高考数学二轮复习培优专题第11讲 三角函数的图象与性质6大题型（含解析）

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第11讲 三角函数的图象与性质6大题型
【题型目录】
题型一： 三角函数的周期性
题型二：三角函数对称性
题型三：三角函数的奇偶性
题型四：三角函数的单调性
题型五：三角函数的值域
题型六：三角函数的图像
【典例例题】
题型一： 三角函数的周期性
【例1】（2022·全国·兴国中学高三阶段练习（文））下列函数中，最小正周期为的奇函数是（    ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据奇偶性可判断AB错误，根据周期公式可判断C正确D错误.
【详解】A选项，为偶函数，故A错误；
B选项，，则，
故为偶函数，故B错误；
C选项，，最小正周期，且为奇函数，故C正确；
D选项，为奇函数，最小正周期，故D错误．
故选：C．
【例2】（2022江西景德镇一中高一期中（文））下列函数中①；②；③；④，其中是偶函数，且最小正周期为的函数的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】①的图象如下，根据图象可知，图象关于轴对称，是偶函数，
但不是周期函数，排除①；

②的图象如下，根据图象可知，图象关于轴对称，是偶函数，
最小正周期是，②正确；

③的图象如下，根据图象可知，图象关于轴对称，是偶函数，
最小正周期为，③正确；

④的图象如下，根据图象可知，图象关于轴对称，是偶函数，最小正周期为，排除④.

故选：B.

【例3】（2022·全国·高三专题练习）函数的最小正周期是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将解析式用正余弦的和差角公式展开化简，即可得到结果.
【详解】因为
         
         
         
所以，
故选: B.
【例4】设函数，则的最小正周期(　　)
A．与b有关，且与c有关 B．与b有关，但与c无关
C．与b无关，且与c无关 D．与b无关，但与c有关
【答案】B
【解析】因的最小正周期为，的最小正周期为
所以当时，的最小正周期为；当时，的最小正周期为；
【例5】（2022·全国·高一课时练习）函数的最小正周期为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由降幂公式和诱导公式即可得到，再通过即可求解.
【详解】因为，所以．
故选：C
【例6】（2022·广西桂林·模拟预测（文））函数的最小正周期是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据周期的定义对选项一一检验即可得出答案.
【详解】，
因为，
所以的最小正周期为.
故选：D.
【例7】（2022·全国·高一专题练习）的最小正周期是（     ）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【分析】化简可得，根据正弦函数的周期可得.
【详解】因为，
因为的最小正周期为，所以的最小正周期为，
所以的最小正周期为.
故选：A.
【题型专练】
1.（2023全国高三题型专练）在函数①，② ，③，④中，最小正周期为 的所有函数为（ ）
A．②④ B．①③④ C．①②③ D．②③④
【答案】C
【解析】∵=，∴==；
图象是将=在轴下方的图象对称翻折到轴上方得到，
所以周期为，由周期公式知，为，为，故选：C.
2.（2022·河北深州市中学高三阶段练习）下列函数中，最小正周期为的奇函数是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先化简各选项，由最小正周期的计算公式和奇、偶函数的定义对选项一一判断即可求出答案.
【详解】对于A：最小正周期为，故A错误；
对于B：，最小正周期，且为奇函数，故B正确；
对于C：，最小正周期为的偶函数，故C错误；
对于D：，则，
故为偶函数，故D错误.
故选：B
3.（2022·北京昌平·高一期末）下列函数中，最小正周期为的奇函数是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用二倍角公式及正（余）弦函数的性质判断即可；
【详解】解：对于A：最小正周期为，故A错误；
对于B：，则，故为偶函数，故B错误；
对于C：，最小正周期，且为奇函数，故C正确；
对于D：，最小正周期为的偶函数，故D错误；
故选：C
4.（2022·陕西渭南·高二期末（理））函数的最小正周期是________．
【答案】
【分析】利用二倍角公式以及辅助角公式将化简函数，再由即可求解.
【详解】因为，
所以.
故答案为：
5．（2022·全国·高一专题练习）已知函数的最小正周期为，则___．
【答案】1
【分析】利用辅助角公式，可得解析式，根据正弦型函数的最小正周期的求法，结合题意，即可得答案.
【详解】因为函数，
所以最小正周期为：，解得.
故答案为：1
6．（2022·浙江·杭十四中高一期末）函数的最小正周期为__________．
【答案】
【分析】利用诱导公式、二倍角公式、降幂公式和辅助角公式化简，然后由周期公式可得.
【详解】因为

