与函数平移相关的ω取值范围问题
题型2、与函数单调性相关的ω取值范围问题
题型3、与函数零点相关的ω取值范围问题
题型4、与函数最值相关的ω取值范围问题
题型5、与函数极值相关的ω取值范围问题
题型6、与函数对称性相关的ω取值范围问题
题型7、与零点、单调性、对称性等相关的综合性问题
二、最新模考题组练
三、十年高考真题练

【题型1】与函数平移相关的ω取值范围问题
【解题技巧】
1、平移后与原图象重合：1）平移长度即为原函数周期的整倍数；2）平移前的函数=平移后的函数.
2、平移后与新图象重合：平移后的函数=新的函数.
3、平移后的函数与原图象关于轴对称：平移后的函数为偶函数；
4、平移后的函数与原函数关于轴对称：平移前的函数=平移后的函数-；
5、平移后过定点：将定点坐标代入平移后的函数中。
【典例分析】
1.（2022.辽宁高三模拟）已知函数，将的图像向右平移个单位长度后，若所得图像与原图像重合，则的最小值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】,的周期为,
将的图像向右平移个单位长度后，所得图像与原图像重合，
是周期的整数倍，，，，的最小值等于.故选：B
2．（2022·全国·统考高考真题（甲））将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先由平移求出曲线的解析式，再结合对称性得，即可求出的最小值.
【详解】由题意知：曲线为，
又关于轴对称，则，
解得，又，故当时，的最小值为.故选：C.
3．（2022·河南·模拟预测）已知函数的最小正周期为，若，把的图象向左平移个单位长度，得到奇函数的图象，则（    ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【分析】根据平移得的表达式，由为奇函数以及可得，进而由可得，由代入即可求值.
【详解】∴，
∵为奇函数，∴，即，∴．
又，∴，∵，∴，∴，
∴，∴．故选:A．
【变式演练】
1.（2022.绵阳市高三校考期中）将函数（）的图象向右平移个单位长度，所得图象经过点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】将向右平移个单位长度可得，
因为过点，所以，解得，又，所以的最小值是2.故选：B

2.（2022.江西高三期末）若将函数的图像向右平移个单位长度后，与函数的图像重合，则的最小值为（  ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由函数的图像向右平移个单位长度后，
可得与函数的图象重合，
，其中，即，
当时，可得，即的最小值为.故选：B.
3．（2022·北京·人大附中校考模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则______；若为偶函数，则的最小值是______.
【答案】         
【分析】根据三角函数的图象变换关系求出的解析式，从而可得的值；再利用函数是偶函数建立方程进行求解即可．
【详解】解：将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，
即，所以；
若函数为偶函数，则，，得，
，当时，取得最小值为，故答案为：；．

【题型2】与函数单调性相关的ω取值范围问题
【解题技巧】
已知函数在给定区间上的单调性，求ω的取值范围
已知函数，在上单调递增（或递减），求的取值范围
1）根据区间的长度不大于该函数最小正周期的一半，即，求得.
2）以单调递增为例，利用，解得的范围；
3）结合第一步求出的的范围对进行赋值，从而求出（不含参数）的取值范围.
【典例分析】
1．（2022·湖南·长沙模拟预测）已知函数，若在区间内单调递减，则的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【解析】因为在区间内单调递减，所以，在区间内单调递增，
由，，得，，
所以的单调递增区间为，，
依题意得，，所以，，所以，，
由得，由得，所以且，所以或，
当时，，又，所以， 当时，.
综上所述：.故选：C.
2．（2022·河南·高三专题练习）已知函数在区间上单调递减，则的取值范围为________.
【答案】
【解析】由题意可知的单调递减区间为，
由，得，，
即函数的单调递减区间为，
因为在区间上单调递减，所以，解得，，
只能取；当时，，即，所以的取值范围是．故答案为:.
3．（2022·河北张家口·高三期末）已知函数，且函数在区间上单调递减，则的最大值为___________.
【答案】
【分析】由结合的取值范围可求得的值，由可求得的取值范围，根据已知条件可得出关于的不等式组，解出的范围即可得解.
【详解】因为，又，所以，所以，，
当且时，，
因为在区间上单调递减，则，
即，即，
因为，则，则且，故，从而，
因此，的最大值为.故答案为：.
【变式演练】
1.（2022·河南·汝州市模拟预测）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【解析】由题意得，函数，令，
即.因为函数在区间上单调递减，
则且，且，
解得，且，又，所以.故选：C.
2.（2022·广西·高三专题练习）将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍纵坐标不变，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，若在上单调递减，则实数的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【解析】将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍纵坐标不变，得到，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，
即，若在上单调递减，
则的周期，即，得，
由，，得，，
即，即的单调递减区间为，，
若在上单调递减，则，，
即，，当时，，即的取值范围是.故选：D．
3．（2022秋·陕西西安·高三校考阶段练习）将函数的图像向左平移个单位长度后，得到的图像关于轴对称，且函数在上单调递增，则函数的最小正周期为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出平移后的解析式，根据对称性得到，，再结合函数在上单调递增，得到，求出，列出不等式，求出，得到最小正周期.
【详解】的图像向左平移个单位长度后，得到，
则关于轴对称，所以，，解得：，，
因为，故当时，，
因为函数在上单调递增，所以，解得：，
故，解得：，因为，所以，故，
则函数的最小正周期为.故选：B

