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    2022-2023学年上海市静安区市北中学九年级(上)期末数学试卷(含解析)
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    2022-2023学年上海市静安区市北中学九年级(上)期末数学试卷(含解析)

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    这是一份2022-2023学年上海市静安区市北中学九年级(上)期末数学试卷(含解析),共19页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    1. 1 3的相反数是( )
    A. 3B. − 3C. 33D. − 33
    2. 下列方程中,有实数解的是( )
    A. x2−x+1=0B. x−2=1−xC. 1−xx2−x=0D. 1−xx2−x=1
    3. 已知点D、E分别在△ABC的边AB、AC的反向延长线上,且ED/​/BC,如果AD:DB=1:4,ED=2,那么边BC的长是( )
    A. 8B. 10C. 6D. 4
    4. 如果点A(2,m)在抛物线y=x2上,将抛物线向右平移3个单位后,点A同时平移到点A′,那么A′坐标为( )
    A. (2,1)B. (2,7)C. (5,4)D. (−1,4)
    5. 在Rt△ABC中,∠C=90°,CD是高,如果AD=m,∠A=α,那么BC的长为( )
    A. m⋅tanα⋅csαB. m⋅ctα⋅csαC. m⋅tanαcsαD. m⋅tanαsinα
    6. 下列命题是真命题的是( )
    A. 有一个角相等的两个等腰三角形相似
    B. 两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似
    C. 四个内角都对应相等的两个四边形相似
    D. 斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似
    二、填空题(本大题共12小题,共48.0分)
    7. 化简:(−2a2)3= .
    8. 计算:6a+3+2aa+3= ______ .
    9. 上海与杭州的实际距离约200千米,在比例尺为1:5000000的地图上,上海与杭州的图上距离约______ 厘米.
    10. 某滑雪运动员沿着坡比为1: 3的斜坡滑行了200米,则他身体下降的高度为______ 米.
    11. 抛物线y=(x−1)2+3与y轴的交点坐标是______ .
    12. 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,对称轴为直线x=2,若此抛物线与x轴的一个交点为(6,0),则抛物线与x轴的另一个交点坐标是______.
    13. 如图,在△ABC中,点D是BC边上的点,且CD=2BD,如果AB=a,AD=b,那么BC= ______ (用含a、b的式子表示).
    14. 如图,直线AA1/​/BB1/​/CC1,如果ABBC=13,AA1=2,CC1=6,那么线段BB1的长是______ .
    15. 已知,点P、Q是线段AB的两个黄金分割点,若AB=8,则PQ的长是______ .
    16. 在△ABC中,∠BAC=90°,点G是△ABC的重心,连接AG.若AG=6,则BC长为______ .
    17. 若抛物线y=ax2+c与x轴交于点A(m,0)、B(n,0),与y轴交于点C(0,c),则称△ABC为“抛物三角线”.特别地,当mnc<0时,称△ABC为“正抛物三角形”;当mnc>0时,称△ABC为“倒抛物三角形”.那么,当△ABC为“倒抛物三角形”时,a、c应分别满足条件______.
    18. 如图,已知△ABC沿角平分线BE所在的直线翻折,点A恰好落在边BC的中点M处,且AM=BE,那么∠EBC的正切值是______ .
    三、解答题(本大题共7小题,共78.0分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
    19. (本小题10.0分)
    计算:cs245°−tan30°2sin60°+ct230°.
    20. (本小题10.0分)
    抛物线y=x2−2x+c经过点(2,1).
    (1)求抛物线的顶点坐标;
    (2)将抛物线y=x2−2x+c沿y轴向下平移后,所得新抛物线与x轴交于A、B两点,如果AB=2,求新抛物线的表达式.
    21. (本小题10.0分)
    如图,在△ABC中,点D、E分别在边AB、AC上,ADAB=34,AE=3,CE=1,BC=6.
    (1)求DE的长;
    (2)过点D作DF/​/AC交BC于F,设AB=a,BC=b,求向量DF(用向量a、b表示)
    22. (本小题10.0分)
    某大型购物中心为方便顾客地铁换乘,准备在底层至B1层之间安装电梯,截面图如图所示,底层与B1层平行,层高AD为9米,A、B间的距离为6米,∠ACD=20°.
    (1)请问身高1.9米的人在竖直站立的情况下搭乘电梯,在B处会不会碰到头?请说明理由.
    (2)若采取中段平台设计(如图虚线所示).已知平台EF/​/DC,且AE段和FC段的坡度i=1:2,求平台EF的长度.