所以.
故答案为：

题型二：三角函数对称性
【例1】（江西省“红色十校”2023届高三上学期第一联考数学（文）试题）已知函数的两个相邻的零点为，则的一条对称轴是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据两个相邻零点的距离求出最小正周期，从而求出，
代入特殊值后求出，求出的解析式，求出对称轴方程为，从而求出正确答案.
【详解】设的最小正周期为T，则，得，所以，
又因为，且，所以，则，
所以的对称轴为，解得，
取，得一条对称轴为直线.
故选：B．
【例2】（2022全国高一课时练习）函数的图象（ ）
A．关于点对称 B．关于点对称
C．关于直线对称 D．关于直线对称
【答案】D
【解析】由题设，由余弦函数的对称中心为，令，得，，易知A、B错误；由余弦函数的对称轴为，令，得，，
当时，，易知C错误，D正确；故选：D
【例3】（2022·江西省万载中学高一阶段练习）把函数的图像向右平移个单位长度，所得图像关于轴对称，则的最小值是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先利用平移求得，再由三角函数对称性即可求解
【详解】将函数的图象向右平移个单位长度得到函数，
∵所得函数图象关于轴对称，
即=，
∴，
∵，
∴当时，的最小值为
故选：C


【例4】（2023福建省福州屏东中学高三开学考试多选题）已知函数的图像关于直线对称，则（    ）
A．函数为奇函数
B．函数在上单调递增
C．函数的图像向右平移个单位长度得到的函数图像关于对称，则的最小值是
D．若方程在上有个不同实根，则的最大值为
【答案】AC
【分析】根据题意得，，再结合三角函数的图像性质依次分析各选项即可得答案.
【详解】解：因为函数的图像关于直线对称，
所以，，解得，
因为，
所以，即，
所以，对于A选项，函数，是奇函数，故正确；
对于B选项，当时，，由于函数在上单调递减，所以函数在上单调递减，故错误；
对于C选项，函数的图像向右平移个单位长度得到的函数图像对应的解析式为，
若图像关于对称，则，解得，
由于，故的最小值是，故正确；
对于D选项，当时，，
故结合正弦函数的性质可知，若方程在上有个不同实根，不妨设，
则取得最大值时满足且，
所以，的最大值为，故错误.

故选：AC
【例5】(2023江西省高三月考)若函数 (ω∈N+)图象的一个对称中心是，则ω的最小值为(　　)
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】B
【解析】当时，，即，，
解得，，故当时，取最小值.
【例6】【2016高考新课标2理数】若将函数的图像向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
【答案】B
【解析】由题意，将函数的图像向左平移个单位得，则平移后函数的对称轴为，即，故选B.


【题型专练】
1.(2020·四川省泸县第四中学高三开学考试)已知函数则函数的图象的对称轴方程为( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由已知，，令，得.故选：C.
2.【2017·天津卷】设函数，，其中，．若，，且的最小正周期大于，则
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【解析】由题意得，其中，所以，
又，所以，所以，，
由得，故选A．
3．（2023·全国·高三专题练习）将函数的图象沿x轴向右平移a个单位（a＞0）所得图象关于y轴对称，则a的最小值是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由辅助角公式，整理函数解析式，根据平移变换，结合对称性，可得答案.
【详解】函数，
将函数的图象沿x轴向右平移a个单位（a＞0），
得到的函数：，∵所得图象关于y轴对称，
∴，解得，
∴a的最小值是．
故选：C．
4.【2018·江苏卷】已知函数的图象关于直线对称，则的值是________．
【答案】
【解析】由题意可得，所以，
因为，所以
5．（2022·广西南宁·高二开学考试多选题）把函数的图像向左平移个单位长度，再把横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到函数的图像，下列关于函数的说法正确的是（    ）
A．最小正周期为 B．单调递增区间
C．图像的一个对移中心为 D．图像的一条对称轴为直线
【答案】ABD
【分析】由函数图像变换得到解析式即可判断A；利用整体代换法求出函数单调增区间即可判断B；
分别求出和的值即可判断C和D.
【详解】函数的图像先向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），
得到的图像，则其最小正周期为，A正确；
令解得增区间是，B正确；
当时函数的值为，故C错误；
当时，函数的值为，
故图像的一条对称轴为直线，D正确．
故选:ABD．
题型三：三角函数的奇偶性
【例1】（2022·全国·清华附中朝阳学校模拟预测）已知函数向左平移个单位后为偶函数，其中.则的值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先对函数化简变形，然后利用三角函数图象变换规律求出平移后的解析式，再利用其为偶函数可求出的值.
【详解】


，
所以的图象向左平移个单位后，得
，
因为此函数为偶函数，
所以，得，
因为，
所以，
故选：D
【例2】（2022·广东·执信中学高一期中）对于四个函数，，，，下列说法错误的是（       ）
A．不是奇函数，最小正周期是，没有对称中心
B．是偶函数，最小正周期是，有无数多条对称轴
C．不是奇函数，没有周期，只有一条对称轴
D．是偶函数，最小正周期是，没有对称中心
【答案】D
【分析】利用图象逐项判断，可得出合适的选项.
【详解】对于A选项，如下图所示：

