第07讲以函数与导数为背景的取值范围问题专题 高考数学（理）培优提升训练含解析

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第07讲 以函数与导数为背景的取值范围问题专题
A组
一、选择题
1．已知函数fx=sinπx,0≤x≤1log2017x,x>1，若a,b,c互不相等，且fa=fb=fc，则a+b+c的取值范围是（ ）
A． (1,2017) B． (1,2018) C． [2,2018] D． (2,2018)
【答案】D
【解析】由正弦函数图像得a+b=2×12=1 ，所以00时，f'x>0，故fx在0,+∞上为增函数.
因f2x=f2x,fx+1=fx+1，由f2x>fx+1 得到2x>x+1，
故3x2-2x-1>0，x1，选D.
6．设函数f'(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，当x>0时，xlnx⋅f'(x)0成立的x的取值范围是（ ）
A． (-2,0)∪(0,2) B． (-∞,-2)∪(2,+∞) C． (-2,0)∪(2,+∞) D． (-∞,-2)∪(0,2)
【答案】D
【解析】根据题意，设gx=lnx⋅fxx>0，其导数g'x=lnx'fx+lnxf'x=1xfx+lnxf'x ，
又由当x>0时，lnx⋅f'x2，即a-1的最小值为c，如果函数gx=2m-1x+34,x≥cmx,x-1，
则f（x）=2-x，x＜1log2x+1，x≥1  ，分析可得，当x=1时，fx取得最小值2，则有c=1 ，
则x=2m-1x+34,x≥1mx,x0h1=1+m+2m+30,所以函数f(x)在(-∞,+∞)上只能是单调递增函数，又f(x)存在负的零点，而当x>0时，f(0)=1+a，当x≤0时，f（0）=3a-2，∴01在1,2内恒成立，由函数的定义域知，x>-1，所以a>2x2+3x+1在1,2内恒成立，
由于二次函数y=2x2+3x+1在1,2上是单调递增函数，
故x=2时，y=2x2+3x+1在1,2上取最大值为15，∴a≥15，∴a∈15,+∞，故选C.
5．已知函数f(x)=exx-a，g(x)=3(ex-ax)ex，若方程f(x)=g(x)有4个不同的实数解，则实数a的取值范围是
A． -∞,e B． e,3∪3,+∞ C． -∞,0∪e,+∞ D． e,+∞
【答案】B
【解析】由f(x)=g(x)得到exx-a=3(1-axex)，令exx=t，则得t-a=3(1-at)，整理得t-3t-a=0．
由t(x)=exx得，当xe时，y=f(x)与y=mx有两个不同的交点，满足题意；
综上可知，实数m的取值范围是(-∞,0)∪(e,+∞)．答案选D
7．已知函数f(x)=alnx-bx2，a,b∈R.若不等式f(x)≥x对所有的b∈(-∞,0]，x∈(e,e2]都成立，则a的取值范围是（ ）
A． [e,+∞) B． [e22,+∞) C． [e22,e2) D． [e2,+∞)
【答案】B
【解析】由alnx-bx2≥x得alnx-x≥bx2，对任意b≤0，x∈e,e2都成立，故alnx-x≥0，即a≥xlnx对x∈e,e2都成立.构造函数hx=xlnx，其中x∈e,e2.h'x=lnx-1lnx2，故当x∈e,e2时h'x>0，即hx单调递增，最大值为he2=e22，故a≥e22.
8．设函数fx是定义在R上周期为2的函数，且对任意的实数x，恒fx-f-x=0，当x∈-1,0时，fx=x2．若gx=fx-logax在x∈0,+∞上有且仅有三个零点，则a的取值范围为（ ）
A． 3,5 B． 4,6 C． 3,5 D． 4,6
【答案】C
【解析】

∵fx-f-x=0,∴fx=f-x， ∴fx是偶函数，
根据函数的周期和奇偶性作出fx的图象如图所示,
∵gx=fx-logax在x∈0,+∞上有且仅有三个零点，
∴y=fx和y=logax的图象在0,+∞上只有三个交点，
结合图象可得∴loga31a>1，解得3-lnx，如图，

