新高考数学二轮复习培优训练专题09 利用导数研究函数的性质（含解析）

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1、【2022年新高考2卷】曲线过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________．
【答案】
【解析】 因为，
当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；
当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，
又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；
故答案为：；
2、【2022年新高考1卷】已知函数，则（ ）
A．有两个极值点B．有三个零点
C．点是曲线的对称中心D．直线是曲线的切线
【答案】AC
【解析】由题，，令得或，
令得，
所以在上单调递减，在，上单调递增，
所以是极值点，故A正确；
因，，，
所以，函数在上有一个零点，
当时，，即函数在上无零点，
综上所述，函数有一个零点，故B错误；
令，该函数的定义域为，，
则是奇函数，是的对称中心，
将的图象向上移动一个单位得到的图象，
所以点是曲线的对称中心，故C正确；
令，可得，又，
当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，
故D错误.
故选：AC.
3、【2022年全国乙卷】已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是____________．
【答案】
【解析】解：，
因为分别是函数的极小值点和极大值点，
所以函数在和上递减，在上递增，
所以当时，，当时，，
若时，当时，，则此时，与前面矛盾，
故不符合题意，
若时，则方程的两个根为，
即方程的两个根为，
即函数与函数的图象有两个不同的交点，
∵,∴函数的图象是单调递减的指数函数，
又∵,∴的图象由指数函数向下关于轴作对称变换，然后将图象上的每个点的横坐标保持不变，纵坐标伸长或缩短为原来的倍得到，如图所示：
设过原点且与函数的图象相切的直线的切点为，
则切线的斜率为，
故切线方程为，
则有，解得，
则切线的斜率为，
因为函数与函数的图象有两个不同的交点，
所以，解得，
又，所以，
综上所述，的范围为.
4、（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）设 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 为函数 SKIPIF 1 < 0 的极大值点，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为单调函数，无极值点，不符合题意，故 SKIPIF 1 < 0 .
依题意， SKIPIF 1 < 0 为函数 SKIPIF 1 < 0 的极大值点，
当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，画出 SKIPIF 1 < 0 的图象如下图所示：
由图可知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，画出 SKIPIF 1 < 0 的图象如下图所示：
由图可知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
综上所述， SKIPIF 1 < 0 成立.
故选：D
5、（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）若过点 SKIPIF 1 < 0 可以作曲线 SKIPIF 1 < 0 的两条切线，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】在曲线 SKIPIF 1 < 0 上任取一点 SKIPIF 1 < 0 ，对函数 SKIPIF 1 < 0 求导得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意可知，点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时函数 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时函数 SKIPIF 1 < 0 单调递减，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，
由题意可知，直线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 的图象有两个交点，则 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，作出函数 SKIPIF 1 < 0 的图象如下图所示：
由图可知，当 SKIPIF 1 < 0 时，直线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 的图象有两个交点.
故选：D.
6、（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）曲线 SKIPIF 1 < 0 在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为__________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】由题，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故点在曲线上．
求导得： SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
7、（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）函数 SKIPIF 1 < 0 的最小值为______.
【答案】1
【解析】由题设知： SKIPIF 1 < 0 定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 单调递减；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 单调递减；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 单调递增；
又 SKIPIF 1 < 0 在各分段的界点处连续，
∴综上有： SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递减， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 单调递增；
∴ SKIPIF 1 < 0 故答案为：1.
8、（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））函数 SKIPIF 1 < 0 的图像在点 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因此，所求切线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
9、（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））若直线l与曲线y= SKIPIF 1 < 0 和x2+y2= SKIPIF 1 < 0 都相切，则l的方程为（ ）
A．y=2x+1B．y=2x+ SKIPIF 1 < 0 C．y= SKIPIF 1 < 0 x+1D．y= SKIPIF 1 < 0 x+ SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】设直线 SKIPIF 1 < 0 在曲线 SKIPIF 1 < 0 上的切点为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
函数 SKIPIF 1 < 0 的导数为 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，
设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由于直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相切，则 SKIPIF 1 < 0 ，
两边平方并整理得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （舍），
则直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
10、（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））曲线 SKIPIF 1 < 0 的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】设切线的切点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，所以切点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
所求的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
题组一、函数图像的切线问题
1-1、（2022·广东清远·高三期末）已知曲线在点处的切线方程为，则_________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】因为，所以，所以所以，所以．
故答案为： SKIPIF 1 < 0
1-2、（2022·广东潮州·高三期末）曲线与直线相切，则______．
【答案】1
【解析】由题意，函数，可得，
设切点为，则，
因为曲线与直线相切，可得，即，①
又由，即切点为，可得，②
联立①②，可得．
故答案为：1
1-3、（2022·山东临沂·高三期末）已知函数，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为________．
【答案】
【解析】因为函数，故可得：
，
则在处的切线的斜率，
故切线方程为，即：.