由图可知，函数不是奇函数，最小正周期是，没有对称中心，A对；
对于B选项，如下图所示：

由图可知，是偶函数，最小正周期是，有无数多条对称轴，B对；
对于C选项，如下图所示：

由图可知，不是奇函数，没有周期，只有一条对称轴，C对；
对于D选项，如下图所示：

由图可知，函数是偶函数，不是周期函数，没有对称中心，D错.
故选：D.
【例3】（2022·陕西师大附中高一期中）已知函数，若，，则（   ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据三角函数的二倍角公式化简，然后利用正弦函数的性质化简并比较a,b的表达式，可得答案.
【详解】由题意得，
故，，
故，
故选：C
【例4】（2022·江西省铜鼓中学高二开学考试）将函数的图象向左平移个单位长度得到一个偶函数，则的最小值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】化简函数的解析式，求出变换后的函数的解析式，根据正弦型函数的奇偶性可得出关于的等式，即可求得的最小值.
【详解】因为，
将函数的图象向左平移个单位长度，
得到函数的图象，
因为函数为偶函数，则，
解得，
，则当时，取最小值.
故选：A.
【例5】（2022·四川成都·模拟预测（理））函数在上的最大值与最小值的和为（    ）
A．-2 B．2
C．4 D．6
【答案】D
【分析】将函数左移一个单位，即，，根据解析式可判断，即函数关于对称，即可求解.
【详解】将函数左移一个单位，得，，
则，
所以函数关于对称，故最大值与最小值也关于对称，其和为6，
故选：D
【例6】（2022·贵州贵阳·高三开学考试（理））已知函数的图象向右平移个单位长度后， 得到函数 的图象， 若的图象关于原点对称， 则 （       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据函数平移关系求出，再由的对称性，即得.
【详解】由题可知图象关于原点对称，
所以，因为，
所以．
故选：C.
【例7】（2022·陕西·定边县第四中学高三阶段练习（理））已知函数在处取到最大值，则（   ）
A．奇函数 B．偶函数
C．关于点中心对称 D．关于轴对称
【答案】B
【分析】首先根据已知条件得到，再判断的奇偶性和对称性即可.
【详解】因为，其中，
因为在处取到最大值，
所以，即，，即，.
所以，
则为偶函数．
故选：B
【例8】（2023·全国·高三专题练习）写出一个最小正周期为3的偶函数___________.
【答案】（答案不唯一）
【分析】利用余弦函数的性质，结合已知函数性质写出满足要求的函数解析式即可.
【详解】由余弦函数性质知：为偶函数且为常数，
又最小正周期为3，则，即，
所以满足要求.
故答案为：(答案不唯一)
【题型专练】
1．（2022·全国·高一课时练习）下列函数中，既为偶函数又在上单调递增的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【分析】逐一研究函数的奇偶性与单调性即可.
【详解】对于A，∵，且函数的定义域为，
∴函数为偶函数，又时，，且函数在
上单调递减，∴函数在上单调递增，故A符合题意；
对于B，∵，且函数定义域为，
∴函数为偶函数，当时，，
且函数在上单调递增，
∴函数在上单调递增，故B符合题意；
对于C，∵，
∴函数在上单调递减，故C不符合题意；
对于D，记，
则，∴，
∴函数不是偶函数，故D不符合题意.
故选：AB.
2.（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（文））已知函数，若，则（    ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】B
【分析】由利用函数性质计算，然后由已知计算从而可求得值．
【详解】由函数，可得.
因为，所以.
所以.
故选：B.
3.（2022·湖南·周南中学高二期末）函数为偶函数的一个充分条件是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据正弦型函数的奇偶性求参数，结合选项确定一个满足要求的值即可.
【详解】若函数为偶函数，
所以，则.
故选：A
4．（2022·贵州黔东南·高二期末（理））已知函数的最小正周期为π，将其图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若函数为偶函数，则的最小值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据周期求，根据平移可得，根据为偶函数，满足即可求解.
【详解】，∴
∵函数为偶函数，∴，即
∵，∴
故选:C
5.（2023·全国·高三专题练习）已知函数在上的最大值为，最小值为，则（   ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】令，转化为，令，根据奇偶性的定义，可判断的奇偶性，根据奇偶性，可得在最大值与最小值之和为0，分析即可得答案.
【详解】由
令，
因为，所以；
那么转化为，，
令，，
则，
所以是奇函数
可得的最大值与最小值之和为0，
那么的最大值与最小值之和为2．
故选：B．
6.（2022辽宁丹东·高一期末）写出一个最小正周期为1的偶函数______．
【答案】
【解析】因为函数的周期为，所以函数的周期为1.
故答案为：.（答案不唯一）
7.（2022·全国·高三专题练习）已知是奇函数，则的值为______．
【答案】
【分析】首先根据奇函数的性质，求得，再代入验证.
【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，即，解得，经检验当时，