【题型3】与函数零点相关的ω取值范围问题
【解题技巧】
已知三角函数的零点个数问题求ω的取值范围
对于区间长度为定值的动区间，若区间上至少含有k个零点，需要确定含有k个零点的区间长度，一般和周期相关，若在在区间至多含有k个零点，需要确定包含k+1个零点的区间长度的最小值．
【典例分析】
1．（2022·河南·校联考模拟预测）已知函数，，且在上恰有50个零点，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由得出，再由余弦函数的性质列出不等式组，进而得出的取值范围.
【详解】因为函数，，所以，，.
所以，所以的取值范围是.故选：C.
2．（2022·安徽合肥·校考模拟预测）已知函数在区间上有且仅有4个零点，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由的范围，求出的范围，结合正弦函数的性质即可得结果.
【详解】根据题意，函数，
若，即，必有，令，则，
设，则函数和在区间内有4个交点，
又由于，必有，即的取值范围是，故选：B.
3．（2022·四川宜宾·统考模拟预测）已知函数，方程在区间有且仅有四个根，则正数的取值范围是_________．
【答案】
【分析】由方程得到，，然后得到的范围，根据原方程在区间有且仅有四个根，列出不等式，求解即可得到结果.
【详解】由，可得，所以，
又因为当时，，所以的可能取值为
因为原方程在区间有且仅有四个根，所以，解得
即的取值范围是 故答案为：
【变式演练】
1．（2022·河南南阳·高一期末）设函数，已知在上有且仅有个零点，则下列说法错误的是（    ）
A．的取值范围是 B．的图象与直线在上的交点恰有个
C．的图象与直线在上的交点可能有个 D．在上单调递减
【解析】对于A选项，因为，当时，，
因为函数在上有且仅有个零点，
所以，，解得，A对；
对于B选项，当时，且，
由可得或，
故的图象与直线在上的交点恰有个，B对；
对于C选项，若，即当时，
由，可得或，
所以，的图象与直线在上的交点可能有个，C对；
对于D选项，当时，，
因为，则，，
所以，函数在不一定单调递减，D错.故选：D.
2．（2022·安徽·铜陵高三阶段练习）已知函数，若方程在上有且只有五个实数根，则实数的取值范围为（     ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】辅助角公式化简后解方程，由第五个正根小于，第六个正根大于等于可得.
【详解】由，得：或，即，或，易知由小到大第5、6个正根分别为，.
因为方程在上有且只有五个实数根，所以有且，解得.故选：C.
3．（2022·重庆江北·校考一模）函数在上有个零点，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】函数得或，解方程即可求函数在上的从小到大的七个零点，根据在上有个零点，列不等式，即可求得的取值范围.
【详解】解：得或
解得或或
即或或
因为，函数在上的七个零点依次为：
由于在上有个零点，所以，解得，
则的取值范围是.故选：B.

