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人教版八年级上册12.1 全等三角形教案
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这是一份人教版八年级上册12.1 全等三角形教案，共37页。教案主要包含了教学重点，教学难点，教学说明，归纳结论，指导要点，课堂练习，常见错解，错解分析等内容，欢迎下载使用。
1.了解全等形及全等三角形的概念.
2.理解全等三角形的性质.
3.在图形变换以及操作的过程中发展学生的空间观念,培养学生的几何直觉.
4.使学生在观察、发现生活中的全等形和实际操作中获得全等三角形的体验,在探索和运用全等三角形性质的过程中感受到数学的乐趣.
【教学重点】
探究全等三角形的性质.
【教学难点】
掌握两个全等形的对应边\,对应角.
一、情境导入,初步认识
问题1 观察下列图形,指出其中形状与大小相同的图形.
问题2 从上面的图形中你有什么感受?在实际生活中,你能找到形状、大小相同的图形的应用的例子么?
二、思考探究，获取新知
让学生交流问题1,问题2的答案,并带着问题“这些图形有什么共同特征？”自学课本内容.
【教学说明】变化的图形易引起学生的注意,使它们很快地投入到学习的情境中,并通过观察发现其中的共同特点,形成猜想.再结合自学课本,从而认识全等形、全等三角形的定义及记法.教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.
思考1 把三角形平移、翻折、旋转后,什么发生了变化,什么没有变?
思考2 全等三角形的对应边、对应角有什么关系?为什么?
【教学说明】让两个学生在黑板上引导全体学生操作并画图,从中找到答案.这个过程利用三角形的平移、旋转、翻折的不变性,让学生通过具体操作直观感知全等三角形的概念,然后让学生通过操作和观察,猜测并验证全等三角形的性质.利用基本三角形变换出各种图形,然后观察对应边、角的变化,利于提高学生的识图能力.
思考1 得到的基本图案如图:
【归纳结论】
1.能够完全重合的两个图形叫做全等形,能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.“全等”用“≌”表示，读作“全等于”.
把两个全等的三角形重合在一起,重合的顶点叫做对应顶点,重合的边叫做对应边,重合的角叫对应角.
2.全等三角形的对应边相等,对应角相等.
三、运用新知，深化理解
【教学说明】出示下列问题,让学生通过交流\,思考寻找问题的答案,并共同讨论:全等三角形的对应顶点\,对应边之间有什么关联.
1.下列每对三角形分别全等,看看它们是怎样变化而成的,并指出对应边、对应角.
2.两个全等的三角形按如下位置摆放,指出它们的对应顶点,对应角,对应边.
3.如图,将△ABC沿直线BC平移,得到△DEF.
(1)线段AB,DE是对应线段,有什么关系?线段AC和DF呢?
(2)线段BE和CF有什么关系?为什么?
(3)若∠A=70°,∠B=40°,你知道其他各角的度数吗?为什么?
4.如图,将△ABC沿直线BC平移,得到△DEF,说出你得到的结论,并说明理由.
5.如图,△ABE≌△ACD,AB与AC,AD与AE是对应边,∠A=40°,∠B=30°,求∠ADC的大小.
【教学说明】题3题4中要通过观察发现,EC是线段BC与EF的公共部分,从而有BC-EC=EF-EC即BE=CF的结论;可以挖掘更深层次的结论,提升分析问题的能力,如AB∥DE,AC∥DF,BE=CF,S四边形ABEG=S四边形FDGC等.
完成上述题目后,引导学生做本课时创优作业“课堂自主演练”中的题.
【答案】1.图（1）是△EDC由△ABC绕过C点且垂直于BD的直线翻折而成，AB的对应边ED，AC的对应边EC，BC的对应边DC，∠A的对应角∠E,∠B的对应角∠D,∠ACB的对应角为∠ECD.
图（2）是△ABC延BC边平移BE长的距离得到△DEB，AC的对应边DB，AB的对应边为DE，CB的对应边为BE，∠A的对应角为∠D，∠C的对应角为∠DBE，∠ABC的对应角为∠E.
图（3）是△ABD绕BD的中点旋转180°得△CDB，AB的对应边为CD，BD对应边为DB、AD的对应边为CB，∠A的对应角∠C，∠ABD的对应角为∠CDB，∠ADB的对应角为∠CBD.
2.略
4.AB=DE AC=DF BC=E F∠A=∠D ∠B=∠DEF ∠ACB=∠F理由：全等三角形对应边相等，对应角相等.
5.∠ADC=110°
四、师生互动，课堂小结
1.引导学生回忆全等三角形定义\,记法与性质.
2.归纳寻找对应边\,对应角的规律:
(1)全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边;对应边所对的角是对应角,两条对应边的夹角是对应角.
(2)公共边一般是对应边;有对顶角的,对顶角一般是对应角;公共角一般是对应角等.
1.布置作业：从教材“习题12.1”中选取.
2.完成练习册中本课时的练习.
本课时通过学生在做模型、画图、动手操作等活动中的体验，完成对三角形全等的认识，重点在对“三角形全等”“对应”等含义的理解.
对“全等三角形”的认识，可让学生采用复写纸、手撕、剪纸、扎针眼等方式获取，并鼓励学生间互相交流动手过程中的体验.
教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历观察、实验、归纳、类比、直觉、数据处理等思维过程，从中获得数学知识与技能，体验教学活动的方法，同时升华学生的情感、态度和价值观.
12.2 三角形全等的判定
第1课时 边边边
1.掌握三角形全等的“边边边”条件，了解三角形的稳定性.
2.经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程.
3.通过对问题的共同探讨，培养学生的协作精神.
【教学重点】
掌握三角形全等的“边边边”条件.
【教学难点】
三角形全等条件的探索过程.
一、情境导入，初步认识
1.复习全等三角形的性质，归纳得出：三条边对应相等，三个角对应相等的两个三角形全等.
2.提出问题:两个三角形全等,一定需要六个条件吗?如果只满足其中部分条件的两个三角形,是否也能全等呢?
指导学生探究下列两个问题:
探究1 先任意画出一个△ABC.再画一个△A′B′C′，使△ABC与△A′B′C′满足六个条件中的一个（一边或一角分别相等）或两个（两边、一边一角或两角分别相等）.你画出的△A′B′C′与△ABC一定全等吗？
通过画图可以发现，满足六个条件中的一个或两个，△ABC与△A′B′C′不一定全等.
探究2 先任意画出一个△ABC.再画一个△A′B′C′，使A′B′=AB，B′C′=BC，C′A′=CA.把画好的△A′B′C′剪下来，放到△ABC上，它们全等吗？
在充分的观察、讨论、交流后,引导学生总结出:三边对应相等的两个三角形全等,即“边边边”公理，或写成“SSS”.
【教学说明】利用提出的问题激发学生的探究发现兴趣,教师应根据学生观察发现的结论,无论对与错,多给予肯定与鼓励,并引导学生最终得出正确的结果.教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.
二、思考探究，获取新知
教师操作演示:
由三根木条钉成的一个三角形的框架,大小和形状固定不变,由此归纳出:(1)三边对应相等的两个三角形全等;(2)三角形具有稳定性.
例1 如图,△ABC是一个钢架,AB=AC,AD是连接点A与BC中点D的支架,求证:△ABD≌△ACD.（由学生思考后表述思路，教师指导并展示证题过程.）
证明:∵D是BC中点,∴BD=CD.
在△ABD和△ACD中,
∴△ABD≌△ACD(SSS).
例2如图,已知AC=FE,BC=DE,点A\,D,B\,F在一条直线上,AD=FB.要用“边边边”证明△ABC≌△FDE，除了已知中的AC=FE，BC=DE外，还应有什么条件？怎样才能得到这个条件？
答：还需要AB=FD，这个条件可由AD=FB得到.
证明：∵AD=FB,∴AD+BD=BD+FB,
即AB=FD.
在△ABC和△FDE中,
∴△ABC≌△FDE(SSS)
【教学说明】由以上两例,应让学生掌握:
1.证明题的基本格式,做到每一步推理有根有据,并正确用几何语言表述出来.
2.积累分析问题的经验,逐步学会怎样探寻未知条件,为证题提供足够的依据.
三、运用新知，深化理解
1.如图,E是AC上一点,AB=AD,BE=DE,可应用“SSS”证明三角形全等的是（ ）
A.△ABC≌△ADC
B.△ABE≌△ADE
C.△CBE≌△CDE
D.以上选项都对
2.如图，△ABC中，AD=DE，AB=BE，∠A=100°，则∠DEC= 度.
3.如图,AB=AC,AD=AE,BE=CD.求证:△ABD≌△ACE.
证明:在△ABD和△ACE中,
∴△ABD≌△ACE(SSS)
上述的证明过程正确吗?若不正确,请写出正确的推理过程.
4.如图,已知A,F,C,D在同一直线上,AB=DE,BC=EF,AF=DC,求证:BC∥EF.
【教学说明】学生在教师指导下完成上述习题时,教师应提醒学生注意:
1.善于利用题中已知条件和隐含条件(如题3的公共线段DE后),联想“SSS”证得三角形全等.
2.要灵活地结合三角形全等性质,以证出线段相等或角相等,进而推得两线平行、或互相垂直等位置关系.
3.熟悉证题格式.
完成上述题目后,引导学生做本课时创优作业“课堂自主演练”中的题.
【答案】1.B 2.80
3.不正确.其证明过程如下:∵BE=CD,∴BE-DE=CD-DE,即BD=CE.在△ABD和△ACE中,
∴△ABD≌△ACE(SSS).
4.先证△ABC≌△DEF(SSS),∴∠BCA=∠EFD,∴BC∥EF.
四、师生互动，课堂小结
教师引导学生反思:本节课我们有哪些收获?
【指导要点】回顾反思本节课重要知识,探究过程,并归纳方法和结论,并领悟其中所包含的数学思想与规律.
1.布置作业：从教材“习题12.2”中选取.
2.完成练习册中本课时的练习.
本课时教学时应抓住以下重点：
1.分类问题：教师让学生从实践入手，给定三角形三边，学生在薄纸上画，然后小组的同学看所画三角形是否重合，探索归纳、形成结论.
2.教师可用多媒体展示现实生活中的实际例子：如桥梁、铁塔、自行车的三角架等，从中体验三角形的稳定性，认识“边边边”可作为三角形全等的判定依据.
3.强调思路分析和书写规范.
第2课时 边角边
1.掌握证明三角形全等的“边角边”定理.
2.经历探索三角形全等条件的过程，培养学生观察\,分析图形的能力及动手能力.
3.在探索三角形全等条件及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理.
4.通过对问题的共同探讨，培养学生的协作精神.
【教学重点】
应用“边角边”证明两个三角形全等，进而得出线段或角相等.
【教学难点】
指导学生分析问题，寻找判定三角形全等的条件.