，
不管函数是还是，都是奇函数.
所以.
故答案为：
8．（2022·河南·高二开学考试）将函数的图像向左平移个单位长度后得到偶函数的图像，则的最小值是______．
【答案】
【分析】利用三角函数的图像变换以及奇偶性的性质求解.
【详解】由题意，得，
因为为偶函数，所以，，
解得，，又，
所以当时，取得最小值．
故答案为：.
9.（2022·全国·高一单元测试）写出一个同时具有性质①；②的函数______（注：不是常数函数）．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据函数的周期性以及特殊值求得正确答案.
【详解】由知函数以为周期，又，
所以满足条件．
（其他符合题意的答案均可，如，等．）
故答案为：（答案不唯一）
题型四：三角函数的单调性
【例1】（湖南省永州市2023届高三上学期第一次高考适应性考试数学试题）将函数的图象向右平移个单位长度，然后将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，则的单调递增区间是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先利用三角恒等变换化简，得到，再根据平移和伸缩变换得到的解析式，利用整体法求解出单调递增区间.
【详解】，
则，
令，
解得：，
故选：A
【例2】（2022·陕西师大附中高一期中）按从小到大排列的顺序为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用诱导公式化简后，再利用正弦函数的单调性比较即可.
【详解】，
因为，在上为增函数，
所以，
所以，
故选：B
【例3】（2022·全国·高一单元测试）下列四个函数中，以为周期且在上单调递增的偶函数有（       ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【分析】由单调性判断出A选项，由奇偶性判断B选项，C选项可画出函数图象进行判断，D选项，先判断出的最小正周期，单调性及奇偶性，进而作出判断.
【详解】在上不单调，故A错误；
为奇函数，故B错误；
图象如下图：

故最小正周期为，在上单调递增，且为偶函数，故C正确；
最小正周期为，在上单调递增，且为偶函数，则也是以为周期且在上单调递增的偶函数，故D正确.
【例4】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，为f（x）的零点，为y＝f（x）图象的对称轴，且f（x）在上单调，则ω的最大值为（    ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】根据三角函数的性质，利用整体思想，由单调区间与周期的关系，根据零点与对称轴之间的距离，表示所求参数，逐个检验取值，可得答案.
【详解】由f（x）在上单调，即，可得，则ω≤9；
∵为f（x）的零点，为y＝f（x）图象的对称轴，
根据三角函数的图象可知，零点与对称轴之间距离为：，k∈N*．
要求最大，则周期最小，∴，则T；∴ω＝2k﹣1；
当时，由，则，可得，
易知在上单减，在上递增，不合题意；
当时，由，则，可得，
易知在上单减，在上递增，不合题意；
当时，由，则，可得，
易知在上单减，符合题意；
故选：C．
【例5】（2022·江西·上饶中学高一阶段练习）函数的单调增区间为________．
【答案】 ，
【分析】整体法求解函数单调区间.
【详解】设，的大致图象如图所示，函数的周期是π.

当，时，函数递增．即，解得：，，所以函数的单调递增区间是，.
故答案为：，.
【例6】（2023·全国·高三专题练习）函数的单调递减区间是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由三角函数的性质求解
【详解】函数，故求函数的单调递增区间即可，
令，解得
故选：A
【题型专练】
1．（2022·辽宁·新民市第一高级中学高一阶段练习）已知函数为偶函数，其图像与直线的两个交点的横坐标分别为，若的最小值为，则该函数的一个单调递增区间为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意先求得周期得出，再根据偶函数求得，进而求得单调递增区间即可.
【详解】图像与直线的两个交点的横坐标分别为，且的最小值为，故的周期为，故，即.
又为偶函数，故，又，故，，
单调递增区间为，解得，故为一个单调递增区间.
故选：A
2.（2022·四川省成都市新都一中高二开学考试（理））已知函数，若，，则函数的单调递减区间为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由得周期，从而求得，再由求得得函数解析式，然后结合正弦函数的单调区间求解．
【详解】∵，∴函数的最小正周期为，即在，解得，又，即，又，故解得，∴，
令，解得，
故选：A．
3.（2022六盘山高级中学）函数的单调增区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为函数的单调递增区间为，
所以，解得，
所以函数的单调增区间为.故选：B
4.（2023·全国·高三专题练习）已知函数，其中，若对于一切恒成立，则的单调递增区间是（   ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意可得为函数的最大值，进而结合可得，从而有，再求解其单调递增区间即可.
【详解】对于一切恒成立，则为函数的最大值，即，则，又，所以，所以.
令，则.
故选：B.
5.（2022·全国·高二单元测试）已知函数，，则（    ）．
A．的图像关于点对称 B．图像的一条对称轴是
C．在上递减 D．在的值域为
【答案】B
【分析】利用导数求得，然后根据三角函数的对称性、单调性、特殊值等知识求得正确答案.
【详解】.
，
所以图像的一条对称轴是，B选项正确，A选项错误.
的最小正周期，半周期，
，所以区间不是的单调区间，C选项错误.
，D选项错误.
故选：B