【题型4】与函数最值相关的ω取值范围问题
【典例分析】
1．（2022·安徽马鞍山·三模）函数在区间上恰有两个最小值点，则的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【解析】令，因为，所以，
问题转化为函数在时恰有两个最小值点，
所以有，因为，所以，故选：A
2．（2022·河南·宝丰县模拟预测）已知函数在区间上的值域为，则的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【解析】当时，，
因为函数在区间上的值域为，所以，解得.故选：.
3．（2022·四川成都·模拟预测（理））已知函数，若，且在上有最大值，没有最小值，则的最大值为______．
【答案】17
【分析】利用三角函数的零点以及函数的单调性可知，，再结合函数的周期列式，即可求解.
【详解】由，且在上有最大值，没有最小值，
可得， 所以.
由在上有最大值，没有最小值，可得，解得，
又，当时，，则的最大值为17，,故答案为：17
【变式演练】
1.（2022·河南·高三期中）若函数在区间内不存在最小值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函数，由，有，由正弦函数的单调性可知：
当，即时，在上单调递增，最小值为，不合题意；
当，即时，在上单调递增，在上单调递减，
由，最小值为，不合题意；
当，即时，在上单调递增，在上单调递减，
由，此时最小值不存在，符合题意；
当，即时，在上单调递增，在上单调递减，
有最小值为，不合题意；
综上可知，时，在区间内不存在最小值.故选：D
2.（2022·广东·广州市高三阶段练习）已知定义在上的函数（）的最大值为，则正实数的取值个数最多为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】换元，令，讨论与的大小关系，由单调性即可求出函数的最大值，再根据函数零点的判断方法，即可判断出正实数的取值个数．
【详解】令，
①当时，即，根据正弦函数的单调性可知，，解得；
②当时，即，根据正弦函数的单调性可知，在上单调递增，
所以．设，，
，因为，在上递减，
所以在上递减，存在，使得，因此在上递增，在上递减，而，，，由零点存在性定理可知，存在唯一的，使得，即说明只有一个实根，综上可知，正实数的取值个数最多为2.故选：C．
3．（2022春•瑶海区月考）将函数，，图象上每点的横坐标变为原来的2倍，得到函数，函数的部分图象如图所示，且在，上恰有一个最大值和一个最小值（其中最大值为1，最小值为，则的取值范围是　　