为了满足不等式恒成立，则a≥0，且在x=1处的切线斜率，f'1≤g'1，所以f'x=-1x，g'x=a2x-3，
所以f'1≤g'1得a≤1，综上，0≤a≤1。故选A。
10．已知函数f(x)=mx-1-nlnx (m>0,0≤n≤e)在区间[1,e]内有唯一零点，则n+2m+1的取值范围为（ ）
A． [e+2e2+e+1,e2+1] B． [2e+1,e2+1] C． [2e+1,1] D． [1,e2+1]
【答案】A
【解析】由题意m=nxlnx+x 在区间[1,e]内有唯一实数解令g(x)＝nxlnx+x，x∈[1，e]，
∵g'(x)=nlnx+n+1=0，解得lnx=-n+1n0，∴fx在0,+∞上递增，
由fx是偶函数可得fx在-∞,0上递减，flnab+flnba-2f1>0，flnab+f-lnab-2f1>0
化为2flnab>2f1，flnab>f1，等价于lnab>1，lnab>1或lnabe或00，所以h（x）在（1，+∞）上单调递增，所以h（x）在x=1时取得极小值，也即最小值．
所以h（x）≥h（1）=4．
因为对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，所以a≤h（x）min=4．所以a的取值范围为-∞,4
22．已知不等式20n-mlnmn≥0对任意正整数n恒成立，则实数m取值范围是__________．
【答案】4,5
【解析】由题意，20n-m≥0，且lnmn≥0，或20n-m≤0，且lnmn≤0，
∴m≤20n，且mn≥1，或m≥20n，且00，函数为增函数，当x∈(e,+∞)时y'0时，xlnx⋅f'(x)0时，g'(x)=lnx⋅f'(x)+1xf(x)0，lnx0f(x)>0 或x2-2x-80，f(x)=-x(e1-x+ax2-a)单调递减，
可得x>0时，f'(x)=-x(e1-x+ax2-a)-x(-e1-x+a2)=(x-1)(e1-x-a)≤0在恒成立。
当00，故fx在0,2上为增函数；
当x∈2,4时，f'x0，gx在1,e上为增函数.
因为关于x的方程ex2ex=a+lnyy在-1,4有三个不同的实数根，故
g1≥f4ge0时，-2a2x+12+5ax+1-2≥0，令t=x+1∈1,2，则
-2a2t2+5at-2≥0即2a2t2-5at+2≤0，
令gt=2a2t2-5at+2，则g1≤0g2≤0，故2a2-5a+2≤08a2-10a+2≤0，解得12≤a≤1.
当a0，若f(x)≥ax-1恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． [0,+∞) B． [0,e] C． [0,1] D． [e,+∞)
【答案】B
【解析】由题意可以作出函数y=f(x)与y=ax-1的图象，如图所示．

若不等式f(x)≥ax-1恒成立，必有0≤a≤k，其中k是y=ex-1过点(0,-1)的切线斜率．设切点为(x0, ex0-1)，因为y'=ex，所以k=ex0=(ex0-1)-(-1)x0-0，解得x0=1，所以k=e，故0≤a≤e
12．已知曲线f(x)=-13x3+a2x2-2x(a>0)与直线y=kx-13相切，且满足条件的k值有且只有3个，则实数a的取值范围是（ ）
A． [2,+∞) B． (2,+∞) C． [1,+∞) D． (1,+∞)
【答案】B
【解析】由题意得：f'(x)=-x2+ax-2，设切点P(t,-13t3+a2t2-2t)，
则其切线的斜率为k=f'(t)=-t2+at-2，
所以切线方程为y+13t3-a2t2+2t=(-t2+at-2)(x-t)，又点(0,-13)在切线上，
∴-13+13t3-a2t2+2t=(-t2+at-2)(0-t)，即23t3-12at2+13=0，
由题意得，方程23t3-12at2+13=0有三个不同的实数解，记h(t)=23t3-12at2+13，
则h'(t)=2t2-at，当a>0时，令h'(t)>0，解得ta2，令h'(t)0.2x,x≤0.若函数y=2f(x)-a-1存在5个零点，则实数a的取值范围为________.
【答案】1，3
【解析】先作出函数y=2f(x)的图像如图所示(图中黑色的曲线)，

当a=1时，函数y=|2f(x)-1|的图像如图所示（图中红色的曲线），它与直线y=1只有四个交点，即函数y=2f(x)-a-1存在4个零点，不合题意.
当1＜a＜3时，函数y=|2f(x)-a|的图像如图所示（图中红色的曲线），它与直线y=1有5个交点，即函数y=2f(x)-a-1存在5个零点，符合题意.

当a=3时，函数y=|2f(x)-3|的图像如图所示（图中红色的曲线），它与直线y=1有6个交点，即函数y=2f(x)-3-1存在6个零点，不符合题意.

所以实数a的取值范围为1，3.故答案为：1，3
18．设m∈R，若函数fx=x3-3x-m在x∈0,3上的最大值与最小值之差为2，则实数m的取值范围是__________．
【答案】(-∞,-2]∪[0,+∞)
【解析】设gx=x3-3x,x∈[0,3]，则g'x=3x2-3=3(x-1)(x+1)，
所以函数y=gx在区间0,1上单调递减，在区间1,3上单调递增．
∵g0=0，g1=-2，g3=0，∴函数y=gx的值域为-2,0，最大值与最小值之差为2，
∴函数y=x3-3x-m,x∈[0,3]的值域为-2-m,-m，最大值与最小值之差也为2．
∵函数fx=x3-3x-m在x∈[0,3]上的最大值与最小值之差为2，∴-2-m≥0或-m≤0，
解得m≤-2或m≥0.∴实数m的取值范围为(-∞,-2]∪[0,+∞)．故答案为(-∞,-2]∪[0,+∞)．
19．已知函数f（x）＝lg（1－x）－lg（1＋x），函数g（x）＝2－ax（a＞0且a≠1）．若当x∈[0，1）时，函数f（x）与函数g（x）的值域的交集非空，则实数a的取值范围为__________．
【答案】2,+∞
【解析】依题意，fx=lg1-x-lg1+x=lg1-x1+x=lg-1+2x+1；
当x∈0,1时, fx=lg(-1+2x+1)是减函数，∴f(x)∈-∞，0，
当a>1时,gx=2-ax,x∈0,1时单调递减, g(x)∈2-a，1，
∴2-a2； 当0