一、情境导入，初步认识
问题1 教材探究3:已知任意△ABC,画△A′B′C′,使AB=A′B′,A′C′=AC,∠A′=∠A.
【教学说明】要求学生规范地用作图工具画图,纠正学生的错误做法,并让学生剪出画好的△ABC,△A′B′C′,把它们放在一起,观察出现的结果,引导学生间交流结论.教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.
问题2 请各学习小组间交流,并总结出规律.
二、思考探究，获取新知
根据学生交流情况,教师作出如下归纳总结.
1.两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等,简写成“边角边”或“SAS”.
2.其中的角必须是两条相等的对应边的夹角,边必须是夹相等角的两条对应边.
例1 如图,有一池塘,要测池塘两端A,B的距离,可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C,连接AC并延长到D,使CD=CA,连接BC并延长到E,使CE=CB.连接DE,那么量出DE的长就是A,B的距离,为什么?
【教学说明】让学生思考后,书写推理过程,教师引导分析.
要想证AB=DE,只需要证△ABC≌△DEC.而证这两个三角形全等,已有条件 ,还需条件 .
证明:在△ABC和△DEC中,
∴△ABC≌△DEC(SAS).∴AB=DE.
【归纳结论】证明分别属于两个三角形的线段相等或角相等的问题,常常通过证明这两个三角形全等来得到答案.
例2 如图,已知AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE.求证:△ABD≌△ACE.
【教学说明】由学生依题意寻找条件,涉及三角形边的条件有AB=AC,AD=AE,但∠BAC=∠DAE只是对应边夹角的一部分,怎么办?以此引导学生思考,理清解题思路.
证明：∵∠BAC=∠DAE(已知),
∴∠BAC+CAD=∠DAE+CAD,
即∠BAD=∠CAE.
在△ABD与△ACE中,
AB=AC(已知),
∠BAD=∠CAE(已证),
AD=AE(已知),
∴△ABD≌△ACE.
【归纳结论】用来证明三角形全等的边、角条件,必须是这两个三角形的边、角,而不是其中的一部分,如∠BAC=∠DAE不能直接用于证△ABD与△ACE的全等.
三、运用新知，深化理解
1.如图,已知∠1=∠2,如果用SAS证明△ABC≌△BAD,还需要添加的条件是.
2.如图，已知OA=OB,OC=OD,∠O=50°,∠D=35°,则∠AEC等于( ).
A.60° B.50° C.45° D.30°
3.如图,已知AB∥DE,AB=DE,BE=CF,如果∠B=50°,∠A=70°,则∠F=( ).
A.70° B.65° C.60° D.55°
4.如图,点B,D,C,F在一条直线上,且BC=FD,AB=EF.
(1)请你添加一个条件(不再加辅助线),使△ABC≌△EFD,你添加的条件是 .(2)添加了条件后,证明△ABC≌△EFD.
5.如图,C是线段AB的中点,CD平分∠ACE,CE平分∠BCD,CD=CE.
(1)求证:△ACD≌△BCE.
(2)若∠D=50°，求∠B的度数.
【教学说明】引导学生应用“SAS”解答上述习题，巩固对“SAS”的认识和提升应用能力.可让学生在黑板上写出4\,5题的过程,强化学生书写证明过程的能力.
在完成上述习题的解答后,请学生探究:“两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形是否全等？”，指导学生画图分析、共同讨论，形成结论.
教师出示下列材料帮助学生探究:
如图,在△ABC和△ABD中,∠B=∠B,AB=AB,AC=AD,由图可知,△ABC与△ABD并不全等.
完成上述题目后,引导学生做本课时创优作业“课堂自主演练”中的题.
【答案】1.AC=BD 2.A 3.C
4.(1)∠B=∠F或AB∥EF或AC=ED.
(2)当∠B=∠F时,在△ABC和△EFD中,
AB=EF,
∠B=∠F,
BC=FD,
∴△ABC≌△EFD(SAS).其它证明略.
5.(1)∵点C是线段AB的中点,∴AC=BC,
又∵CD平分∠ACE,CE平分∠BCD,
∴∠1=∠2,∠2=∠3,∴∠1=∠3.
在△ACD和△BCE中,
CD=CE,
∠1=∠3,
AC=BC,
∴△ACD≌△BCE(SAS).
(2)∵∠1+∠2+∠3=180,∴∠1=∠2=∠3=60.
∵△ACD≌△BCE,∴∠E=∠D=50°.∴∠B=180°-∠E-∠3=70°.
四、师生互动，课堂小结
先归纳“SAS”，并强调：“两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等”.
再提出问题供同学思考\,交流\,探讨.
1.判定三角形全等的方法有哪些?
2.证明线段相等\,角相等的常见方法有哪些?
1.布置作业：从教材“习题12.2”中选取.
2.完成练习册中本课时的练习.
本节课的引入，可采用探究的方式，引导学生通过操作、观察、探索、交流、发现思索的过程，得出判定三角形全等的“SAS”条件，同时利用一个联系生活实际的问题——测量池塘两端的距离，对得到的知识加以运用，最后再通过实际图形让学生认识到“两边及其中一边的对角对应相等”的条件不能判定两个三角形全等.
第3课时 角边角和角角边
1.掌握两个三角形全等的条件:“ASA”与“AAS”，并指出用它们判别三角形是否全等.
2.经历作图、比较、证明等探究过程，提高分析、作图、归纳、表达、逻辑推理等能力；并通过对知识方法的总结，培养反思问题的能力，形成理性思维.
3.敢于面对教学活动中的困难，能通过合作交流解决遇到的困难.
【教学重点】
理解、掌握三角形全等的条件：“ASA”、“AAS”.
【教学难点】
探究出“ASA”“AAS”及它们的应用.
一、情境导入，初步认识
问题1 一张教学用的三角形硬纸板不小心被撕成了如图形状，你能制作出与原来同样大的纸板吗？
鼓励学生提出不同的思路方法，并要求学生用纸片对自己的思路操作实验.
【教学说明】教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.
问题2 教材探究4.
先任意画出一个△ABC.再画一个△A′B′C′，使A′B′=AB，∠A′=∠A，∠B′=∠B（即两角和它们的夹边分别相等）.把画好的△A′B′C′剪下来，放到△ABC上，它们全等吗？
要求每个学生先独立动手画图并思考，再在小组内交流.
把画好的△A′B′C′剪下,放在△ABC上,观察出现的情形,并根据结果总结规律,说出每个人的发现并交流.
二、思考探究，获取新知
【归纳结论】根据学生的发言,予以不同的点评,重在鼓励,最后归纳出新知识点:
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等,简称“角边角”或“ASA”.
强调注意:“边”必须是“两角的夹边”.
例1 如图,点D在AB上,点E在AC上,BE和CD相交于点O,AB=AC,∠B=∠C.求证:AD=AE.
证明:△ABE和△ACD中,
∠B=∠C,
AB=AC,
∠A=∠A,
∴△ABE≌△ACD(ASA).
∴AD=AE.
【课堂练习】由学生在黑板上完成证明过程.
如图,AB=A′C,∠A=∠A′,∠B=∠C,求证:△ABE≌△A′CD.
【分析】本例可直接应用“ASA”证得两个三角形全等，关键是准确地书写证明过程.
例2 在△ABC和△DEF中,∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF.证明△ABC≌△DEF.
【教学说明】由已知条件并联想“ASA”不难证明结论，教师关键通过本例引导学生发现：“两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等”.
上述判定三角形全等的定理简写成“角角边”或“AAS”.
【课堂练习】
如图，要测量河两岸相对的两点A，B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C，D，使BC=CD，再定出BF的垂线DE，使A，C，E在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长，为什么？
【答案】利用三角形全等得到DE=AB.
证明：在△ABC和△EDC中,
∠B=∠EDC=90°,
BC=DC,
∠ACB=∠ECD.
∴△ABC≌△EDC.∴DE=AB.
三、运用新知，深化理解
1.如图,B是CE的中点，AD=BC，AB=DC，DE交AB于F点.求证:(1)AD∥BC;(2)AF=BF.
2.如图，在△ABC中，D是BC边上的点(不与B,C重合),F,E分别是AD及其延长线上的点,CF∥BE,请你添加一个条件,使△BDE≌△CDF(不再添加其它线段,不再标注或使用其他字母),并给出证明.
【教学说明】教师引导学生通过上述习题的解答归纳证明三角形全等的方法,并总结证明线段相等(或两线平行\,垂直)或两角相等的常见方法.同时,让学生探究“两个三角形中三个角分别相等，这两个三角形全等吗？”的问题，同学间互相交流探究出来.
【答案】1.(1)连接BD,∵AD=CB,AB=DC,BD=DB,∴△ABD≌△CDB(SSS),∴∠ADB=∠CBD.∴AD∥BC.
(2)∵B为CE中点,∴EB=BC.由(1)知AD∥BC,AD=BC,∴AD=BE,∠A=∠FBE,又∠AFD=∠BFE,∴△ADF≌△BEF(AAS).∴AF=BF.
2.添加条件:BD=DC(或点D是线段BC中点),FD=ED或CF=BE.以BD=DC为例证明如下:∵CF∥BE,∴∠FCD=∠EBD.又∵BD=DC,∠FDC=∠EDB.∴△BDE≌△CDF(ASA).
四、师生互动，课堂小结
1.证明三角形全等的方法有:SSS,SAS,ASA,AAS.
2.三个角对应相等的两个三角形不一定相等.如:大小不同的两个等腰直角三角形不全等.
3.证两线相等(或两角相等)的常用方法是证它们所在的两个三角形全等.
1.布置作业：从教材“习题12.2”中选取.
2.完成练习册中本课时的练习.
本课时教学以“自主探究——合作交流”为主体形式，先给学生独立思考的时间，提供学生创新的空间与可能，再给不同层次的学生提供一个交流合作的机会，培养学生独立探究，合作学习的能力.
同时，注重让学生用自己的语言归纳和表达发现的规律，指引学生对知识与方法进行回顾总结，形成良好的反思习惯，获取优秀的学习方法.
第4课时 斜边、直角边
1.掌握两个直角三角形全等的条件,并能应用它证明两个直角三角形全等.
2.通过对知识方法的归纳总结,加深对三角形全等的判定的理解.培养反思习惯,形成理性思维.
3.通过探究与交流,解决问题,获得成功的体验,进一步激发探究的积极性.
【教学重点】
理解、掌握直角三角形全等的条件:HL.
【教学难点】
熟练选择判定方法,判定两个直角三角形全等.
一、情境导入，初步认识
问题1舞台的背景形状是两个直角三角形,工作人员想知道这两个直角三角形是否全等,但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量.
(1)请你设法帮工作人员找到解决问题的方式.
(2)如果工作人员只带了一卷尺,他能完成这个任务吗?