6．(2022天津市静海区大邱庄中学高三月考)设函数，给出下列结论：
①的一个周期为
②的图象关于直线对称
③的图象关于点对称
④在单调递减
其中所有正确结论的编号是( )
A．①④ B．②③ C．①②③ D．②③④
【答案】C
【解析】对于①， ，故①正确；
对于②，时，，函数取得最大值，故②正确；
对于③，时，，故③正确；
对于④，，当时，，函数取得最小值，
在有增有减，故④不正确.故选：C．
7．（2022·全国·高一课时练习）关于函数，下列说法正确的是（    ）
A．的一个周期是 B．的最小值为2
C．在上单调递增 D．的图象关于直线对称
【答案】D
【分析】根据给定的函数，用周期性定义判断A；取特值计算判断B；分析单调性判断C；证明对称性判断D作答.
【详解】对于A，，即不是的周期，A错误；
对于B，取，则，即的最小值不是2，B错误；
对于C，当时，令，函数在上单调递减，而在上单调递增，
因此在上单调递减，C错误；
对于D，，即函数的图象关于直线对称，D正确．
故选：D
8．（2022·内蒙古包头·高三开学考试（文））若在是增函数，则a的最大值是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据函数性质，可得的单调区间，是增区间的子集，即可求出答案
【详解】解：，
当即时，递增，
所以当时，在上单调递增，
而，所以a的最大值为，
故选：A
9．（2022·全国·高一专题练习）若函数与都在区间上单调递减，则的最大值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据正弦型函数及余弦型函数的单调性求出在上的单调区间即可得出的最值，即可求解.
【详解】对于函数，令，
解得，当时，令，则；
对于函数，令，
解得，当时，令，则.
易得当函数与均在区间上单调递减时，
的最大值为，的最小值为，所以的最大值为.
故选：A.
10．（2022·全国·高三专题练习）将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，若在上为增函数，则最大值为（    ）
A． B．2 C．3 D．
【答案】B
【分析】先求出，又因为在上为增函数，则，且，即可求出最大值.
【详解】函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，
则，
又因为在上为增函数，
所以，且，
解得：，故的最大值为2.
故选：B.
11．（2022·全国·高一课时练习多选题）已知直线是函数图象的一条对称轴，则（    ）
A．是偶函数 B．是图象的一条对称轴
C．在上单调递减 D．当时，函数取得最小值
【答案】AC
【分析】根据为图象的对称轴，求出，从而得到，得到A正确；整体法求解函数的对称轴方程，判断B选项；代入检验函数是否在上单调递减；代入求出，D错误.
【详解】因为直线是函数图象的一条对称轴，
所以，，
又，所以，所以．
，是偶函数，故A正确；
令，解得:，
所以图象的对称轴方程为，而不能满足上式，故B错误；
当时，，此时函数单调递减，故C正确；
显然函数的最小值为，当时，，故D错误．
故选：AC．
题型五：三角函数的值域
【例1】（2022·陕西·安康市教学研究室高三阶段练习（文））下列函数中，最大值是1的函数是（     ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由可判断出A错误；由可判断B错误；由可判断C错误；令，则的值域即为直线的斜率的范围，即可判断出D正确.
【详解】对于A，，当且仅当，即时取“=”，即当时，，A不正确；
对于B，，当时，，故B错误；
对于C，，显然最大值为1，此时，而时，函数无意义，即取不到1，故C不正确；
对于D，令，则的值域即为直线的斜率的范围，显然点在圆上，
设直线的方程为，即，
则圆心到的距离，解得．故，故D正确．
故选：D．
【例2】（2022·全国·高三专题练习）函数的最大值是（　　）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【分析】由三角恒等变换化简函数为，由正弦型三角函数性质即可得解.
【详解】

，
，
所以函数的最大值为，
故选：A.
【例3】（2022·全国·高三专题练习）函数的最大值为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
由题意可得,令,
可得,利用二次函数的性质可求f(x)的最大值．
【详解】
解:,
令,可得,
当时,y取得最大值为,
故答案为:．
【例4】（2022·江西·高三开学考试（文））已知函数的最小正周期为，则在区间上的值域为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用三角函数恒等变换结合诱导公式化简，利用最小正周期求得，可得函数解析式，根据确定，从而确定的值域.
【详解】
，
因为的最小正周期为，所以，得，
所以．
由得，所以，
从而，
故选：D．
【例5】（2022·湖北·襄阳五中模拟预测）已知函数在区间上单调，且对任意实数均有成立，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，利用正弦函数的图象和性质，求出，结合五点法作图，即可求出.
【详解】由题意知，函数的最小正周期为，
因为函数在上单调，且恒成立，
所以，即，解得，
又是函数的最大值点，是函数的最小值点，
由五点法作图可知，，解得.
故选：B.
【例6】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则的最小值为（   ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据和角的正弦公式、倍角公式、辅助角公式化简得，继而求得最小值.
【详解】




