《高考数学二轮复习培优》第07讲以函数与导数为背景的取值范围问题专题练习

这是一份《高考数学二轮复习培优》第07讲以函数与导数为背景的取值范围问题专题练习，共38页。教案主要包含了单选题，填空题等内容，欢迎下载使用。
第七讲 以函数与导数为背景的取值范围问题专题

一、单选题
1．已知函数fx=x2−1,x0时，xlnx⋅f'(x)0时，g'(x)=lnx⋅f'(x)+1xf(x)0，lnx0f(x)>0 或x2−2x−80，f(x)=−x(e1−x+ax2−a)单调递减，
可得x>0时，f'(x)=−x(e1−x+ax2−a)−x(−e1−x+a2)=(x−1)(e1−x−a)≤0在恒成立。
当00，故fx在0,2上为增函数；
当x∈2,4时，f'x0，gx在1,e上为增函数.
因为关于x的方程ex2ex=a+lnyy在−1,4有三个不同的实数根，故
g1≥f4ge0时，−2a2x+12+5ax+1−2≥0，令t=x+1∈1,2，则
−2a2t2+5at−2≥0即2a2t2−5at+2≤0，
令gt=2a2t2−5at+2，则g1≤0g2≤0，故2a2−5a+2≤08a2−10a+2≤0，解得12≤a≤1.
当a0，若f(x)≥ax−1恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． [0,+∞) B． [0,e] C． [0,1] D． [e,+∞)
【答案】B
【解析】
由题意可以作出函数y=f(x)与y=ax−1的图象，如图所示．

若不等式f(x)≥ax−1恒成立，必有0≤a≤k，其中k是y=ex−1过点(0,−1)的切线斜率．设切点为(x0, ex0−1)，因为y'=ex，所以
k=ex0=(ex0−1)−(−1)x0−0，解得x0=1，所以k=e，故0≤a≤e
12．已知曲线f(x)=−13x3+a2x2−2x(a>0)与直线y=kx−13相切，且满足条件的k值有且只有3个，则实数a的取值范围是（ ）
A． [2,+∞) B． (2,+∞) C． [1,+∞) D． (1,+∞)
【答案】B
【解析】
由题意得：f'(x)=−x2+ax−2，设切点P(t,−13t3+a2t2−2t)，
则其切线的斜率为k=f'(t)=−t2+at−2，
所以切线方程为y+13t3−a2t2+2t=(−t2+at−2)(x−t)，又点(0,−13)在切线上，
∴−13+13t3−a2t2+2t=(−t2+at−2)(0−t)，即23t3−12at2+13=0，
由题意得，方程23t3−12at2+13=0有三个不同的实数解，记ℎ(t)=23t3−12at2+13，
则ℎ'(t)=2t2−at，当a>0时，令ℎ'(t)>0，解得ta2，令ℎ'(t)0时，g1=a−52+1a≤0g2=4a−5+1a≤0
解得12≤a≤1.
当a1恒成立，则实数a的取值范围是 ( )
A． [11,+∞) B． [13,+∞) C． [15,+∞) D． [17,+∞)
【答案】C
【解析】
∵fp+1−fq+1p−q的几何意义，
表示点p+1,fp+1与点q+1,fq+1连线斜率，
∵实数p,q在区间0,1内，故p+1和q+1在1,2内，
不等式fp+1−fq+1p−q>1恒成立，
∴函数图象上在区间1,2内任意两点连线的斜率大于1 ,
故函数的导数大于1在1,2内恒成立，
∴f'x=ax+1−2x>1在1,2内恒成立，
由函数的定义域知，x>−1，
所以a>2x2+3x+1在1,2内恒成立，
由于二次函数y=2x2+3x+1在1,2上是单调递增函数，
故x=2时，y=2x2+3x+1在1,2上取最大值为15，
∴a≥15，∴a∈15,+∞，故选C.
18．已知函数f(x)=exx−a，g(x)=3(ex−ax)ex，若方程f(x)=g(x)有4个不同的实数解，则实数a的取值范围是
A． −∞,e B． e,3∪3,+∞ C． −∞,0∪e,+∞ D． e,+∞
【答案】B
【解析】
由f(x)=g(x)得到exx−a=3(1−axex)，
令exx=t，则得t−a=3(1−at)，整理得t−3t−a=0．
由t(x)=exx得，当xe时，y=f(x)与y=mx有两个不同的交点，满足题意；
综上可知，实数m的取值范围是(−∞,0)∪(e,+∞)．
答案选D
20．已知函数f(x)=alnx−bx2，a,b∈R.若不等式f(x)≥x对所有的b∈(−∞,0]，x∈(e,e2]都成立，则a的取值范围是（ ）
A． [e,+∞) B． [e22,+∞) C． [e22,e2) D． [e2,+∞)
【答案】B
【解析】
由alnx−bx2≥x得alnx−x≥bx2，对任意b≤0，x∈e,e2都成立，故alnx−x≥0，即a≥xlnx对x∈e,e2都成立.构造函数ℎx=xlnx，其中x∈e,e2.ℎ'x=lnx−1lnx2，故当x∈e,e2时ℎ'x>0，即ℎx单调递增，最大值为ℎe2=e22，故a≥e22.
21．设函数fx是定义在R上周期为2的函数，且对任意的实数x，恒fx−f−x=0，当x∈−1,0时，fx=x2．若gx=fx−logax在x∈0,+∞上有且仅有三个零点，则a的取值范围为（ ）
A． 3,5 B． 4,6 C． 3,5 D． 4,6
【答案】C
【解析】