全体学生思考,并互相交流每个人的想法,组长收集每组的结论.
问题2 教材探究5
任意画出一个Rt△ABC，使∠C=90°，再画一个Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，B′C′=BC，A′B′=AB.
要求:每个学生都动手画图,并剪下所画的直角三角形,每两人把剪下的直角三角形,重叠在一起,观察它们是否重合.
【教学说明】教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.
二、思考探究，获取新知
教师根据学生操作、交流情况,引导学生一起归纳上述两个问题的结果.
对于问题1,(1)方法有:测量斜边和一个对应的锐角(AAS),或测量没遮住的一条直角边和一个对应的锐角(ASA或AAS);(2)可以完成这个条件,其依据正是本节所要学的知识,以此激发学生探究的兴趣.
对于问题2,归纳得到:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等,简写成“斜边、直角边”或“HL”.
例1 如图,已知AC⊥BC,BD⊥AD,AC=BD.求证:BC=AD.
【教学说明】由学生思考\,交流讨论后,指定学生表述思路,并由教师板书证明过程,引导学生正确书写解题步骤.
证明:∵AC⊥BC,BD⊥AD,
∴∠C=∠D=90°.
在Rt△ABC和Rt△BAD中,
AB=BA,
AC=BD,
∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL).
例2 如图,两根长度为12m的绳子,一端系在旗杆上,另一端分别固定在地面两个木桩上,两个木桩离旗杆底部的距离相等吗?请说明你的理由.
解：相等.理由如下:
由图形及实际情形可知,△ABD和△ACD均为直角三角形.
又AB=AC,AD为公共边,
∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL),
∴BD=CD.
例3 如图,有两个长度相同的滑梯,左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等,两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE的大小有什么关系?
解：∠ABC+∠DFE=90°.理由如下:
在Rt△ABC和Rt△DEF中,
BC=EF,
AC=DF,
∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL).
又∠DEF+∠DFE=90°,
∴∠ABC+∠DFE=90°.
三、运用新知，深化理解
1.如图,已知AC⊥BD于点P,AP=CP,请增加一个条件,使△ABP≌△CDP,你增加的条件是 (不再添加辅助线).
2.如图，已知AB=AC,AD⊥BC于D,且△ABC的周长是50cm,△ABD的周长是40cm,则AD= .
3.如图,AB⊥BD,AB∥DE,AB=CD,AC=CE,那么BC与DE有怎样的数量关系?写出你的猜想并说明理由.
4.如图,AB=AC,AD⊥BC于点D,AD=AE,AB平分∠DAE交DE于点F.请你写出图中三对全等三角形,并选取其中一对加以证明.
【教学说明】指导学生解答上述习题时,强调学生应:(1)注意应用“HL”证三角形全等时的书写格式；（2）归纳总结证明直角三角形全等的判定条件共有几个？它们分别是什么？
【答案】1.BP=DP或AB=CD或∠B=∠D或AB∥CD. 2.15cm
3.猜想:BC=DE.
证明:∵AB⊥BD,∴∠ABC=90°,又AB∥DE,∴∠EDC=∠ABC=90°,即△ABC和△EDC为直角三角形.又AB=CD,AC=CE,∴Rt△ABC≌Rt△CDE(HL).∴BC=DE.
4.△ADB≌△ADC,△ABD≌△ABE,△ABE≌△ACD,△AFD≌△AFE,△BFD≌△BFE(写出三对即可,可以△ADB≌△ADC为例证明,应用HL证得).
四、师生互动，课堂小结
1.回顾本书所学知识,巩固“HL”的记忆与认识，清楚地了解到“HL”是直角三角形全等所独有的定理，以直角三角形为前提条件.
2.归纳直角三角形全等的证明定理有:SSS,SAS,ASA,AAS,HL共五个,在实际解题时能灵活选用.
【教学说明】
在总结直角三角形全等判定定理共有几个时,鼓励学生踊跃思考发言,发挥集体智慧得到完整答案,利于引导学生形成合作交流意识.
1.布置作业：从教材“习题12.2”中选取部分题目.
2.完成练习册中本课时的练习.
本课时教学应突出学生主体性原则，即从规律的探究、例题的学习，指引学生独立思考，自主得出，在探究之后，让学生相互交流，或上台展示自己的发现，或表述个人的体验，从中获取成功的体验后，激发学生探究的激情.
12.3 角的平分线的性质
第1课时 角的平分线的作法及性质
1.掌握角的平分线的作法.
2.会利用角平分线的性质.
3.经历折纸、画图、文字与符号的翻译活动,培养学生的联想、探索、概括归纳的能力.
4.通过实际操作与探究交流,激发学生学习数学的兴趣.
【教学重点】
角平分线的性质及其应用.
【教学难点】
灵活应用两个性质解决问题.
一、情境导入，初步认识
活动1 学生预习教材,掌握角平分线的作法,小组间交流并动手实际画一画,总结出画角平分线的步骤.
活动2 让学生用准备好的白纸与剪刀,自己动手,剪一个角,把剪好的角对折,使角的两边叠合在一起,再把纸片展开,看到了什么?
【教学说明】发现第一次对折后的折痕是这个角的平分线;再折一次,又会出现两条折痕,而且这两条折痕是等长的.这种方法可以做无数次,所以这种等长的折痕可以折出无数对.
请同学们折出如图所示的折痕PD、PE,并研究这个图形中隐含了哪些等量关系,互相交流,形成结论.教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.
二、思考探究，获取新知
由上述活动及交流情况,教师总结以下新知识:
1.角平分线上的点到角两边的距离相等.
2.到角两边距离相等的点在角的平分线上.
【教学说明】
1.这两个性质的条件和结论正好相反,分别可以作为证线段相等和证角相等的依据.
2.在用几何语言表述性质时,注意强调“点到直线的距离”中的垂直条件.
例1 如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500m，这个市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1∶20000）?
【教学说明】教师提出下列问题，引导学生理清思路：
(1)集贸市场建于何处，和本节学的角平分线性质有关吗？用哪一个性质可以解决这个问题？
(2)比例尺为1∶20000是什么意思？
(3)图形上，表示500m的是个什么距离？
例2 如图所示，BD为∠ABC的平分线，AB=BC,点P、D分别在BF上，PM⊥AD于M,PN⊥CD于N，求证：PM=PN.
【分析】从一条线引两条垂线，要证明两条垂线段相等，可联想到角平分线的性质，将证线段相等转化为找角平分线，即证角相等.根据△ABD≌△CBD即可得证.
【证明】∵BD为∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠CBD.
在△ABD和△CBD中，
∴△ABD≌△CBD(SAS).
∴∠ADB=∠CDB.
即射线DP为∠ADC的平分线.
又∵PM⊥AD,PN⊥CD,
∴PM=PN.
例3如图，点P是∠AOB的平分线OM上一点，作PD⊥OB,PC⊥OA,垂足分别是点D、C，点E、F分别在线段OD,OC上，且∠PED=∠PFC,求证：OP平分∠EPF.
【分析】
欲证OP平分∠EPF，可设法证∠OPE=∠OPF,而要证∠OPE=∠OPF,需证∠OPD=∠OPC和∠DPE=∠CPF.
【证明】
∵OP平分∠AOB,PD⊥OB,PC⊥OA,垂足分别是点D，C，∴PD=PC，
∠ODP=∠OCP=90°.
在Rt△ODP与Rt△OCP中，
∴Rt△ODP≌Rt△OCP（HL）.
∴OD=OC,∠OPD=∠OPC.
在Rt△EDP与Rt△FCP中，
∠PED=∠PFC,∠ODP=∠OCP=90°,
∴90°-∠PED=90°-∠PFC,即∠DPE=∠CPF.
∴∠OPD-∠DPE=∠OPC-∠CPF,
∴∠OPE=∠OPF,即OP平分∠EPF.
三、运用新知，深化理解
1.角的平分线上的点到这个角的两边的______相等.
2.如图，在△ABC中,∠A=80°,∠B与∠C的平分线相交于点I,则∠BIC=___.
第2题图 第3题图
3.已知在△ABC中,∠B=30°,∠C=90°,AD平分∠CAB,交CB于D,且DE⊥AB于E,则∠BDE=_______=_______=_______.
【教学说明】指导学生解答上述习题时，应适当启发学生对角平分线性质的灵活运用.
【答案】1.距离 2.130°
3.∠EDA ∠CDA ∠CAB
四、师生互动，课堂小结
1.角平分线的两个性质应牢记并应用于解题中.
2.与角平分线有关的求证线段相等,角相等问题,我们可以直接用角平分线性质,不必再利用证三角形全等得到线段相等或角相等.
1.布置作业：从教材“习题12.3”中选取部分题.
2.完成练习册中本课时的练习.
本课时教学思路按操作、猜想、验证的学习过程，遵循学生的认知规律，充分体现了数学学习的必然性，教学时要始终围绕问题展开，先从出示问题开始，鼓励学生思考、探索问题中所包含的数学知识，再要求学生开展活动——折纸，体验三角形角平分线交于一点的事实，并得出进一步的猜想和开展新活动——尺规作图，从中猜想结论并思考证明的方法，整堂课以学生操作、探究、合作贯穿始终，并充分给学生思考留下足够的空间与时间，形成动手、合作、概括与解决问题的意识与能力.
第2课时 角的平分线的判定
1.掌握角的平分线的判定.
2.会利用三角形角平分线的性质.
3.通过学习角的平分线的判定，发展学生的推理能力，培养学生分析、归纳问题的能力.
4.锻炼数学应用意识和用数学解决实际问题的能力，体验数学的应用价值.
【教学重点】
角平分线的判定.
【教学难点】
三角形的内角平分线的应用.
一、情境导入，初步认识
问题1我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离相等.到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？
【教学说明】如图所示，已知PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，PD=PE，那么能否得到点P在∠AOB的角平分线上呢？事实上，在Rt△OPD和Rt△OPE中，我们利用HL可得到Rt△OPD≌Rt△OPE.所以∠AOP=∠BOP，即点P在∠AOB的角平分线上.
二、思考探究，获取新知
三角形内角平分线是角平分线的延伸，那如何利用它来解题呢？
例1 如图O是△ABC内的一点，且O到三边AB、BC、CA的距离OF=OD=OE.若∠A=70°,求∠BOC的度数.
【分析】由OD=OE=OF,且OD⊥BC、OE⊥AC、OF⊥AB知，O是△ABC的三角平分线的交点，所以∠1=∠2、∠3=∠4.要求∠BOC的度数，只要求出∠1+∠3的度数，即只要求出2（∠1+∠3）=∠ABC+∠ACB的度数即可，在△ABC中，运用三角形的内角和定理，即可得出∠BOC的度数.
解:∵OF⊥AB,OD⊥BC,且OF=OD,
∴BO平分∠ABC,即∠1=∠2,同理可得∠3=∠4.