    【参考数据:sin20°≈0.34,cs20°≈0.94,tan20°≈0.36】
    23. (本小题10.0分)
    已知如图,D是△ABC的边AB上一点,DE/​/BC,交边AC于点E,延长DE至点F,使EF=DE,联结BF,交边AC于点G,联结CF
    (1)求证:AEAC=EGCG;
    (2)如果CF2=FG⋅FB,求证:CG⋅CE=BC⋅DE.
    24. (本小题14.0分)
    如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=−12x2+bx+c与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,直线y=x+4经过点A、C,点P为抛物线上位于直线AC上方的一个动点.
    (1)求抛物线的表达式;
    (2)如图(1),当CP//AO时,求∠PAC的正切值;
    (3)∠当以AP、AO为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上时,求出此时点P的坐标.
    25. (本小题14.0分)
    如图,矩形ABCD中,AB= 2,点E是BC边上的一个动点,连接AE,过点D作DF⊥AE,垂足为点F.
    (1)设BE=x,∠ADF的余切值为y,求y关于x的函数解析式;
    (2)若存在点E,使得△ABE、△ADF与四边形CDFE的面积比是3:4:5,试求矩形ABCD的面积;
    (3)对(2)中求出的矩形ABCD,连接CF,当BE的长为多少时,△CDF是等腰三角形?
    答案和解析
    1.【答案】D
    【解析】解:1 3= 33,
    则1 3的相反数是− 33.
    故选:D.
    先分母有理化,再根据相反数的定义进行解答即可.
    本题主要考查分母有理化,相反数,解题的关键是熟知相反数的定义,只有符号不同的两个数互为相反数.
    2.【答案】D
    【解析】解:A、∵△=1−4=−3<0,
    ∴原方程无实数根,
    B、当1−x<0,即x>1时,原方程无实数根,
    C、当x2−x=0,即x=1,或x=0时,原方程无实数根,
    D、∵1−xx2−x=1,
    ∴x=−1.
    故选D.
    A、根据△的值判断即可,
    B、根据二次根式的意义判断即可;
    C、根据分式方程的解的定义判断即可;
    D、根据分式方程的解的定义判断即可.
    本题考查了一元二次方程的根得判别式,无理方程的解,分式方程的解,正确的解方程是解题的关键.
    3.【答案】C
    【解析】解:如图,
    ∵DE/​/BC,
    ∴△EAD∽△CAB,
    ∴EDBC=ADAB,
    ∵ADDB=14,DE=2,
    ∴ADAB=13,
    ∴DEBC=2BC=13,
    ∴BC=6.
    故选:C.
    本题考查了相似三角形的性质和判定的应用,能推出△EAD∽△CAB是解此题的关键.
    根据相似三角形的判定定理,得出△EAD∽△CAB,根据相似三角形的性质求出即可.
    4.【答案】C
    【解析】解:把A(2,m)代入y=x2得m=4,则A点坐标为(2,4),把点A(2,4)向右平移3个单位后所得对应点A′的坐标为(5,4).
    故选C.
    先把A(2,m)代入y=x2得m=4,于是得到A点坐标为(2,4),由于抛物线向右平移3个单位,则抛物线上所有点都右平移3个单位,然后根据点平移的规律可确定点A′坐标.
    本题考查了二次函数图象与几何变换:由于抛物线平移后的形状不变,故a不变,所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法:一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标,利用待定系数法求出解析式;二是只考虑平移后的顶点坐标,即可求出解析式.
    5.【答案】C
    【解析】解:∵在Rt△ABC中,∠C=90°,CD是高,如果AD=m,∠A=α,
    ∴tanα=CDAD=CDm,
    ∴CD=m⋅tanα,
    ∵∠ACB=∠A+∠B=90°,∠BDC=∠B+∠BCD=90°,∠A=α,
    ∴∠BCD=α,
    ∴cs∠BCD=CDBC=m⋅tanαBC,
    即csα=m⋅tanαBC,
    BC=m⋅tanαcsα.
    故选C.
    根据在Rt△ABC中,∠C=90°,CD是高,如果AD=m,∠A=α,可以用含m和α的三角函数值表示出CD,通过角相等,它们的三角函数值也相等,可以解答本题.
    本题考查解直角三角函数,解题的关键是明确各个三角函数值的意义,利用转化的思想找到所求问题需要的条件.