A． B． C． D．
【解析】解：将函数，，图象上每点的横坐标变为原来的2倍，
得函数，由图象过点以及点在图象上的位置，
知，，，，
由在，上恰有一个最大值和一个最小值，，，故选：．
【题型5】与函数极值相关的ω取值范围问题
【典例分析】
1．（2022·湖北武汉·统考模拟预测）已知偶函数（，）在上恰有2个极大值点，则实数的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用辅助角公式化简函数，根据偶函数的性质结合的取值范围，求解的值，最后化简得到，再根据函数在上恰有2个极大值，代入，即可求解的取值范围.
【详解】解：，
因为，则，故，
又函数为偶函数，故，解得，故，
因为函数在上恰有2个极大值，故当时，，即.故选：D.
2．（2022·陕西咸阳·统考一模）已知函数，，向右平移个单位长度后的图象与原函数图象重合，的极大值与极小值的差大于15，则a的最小值为（    ）
A．6 B．7.5 C．12 D．18
【答案】C
【分析】写出平移后解析式，由它与原函数相同，结合周期性得的表达式，再由极大值与极小值的差大于15得的范围，从而可得结论．
【详解】平移后函数式为，它与原函数一样，则，，
是正弦型函数，极大值与极小值的差是，由题意，，
所以的最小值是12．故选：C．
3．（2022·青海·校联考模拟预测）若，分别是函数的零点和极值点，且在区间上，函数存在唯一的极大值点，使得，则下列数值中，的可能取值是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由函数的零点和极值点的概念结合正弦函数图象的性质对各个选项进行判断即可.
【详解】设函数的最小正周期为T,由题意得则其中在区间上，函数存在唯一的极大值点，使得，
所以解得即解得
对于D.若，则由
且可知可使成立，
当时当或时，都成立，故不符合；
对于C. 若，则，且可知
可使成立，当时，当时，存在唯一的极大值点，使得，故符合条件；
对于B. 若，则由且可知
可使成立，当时，
当或时，都成立，故不符合；
对于A. 若，则由 且可知
可使成立，当时，，
当或时，都成立，故不符合；故选：C
【变式演练】
1．（2022·辽宁丹东·统考二模）关于函数，有下述四个结论：
①若在内单调递增，则.②若在内单调递减，则.
③若在内有且仅有一个极大值点，则.
④若在内有且仅有一个极小值点，则.其中所有正确结论的序号是（    ）
A．①③ B．②③ C．①④ D．③④
【答案】A
【分析】根据三角函数的单调性判断①②的正确性；根据三角函数的极值点判断③④的正确性.
【详解】依题意函数，
由，解得（），
若在内单调递增，则.所以①正确.
由，解得（），
若在内单调递减，则，此不等式组无解.所以②错误.
对于③，由，解得（），依题意在内有且仅有一个解，即且，即且，即且，
所以的取值范围是，所以③正确.
对于④，由，解得（），
依题意在内有且仅有一个解，即且，
即且，即且，所以的取值范围是，所以④错误.
故正确的为①③.故选：A
【点睛】本小题主要考查三角函数的单调性和极值点，属于中档题.
2．（2022·全国·高三专题练习）若函数（）在上单调，且在上存在极值点，则ω的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】依据函数在上单调，可知，计算出函数的对称轴，然后根据函数在所给区间存在极值点可知，最后计算可知结果.
【详解】因为在上单调，所以，则，由此可得.
因为当，即时，函数取得极值，
欲满足在上存在极值点，因为周期，故在上有且只有一个极值，
故第一个极值点，得，又第二个极值点，
要使在上单调，必须，得.综上可得，的取值范围是.故选：C
【点睛】第一步：先根据函数在所给区间单调判断；第二步：计算对称轴；第三步：依据函数在所给区间存在极值点可得，即可.
3．（2022·安徽·安庆高三阶段练习）已知函数在区间不存在极值点，则的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】依题意区间夹在相邻的两条对称轴之间，列式即可求解
【详解】，函数在区间上不存在极值点，
，且对任意的都成立，
，且，，且，或．故选：D．

【题型6】与函数对称性相关的ω取值范围问题
【解题技巧】
已知一条对称轴和一个对称中心，由于对称轴和对称中心的水平距离为，
则．
【典例分析】
1．（2022·四川绵阳·校考模拟预测）若存在实数， 使得函数的图象的一个对称中心为，则的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意可得，则，再根据，，即可得出答案.
【详解】解：由題意知，存在在使得的一个对称中心为，
即存在使得时，，代入， 则，即，即，
因为，，所以，则，
由不等式性质知时，取到最小值，
又由于无法取到，故，所以的取值范围为.故选：C.
2．（2022·重庆·高三专题练习）已知函数在区间上有且仅有4条对称轴，给出下列四个结论：①在区间上有且仅有3个不同的零点；②的最小正周期可能是；
③的取值范围是；④在区间上单调递增．其中所有正确结论的序号是（       ）
A．①④ B．②③ C．②④ D．②③④
【答案】B
【分析】令，则，由函数在区间上有且仅有4条对称轴，即有4个整数符合，可求出判断③，再利用三角函数的性质可依次判断①②④.
【详解】由函数， 令，则
函数在区间上有且仅有4条对称轴，即有4个整数符合，
由，得，则，
即，，故③正确；
对于①，，，
当时，在区间上有且仅有3个不同的零点；
当时，在区间上有且仅有4个不同的零点；故①错误；
对于②，周期，由，则，，
又，所以的最小正周期可能是，故②正确；
对于④，，，又，
又，所以在区间上不一定单调递增，故④错误．故正确结论的序号是：②③故选：B
【点睛】函数的性质：(1) .(2)周期
(3)由 求对称轴，由求对称中心.
(4)由求增区间；由求减区间.
【变式演练】
1．（2022·四川遂宁·校考模拟预测）将函数的图象向右平移个周期后，所得图象恰有个对称中心在区间内，则的取值范围为______.
【答案】
【分析】先利用平移变换得到，再根据所得图象恰有个对称中心在区间内，由求解.
【详解】解：函数的周期为，则，
则将函数的图象向右平移个周期后得到，
因为，所以，因为所得图象恰有个对称中心在区间内，
所以，解得，所以的取值范围为.故答案为：
2.（2022·福建龙岩·模拟预测）若存在唯一的实数，使得曲线关于直线对称，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由，，得，，，
因为存在唯一的实数，使得曲线关于直线对称，
所以只有唯一的值落在（）中，
所以，解得，故选：C．
3.（2022·山东·模拟预测）已知函数，在上恰有3条对称轴，3个对称中心，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当时，，因为此时对应3条对称轴，3个对称中心，
画出函数图象，如图：