∴∠BOC=180°-(∠1+∠3)=180°-(∠ABC+∠ACB)=180°-(180°-∠A)=90°+∠A=125°.
【教学说明】求三角形中角的度数，要善于运用角平分线的性质.
例2如图①,D、E、F是△ABC的三条边上的点，且CE=BF,S△DCE=S△DBF，求证：AD平分∠BAC.
【分析】由已知条件可知△DCE和△DBF的两底CE=BF,且它们的面积相等，所以这两底上的高应该相等.因此过点D作DM⊥AB,DN⊥AC,垂足分别为M和N，则DM=DN.由角平分线的判定定理可知，AD平分∠BAC.
【证明】如图②，过点D作DM⊥AB于点M，作DN⊥AC于点N.
∵S△DCE=S△DBF,即CE·DN=BF·DM.
又∵CE=BF,∴DN=DM,∴点D在∠BAC的平分线上，即AD平分∠BAC.
例3 如图所示，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°,D是AC上一点，且AE⊥BD并交BD的延长线于点E，又AE=BD.求证：BD是∠ABC的平分线.
【分析】要证明BD是∠ABC的平分线，即证明∠1=∠2,可构造全等三角形，延长AE、BC交于F，根据条件证明△ABE≌△FBE即可.
【证明】延长AE、BC交于点F.
∵AE⊥BD,∠ACB=90°,
∴∠2+∠F=∠FAC+∠F=90°,
即∠2=∠FAC.
在△BDC与△AFC中，
,
∴△BDC≌△AFC(ASA),
∴BD=AF.
又∵AE=BD,∴AE=AF,
∴AE=EF.
在△ABE和△FBE中，
,
∴△ABE≌△FBE(SAS).∴∠1=∠2.
即BD是∠ABC的平分线.
例4 (青海西宁中考)八年级（1）班同学上数学活动课，利用角尺平分一个角（如图所示），设计了如下方案：
方案一：∠AOB是一个任意角，将角尺的直角顶点P置于射线OA,OB之间.移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即PM=PN,过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线.
方案二：∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM=ON,将角尺的直角顶点P介于射线OA，OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M，N重合，即PM=PN，过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线.
（1）方案一、方案二是否可行？若可行，请证明；若不可行，请说明理由；
（2）方案一中，在PM=PN的情况下，继续移动角尺，同时使PM⊥OA,PN⊥OB.此方案是否可行？请说明理由.
解：（1）方案一不可行，理由:缺少三角形全等的条件.方案二可行.
证明：在△OPM和△OPN中，
∴△OPM≌△OPN(SSS).
∴∠AOP=∠BOP.
∴OP是∠AOB的平分线.
（2）此方案可行.理由：∵PM=PN,且PM⊥OA,PN⊥OB,∴P在∠AOB的角平分线上，∴OP是∠AOB的平分线.
三、运用新知，深化理解
1.如图，已知DB⊥AE于点B，DC⊥AF于点C，且DB=DC,∠BAC=40°,∠ADG=130°,则∠DGF=________.
第1题图 第2题图
2.如图，以△ABC的两边AB,AC为边分别向外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE,CD交于点O，求证：OA平分∠DOE.
【答案】1.150°
2.证明：过点A分别作AM⊥DC于点M，AN⊥BE于点N.
∵△ABD、△ACE是等边三角形，
∴AD=AB,AE=AC,
∠DAB=∠EAC=60°，
∴∠DAC=∠BAE,
∴△DAC≌△BAE，
∴DC=BE,
又∵S△DAC=S△BAE,
∴AM=AN.
又∵AM⊥DC,AN⊥BE,
∴OA平分∠DOE.
四、师生互动，课堂小结
1.三角形的三条角平分线的交点有且只有一个，且一定在三角形的内部.
2.证明三线共点的证明思路：先设其中的两线交于一点，再证明该交点也在第三条直线上.
3.在三角形内部，要找一点到三边距离相等时，只要作出两个角的角平分线，其交点即是.
4.角平分线的判定与性质的关系：由角平分线的判定方法知这个结论的逆命题也是正确的，即在三角形内，到三角形三边的距离相等的点是三角形三条角平分线的交点.
1.布置作业：从教材“习题12.3”中选取部分题.
2.完成练习册中本课时的练习.
本课时教学应重视以下几点；
1.努力体现数学与生活的联系，从实际中学习新知，使学生认识这种学习方法.
2.课堂中，可采用口答、动手做做等方式组织学生比赛，教师依据具体情形予以点评指点，查漏补缺，使学生全方位从本质上理解知识.
章末复习
1.了解全等三角形的概念和性质,能够准确辨认全等三角形中的对应元素.
2.探索三角形全等的条件,能够利用三角形全等进行证明,掌握综合法证明的格式.
3.会作角的平分线,了解角的平分线的性质,能利用三角形全等证明角的平分线的性质,会利用角的平分线的性质进行证明.
4.通过学习全等三角形的性质与条件,培养学生综合应用能力,培养学生的几何直觉.
5.通过综合运用全等三角形性质和全等三角形条件以及角平分线的过程中,感受数学与生活息息相关,从而激发学数学的兴趣.
【教学重点】
全等三角形的性质和条件的综合应用.
【教学难点】
全等三角形性质、条件与其他知识的综合应用.
一、知识框图，整体把握
【教学说明】教师依据以上框图,带领学生一起全面回忆本章知识点.
二、释疑解惑，加深理解
教师针对本章易错点引导学生予以归纳并分析错因.
1.寻找全等三角形的对应边和对应角时出错.
例1 如图,已知△ABC≌△FED,∠C=∠D,AE=BF,指出其它的对应边和对应角.
【常见错解】对应边BC与DF,AE与BF,对应角∠DFE和∠ABC.
【错解分析】识图能力差,不能从重合的角度(将其中一个三角形先平移使AB与EF重合,然后沿EF翻折)来认识三角形的对应,从而无法正确找到对应边\,对应角.
2.对“SSS”掌握不熟练，自造条件用于判定三角形全等.
例2 如图,AB=CD,AC和BD交于点O,若AC=BD,则∠B=∠C吗?为什么?
【常见错解】∵AC=BD,∴OA=OD,OB=OC.又∵AB=CD,∴△ABO≌△DCO(SSS),∴∠B=∠C.
【错解分析】OA=OD,OB=OC属于自造条件,由AC=BD无法推出OA=OD,OB=OC.
3.对SAS,AAS中的“夹角”“对应边”的内涵理解不清，导致用错.
例3 如图,AE=AC,AB=AD,∠EAB=∠CAD.求证:∠B=∠D.
【常见错解】在△ABC和△ADE中,AC=AE,∠CAD=∠EAB,AB=AD,∴△ABC≌△ADE(SAS),∴∠B=∠D.
【错解分析】没有认真地结合图形来分析条件,对应角认识不明确,错把∠EAB和∠CAD看成△ABC和△ADE的内角.
三、典例精析，复习新知
1.证明两线段相等
例4 已知,如图,AB=AC,∠BAC=∠DAE,∠ABD=∠ACE.试证明BD=CE.
【分析】欲证BD=CE,结合已知条件可知,只需证明BD,CE所在的△ABD和△ACE全等.
【归纳】证明两条线段相等,可通过两个三角形全等得到,首先结合图形和已知条件观察它们所在的三角形是否全等,再予以证明.
2.证明两角相等.
例5 如图,AB=DC,∠A=∠D.求证：∠ABC=∠DCB
【分析】由AB=DC,∠A=∠D,想到如果取AD的中点N,连NB,NC,再由“SAS”得△ABN≌△DCN，所以BN=CN，∠ABN=∠DCN.下面只需证∠NBC=∠NCB,再取BC中点M,连MN,则由“SSS”证得△NBM≌△NCM，推得∠NBC=∠NCB，从而使问题得证.
【归纳】所证的两角没有分布在两个三角形中,所以不能直接利用两个三角形全等的性质来证明,但取AD的中点N,连BN,CN,把四边形分解成三角形,再用三角形知识来解题,体现了转化的思想.
3.证明两线互相垂直
例6 如图,△ABC中,AD平分∠BAC交BC于点D,过D点作DE⊥AB于E,DF⊥AC于F.连EF交AD于G.求证:EF⊥AD.
【分析】由已知条件不难看出△ADE≌△ADF,进一步易证△AGE≌△AGF或△DGE≌△DGF,从而得到∠AGE与∠AGF相等且互补,故EF⊥AD.
【证明】
∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF.在Rt△ADE和Rt△ADF中，
AD=AD
DE=DF
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）∴AE=AF
在△AGE和△AGF中
AE=AF,
∠EAG=∠FAG,
AG=AG.
∴△AGE≌△AGF(SAS),
∴∠AGE=∠AGF.
∵∠AGE+∠AGF=180°,
∴∠AGE=12×180°=90°,即EF⊥AD.
4.证明两线平行
例7 如图,△ABC中,AD平分∠BAC,E,F分别在BD,AD上,且DE=CD,EF=AC.求证:EF∥AB.
【分析】要证EF∥AB,必须∠1=∠3,而∠1=∠2,故应有∠2=∠3,根据条件DE=CD,EF=AC,通过辅助线构造两个三角形全等来证明.
【证明】分别作CM⊥AD于M,EN⊥AD交AD的延长线于N,在△EDN和△CDM中,
∠END=∠CMD=90°,
∠NDE=∠MDC(对顶角相等),
DE=CD.
∴△EDN≌△CDM(AAS),∴EN=CM.
在Rt△FEN和Rt△ACM中,
EF=AC,
EN=CM.
∴Rt△FEN≌Rt△ACM(HL),∴∠2=∠3.
∵∠1=∠2,∴∠1=∠3,∴EF∥AB.
5.构造全等三角形
例8 如图所示,CE,CB分别是△ABC,△ADC的中线,且AB=AC.求证:CD=2CE.
【分析】为了证明CD=2CE,考虑CE是△ABC底边AB上的中线,故把CE延长到F,使CF=2CE,把原来证CD=2CE转化为证明CD=CF,如此把线段“倍半”的数量关系转化为证两条线段的相等关系.
【归纳】三角形中有中线时,常加倍延长中线,构造全等三角形,使边\,角条件转换,将分散的边、角集中在一些图形中,使问题易于解决.
【教学说明】在讲解例题的过程中，老师引导学生回顾三角形全等和角平分线性质的知识.
1.布置作业：从教材“复习题12”中选取.
2.完成练习册中本课时的练习.
本课时教学应重点突出：
1.利用知识回顾与错例剖析，使学生进一步巩固和深化对所学知识的理解，建立起清晰的知识框架，形成严谨的思维习惯.