.
当时，等号成立
故选：A．
【例7】（2022·全国·高三专题练习）函数的最大值是__________．
【答案】##-0.25
【解析】
【详解】
=，
所以当 时，有最大值．
故答案为.
【例8】（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则（    ）
A．的最大值为3，最小值为1
B．的最大值为3，最小值为-1
C．的最大值为，最小值为
D．的最大值为，最小值为
【答案】C
【分析】利用换元法求解函数的最大值和最小值即可.
【详解】因为函数，
设，，
则，
所以，，
当时，；当时，.
故选：C
【例9】（2022·全国·高一课时练习）已知关于的方程在内有解，那么实数的取值范围（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】可得在内有解，令，利用二次函数的性质即可求出.
【详解】方程在内有解，即在内有解，
令，，则，
所以，解得.
故选：C.
【题型专练】
1．（2022·江西九江·高一期末）函数的最小值是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二倍角公式化简，转化成一个二次型的函数，利用二次函数的性质即可求解.
【详解】，令，则．因为在上单增，所以当时，．
故选：C．
2．（2022·河南焦作·高一期末）函数的最小值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用二倍角的降幂公式化简函数解析式，利用余弦型函数的有界性可求得结果.
【详解】，.
故选：C.
3.【2018·北京卷】设函数f（x）=，若对任意的实数x都成立，则ω的最小值为__________．
【答案】
【解析】因为对任意的实数x都成立，所以取最大值，
所以，
因为，所以当时，ω取最小值为.
4．（2022·广西南宁·高二开学考试）已知函数，则函数的最大值为__________．
【答案】1
【分析】利用整体法求解三角函数的最值.
【详解】因为，所以，
所以，所以的最大值为1．
故答案为：1
5．（2022·全国·高一课时练习）函数的值域为_____________．
【答案】
【分析】利用通过换元将原函数转化为含未知量的函数，再解出函数的值域即为函数的值域.
【详解】令，，
则，即，
所以，
又因为，所以，
即函数的值域为．
故答案为：.
6．（2022·全国·高一专题练习）若奇函数在其定义域上是单调减函数，且对任意的，不等式恒成立，则取值范围是_________.
【答案】
【分析】根据给定条件，脱去法则“f”，再利用含的二次函数求解作答.
【详解】因奇函数在上单调递减，则，
，令，
而，因此当时，，即有，
所以取值范围是.
故答案为：
【点睛】思路点睛：涉及求含正(余)的二次式的最值问题，可以换元或整体思想转化为二次函数在区间[-1,1]或其子区间上的最值求解.
7.【2018·全国Ⅲ】函数在的零点个数为________．
【答案】
【解析】，，由题可知，或，解得，或，故有3个零点.
8.（2022·上海市第十中学高一期末）已知函数（）.求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值.
【答案】，的最大值为2，最小值为-1.
【分析】先化简函数为，再利用三角函数的性质求解.
【详解】解：函数，
，
，
所以函数的最小正周期，
因为，
所以，
所以，
所以的最大值为2，最小值为-1.
9．（2022·湖南·雅礼中学高一期末）已知函数，．
(1)求的最小值；
(2)若在上有零点，求a的取值范围，并求所有零点之和．
【答案】(1)（a）
(2)，所有零点之和为

【分析】（1）由函数，根据，，得到，，分，，，讨论求解；
由，根据，得到，令，，得到，利用勾函数的性质求解.
（1）解：函数，，，，，当时，即时，则时，取得最小值（a）；当时，即时，则时，取得最小值（a）；当时，即时，则时，取得最小值（a）．综上可得，（a）．
（2），，，，由，可得，当时，此等式不成立．故有，，令，，则，令，则，由对勾函数的性质得：函数在上单调递减，故当m=1，即时，；当m趋于0，即趋于1时，趋于正无穷大，所以，所有零点之和为．

题型六：三角函数的图像
【例1】（2022·陕西师大附中高三开学考试（理））函数的部分图象如图所示，为了得到的图象，只需将函数的图象（    ）

A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【答案】B
【分析】根据函数图象得到、的解析式，然后利用图象平移的结论进行图象平移即可.
【详解】根据图象可得，周期，因为，所以，，
将代入可得，解得，因为，所以，所以，，因为，所以向左平移个单位长度即可得到的图象.
故选：B.
【例2】（2022·陕西·延安市第一中学高一期中）函数的部分图象如图所示，则的值为（    ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由函数的部分图象以及五点法作图，求出的解析式，再计算的值．
【详解】解：由函数，，的部分图象知，
，，解得，
再由五点法作图可得，解得；
，
．
故选：A．
【例3】（2022·湖南·宁乡市教育研究中心模拟预测）如图表示电流强度I与时间t的关系在一个周期内的图像，则下列说法正确得是（    ）