故必满足，解得.故选：A

【题型7】与零点、单调性、对称性等相关的综合性问题
【典例分析】
1．（2022·新疆·统考一模）已知函数在上是增函数，且在上恰有一个极大值点与一个极小值点，则的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由，，，可得，在，上仅有一个极大值点与一个极小值点，故有，求解即可．
【详解】由，，，所以，解得，
由在，上仅有一个极大值点与一个极小值点，
则有，所以，又，所以的取值范围为，．故选：．
2．（2022•成都高三期末）已知，，在函数，的图象的交点中，相邻两个交点的横坐标之差的绝对值为，当，时，函数的图象恒在轴的上方，则的取值范围是　　
A．， B．， C． D．
【解析】解：由，得，即，即，
则，，当时，，当时，，
相邻两个交点的横坐标之差的绝对值为，
，即，则，
当，时，函数的图象恒在轴的上方，即此时，恒成立，
由，得，，
得，
则，得，得，
当时，得，得，则的取值范围是，，故选：．
3．（2022·陕西西安·二模（理））已知函数，若函数的一个零点为．其图像的一条对称轴为直线，且在上单调，则的最大值为（       ）
A．2 B．6 C．10 D．14
【答案】B
【分析】根据题意，由表示T，再由 是的一个单调区间，确定T的范围，从而得到范围，再逐一验证.
【详解】解：由题意得：，所以，，
又，所以，因为在上单调，所以，则，
所以，即，解得，所以，
当时， ，因为函数的一个零点为，所以，
则，即，因为，则，所以，
若，则，因为在上不单调，不符合题意；
当时， ，因为函数的一个零点为，所以，
则，即，因为，无解；
当时， ，
因为函数的一个零点为，所以，则，即，
因为，则，所以，若，则，
因为在上不单调，不符合题意；
当时， ，因为函数的一个零点为，所以，
则，即，
因为，则，所以，
若，则，因为在上不单调，不符合题意；
当时， ，因为函数的一个零点为，
所以，则，即，
因为，则，所以，若，则，
因为在上单调，符合题意；所以的最大值为6，故选：B
【变式演练】
1．（2022·贵州贵阳·模拟预测（理））若函数在上有且仅有3个零点和2个极小值点，则的取值范围为______．
【答案】
【分析】找到临界位置，再根据条件建立不等式求解即可.
【详解】如下图，作出简图，由题意知，，设函数的最小正周期为，

因为，则，，
结合有且，解得．故答案为：
2．（2022秋•温州期末）若函数能够在某个长度为3的闭区间上至少三次出现最大值3，且在上是单调函数，则整数的值是　　
A．4 B．5 C．6 D．7
【解析】解：函数能够在某个长度为3的区间上至少三次出现最大值3，
如果起点为最高点，到下一个最高点，刚好一个周期，可两次获得最大值3，
由三角函数的图象与性质可知：即：；解得：；
又，上为单调函数，，且，解得；
综上可得，正整数．故选：．
3．（2022•浙江模拟）已知函数，在，上单调，其图象经过点，，且有一条对称轴为直线，则的最大值是 　　．
【解析】解：因为函数图象经过点，所以，，①
因为直线为函数的一条对称轴，所以，，②
①②可得，即，由，，可得，3，5，，
因为函数在上单调，所以，即，解得，
所以的最大值是5．故答案为：5．