2.强调转化思想的认识与应用，证明线段与角的相等可以转化成证明三角形全等去解决，实际生活中的测量问题也可以利用全等三角形知识解决.利用这一系列问题帮助学生领悟和掌握这种数学思想方法.
1.了解全等形及全等三角形的概念.
2.理解全等三角形的性质.
3.在图形变换以及操作的过程中发展学生的空间观念,培养学生的几何直觉.
4.使学生在观察、发现生活中的全等形和实际操作中获得全等三角形的体验,在探索和运用全等三角形性质的过程中感受到数学的乐趣.
【教学重点】
探究全等三角形的性质.
【教学难点】
掌握两个全等形的对应边\,对应角.
一、情境导入,初步认识
问题1 观察下列图形,指出其中形状与大小相同的图形.
问题2 从上面的图形中你有什么感受?在实际生活中,你能找到形状、大小相同的图形的应用的例子么?
二、思考探究，获取新知
让学生交流问题1,问题2的答案,并带着问题“这些图形有什么共同特征？”自学课本内容.
【教学说明】变化的图形易引起学生的注意,使它们很快地投入到学习的情境中,并通过观察发现其中的共同特点,形成猜想.再结合自学课本,从而认识全等形、全等三角形的定义及记法.教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.
思考1 把三角形平移、翻折、旋转后,什么发生了变化,什么没有变?
思考2 全等三角形的对应边、对应角有什么关系?为什么?
【教学说明】让两个学生在黑板上引导全体学生操作并画图,从中找到答案.这个过程利用三角形的平移、旋转、翻折的不变性,让学生通过具体操作直观感知全等三角形的概念,然后让学生通过操作和观察,猜测并验证全等三角形的性质.利用基本三角形变换出各种图形,然后观察对应边、角的变化,利于提高学生的识图能力.
思考1 得到的基本图案如图:
【归纳结论】
1.能够完全重合的两个图形叫做全等形,能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.“全等”用“≌”表示，读作“全等于”.
把两个全等的三角形重合在一起,重合的顶点叫做对应顶点,重合的边叫做对应边,重合的角叫对应角.
2.全等三角形的对应边相等,对应角相等.
三、运用新知，深化理解
【教学说明】出示下列问题,让学生通过交流\,思考寻找问题的答案,并共同讨论:全等三角形的对应顶点\,对应边之间有什么关联.
1.下列每对三角形分别全等,看看它们是怎样变化而成的,并指出对应边、对应角.
2.两个全等的三角形按如下位置摆放,指出它们的对应顶点,对应角,对应边.
3.如图,将△ABC沿直线BC平移,得到△DEF.
(1)线段AB,DE是对应线段,有什么关系?线段AC和DF呢?
(2)线段BE和CF有什么关系?为什么?
(3)若∠A=70°,∠B=40°,你知道其他各角的度数吗?为什么?
4.如图,将△ABC沿直线BC平移,得到△DEF,说出你得到的结论,并说明理由.
5.如图,△ABE≌△ACD,AB与AC,AD与AE是对应边,∠A=40°,∠B=30°,求∠ADC的大小.
【教学说明】题3题4中要通过观察发现,EC是线段BC与EF的公共部分,从而有BC-EC=EF-EC即BE=CF的结论;可以挖掘更深层次的结论,提升分析问题的能力,如AB∥DE,AC∥DF,BE=CF,S四边形ABEG=S四边形FDGC等.
完成上述题目后,引导学生做本课时创优作业“课堂自主演练”中的题.
【答案】1.图（1）是△EDC由△ABC绕过C点且垂直于BD的直线翻折而成，AB的对应边ED，AC的对应边EC，BC的对应边DC，∠A的对应角∠E,∠B的对应角∠D,∠ACB的对应角为∠ECD.
图（2）是△ABC延BC边平移BE长的距离得到△DEB，AC的对应边DB，AB的对应边为DE，CB的对应边为BE，∠A的对应角为∠D，∠C的对应角为∠DBE，∠ABC的对应角为∠E.
图（3）是△ABD绕BD的中点旋转180°得△CDB，AB的对应边为CD，BD对应边为DB、AD的对应边为CB，∠A的对应角∠C，∠ABD的对应角为∠CDB，∠ADB的对应角为∠CBD.
2.略
4.AB=DE AC=DF BC=E F∠A=∠D ∠B=∠DEF ∠ACB=∠F理由：全等三角形对应边相等，对应角相等.
5.∠ADC=110°
四、师生互动，课堂小结
1.引导学生回忆全等三角形定义\,记法与性质.
2.归纳寻找对应边\,对应角的规律:
(1)全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边;对应边所对的角是对应角,两条对应边的夹角是对应角.
(2)公共边一般是对应边;有对顶角的,对顶角一般是对应角;公共角一般是对应角等.
1.布置作业：从教材“习题12.1”中选取.
2.完成练习册中本课时的练习.
本课时通过学生在做模型、画图、动手操作等活动中的体验，完成对三角形全等的认识，重点在对“三角形全等”“对应”等含义的理解.
对“全等三角形”的认识，可让学生采用复写纸、手撕、剪纸、扎针眼等方式获取，并鼓励学生间互相交流动手过程中的体验.
教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历观察、实验、归纳、类比、直觉、数据处理等思维过程，从中获得数学知识与技能，体验教学活动的方法，同时升华学生的情感、态度和价值观.
12.2 三角形全等的判定
第1课时 边边边
1.掌握三角形全等的“边边边”条件，了解三角形的稳定性.
2.经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程.
3.通过对问题的共同探讨，培养学生的协作精神.
【教学重点】
掌握三角形全等的“边边边”条件.
【教学难点】
三角形全等条件的探索过程.
一、情境导入，初步认识
1.复习全等三角形的性质，归纳得出：三条边对应相等，三个角对应相等的两个三角形全等.
2.提出问题:两个三角形全等,一定需要六个条件吗?如果只满足其中部分条件的两个三角形,是否也能全等呢?
指导学生探究下列两个问题:
探究1 先任意画出一个△ABC.再画一个△A′B′C′，使△ABC与△A′B′C′满足六个条件中的一个（一边或一角分别相等）或两个（两边、一边一角或两角分别相等）.你画出的△A′B′C′与△ABC一定全等吗？
通过画图可以发现，满足六个条件中的一个或两个，△ABC与△A′B′C′不一定全等.
探究2 先任意画出一个△ABC.再画一个△A′B′C′，使A′B′=AB，B′C′=BC，C′A′=CA.把画好的△A′B′C′剪下来，放到△ABC上，它们全等吗？
在充分的观察、讨论、交流后,引导学生总结出:三边对应相等的两个三角形全等,即“边边边”公理，或写成“SSS”.
【教学说明】利用提出的问题激发学生的探究发现兴趣,教师应根据学生观察发现的结论,无论对与错,多给予肯定与鼓励,并引导学生最终得出正确的结果.教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.
二、思考探究，获取新知
教师操作演示:
由三根木条钉成的一个三角形的框架,大小和形状固定不变,由此归纳出:(1)三边对应相等的两个三角形全等;(2)三角形具有稳定性.
例1 如图,△ABC是一个钢架,AB=AC,AD是连接点A与BC中点D的支架,求证:△ABD≌△ACD.（由学生思考后表述思路，教师指导并展示证题过程.）
证明:∵D是BC中点,∴BD=CD.
在△ABD和△ACD中,
∴△ABD≌△ACD(SSS).
例2如图,已知AC=FE,BC=DE,点A\,D,B\,F在一条直线上,AD=FB.要用“边边边”证明△ABC≌△FDE，除了已知中的AC=FE，BC=DE外，还应有什么条件？怎样才能得到这个条件？
答：还需要AB=FD，这个条件可由AD=FB得到.
证明：∵AD=FB,∴AD+BD=BD+FB,
即AB=FD.
在△ABC和△FDE中,
∴△ABC≌△FDE(SSS)
【教学说明】由以上两例,应让学生掌握:
1.证明题的基本格式,做到每一步推理有根有据,并正确用几何语言表述出来.
2.积累分析问题的经验,逐步学会怎样探寻未知条件,为证题提供足够的依据.
三、运用新知，深化理解
1.如图,E是AC上一点,AB=AD,BE=DE,可应用“SSS”证明三角形全等的是（ ）
A.△ABC≌△ADC
B.△ABE≌△ADE
C.△CBE≌△CDE
D.以上选项都对
2.如图，△ABC中，AD=DE，AB=BE，∠A=100°，则∠DEC= 度.
3.如图,AB=AC,AD=AE,BE=CD.求证:△ABD≌△ACE.
证明:在△ABD和△ACE中,
∴△ABD≌△ACE(SSS)
上述的证明过程正确吗?若不正确,请写出正确的推理过程.
4.如图,已知A,F,C,D在同一直线上,AB=DE,BC=EF,AF=DC,求证:BC∥EF.
【教学说明】学生在教师指导下完成上述习题时,教师应提醒学生注意:
1.善于利用题中已知条件和隐含条件(如题3的公共线段DE后),联想“SSS”证得三角形全等.
2.要灵活地结合三角形全等性质,以证出线段相等或角相等,进而推得两线平行、或互相垂直等位置关系.
3.熟悉证题格式.
完成上述题目后,引导学生做本课时创优作业“课堂自主演练”中的题.
【答案】1.B 2.80
3.不正确.其证明过程如下:∵BE=CD,∴BE-DE=CD-DE,即BD=CE.在△ABD和△ACE中,
∴△ABD≌△ACE(SSS).
4.先证△ABC≌△DEF(SSS),∴∠BCA=∠EFD,∴BC∥EF.
四、师生互动，课堂小结
教师引导学生反思:本节课我们有哪些收获?
【指导要点】回顾反思本节课重要知识,探究过程,并归纳方法和结论,并领悟其中所包含的数学思想与规律.
1.布置作业：从教材“习题12.2”中选取.
2.完成练习册中本课时的练习.
本课时教学时应抓住以下重点：
1.分类问题：教师让学生从实践入手，给定三角形三边，学生在薄纸上画，然后小组的同学看所画三角形是否重合，探索归纳、形成结论.
2.教师可用多媒体展示现实生活中的实际例子：如桥梁、铁塔、自行车的三角架等，从中体验三角形的稳定性，认识“边边边”可作为三角形全等的判定依据.
3.强调思路分析和书写规范.
第2课时 边角边
1.掌握证明三角形全等的“边角边”定理.
2.经历探索三角形全等条件的过程，培养学生观察\,分析图形的能力及动手能力.
3.在探索三角形全等条件及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理.
4.通过对问题的共同探讨，培养学生的协作精神.
【教学重点】
应用“边角边”证明两个三角形全等，进而得出线段或角相等.
【教学难点】
指导学生分析问题，寻找判定三角形全等的条件.
一、情境导入，初步认识
问题1 教材探究3:已知任意△ABC,画△A′B′C′,使AB=A′B′,A′C′=AC,∠A′=∠A.