    6.【答案】D
    【解析】解:A、有一个顶角(或底角)相等的两个等腰三角形相似,所以A选项错误;
    B、两边对应成比例且它们的夹角相等的两个三角形相似,所以B选项错误;
    C、四个内角都对应相等的两个四边形不一定相似,所以C选项错误;
    D、斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似,所以D选项正确.
    故选D.
    根据相等的角可能为顶角或底角可对A进行判断;根据相似三角形的判定方法对B、D进行判断;利用矩形和正方形不相似可对C进行判断.
    本题考查了命题与定理:判断一件事情的语句,叫做命题.许多命题都是由题设和结论两部分组成,题设是已知事项,结论是由已知事项推出的事项,一个命题可以写成“如果…那么…”形式.有些命题的正确性是用推理证实的,这样的真命题叫做定理.
    7.【答案】−8a6
    【解析】【分析】
    根据积的乘方与幂的乘方的运算法则计算即可.
    本题主要考查积的乘方与幂的乘方,掌握积的乘方与幂的乘方的运算法则是解题的关键.
    【解答】
    解:(−2a2)3=(−2)3⋅(a2)3=−8a6.
    故答案为:−8a6.
    8.【答案】2
    【解析】解:6a+3+2aa+3
    =6+2aa+3
    =2(3+a)a+3
    =2,
    故答案为:2.
    根据同分母分式加减法法则计算.
    本题考查的是分式的加减法,同分母分式加减法法则:同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减.
    9.【答案】4
    【解析】解:设上海与杭州的图上距离为x厘米.
    200千米=20000000厘米,
    x:20000000=1:5000000,
    解得x=4.
    故答案为4.
    设上海与杭州的图上距离为x厘米,根据比例尺的意义列出方程x:20000000=1:5000000,解方程即可.
    本题考查了比例线段,掌握比例尺的定义是解题的关键.注意单位要统一.
    10.【答案】100
    【解析】解:设垂直高度下降了x米,则水平前进了 3x米.
    根据勾股定理可得:x2+( 3x)2=2002.
    解得x=100,
    即它距离地面的垂直高度下降了100米.
    故答案为:100.
    设出垂直高度,表示出水平距离,利用勾股定理求解即可.
    本题考查解直角三角形的应用,难度不大,此题的关键是熟悉且会灵活应用公式:tanα(坡度)=垂直高度÷水平宽度,综合利用了勾股定理.
    11.【答案】(0,4)
    【解析】解:令x=0,得y=4,
    故与y轴的交点坐标是:(0,4).
    故答案为:(0,4).
    根据题意得出x=0,然后求出y的值,即可以得到与y轴的交点坐标.
    本题主要考查了抛物线与坐标轴交点的知识,正确把握二次函数图象上点的坐标特征是解题关键,此题较容易.
    12.【答案】(−2,0)
    【解析】解:(6,0)关于x=2的对称点是(−2,0).
    故答案是(−2,0).
    求出点(6,0)关于x=2的对称点即可.
    本题考查了二次函数的性质,理解二次函数与x轴的两个交点关于对称轴对称是关键.
    13.【答案】3b−3a
    【解析】解:∵AB=a,AD=b,
    ∴BD=AD−AB=b−a,
    ∵在△ABC中,点D是BC边上的点,且CD=2BD,
    ∴BC=3BD=3b−3a.
    故答案为:3b−3a.
    由AB=a,AD=b,直接利用三角形法则即可求得BD,再由CD=2BD,即可求得答案.
    此题考查了平面向量的知识.注意掌握三角形法则的应用是解此题的关键.
    14.【答案】3
    【解析】解:如图:
    过A1作AE//AC,交BB1于D,交CC1于E,
    ∵直线AA1/​/BB1/​/CC1,
    ∴四边形ABDA1和四边形BCED是平行四边形,
    ∴AA1=2,CC1=6,
    ∴AA1=BD=CE=2,EC1=6−2=4,ABBC=DA1EA1=13,
    ∴∵BB1//CC1,
    ∴DA1EA1=DB1EC1,
    ∴11+3=DB14,
    ∴DB1=1,
    ∴BB1=2+1=3,
    故答案为:3.
    过A1作AE//AC,交BB1于D,交CC1于E,得出四边形ABDA1和四边形BCED是平行四边形,求出AA1=BD=CE=2,EC1=6−2=4,ABBC=DA1EA1=13,根据BB1//CC1得出DA1EA1=DB1EC1,代入求出DB1=1即可.