故答案为：.
1-4、（2022·江苏如皋·高三期末）已知函数f(x)＝x3＋ax2－x的图象在点A(1，f(1))处的切线方程为y＝4x－3，则函数y＝f(x)的极大值为（ ）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．－1
【答案】A
【解析】由由题意得 SKIPIF 1 < 0 ,
故 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
故函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 时取得极大值为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A.
题组二、利用导数研究函数的最值、极值与零点问题
2-1、（2022·江苏苏州·高三期末）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上均有极值
B． SKIPIF 1 < 0 ，使得函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上无极值
C． SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有且仅有一个零点
D． SKIPIF 1 < 0 ，使得函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有两个零点
【答案】BC
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 无极值，A错，B对．
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 有且仅有一个零点．
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 恒成立， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 有且仅有一个零点．
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 或0， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 有且仅有一个零点．
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 有且仅有一个零点，C对，D错．
故选：BC
2-2、（2022·江苏海门·高三期末）已知函数 SKIPIF 1 < 0 有三个零点，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A．(0， SKIPIF 1 < 0 )B．[0， SKIPIF 1 < 0 )C．[0， SKIPIF 1 < 0 ]D．(0， SKIPIF 1 < 0 )
【答案】A
【解析】 SKIPIF 1 < 0 有三个零点，即方程 SKIPIF 1 < 0 有三个根，
不妨令 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递减，在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 单调递减，
SKIPIF 1 < 0 ，且当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立.
当 SKIPIF 1 < 0 趋近于负无穷时， SKIPIF 1 < 0 趋近于正无穷； SKIPIF 1 < 0 趋近于正无穷时， SKIPIF 1 < 0 趋近于 SKIPIF 1 < 0 ，
故当 SKIPIF 1 < 0 时，满足题意.
故选：A.
2-3、（2022·江苏苏州·高三期末）设点 SKIPIF 1 < 0 是曲线上的任意一点，则 SKIPIF 1 < 0 到直线的最小距离是__________．
【答案】
【解析】由题意得在 SKIPIF 1 < 0 点的切线与直线平行
设曲线上与直线平行的切线的切点，
由的斜率为，
则由，解得，故切点为
切点到的距离．故答案为：
2-4、（2022·湖北省鄂州高中高三期末）若不同两点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 均在函数 SKIPIF 1 < 0 的图象上，且点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 关于原点对称，则称 SKIPIF 1 < 0 是函数 SKIPIF 1 < 0 的一个“匹配点对”（点对 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 视为同一个“匹配点对”）.已知 SKIPIF 1 < 0 恰有两个“匹配点对”，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】函数 SKIPIF 1 < 0 的图象关于原点对称的图象所对应的函数为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的图象上恰好有两个“匹配点对”等价于函数 SKIPIF 1 < 0 与函数 SKIPIF 1 < 0 有两个交点，
即方程 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 有两个不等式的正实数根，
即 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 有两个不等式的正实数根，
即转化为函数 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 图象与函数 SKIPIF 1 < 0 图象有2个交点.
SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递增.
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减.且 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 图象与函数 SKIPIF 1 < 0 图象有2个交点.则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
2-5、（2022·山东省淄博实验中学高三期末）已知函数 SKIPIF 1 < 0 有三个不同的零点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A．3B．4C．9D．16
【答案】C
【解析】 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 有三个不同的零点 SKIPIF 1 < 0 .