【教学说明】要求学生规范地用作图工具画图,纠正学生的错误做法,并让学生剪出画好的△ABC,△A′B′C′,把它们放在一起,观察出现的结果,引导学生间交流结论.教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.
问题2 请各学习小组间交流,并总结出规律.
二、思考探究，获取新知
根据学生交流情况,教师作出如下归纳总结.
1.两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等,简写成“边角边”或“SAS”.
2.其中的角必须是两条相等的对应边的夹角,边必须是夹相等角的两条对应边.
例1 如图,有一池塘,要测池塘两端A,B的距离,可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C,连接AC并延长到D,使CD=CA,连接BC并延长到E,使CE=CB.连接DE,那么量出DE的长就是A,B的距离,为什么?
【教学说明】让学生思考后,书写推理过程,教师引导分析.
要想证AB=DE,只需要证△ABC≌△DEC.而证这两个三角形全等,已有条件 ,还需条件 .
证明:在△ABC和△DEC中,
∴△ABC≌△DEC(SAS).∴AB=DE.
【归纳结论】证明分别属于两个三角形的线段相等或角相等的问题,常常通过证明这两个三角形全等来得到答案.
例2 如图,已知AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE.求证:△ABD≌△ACE.
【教学说明】由学生依题意寻找条件,涉及三角形边的条件有AB=AC,AD=AE,但∠BAC=∠DAE只是对应边夹角的一部分,怎么办?以此引导学生思考,理清解题思路.
证明：∵∠BAC=∠DAE(已知),
∴∠BAC+CAD=∠DAE+CAD,
即∠BAD=∠CAE.
在△ABD与△ACE中,
AB=AC(已知),
∠BAD=∠CAE(已证),
AD=AE(已知),
∴△ABD≌△ACE.
【归纳结论】用来证明三角形全等的边、角条件,必须是这两个三角形的边、角,而不是其中的一部分,如∠BAC=∠DAE不能直接用于证△ABD与△ACE的全等.
三、运用新知，深化理解
1.如图,已知∠1=∠2,如果用SAS证明△ABC≌△BAD,还需要添加的条件是.
2.如图，已知OA=OB,OC=OD,∠O=50°,∠D=35°,则∠AEC等于( ).
A.60° B.50° C.45° D.30°
3.如图,已知AB∥DE,AB=DE,BE=CF,如果∠B=50°,∠A=70°,则∠F=( ).
A.70° B.65° C.60° D.55°
4.如图,点B,D,C,F在一条直线上,且BC=FD,AB=EF.
(1)请你添加一个条件(不再加辅助线),使△ABC≌△EFD,你添加的条件是 .(2)添加了条件后,证明△ABC≌△EFD.
5.如图,C是线段AB的中点,CD平分∠ACE,CE平分∠BCD,CD=CE.
(1)求证:△ACD≌△BCE.
(2)若∠D=50°，求∠B的度数.
【教学说明】引导学生应用“SAS”解答上述习题，巩固对“SAS”的认识和提升应用能力.可让学生在黑板上写出4\,5题的过程,强化学生书写证明过程的能力.
在完成上述习题的解答后,请学生探究:“两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形是否全等？”，指导学生画图分析、共同讨论，形成结论.
教师出示下列材料帮助学生探究:
如图,在△ABC和△ABD中,∠B=∠B,AB=AB,AC=AD,由图可知,△ABC与△ABD并不全等.
完成上述题目后,引导学生做本课时创优作业“课堂自主演练”中的题.
【答案】1.AC=BD 2.A 3.C
4.(1)∠B=∠F或AB∥EF或AC=ED.
(2)当∠B=∠F时,在△ABC和△EFD中,
AB=EF,
∠B=∠F,
BC=FD,
∴△ABC≌△EFD(SAS).其它证明略.
5.(1)∵点C是线段AB的中点,∴AC=BC,
又∵CD平分∠ACE,CE平分∠BCD,
∴∠1=∠2,∠2=∠3,∴∠1=∠3.
在△ACD和△BCE中,
CD=CE,
∠1=∠3,
AC=BC,
∴△ACD≌△BCE(SAS).
(2)∵∠1+∠2+∠3=180,∴∠1=∠2=∠3=60.
∵△ACD≌△BCE,∴∠E=∠D=50°.∴∠B=180°-∠E-∠3=70°.
四、师生互动，课堂小结
先归纳“SAS”，并强调：“两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等”.
再提出问题供同学思考\,交流\,探讨.
1.判定三角形全等的方法有哪些?
2.证明线段相等\,角相等的常见方法有哪些?
1.布置作业：从教材“习题12.2”中选取.
2.完成练习册中本课时的练习.
本节课的引入，可采用探究的方式，引导学生通过操作、观察、探索、交流、发现思索的过程，得出判定三角形全等的“SAS”条件，同时利用一个联系生活实际的问题——测量池塘两端的距离，对得到的知识加以运用，最后再通过实际图形让学生认识到“两边及其中一边的对角对应相等”的条件不能判定两个三角形全等.
第3课时 角边角和角角边
1.掌握两个三角形全等的条件:“ASA”与“AAS”，并指出用它们判别三角形是否全等.
2.经历作图、比较、证明等探究过程，提高分析、作图、归纳、表达、逻辑推理等能力；并通过对知识方法的总结，培养反思问题的能力，形成理性思维.
3.敢于面对教学活动中的困难，能通过合作交流解决遇到的困难.
【教学重点】
理解、掌握三角形全等的条件：“ASA”、“AAS”.
【教学难点】
探究出“ASA”“AAS”及它们的应用.
一、情境导入，初步认识
问题1 一张教学用的三角形硬纸板不小心被撕成了如图形状，你能制作出与原来同样大的纸板吗？
鼓励学生提出不同的思路方法，并要求学生用纸片对自己的思路操作实验.
【教学说明】教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.
问题2 教材探究4.
先任意画出一个△ABC.再画一个△A′B′C′，使A′B′=AB，∠A′=∠A，∠B′=∠B（即两角和它们的夹边分别相等）.把画好的△A′B′C′剪下来，放到△ABC上，它们全等吗？
要求每个学生先独立动手画图并思考，再在小组内交流.
把画好的△A′B′C′剪下,放在△ABC上,观察出现的情形,并根据结果总结规律,说出每个人的发现并交流.
二、思考探究，获取新知
【归纳结论】根据学生的发言,予以不同的点评,重在鼓励,最后归纳出新知识点:
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等,简称“角边角”或“ASA”.
强调注意:“边”必须是“两角的夹边”.
例1 如图,点D在AB上,点E在AC上,BE和CD相交于点O,AB=AC,∠B=∠C.求证:AD=AE.
证明:△ABE和△ACD中,
∠B=∠C,
AB=AC,
∠A=∠A,
∴△ABE≌△ACD(ASA).
∴AD=AE.
【课堂练习】由学生在黑板上完成证明过程.
如图,AB=A′C,∠A=∠A′,∠B=∠C,求证:△ABE≌△A′CD.
【分析】本例可直接应用“ASA”证得两个三角形全等，关键是准确地书写证明过程.
例2 在△ABC和△DEF中,∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF.证明△ABC≌△DEF.
【教学说明】由已知条件并联想“ASA”不难证明结论，教师关键通过本例引导学生发现：“两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等”.
上述判定三角形全等的定理简写成“角角边”或“AAS”.
【课堂练习】
如图，要测量河两岸相对的两点A，B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C，D，使BC=CD，再定出BF的垂线DE，使A，C，E在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长，为什么？
【答案】利用三角形全等得到DE=AB.
证明：在△ABC和△EDC中,
∠B=∠EDC=90°,
BC=DC,
∠ACB=∠ECD.
∴△ABC≌△EDC.∴DE=AB.
三、运用新知，深化理解
1.如图,B是CE的中点，AD=BC，AB=DC，DE交AB于F点.求证:(1)AD∥BC;(2)AF=BF.
2.如图，在△ABC中，D是BC边上的点(不与B,C重合),F,E分别是AD及其延长线上的点,CF∥BE,请你添加一个条件,使△BDE≌△CDF(不再添加其它线段,不再标注或使用其他字母),并给出证明.
【教学说明】教师引导学生通过上述习题的解答归纳证明三角形全等的方法,并总结证明线段相等(或两线平行\,垂直)或两角相等的常见方法.同时,让学生探究“两个三角形中三个角分别相等，这两个三角形全等吗？”的问题，同学间互相交流探究出来.
【答案】1.(1)连接BD,∵AD=CB,AB=DC,BD=DB,∴△ABD≌△CDB(SSS),∴∠ADB=∠CBD.∴AD∥BC.
(2)∵B为CE中点,∴EB=BC.由(1)知AD∥BC,AD=BC,∴AD=BE,∠A=∠FBE,又∠AFD=∠BFE,∴△ADF≌△BEF(AAS).∴AF=BF.
2.添加条件:BD=DC(或点D是线段BC中点),FD=ED或CF=BE.以BD=DC为例证明如下:∵CF∥BE,∴∠FCD=∠EBD.又∵BD=DC,∠FDC=∠EDB.∴△BDE≌△CDF(ASA).
四、师生互动，课堂小结
1.证明三角形全等的方法有:SSS,SAS,ASA,AAS.
2.三个角对应相等的两个三角形不一定相等.如:大小不同的两个等腰直角三角形不全等.
3.证两线相等(或两角相等)的常用方法是证它们所在的两个三角形全等.
1.布置作业：从教材“习题12.2”中选取.
2.完成练习册中本课时的练习.
本课时教学以“自主探究——合作交流”为主体形式，先给学生独立思考的时间，提供学生创新的空间与可能，再给不同层次的学生提供一个交流合作的机会，培养学生独立探究，合作学习的能力.
同时，注重让学生用自己的语言归纳和表达发现的规律，指引学生对知识与方法进行回顾总结，形成良好的反思习惯，获取优秀的学习方法.
第4课时 斜边、直角边
1.掌握两个直角三角形全等的条件,并能应用它证明两个直角三角形全等.
2.通过对知识方法的归纳总结,加深对三角形全等的判定的理解.培养反思习惯,形成理性思维.
3.通过探究与交流,解决问题,获得成功的体验,进一步激发探究的积极性.
【教学重点】
理解、掌握直角三角形全等的条件:HL.
【教学难点】
熟练选择判定方法,判定两个直角三角形全等.
一、情境导入，初步认识
问题1舞台的背景形状是两个直角三角形,工作人员想知道这两个直角三角形是否全等,但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量.
(1)请你设法帮工作人员找到解决问题的方式.
(2)如果工作人员只带了一卷尺,他能完成这个任务吗?
全体学生思考,并互相交流每个人的想法,组长收集每组的结论.