∵fx−f−x=0,∴fx=f−x，
∴fx是偶函数，
根据函数的周期和奇偶性作出fx的图象如图所示,
∵gx=fx−logax在x∈0,+∞上有且仅有三个零点，
∴y=fx和y=logax的图象在0,+∞上只有三个交点，
结合图象可得
∴loga31a>1，解得3−lnx，如图，

为了满足不等式恒成立，则a≥0，
且在x=1处的切线斜率，f'1≤g'1，
所以f'x=−1x，g'x=a2x−3，
所以f'1≤g'1得a≤1，
综上，0≤a≤1。故选A。
23．已知函数f(x)=mx−1−nlnx (m>0,0≤n≤e)在区间[1,e]内有唯一零点，则n+2m+1的取值范围为（ ）
A． [e+2e2+e+1,e2+1] B． [2e+1,e2+1]
C． [2e+1,1] D． [1,e2+1]
【答案】A
【解析】
由题意m=nxlnx+x 在区间[1,e]内有唯一实数解
令g(x)＝nxlnx+x，x∈[1，e]，
∵g'(x)=nlnx+n+1=0，解得lnx=−n+1n0，则ℎ'x=exx−12x2，
当00,ℎx单调递增；
则ℎx的最小值为ℎ1=e12×1=e2，
据此可得实数a的取值范围为(−∞,e2].
本题选择D选项.
34．设f(x)=lnx+1x，若函数y=f(x)−ax2恰有3个零点，则实数a的取值范围为（ ）
A． 0,e23 B． e23,e C． 1e,1 D． 0,1e∪e23
【答案】A
【解析】
y=fx−ax2恰有3个零点，则lnx+1x3=a恰有3个根，
令gx=lnx+1x3，即gx 与y=a恰有3个交点，
gx=lnx+1x3=−lnx−1x3,x∈0,1elnx+1x3,x∈1e,+∞，
当x∈0,1e时，g'x=3lnx+2x40，
当x∈e−23,+∞时，g'x1+334 B． a0.2x,x≤0.若函数y=2f(x)−a−1存在5个零点，则实数a的取值范围为________.
【答案】1，3
【解析】
先作出函数y=2f(x)的图像如图所示(图中黑色的曲线)，

当a=1时，函数y=|2f(x)-1|的图像如图所示（图中红色的曲线），它与直线y=1只有四个交点，即函数y=2f(x)−a−1存在4个零点，不合题意.
当1＜a＜3时，函数y=|2f(x)-a|的图像如图所示（图中红色的曲线），它与直线y=1有5个交点，即函数y=2f(x)−a−1存在5个零点，符合题意.

当a=3时，函数y=|2f(x)-3|的图像如图所示（图中红色的曲线），它与直线y=1有6个交点，即函数y=2f(x)−3−1存在6个零点，不符合题意.

所以实数a的取值范围为1，3.
故答案为：1，3
46．设m∈R，若函数fx=x3−3x−m在x∈0,3上的最大值与最小值之差为2，则实数m的取值范围是__________．
【答案】(−∞,−2]∪[0,+∞)
【解析】
设gx=x3−3x,x∈[0,3]，
则g'x=3x2−3=3(x−1)(x+1)，
所以函数y=gx在区间0,1上单调递减，在区间1,3上单调递增．
∵g0=0，g1=−2，g3=0，
∴函数y=gx的值域为−2,0，最大值与最小值之差为2，
∴函数y=x3−3x−m,x∈[0,3]的值域为−2−m,−m，最大值与最小值之差也为2．
∵函数fx=x3−3x−m在x∈[0,3]上的最大值与最小值之差为2，
∴−2−m≥0或−m≤0，
解得m≤−2或m≥0.
∴实数m的取值范围为(−∞,−2]∪[0,+∞)．
故答案为(−∞,−2]∪[0,+∞)．
47．已知函数f（x）＝lg（1－x）－lg（1＋x），函数g（x）＝2－ax（a＞0且a≠1）．若当x∈[0，1）时，函数f（x）与函数g（x）的值域的交集非空，则实数a的取值范围为__________．
【答案】2,+∞
【解析】
依题意，fx=lg1−x−lg1+x=lg1−x1+x=lg−1+2x+1；
当x∈0,1时, fx=lg(−1+2x+1)是减函数，∴f(x)∈-∞，0，
当a>1时,gx=2−ax,x∈0,1时单调递减, g(x)∈2−a，1，
∴2−a2；
当0