    本题考查了平行线分线段成比例定理的应用,能根据定理得出比例式是解此题的关键.
    15.【答案】8 5−16
    【解析】解:如图,∵点P、Q是线段AB的黄金分割点,AB=8,
    ∴BP=AQ= 5−12AB=4 5−4,
    ∴PQ=AQ+BP−AB=2(4 5−4)−8=8 5−16,
    故答案为:8 5−16.
    先由黄金分割的比值求出BP=AQ=4 5−4,再由PQ=AQ+BP−AB进行计算即可.
    本题考查了黄金分割:把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC),且使AC是AB和BC的比例中项(即AB:AC=AC:BC),叫做把线段AB黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点,熟记黄金比是解题的关键.
    16.【答案】18
    【解析】解:如图,延长AG交BC于点D,
    ∵点G是△ABC的重心,AG=6,
    ∴D为BC的中点,且AG=2DG=6,
    ∴DG=3,
    ∴AD=AG+DG=9,
    ∵∠BAC=90°,
    ∴BC=2AD=18;
    故答案为:18.
    延长AG交BC于点D,根据点G是△ABC的重心,得到D为BC的中点,以及AG=2DG,进而求出AD的长度,根据AD是直角三角形斜边上的中线,从而求出BC的长.
    本题考查重心的性质,以及直角三角形斜边上的中线.熟练掌握重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1,以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,是解题的关键.
    17.【答案】a>0,c<0
    【解析】解:∵抛物线y=ax2+c的对称轴是y轴,
    ∴A(m,0)、B(n,0)关于y轴对称,
    ∴mn<0,
    又∵mnc>0,
    ∴c<0,即抛物线与y轴的负半轴相交,
    又∵抛物线y=ax2+c与x轴交于点A(m,0)、B(n,0),
    ∴函数开口向上,
    ∴a>0.
    故答案是:a>0,c<0.
    根据m、n关于y轴对称,则mn<0,则c的符号即可确定,然后根据抛物线与x轴有交点,则可以确定开口方向,从而确定a的符号.
    本题考查了二次函数的性质,正确确定二次函数的开口方向是本题的关键.
    18.【答案】23
    【解析】解:设AM与BE交点为D,过M作MF/​/BE交AC于F,如图所示:
    ∵M为BC的中点,
    ∴F为CE的中点,
    ∴MF为△BCE的中位线,
    ∴MF=12BE,
    由翻折变换的性质得:AM⊥BE,AD=MD,
    同理:DE是△AMF的中位线,
    ∴DE=12MF,
    设DE=a,则MF=2a,AM=BE=4a,
    ∴BD=3a,MD=12AM=2a,
    ∵∠BDM=90°,
    ∴tan∠EBC=DMBD=2a3a=23.
    故答案为:23.
    设AM与BE交点为D,过M作MF/​/BE交AC于F,证出MF为△BCE的中位线,由三角形中位线定理得出MF=12BE,由翻折变换的性质得出:AM⊥BE,AD=MD,同理由三角形中位线定理得出DE=12MF,设DE=a,则MF=2a,AM=BE=4a,得出BD=3a,MD=12AM=2a,即可得出结果.
    本题考查了翻折变换的性质、三角形中位线定理、平行线的性质、三角函数;熟练掌握翻折变换的性质,通过作辅助线由三角形中位线定理得出MF=12BE,DE=12MF是解决问题的关键.
    19.【答案】解:原式=( 22)2− 332× 32+( 3)2
    =12−13+3
    =196.
    【解析】根据特殊角三角函数值,可得实数的运算,根据实数的运算,可得答案.
    本题考查了特殊角三角函数值,熟记特殊角三角函数值是解题关键.
    20.【答案】解:(1)把(2,1)代入y=x2−2x+c得4−4+c=1,解得c=1,
    所以抛物线解析式为y=x2−2x+1=(x−1)2,
    所以,抛物线的顶点坐标为(1,0);
    (2)y=x2−2x+1=(x−1)2,抛物线的对称轴为直线x=1,
    而新抛物线的对称轴不变,其与x轴交于A、B两点,AB=2,不妨设点A在点B左边,
    所以A(0,0),B(2,0),
    所以新抛物线的解析式为y=x(x−2),即y=x2−2x.
    【解析】本题考查了二次函数图象与几何变换,也考查了二次函数的性质,待定系数法求二次函数解析式.