【方法总结】
求ω取值范围的基本解题思路
1、依托于三角函数的周期性：
因为的最小正周期是，所以，只要确定周期T，就可以确定的取值.
2、利用三角函数的对称性
（1）三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，也就是说，我们可以根据三角函数的对称性来研究其周期性，进而可以研究的取值。
（2）三角函数的对称轴比经过图象的最高点或最低点，函数的对称中心就是其图象与轴的交点（零点），也就是说我们可以利用函数的最值、零点之间的“差距”来确定其周期，进而可以确定的取值.
3、结合三角函数的单调性
函数的每一“完整”单调区间的长度（即两相邻对称轴的间距）恰好等于，据此可用来求的值或范围。反之，从函数变换的角度来看ω的大小变化决定了函数图象的横向伸缩，要使函数在指定区间上具有单调性，我们忘完可以通过调整周期长度来实现，犹如通过弹簧的伸缩来抬举三角函数在区间上的单调性和最值等。


1．（2022·四川成都·双流中学校考模拟预测）设，若函数的图象向左平移个单位长度后与函数的图象重合，则的最小值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求出平移后函数的解析，再根据两个图象重合可求的解析式，从而可求其最值.
【详解】函数的图象向左平移个单位长度后对应的解析式为：
，
但该函数图象与的图象重合，故，
故，但，故，故选：B.
2．（2022·四川·校联考模拟预测）将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，若为奇函数，则ω的最小值为（    ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】根据伸缩及平移变换得到函数，结合奇偶性得到，从而得到结果.
【详解】由题意，，
因为为奇函数，所以，解得，
又，所以当k＝0时，ω取得最小值2．故选：C
3．（2022·内蒙古赤峰·模拟预测）函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，的零点到轴的最近距离小于，且在上单调递增，则的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【解析】设的最小正周期为，依题意为的一个零点，且在上单调递增，
所以，所以，因为的零点到轴的最近距离小于，
所以，化简得，即的取值范围是. 故选：D
4．（2022·陕西榆林·三模（理））已知，函数在上单调递增，且对任意，都有，则的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【解析】由，得，
则，解得．又，
∴，故，即． 由，得，
则，解得，
因为，故，即，综上所述，的取值范围为．故选：A.
5．（2022·广东·三模）已知函数，且f（x）在[0，]有且仅有3个零点，则的取值范围是（       ）
A．[，） B．[，） C．[，） D．[，）
【解析】因为，当时，，
因为函数在上有且只有3个零点，
由余弦函数性质可知，解得.故选：D．
6．（2022·山东省潍坊高三开学考试）函数在有且仅有3个零点，则下列说法正确的是（       ）
A．在不存在，使得 B．函数在仅有1个最大值点
C．函数在上单调进增 D．实数的取值范围是
【答案】D
【分析】可根据题意作出函数的大致图像，可判断B错；根据函数有三个零点，可判断函数一定能取到最大和最小值，由此可判断A的正误；判断D时，可求出y轴右侧的四个零点，根据题意列出相应的不等式组，求得的范围，进而判断出D的正误，由此求出的范围，判断函数的单调性，可知C的正误.
【详解】对于A,在上有且仅有3个零点，则函数的最小正周期 ，
所以在上存在 ，且 ，使得，故A错误；
由图象可知，函数在可能有两个最大值，故B错误;
对于选项D,令 ，则函数的零点为 ,
所以函数在y轴右侧的四个零点分别是： ，
函数在有且仅有3个零点，
所以 ，解得 ，故D正确；
由对选项D的分析可知，的最小值为 ，当 时， ，
但不是的子集，所以函数在上不是单调进增的，故C错，故选：D.
7．（2022·河南·校联考模拟预测）已知函数的图象与直线有两个相邻的交点P，Q，的图象在P，Q之间有一个极大值点A，若，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据，结合正弦函数图象的对称性可得，由的图象在P，Q之间有一个极大值点A，即的图象在P，Q之间有一个最大值，从而可得时，的值，从而可求得，即可得解.
【详解】因为的图象在P，Q之间有一个极大值点A，所以的图象在P，Q之间有一个最大值，
令，则或，
所以或，所以，
因为，由正弦函数图象的对称性可知，故为等腰直角三角形，