问题2 教材探究5
任意画出一个Rt△ABC，使∠C=90°，再画一个Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，B′C′=BC，A′B′=AB.
要求:每个学生都动手画图,并剪下所画的直角三角形,每两人把剪下的直角三角形,重叠在一起,观察它们是否重合.
【教学说明】教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.
二、思考探究，获取新知
教师根据学生操作、交流情况,引导学生一起归纳上述两个问题的结果.
对于问题1,(1)方法有:测量斜边和一个对应的锐角(AAS),或测量没遮住的一条直角边和一个对应的锐角(ASA或AAS);(2)可以完成这个条件,其依据正是本节所要学的知识,以此激发学生探究的兴趣.
对于问题2,归纳得到:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等,简写成“斜边、直角边”或“HL”.
例1 如图,已知AC⊥BC,BD⊥AD,AC=BD.求证:BC=AD.
【教学说明】由学生思考\,交流讨论后,指定学生表述思路,并由教师板书证明过程,引导学生正确书写解题步骤.
证明:∵AC⊥BC,BD⊥AD,
∴∠C=∠D=90°.
在Rt△ABC和Rt△BAD中,
AB=BA,
AC=BD,
∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL).
例2 如图,两根长度为12m的绳子,一端系在旗杆上,另一端分别固定在地面两个木桩上,两个木桩离旗杆底部的距离相等吗?请说明你的理由.
解：相等.理由如下:
由图形及实际情形可知,△ABD和△ACD均为直角三角形.
又AB=AC,AD为公共边,
∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL),
∴BD=CD.
例3 如图,有两个长度相同的滑梯,左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等,两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE的大小有什么关系?
解：∠ABC+∠DFE=90°.理由如下:
在Rt△ABC和Rt△DEF中,
BC=EF,
AC=DF,
∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL).
又∠DEF+∠DFE=90°,
∴∠ABC+∠DFE=90°.
三、运用新知，深化理解
1.如图,已知AC⊥BD于点P,AP=CP,请增加一个条件,使△ABP≌△CDP,你增加的条件是 (不再添加辅助线).
2.如图，已知AB=AC,AD⊥BC于D,且△ABC的周长是50cm,△ABD的周长是40cm,则AD= .
3.如图,AB⊥BD,AB∥DE,AB=CD,AC=CE,那么BC与DE有怎样的数量关系?写出你的猜想并说明理由.
4.如图,AB=AC,AD⊥BC于点D,AD=AE,AB平分∠DAE交DE于点F.请你写出图中三对全等三角形,并选取其中一对加以证明.
【教学说明】指导学生解答上述习题时,强调学生应:(1)注意应用“HL”证三角形全等时的书写格式；（2）归纳总结证明直角三角形全等的判定条件共有几个？它们分别是什么？
【答案】1.BP=DP或AB=CD或∠B=∠D或AB∥CD. 2.15cm
3.猜想:BC=DE.
证明:∵AB⊥BD,∴∠ABC=90°,又AB∥DE,∴∠EDC=∠ABC=90°,即△ABC和△EDC为直角三角形.又AB=CD,AC=CE,∴Rt△ABC≌Rt△CDE(HL).∴BC=DE.
4.△ADB≌△ADC,△ABD≌△ABE,△ABE≌△ACD,△AFD≌△AFE,△BFD≌△BFE(写出三对即可,可以△ADB≌△ADC为例证明,应用HL证得).
四、师生互动，课堂小结
1.回顾本书所学知识,巩固“HL”的记忆与认识，清楚地了解到“HL”是直角三角形全等所独有的定理，以直角三角形为前提条件.
2.归纳直角三角形全等的证明定理有:SSS,SAS,ASA,AAS,HL共五个,在实际解题时能灵活选用.
【教学说明】
在总结直角三角形全等判定定理共有几个时,鼓励学生踊跃思考发言,发挥集体智慧得到完整答案,利于引导学生形成合作交流意识.
1.布置作业：从教材“习题12.2”中选取部分题目.
2.完成练习册中本课时的练习.
本课时教学应突出学生主体性原则，即从规律的探究、例题的学习，指引学生独立思考，自主得出，在探究之后，让学生相互交流，或上台展示自己的发现，或表述个人的体验，从中获取成功的体验后，激发学生探究的激情.
12.3 角的平分线的性质
第1课时 角的平分线的作法及性质
1.掌握角的平分线的作法.
2.会利用角平分线的性质.
3.经历折纸、画图、文字与符号的翻译活动,培养学生的联想、探索、概括归纳的能力.
4.通过实际操作与探究交流,激发学生学习数学的兴趣.
【教学重点】
角平分线的性质及其应用.
【教学难点】
灵活应用两个性质解决问题.
一、情境导入，初步认识
活动1 学生预习教材,掌握角平分线的作法,小组间交流并动手实际画一画,总结出画角平分线的步骤.
活动2 让学生用准备好的白纸与剪刀,自己动手,剪一个角,把剪好的角对折,使角的两边叠合在一起,再把纸片展开,看到了什么?
【教学说明】发现第一次对折后的折痕是这个角的平分线;再折一次,又会出现两条折痕,而且这两条折痕是等长的.这种方法可以做无数次,所以这种等长的折痕可以折出无数对.
请同学们折出如图所示的折痕PD、PE,并研究这个图形中隐含了哪些等量关系,互相交流,形成结论.教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.
二、思考探究，获取新知
由上述活动及交流情况,教师总结以下新知识:
1.角平分线上的点到角两边的距离相等.
2.到角两边距离相等的点在角的平分线上.
【教学说明】
1.这两个性质的条件和结论正好相反,分别可以作为证线段相等和证角相等的依据.
2.在用几何语言表述性质时,注意强调“点到直线的距离”中的垂直条件.
例1 如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500m，这个市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1∶20000）?
【教学说明】教师提出下列问题，引导学生理清思路：
(1)集贸市场建于何处，和本节学的角平分线性质有关吗？用哪一个性质可以解决这个问题？
(2)比例尺为1∶20000是什么意思？
(3)图形上，表示500m的是个什么距离？
例2 如图所示，BD为∠ABC的平分线，AB=BC,点P、D分别在BF上，PM⊥AD于M,PN⊥CD于N，求证：PM=PN.
【分析】从一条线引两条垂线，要证明两条垂线段相等，可联想到角平分线的性质，将证线段相等转化为找角平分线，即证角相等.根据△ABD≌△CBD即可得证.
【证明】∵BD为∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠CBD.
在△ABD和△CBD中，
∴△ABD≌△CBD(SAS).
∴∠ADB=∠CDB.
即射线DP为∠ADC的平分线.
又∵PM⊥AD,PN⊥CD,
∴PM=PN.
例3如图，点P是∠AOB的平分线OM上一点，作PD⊥OB,PC⊥OA,垂足分别是点D、C，点E、F分别在线段OD,OC上，且∠PED=∠PFC,求证：OP平分∠EPF.
【分析】
欲证OP平分∠EPF，可设法证∠OPE=∠OPF,而要证∠OPE=∠OPF,需证∠OPD=∠OPC和∠DPE=∠CPF.
【证明】
∵OP平分∠AOB,PD⊥OB,PC⊥OA,垂足分别是点D，C，∴PD=PC，
∠ODP=∠OCP=90°.
在Rt△ODP与Rt△OCP中，
∴Rt△ODP≌Rt△OCP（HL）.
∴OD=OC,∠OPD=∠OPC.
在Rt△EDP与Rt△FCP中，
∠PED=∠PFC,∠ODP=∠OCP=90°,
∴90°-∠PED=90°-∠PFC,即∠DPE=∠CPF.
∴∠OPD-∠DPE=∠OPC-∠CPF,
∴∠OPE=∠OPF,即OP平分∠EPF.
三、运用新知，深化理解
1.角的平分线上的点到这个角的两边的______相等.
2.如图，在△ABC中,∠A=80°,∠B与∠C的平分线相交于点I,则∠BIC=___.
第2题图 第3题图
3.已知在△ABC中,∠B=30°,∠C=90°,AD平分∠CAB,交CB于D,且DE⊥AB于E,则∠BDE=_______=_______=_______.
【教学说明】指导学生解答上述习题时，应适当启发学生对角平分线性质的灵活运用.
【答案】1.距离 2.130°
3.∠EDA ∠CDA ∠CAB
四、师生互动，课堂小结
1.角平分线的两个性质应牢记并应用于解题中.
2.与角平分线有关的求证线段相等,角相等问题,我们可以直接用角平分线性质,不必再利用证三角形全等得到线段相等或角相等.
1.布置作业：从教材“习题12.3”中选取部分题.
2.完成练习册中本课时的练习.
本课时教学思路按操作、猜想、验证的学习过程，遵循学生的认知规律，充分体现了数学学习的必然性，教学时要始终围绕问题展开，先从出示问题开始，鼓励学生思考、探索问题中所包含的数学知识，再要求学生开展活动——折纸，体验三角形角平分线交于一点的事实，并得出进一步的猜想和开展新活动——尺规作图，从中猜想结论并思考证明的方法，整堂课以学生操作、探究、合作贯穿始终，并充分给学生思考留下足够的空间与时间，形成动手、合作、概括与解决问题的意识与能力.
第2课时 角的平分线的判定
1.掌握角的平分线的判定.
2.会利用三角形角平分线的性质.
3.通过学习角的平分线的判定，发展学生的推理能力，培养学生分析、归纳问题的能力.
4.锻炼数学应用意识和用数学解决实际问题的能力，体验数学的应用价值.
【教学重点】
角平分线的判定.
【教学难点】
三角形的内角平分线的应用.
一、情境导入，初步认识
问题1我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离相等.到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？
【教学说明】如图所示，已知PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，PD=PE，那么能否得到点P在∠AOB的角平分线上呢？事实上，在Rt△OPD和Rt△OPE中，我们利用HL可得到Rt△OPD≌Rt△OPE.所以∠AOP=∠BOP，即点P在∠AOB的角平分线上.
二、思考探究，获取新知
三角形内角平分线是角平分线的延伸，那如何利用它来解题呢？
例1 如图O是△ABC内的一点，且O到三边AB、BC、CA的距离OF=OD=OE.若∠A=70°,求∠BOC的度数.
【分析】由OD=OE=OF,且OD⊥BC、OE⊥AC、OF⊥AB知，O是△ABC的三角平分线的交点，所以∠1=∠2、∠3=∠4.要求∠BOC的度数，只要求出∠1+∠3的度数，即只要求出2（∠1+∠3）=∠ABC+∠ACB的度数即可，在△ABC中，运用三角形的内角和定理，即可得出∠BOC的度数.
解:∵OF⊥AB,OD⊥BC,且OF=OD,
∴BO平分∠ABC,即∠1=∠2,同理可得∠3=∠4.