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 递增，在 SKIPIF 1 < 0 上递减，
SKIPIF 1 < 0 . SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
令 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 必有两个根 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 有一解 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 有两解 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
故选：C
2-6、（2022·山东枣庄·高三期末）已知函数，若恰有两个零点，则的可能取值为（ ）．
A．B．C．4D．6
【答案】BD
【解析】因为函数与函数交于点,
由函数图象的性质得函数与在上至多一个交点，
由题意，函数，函数有两个交点，
若时，恰有两个零点时，如图（1）所示，则满足，解得；
若时，恰有一个零点，在时，恰有一个零点，
则或 解得，
结合选项，可得的可能取值为和. 故选：BD.
题组三、利用导数研究函数性质的综合性问题
3-1、（2022·江苏通州·高三期末）（多选题）已知函数f(x)＝ekx，g(x)＝ SKIPIF 1 < 0 ，其中k≠0，则（ ）
A．若点P(a，b)在f(x)的图象上，则点Q(b，a)在g(x)的图象上
B．当k＝e时，设点A，B分别在f(x)，g(x)的图象上，则|AB|的最小值为 SKIPIF 1 < 0
C．当k＝1时，函数F(x)＝f(x)－g(x)的最小值小于 SKIPIF 1 < 0
D．当k＝－2e时，函数G(x)＝f(x)－g(x)有3个零点
【答案】ACD
【解析】由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的反函数，它们的图象关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，A正确；
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 的与直线 SKIPIF 1 < 0 平行的切线的切点是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离是 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，B错；
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是增函数，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 ，即在 SKIPIF 1 < 0 上存在唯一零点 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递减，在 SKIPIF 1 < 0 上递增，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由对勾函数知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是减函数， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，C正确；
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 是减函数， SKIPIF 1 < 0 也是减函数，它们互为反函数，作出它们的图象，如图，易知它们有一个交点在直线 SKIPIF 1 < 0 上，在右侧， SKIPIF 1 < 0 的图象在 SKIPIF 1 < 0 轴上方，而 SKIPIF 1 < 0 的图象在 SKIPIF 1 < 0 处穿过 SKIPIF 1 < 0 轴过渡到 SKIPIF 1 < 0 轴下方，之间它们有一个交点，根据对称性，在左上方，靠近 SKIPIF 1 < 0 处也有一个交点，因此函数 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的图象有3个交点，所以 SKIPIF 1 < 0 有3个零点，D正确．
故选：ACD．
3-2、（2022·广东·铁一中学高三期末）已知直线 SKIPIF 1 < 0 恒在函数 SKIPIF 1 < 0 的图象的上方，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】很明显 SKIPIF 1 < 0 ，
否则 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 单调递减，且 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，不合题意，
SKIPIF 1 < 0 时函数 SKIPIF 1 < 0 为常函数，
而 SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，不合题意，
当 SKIPIF 1 < 0 时，构造函数 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意可知 SKIPIF 1 < 0 恒成立，注意到： SKIPIF 1 < 0 ，
据此可得，函数在区间 SKIPIF 1 < 0 上的单调递减，在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
则： SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
构造函数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，还是 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处取得极值，
结合题意可知： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
3-3、（2022·湖南常德·高三期末）若函数 SKIPIF 1 < 0 为定义在R上的奇函数， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的导函数，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C．（0，2）D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
因为 SKIPIF 1 < 0 为定义在R上的奇函数，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以不等式 SKIPIF 1 < 0 转化为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 为定义在R上的奇函数，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 不满足 SKIPIF 1 < 0 ，
综上，不等式的解集为 SKIPIF 1 < 0
故选：D
3-4、（2022·广东揭阳·高三期末）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 可作两条直线与函数 SKIPIF 1 < 0 相切，则下列结论正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 的最大值为2D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】设切点为 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，则切线的斜率 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 ，即有 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
由于过点 SKIPIF 1 < 0 可作两条直线与函数 SKIPIF 1 < 0 相切
所以关于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 有两个不同的正根，设为 SKIPIF 1 < 0 ，则
SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，故B正确，A错误，
对于C，取 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值不可能为2，故C错误，
对于D，取 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故D错误.
故选：B.