如图，取的中点，连接，则，故，所以，解得.选：C.
8．（2022·重庆八中高三阶段练习）函数在上的值域是，则的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【解析】，，则，
要使f(x)在上的值域是，则.故选：C.
9．（2022·陕西·武功县高三阶段练习）函数在内恰有两个最小值点，则的范围是（       ）
A． B． C． D．
【解析】当时，即时，函数有最小值，
令时，有，，，，
因为函数在内恰有两个最小值点，，
所以有：，故选：B
10.（2022•儋州高三期中）将函数的图象向右平移个单位长度，向下平移个单位长度后，得到的图象，如果对于区间上任意的实数，都有，则正数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意

向右平移个单位长度，向下平移个单位长度得到，
故，如果对于区间上任意的实数，
都有，则函数在区间上单调递增，
而函数的单调递增区间满足：，，
∴函数的单调递增区间是，，
∴，，∴，，
当时，，当且时，无解，∴.故选：B.
11．（2022·全国·高三专题练习）已知函数在区间上无极值，则的取值范围是（       ）
A．（0，5] B．（0，5） C．（0，） D．（0，]
【答案】A
【分析】利用导数求解，将问题转化为
或在区间上恒成立，然后利用正弦函数的图象求解即可.
【详解】由已知条件得，
∵函数在区间上无极值，
∴函数在区间上单调，
∴或在区间上恒成立，
当时，，
∵，∴，在此范围内不成立；
当时，，
∵，∴，即，解得，则的取值范围是，故选：.
12．（2022·湖北武汉·模拟预测）已知偶函数（，）在上恰有2个极大值点，则实数的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用辅助角公式化简函数，根据偶函数的性质结合的取值范围，求解的值，最后化简得到，再根据函数在上恰有2个极大值，代入，即可求解的取值范围.
【详解】解：，
因为，则，故，
又函数为偶函数，故，解得，故，
因为函数在上恰有2个极大值，故当时，，即.故选：D.
13.若存在实数， 使得函数的图象的一个对称中心为，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題意知，存在在使得的一个对称中心为，
即存在使得时，，
代入， 则，即，即，
因为，，所以，则，
由不等式性质知时，取到最小值，
又由于无法取到，故，所以的取值范围为.故选：C.
14．（2022·安徽·高三阶段练习）已知函数在区间[0，]上有且仅有3条对称轴，则的取值范围是（       ）
A．（，] B．（，] C．[，） D．[，）
【解析】，令，，则，，
函数f（x）在区间[0，]上有且仅有3条对称轴，即有3个整数k符合，
，得，则，
即，∴.故选：C.
15．（2022·辽宁·大连高三期中）已知函数在区间上是增函数，若函数在上的图像与直线有且仅有一个交点，则的最小值为（    ）
A． B． C． D．1
【解析】因为函数的图像关于原点对称，并且在区间上是增函数，
所以，又，得，令，得，
所以在上的图像与直线的第一个交点的横坐标为，第二个交点的横坐标为，
所以，解得，综上所述，，故的最小值为 故选：D
16．（2022春•湖北期中）已知．给出下列判断：
①若，，且，则；
②若在，上恰有9个零点，则的取值范围为；
③存在，使得的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于轴对称；
④若在上单调递增，则的取值范围为．
其中，判断正确的个数为　　
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】解：．
①由题可知，最小正周期，，即①错误；
②设函数在轴右侧与轴的第9个交点的横坐标为，第10个交点的横坐标为，
则，，解得，，
若在，上恰有9个零点，则，解得，即②正确；
③的图象向右平移个单位得到函数，
函数的图象关于轴对称，，，，
若存在，则，解得，与相矛盾，即③错误；
④令，得，，
在上单调递增，当时，有，解得，
，，故的取值范围为，即④错误．正确的只有②，故选：．
17.（2022•福建高三模拟）已知函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=-为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为______．
【答案】
【分析】先根据是的零点，是图像的对称轴可转化为周期的关系，从而求得的取值范围，又根据所求值为最大值，所以从大到小对赋值验证找到适合的最大值即可．
【详解】由题意可得，即，解得，
又因为在上单调，所以，即，
因为要求的最大值，令，因为是的对称轴，所以，
又，解得，所以此时，
在上单调递减，即在上单调递减，在上单调递增，故在不单调，同理，令，，在 上单调递减，因为，
所以在单调递减，满足题意，所以的最大值为5.
18．（2022·重庆·高三专题练习）已知函数为的零点，为图像的对称轴，且在单调，则的最大值是______ .
【答案】9
【分析】先根据正弦函数的零点以及它的图象的对称性，判断为奇数，由在单调，分在单调递增、单调递减两种情况，分别求得的最大值，综合可得它的最大值．
【详解】函数，，为的零点，为图象的对称轴，
，，且，，
相减可得，，即，即为奇数．
在单调，
（1）若在单调递增，则，且，，
即①，且，②，
把①②可得：，，故有奇数的最大值为9．
当时，，，，．
此时在单调递减，不满足题意．
当时，，，，，
此时在不单调，不满足题意；故此时无解．
（2）若在单调递减，则，且，，
即③，且，④，
把③④可得：，，故有奇数的最大值为9．
当时，，，，．
此时在单调递减，满足题意．故的最大值为9．故答案为：9．