∴∠BOC=180°-(∠1+∠3)=180°-(∠ABC+∠ACB)=180°-(180°-∠A)=90°+∠A=125°.
【教学说明】求三角形中角的度数，要善于运用角平分线的性质.
例2如图①,D、E、F是△ABC的三条边上的点，且CE=BF,S△DCE=S△DBF，求证：AD平分∠BAC.
【分析】由已知条件可知△DCE和△DBF的两底CE=BF,且它们的面积相等，所以这两底上的高应该相等.因此过点D作DM⊥AB,DN⊥AC,垂足分别为M和N，则DM=DN.由角平分线的判定定理可知，AD平分∠BAC.
【证明】如图②，过点D作DM⊥AB于点M，作DN⊥AC于点N.
∵S△DCE=S△DBF,即CE·DN=BF·DM.
又∵CE=BF,∴DN=DM,∴点D在∠BAC的平分线上，即AD平分∠BAC.
例3 如图所示，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°,D是AC上一点，且AE⊥BD并交BD的延长线于点E，又AE=BD.求证：BD是∠ABC的平分线.
【分析】要证明BD是∠ABC的平分线，即证明∠1=∠2,可构造全等三角形，延长AE、BC交于F，根据条件证明△ABE≌△FBE即可.
【证明】延长AE、BC交于点F.
∵AE⊥BD,∠ACB=90°,
∴∠2+∠F=∠FAC+∠F=90°,
即∠2=∠FAC.
在△BDC与△AFC中，
,
∴△BDC≌△AFC(ASA),
∴BD=AF.
又∵AE=BD,∴AE=AF,
∴AE=EF.
在△ABE和△FBE中，
,
∴△ABE≌△FBE(SAS).∴∠1=∠2.
即BD是∠ABC的平分线.
例4 (青海西宁中考)八年级（1）班同学上数学活动课，利用角尺平分一个角（如图所示），设计了如下方案：
方案一：∠AOB是一个任意角，将角尺的直角顶点P置于射线OA,OB之间.移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即PM=PN,过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线.
方案二：∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM=ON,将角尺的直角顶点P介于射线OA，OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M，N重合，即PM=PN，过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线.
（1）方案一、方案二是否可行？若可行，请证明；若不可行，请说明理由；
（2）方案一中，在PM=PN的情况下，继续移动角尺，同时使PM⊥OA,PN⊥OB.此方案是否可行？请说明理由.
解：（1）方案一不可行，理由:缺少三角形全等的条件.方案二可行.
证明：在△OPM和△OPN中，
∴△OPM≌△OPN(SSS).
∴∠AOP=∠BOP.
∴OP是∠AOB的平分线.
（2）此方案可行.理由：∵PM=PN,且PM⊥OA,PN⊥OB,∴P在∠AOB的角平分线上，∴OP是∠AOB的平分线.
三、运用新知，深化理解
1.如图，已知DB⊥AE于点B，DC⊥AF于点C，且DB=DC,∠BAC=40°,∠ADG=130°,则∠DGF=________.
第1题图 第2题图
2.如图，以△ABC的两边AB,AC为边分别向外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE,CD交于点O，求证：OA平分∠DOE.
【答案】1.150°
2.证明：过点A分别作AM⊥DC于点M，AN⊥BE于点N.
∵△ABD、△ACE是等边三角形，
∴AD=AB,AE=AC,
∠DAB=∠EAC=60°，
∴∠DAC=∠BAE,
∴△DAC≌△BAE，
∴DC=BE,
又∵S△DAC=S△BAE,
∴AM=AN.
又∵AM⊥DC,AN⊥BE,
∴OA平分∠DOE.
四、师生互动，课堂小结
1.三角形的三条角平分线的交点有且只有一个，且一定在三角形的内部.
2.证明三线共点的证明思路：先设其中的两线交于一点，再证明该交点也在第三条直线上.
3.在三角形内部，要找一点到三边距离相等时，只要作出两个角的角平分线，其交点即是.
4.角平分线的判定与性质的关系：由角平分线的判定方法知这个结论的逆命题也是正确的，即在三角形内，到三角形三边的距离相等的点是三角形三条角平分线的交点.
1.布置作业：从教材“习题12.3”中选取部分题.
2.完成练习册中本课时的练习.
本课时教学应重视以下几点；
1.努力体现数学与生活的联系，从实际中学习新知，使学生认识这种学习方法.
2.课堂中，可采用口答、动手做做等方式组织学生比赛，教师依据具体情形予以点评指点，查漏补缺，使学生全方位从本质上理解知识.
章末复习
1.了解全等三角形的概念和性质,能够准确辨认全等三角形中的对应元素.
2.探索三角形全等的条件,能够利用三角形全等进行证明,掌握综合法证明的格式.
3.会作角的平分线,了解角的平分线的性质,能利用三角形全等证明角的平分线的性质,会利用角的平分线的性质进行证明.
4.通过学习全等三角形的性质与条件,培养学生综合应用能力,培养学生的几何直觉.
5.通过综合运用全等三角形性质和全等三角形条件以及角平分线的过程中,感受数学与生活息息相关,从而激发学数学的兴趣.
【教学重点】
全等三角形的性质和条件的综合应用.
【教学难点】
全等三角形性质、条件与其他知识的综合应用.
一、知识框图，整体把握
【教学说明】教师依据以上框图,带领学生一起全面回忆本章知识点.
二、释疑解惑，加深理解
教师针对本章易错点引导学生予以归纳并分析错因.
1.寻找全等三角形的对应边和对应角时出错.
例1 如图,已知△ABC≌△FED,∠C=∠D,AE=BF,指出其它的对应边和对应角.
【常见错解】对应边BC与DF,AE与BF,对应角∠DFE和∠ABC.
【错解分析】识图能力差,不能从重合的角度(将其中一个三角形先平移使AB与EF重合,然后沿EF翻折)来认识三角形的对应,从而无法正确找到对应边\,对应角.
2.对“SSS”掌握不熟练，自造条件用于判定三角形全等.
例2 如图,AB=CD,AC和BD交于点O,若AC=BD,则∠B=∠C吗?为什么?
【常见错解】∵AC=BD,∴OA=OD,OB=OC.又∵AB=CD,∴△ABO≌△DCO(SSS),∴∠B=∠C.
【错解分析】OA=OD,OB=OC属于自造条件,由AC=BD无法推出OA=OD,OB=OC.
3.对SAS,AAS中的“夹角”“对应边”的内涵理解不清，导致用错.
例3 如图,AE=AC,AB=AD,∠EAB=∠CAD.求证:∠B=∠D.
【常见错解】在△ABC和△ADE中,AC=AE,∠CAD=∠EAB,AB=AD,∴△ABC≌△ADE(SAS),∴∠B=∠D.
【错解分析】没有认真地结合图形来分析条件,对应角认识不明确,错把∠EAB和∠CAD看成△ABC和△ADE的内角.
三、典例精析，复习新知
1.证明两线段相等
例4 已知,如图,AB=AC,∠BAC=∠DAE,∠ABD=∠ACE.试证明BD=CE.
【分析】欲证BD=CE,结合已知条件可知,只需证明BD,CE所在的△ABD和△ACE全等.
【归纳】证明两条线段相等,可通过两个三角形全等得到,首先结合图形和已知条件观察它们所在的三角形是否全等,再予以证明.
2.证明两角相等.
例5 如图,AB=DC,∠A=∠D.求证：∠ABC=∠DCB
【分析】由AB=DC,∠A=∠D,想到如果取AD的中点N,连NB,NC,再由“SAS”得△ABN≌△DCN，所以BN=CN，∠ABN=∠DCN.下面只需证∠NBC=∠NCB,再取BC中点M,连MN,则由“SSS”证得△NBM≌△NCM，推得∠NBC=∠NCB，从而使问题得证.
【归纳】所证的两角没有分布在两个三角形中,所以不能直接利用两个三角形全等的性质来证明,但取AD的中点N,连BN,CN,把四边形分解成三角形,再用三角形知识来解题,体现了转化的思想.
3.证明两线互相垂直
例6 如图,△ABC中,AD平分∠BAC交BC于点D,过D点作DE⊥AB于E,DF⊥AC于F.连EF交AD于G.求证:EF⊥AD.
【分析】由已知条件不难看出△ADE≌△ADF,进一步易证△AGE≌△AGF或△DGE≌△DGF,从而得到∠AGE与∠AGF相等且互补,故EF⊥AD.
【证明】
∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF.在Rt△ADE和Rt△ADF中，
AD=AD
DE=DF
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）∴AE=AF
在△AGE和△AGF中
AE=AF,
∠EAG=∠FAG,
AG=AG.
∴△AGE≌△AGF(SAS),
∴∠AGE=∠AGF.
∵∠AGE+∠AGF=180°,
∴∠AGE=12×180°=90°,即EF⊥AD.
4.证明两线平行
例7 如图,△ABC中,AD平分∠BAC,E,F分别在BD,AD上,且DE=CD,EF=AC.求证:EF∥AB.
【分析】要证EF∥AB,必须∠1=∠3,而∠1=∠2,故应有∠2=∠3,根据条件DE=CD,EF=AC,通过辅助线构造两个三角形全等来证明.
【证明】分别作CM⊥AD于M,EN⊥AD交AD的延长线于N,在△EDN和△CDM中,
∠END=∠CMD=90°,
∠NDE=∠MDC(对顶角相等),
DE=CD.
∴△EDN≌△CDM(AAS),∴EN=CM.
在Rt△FEN和Rt△ACM中,
EF=AC,
EN=CM.
∴Rt△FEN≌Rt△ACM(HL),∴∠2=∠3.
∵∠1=∠2,∴∠1=∠3,∴EF∥AB.
5.构造全等三角形
例8 如图所示,CE,CB分别是△ABC,△ADC的中线,且AB=AC.求证:CD=2CE.
【分析】为了证明CD=2CE,考虑CE是△ABC底边AB上的中线,故把CE延长到F,使CF=2CE,把原来证CD=2CE转化为证明CD=CF,如此把线段“倍半”的数量关系转化为证两条线段的相等关系.
【归纳】三角形中有中线时,常加倍延长中线,构造全等三角形,使边\,角条件转换,将分散的边、角集中在一些图形中,使问题易于解决.
【教学说明】在讲解例题的过程中，老师引导学生回顾三角形全等和角平分线性质的知识.
1.布置作业：从教材“复习题12”中选取.
2.完成练习册中本课时的练习.
本课时教学应重点突出：
1.利用知识回顾与错例剖析，使学生进一步巩固和深化对所学知识的理解，建立起清晰的知识框架，形成严谨的思维习惯.
2.强调转化思想的认识与应用，证明线段与角的相等可以转化成证明三角形全等去解决，实际生活中的测量问题也可以利用全等三角形知识解决.利用这一系列问题帮助学生领悟和掌握这种数学思想方法.
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