A．
B．
C．时，
D．
【答案】C
【分析】根据图像求得电流强度I与时间t的关系，然后对选项逐一判断即可.
【详解】由图像可知，，，则，
代入，得，
当时，，故C正确.
对于D，当时，，I取得最大值300，故D错误.
故选:C.
【例4】（2022·江苏·沭阳如东中学高三阶段练习多选题）已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则（    ）

A．
B．的图象关于直线对称
C．
D．在上的值域为
【答案】AC
【分析】结合函数图像求出的解析式，进而判断AC；利用代入检验法可判断B；利用换元法和三角函数性质求出在上的值域可判断D.
【详解】由图像可知，，，故A正确；
从而，
又由，，
因为，所以，
从而，故C正确；
因为，
所以不是的对称轴，故B错误；
当时，则，
因为在上单调递减，在上单调递增，
所以，
因为，，所以，
故，即，
从而，
即在上的值域为，故D错误.
故选：AC.
【例5】（2022·河北·沧县风化店中学高二开学考试多选题）函数的部分图象如图所示，且满足，现将图象沿轴向左平移个单位，得到函数的图象.下列说法正确的是（    ）

A．在上是增函数
B．的图象关于对称
C．是奇函数
D．的最小正周期为
【答案】BCD
【分析】利用图象可确定最小正周期，由此可得，结合五点作图法可确定，利用可求得，从而得到解析式；根据三角函数平移变换可得；利用代入检验法、奇偶性定义和正弦型函数周期性，依次验证各个选项即可.
【详解】由图象可知：最小正周期，，
由五点作图法可知：，解得：，
又，，，
，，
，；
对于A，当时，，此时单调递减，A错误；
对于B，当时，，是的对称轴，B正确；
对于C，，为奇函数，C正确；
对于D，由正弦型函数周期性知：的最小正周期，D正确.
故选：BCD.
【例6】（2022·福建·高三阶段练习多选题）函数的部分图像如图所示，则（    ）

A．
B．
C．在区间上存在506个零点
D．将的图像向右平移3个单位长度后，得到函数的图像
【答案】BD
【分析】根据已知条件求得，结合三角函数的零点、三角函数图像变换等知识确定正确答案.
【详解】由图可知，，，
，其中，所以，.
所以：
，A不正确.
，B正确.
由，，可得，.
由，可得，即，，
在区间上存在505个零点，C不正确.
将的图像向右平移3个单位长度后得到的图像，D正确.
故选：BD
【例7】（2022·江苏南通·高三开学考试多选题）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）

A．的图象关于点对称
B．的图象向右平移个单位后得到的图象
C．在区间上单调递増
D．为偶函数
【答案】BD
【分析】利用待定系数法求出，从而可求出函数的函数解析式，再根据正弦函数的对称性，单调性，奇偶性及平移变换的特征逐一判断即可.
【详解】解：因为的图象过点，所以，
因为，所以，
因为的图象过点，
所以由五点作图法可知，得，
所以，
对于A，因为，
所以为的图彖的一条对称轴，所以A错误；
对于B，的图象向右平移个单位后，得，所以B正确；
对于C，若，则，所以在区间上不单调，所以C错误；
对于，，
令，因为，
所以为偶函数，所以D正确，
故选：BD.
【例8】（2022·全国·高一单元测试多选题）已知函数（，，）的部分图象如图所示，下列说法错误的是（    ）

A．的图象关于直线对称
B．的图象关于点对称
C．将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象
D．若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围是
【答案】ABC
【分析】先通过部分图像求出函数解析式，通过赋值法可知AB错误；根据图像平移的 左加右减原则，可知C错误；求出在 上的单调区间以及最值，可知D正确.
【详解】由题图可得，，故，
所以，又，即，
所以，又，所以，所以．
当时，，故A中说法错误；
当时，，故B中说法错误；
将函数的图象向左平移个单位长度得到函数
的图象，故C中说法错误；
当时，，则当，
即时，单调递减，
当，即时，单调递增，
因为，，，
所以方程在上有两个不相等的实数根时，的取值范围是，所以D中说法正确．
故选：ABC．
【题型专练】
1．（2022·广东·仲元中学高三阶段练习多选题）已知函数的部分图象如图所示.将函数的图象向右平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则（    ）

A． B．的图象关于直线对称
C．的图象关于点对称 D．函数的最小值为
【答案】ACD
【分析】先由图像求函数解析式，再逐一研究性质即可.
【详解】从图象可以看出，，，
因为，所以，解得，
将点代入解析式，得，其中，
解得，所以，A正确；
易得，
因为，所以B错误；
因为，所以C正确；
因为，
且，
所以函数的最小值为，D正确.
故选：ACD.
2．（2022·湖北·襄阳市襄州区第一高级中学高二阶段练习多选题）函数的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（    ）