1．（2019全国3卷）设函数=sin（）(＞0)，已知在有且仅有5个零点，下述四个结论：①在（）有且仅有3个极大值点 ②在（）有且仅有2个极小值点
③在（）单调递增 ④的取值范围是[)
其中所有正确结论的编号是
A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④
【答案】D
【详解】当时，，
∵f（x）在有且仅有5个零点，∴，∴，故④正确，
由，知时，令时取得极大值，①正确；
极小值点不确定，可能是2个也可能是3个，②不正确；
因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案，
当时，，若f（x）在单调递增，
则 ，即 ，∵，故③正确．故选D
2．（2022·全国·统考高考真题（乙））记函数的最小正周期为T．若，且的图象关于点中心对称，则（    ）
A．1 B． C． D．3
【答案】A
【分析】由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解.
【详解】由函数的最小正周期T满足，得，解得，
又因为函数图象关于点对称，所以，且，
所以，所以，，
所以.故选：A
3．（2022·全国·统考高考真题）设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由的取值范围得到的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可．
【详解】解：依题意可得，因为，所以，
要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点，又，的图象如下所示：

则，解得，即．故选：C．
4．（2016·天津·高考真题）已知函数，.若在区间内没有零点，则的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】，，
所以，
因此，选D.
【名师点睛】对于三角函数来说，常常是先化为y＝Asin（ωx＋φ）＋k的形式，再利用三角函数的性质求解．三角恒等变换要坚持结构同化原则，即尽可能地化为同角函数、同名函数、同次函数等，其中切化弦也是同化思想的体现；降次是一种三角变换的常用技巧，要灵活运用降次公式．
5．（全国·高考真题）已知，函数在上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意可得,，，
，．故A正确．
6．（福建·高考真题）已知函数在区间上的最小值是，则的最小值等于
A． B． C．2 D．3
【答案】B
【详解】函数在区间上的最小值是，则ωx的取值范围是
， ∴或，∴的最小值等于，选B.
7．（2022·全国·统考高考真题）记函数的最小正周期为T，若，为的零点，则的最小值为____________．
【答案】
【分析】先表示出，根据求出，再根据为函数的零点，即可求出的取值，从而得解；
【详解】解： 因为，（，）
所以最小正周期，因为，
又，所以，即，
又为的零点，所以，解得，
因为，所以当时；故答案为：