3-5、（2022·湖北襄阳·高三期末）关于函数 SKIPIF 1 < 0 有下列四个结论：
①函数 SKIPIF 1 < 0 的图象关于点 SKIPIF 1 < 0 中心对称；②函数 SKIPIF 1 < 0 在定义域内是增函数；
③曲线 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的切线为 SKIPIF 1 < 0 ；④函数 SKIPIF 1 < 0 无零点；
其中正确结论的个数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】C
【解析】对于函数 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 的图象关于点 SKIPIF 1 < 0 中心对称，所以①不正确；
SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当x=0时取等号，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 在定义域内是增函数，故②正确；
SKIPIF 1 < 0 ，故线 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 处的切线为 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，故③正确；
由 SKIPIF 1 < 0 可知， SKIPIF 1 < 0 在（-1,0）之间有零点，
故④错误，
故选：C.
1、（2022·广东揭阳·高三期末）已知函数，该函数在 SKIPIF 1 < 0 处的切线方程为__________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】对函数 SKIPIF 1 < 0 求导可得，把 SKIPIF 1 < 0 代入可得，
则切线方程的斜率 SKIPIF 1 < 0 .又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以切点为 SKIPIF 1 < 0 ，从而可得切线方程为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
2、（2021·山东聊城市·高三三模）曲线在处的切线的倾斜角为，则__________．
【答案】
【解析】由题得，所以，
所以，
所以.
故答案为：
3、（2022·湖北武昌·高三期末）函数的最小值为______．
【答案】1
【解析】当时，，此时，，令 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 得：，故此时在 SKIPIF 1 < 0 处取得最小值，；
当时，，此时，此时在单调递减，且；
综上：函数的最小值为1.
故答案为：1
4、（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高三期末）函数是R上的单调递增函数，则a的取值范围是______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
由题设，，又 SKIPIF 1 < 0 在 R上的单调递增函数，
∴恒成立，令，则，
∴当时，则 SKIPIF 1 < 0 递减；当时，则 SKIPIF 1 < 0 递增.
∴，故 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
5、（2022·江苏如东·高三期末）函数有三个零点x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，则x1x2x3的取值范围是__________.
【答案】
【解析】设
函数有三个零点x1，x2，x3，
即的图像与直线有三个交点.作出函数的图像，如图.
根据图像可得
则 SKIPIF 1 < 0 是的两个实数根，则
满足，即
所以
设，则
由，则
所以在上单调递增，
所以
故答案为：
6、（2022·山东烟台·高三期末）若 SKIPIF 1 < 0 是函数的极值点，则 SKIPIF 1 < 0 的极大值为______．
【答案】，
【解析】由，得，
因为 SKIPIF 1 < 0 是函数的极值点，
所以，即，解得，
所以，，
令，则，得，
SKIPIF 1 < 0 ，和 SKIPIF 1 < 0 变化情况如下表：
所以当 SKIPIF 1 < 0 时，函数取得极大值，
故答案为：
7、（2021·山东潍坊市·高三三模）（多选题）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的周期为B．的图象关于对称
C．的最大值为D．在区间在上单调递减
【答案】ACD
【解析】由于，故A正确；
由于，
即的图象不关于对称，故B错误；
当时，，函数单调递增；
当或时，，函数单调递减；
所以，故C正确；
由C项分析可知，在上单调递减，故D正确；
故选：ACD.
8、（2022·湖北·黄石市有色第一中学高三期末）（多选题）设函数，，则下列说法正确的有（ ）
A．不等式的解集为；
B．函数在单调递增，在单调递减；
C．当时，总有恒成立；
D．若函数有两个极值点，则实数
【答案】ACD
【解析】由题意得，则
对于A：由，可得，解得，所以解集为，故A正确；
对于B：，令，解得x=1，
所以当时，，函数为增函数，
当时，，函数为减函数，故B错误；
对于C：当时，若，则，
所以，即，
令，
则，
，
当时，，函数为增函数，
又，所以在是恒成立，
所以为减函数，
又，所以在是恒成立，
所以当时，总有恒成立，故C正确；
对于D：若函数有两个极值点，
则有两个根，即在有两个根，
令，则，
所以当时，，函数为增函数，
当时，，函数为减函数，
又当时，，当时，，，
所以，解得，故D正确.
故选：ACD SKIPIF 1 < 0
1
SKIPIF 1 < 0
0
0
SKIPIF 1 < 0
递减
极小值
递增
极大值
递减