A．
B．若把图像上的所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图像，则函数在上是增函数
C．若把函数的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，则函数是奇函数
D．，若恒成立，则的取值范围为
【答案】CD
【分析】根据图像可确定最小正周期，由此可得；根据可求得，由此可得A错误；根据三角函数伸缩变换可求得，利用代入检验的方式可知B错误；根据三角函数平移变换可得，由正弦型函数奇偶性判断可知C正确；将问题转化为，由正弦型函数值域求法可求得的值域，由此可得的范围，知D正确.
【详解】对于A，由图像可知：的最小正周期，；
，，
解得：，又，，
，A错误；
对于B，图像上的所有点的横坐标变为原来的倍得：，
当时，，在上不单调，B错误；
对于C，的图像向左平移个单位长度得：，
，即为奇函数，C正确；
对于D，，
由得：，
当时，，，
，，
即实数的取值范围为，D正确.
故选：CD.
3．（2022·安徽·高三开学考试）已知函数的部分图象如图所示，其中，则下列说法错误的是（    ）

A．的最小正周期为
B．将的图象向右平移个单位长度后关于原点对称
C．在 上单调递减
D．直线为图象的一条对称轴
【答案】C
【分析】根据已知图象可确定相关参数，求得函数解析式，判断A;根据正弦函数的图象的平移变换规律可得平移后的解析式，判断B;利用正弦函数的单调性可判断C；将代入函数中解析式求得其值，可判断D.
【详解】由题意得，，则，而，
即，解得，∵，∴，
∴，故A正确；
函数的图象向右平移个单位长度后，得到,
该函数图象关于原点对称，放B正确；
∵，∴，则在上先增后减，故C错误；
∵，∴直线为图象的一条对称轴，故D正确．
故选：C．
4．（2022·天津·南开中学高三阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（        ）

A．直线是图象的一条对称轴
B．图象的对称中心为，
C．在区间上单调递增
D．将的图象向左平移个单位长度后，可得到一个奇函数的图象
【答案】C
【分析】由已知图象求得函数解析式，将代入解析式，由其结果判断A;求出函数的对称中心可判断B; 当时，，结合正弦函数的单调性判断C;根据三角函数图象的平移变换可得平移后函数解析式，判断D.
【详解】由函数图象可知，,最小正周期为 ，
所以 ，
将点代入函数解析式中，得：，结合，
所以，故，
对于A，当时，，故直线不是图象的一条对称轴，A错误;
对于B，令，则，
即图象的对称中心为，，故B错误；
对于C，当时，，由于正弦函数在上递增，
故在区间上单调递增，故C正确；
对于D，将的图象向左平移个单位长度后，得到的图象，该函数不是奇函数，故D错误；
故选：C
5．（2022·江苏省如皋中学高三开学考试多选题）函数在一个周期内的图象如图所示，则（    ）．

A．该函数的解析式为
B．该函数图象的对称中心为，
C．该函数的单调递增区间是，
D．把函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，可得到该函数图象
【答案】ACD
【分析】根据图象可得函数的解析式，然后根据三角函数的性质及图象变换规律逐项分析即得.
【详解】由题图可知，，周期，
所以，则，
因为当时，，即，
所以，，即，，
又，故，从而，故A正确；
令，，得，，故B错误；
令，，
得，，故C正确；
函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，
可得到，故D正确．
故选：ACD.
6．（2021·福建·福州十八中高三开学考试多选题）已知函数，的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）

A． B．
C．在上单调递增 D．图像关于直线对称
【答案】AC
【分析】求出函数的解析式，然后判断函数的单调性，函数的周期，对称轴，以及初相，判断命题的真假即可．
【详解】解：由图可知： ，；可得：，
所以
又，所以；
由，，可得，
所以
又，可得，所以A选项正确，B选项错误；
所以函数的解析式为：，
则在R上的增区间满足：
解得增区间为，
所以当时，函数的单调增区间为，所以C选项正确；
当时，，所以直线不是的对称轴，所以D选项不正确；
故选：AC．
7．（2022·辽宁·大连二十四中高三阶段练习多选题 ）函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（    ）

A．函数的解析式为
B．函数的单调递增区间为
C．函数的图象关于点对称
D．为了得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位长度，再向上平移一个单位长度
【答案】ABD
【分析】由题意求出的解析式可判断A；利用正弦函数的单调性和对称性可判断BC；由三角函数的平移变换可判断D.
【详解】对于A，由图可知，，可得，
由，则，
两式相减得：
，
所以①，
又因为，
所以，结合①，，
因为，
所以，
所以，故A正确；
对于B，，
解得：，故B正确；
对于C，令，解得：，
函数的图象关于点对称，所以C不正确；
对于D，将函数向右平移个单位得到，向上平移一个单位长度可得，故D正确.
故选：ABD.