    (1)把(2,1)代入y=x2−2x+c中求出c的值即可得到抛物线解析式,进而求得顶点坐标;
    (2)先确定抛物线y=x2−2x+1的对称轴,再利用抛物线的对称性得到A(0,0),B(2,0),然后利用交点式可写出新抛物线的表达式.
    21.【答案】解:(1)∵AE=3,CE=1,
    ∴AC=AE+CE=4,
    ∴ADAB=AEAC=34,
    ∴DE/​/BC,
    ∴DEBC=ADAB=34,
    ∴DE=BC×34=6×34=92;
    (2)∵DF/​/AC,
    ∴DFAC=BDBA=14,
    ∴DF=14AC=14(AB+BC)=14a+14b.
    【解析】(1)由ADAB=34,AE=3,CE=1,可得ADAB=AEAC=34,即可证得DE/​/BC,然后由平行线分线段成比例定理,即可求得DE的长;
    (2)由DF/​/AC,可得DFAC=BDBA=14,再由三角形法则,即可求得答案.
    此题考查了平行向量的知识以及平行线分线段成比例定理.注意掌握三角形法则以及平行四边形的法则的应用是解此题的关键.
    22.【答案】解:(1)过点B作GB⊥AB,交AC于点G,
    ∵∠ACD=20°,AB/​/CD,
    ∴∠BAG=20°,
    ∴BG=tan20°×6=0.36×6=2.16>1.9
    ∴不会碰到头部;
    (2)∵AD=9,
    ∴CD=9tan20∘=25,
    过点F作FM⊥CD,垂足为点M,过点E作EN⊥AD,垂足为点N,
    设FM=x,则AN=9−x,
    ∵AE段和FC段的坡度i=1:2,
    ∴CM=2x,NE=2(9−x)=18−2x,
    ∴CM+NE=2x+18−2x=18,
    ∴EF=CD−(CM−NE)≈25−18=7(米).
    【解析】(1)先过点B作GB⊥AB,交AC于点G,根据∠ACD=20°,AB/​/CD,得出∠BAG=20°,再根据正切定理求出BG的长,然后与人的身高进行比较,即可得出答案;
    (2)根据AD的长求出CD,再过点F作FM⊥CD,垂足为点M,过点E作EN⊥AD,垂足为点N,设FM=x,则AN=9−x,根据AE段和FC段的坡度i=1:2,求出CM和NE的长,最后根据EF=CD−(CM−NE),即可求出答案.
    此题考查了解直角三角形的应用,用到的知识点是坡度角,关键是根据题意作出辅助线,构造直角三角形.
    23.【答案】证明:(1)∵DE/​/BC,
    ∴△ADE∽△ABC,△EFG∽△CBG,
    ∴AEAC=DEBC,EFBC=EGCG,
    又∵DE=EF,
    ∴DEBC=EFBC,
    ∴AEAC=EGCG;
    (2)∵CF2=FG⋅FB,
    ∴CFFG=FBCF,
    又∵∠CFG=∠CFB,
    ∴△CFG∽△BFC,
    ∴CGBC=FGFC,∠FCE=∠CBF,
    又∵DF/​/BC,
    ∴∠EFG=∠CBF,
    ∴∠FCE=∠EFG,
    又∵∠FEG=∠CEF,
    ∴△EFG∽△ECF,
    ∴EFEC=FGFC=DEEC,
    ∴CGBC=DEEC,即CG⋅CE=BC⋅DE.
    【解析】(1)首先证明△ADE∽△ABC,△EFG∽△CBG,根据相似三角形的对应边的比相等,以及DE=EF即可证得;
    (2)首先证明△CFG∽△BFC,证得CGBC=FGFC,∠FCE=∠CBF,然后根据平行线的性质证明∠FEG=∠CEF,即可证得△EFG∽△ECF,则EFEC=FGFC=DEEC,即可证得CGFG=DEEC,则所证结论即可得到.
    本题考查了相似三角形的判定与性质,正确理解相似三角形的判定方法,证明∠FEG=∠CEF,证得△EFG∽△ECF是解决本题的关键.
    24.【答案】解:(1)当x=0时,y=x+4=4,则C(0,4),
    当y=0时,x+4=0,解得x=−4,则A(−4,0),
    把A(−4,0),C(0,4)代入y=−12x2+bx+c得−8−4b+c=0c=4,解得b=−1c=4,
    ∴抛物线解析式为y=−12x2−x+4;
    (2)抛物线的对称轴为直线x=−−12×(−12)=−1,
    而PC/​/OA,
    ∴点P与点C关于直线x=−1对称,
    ∴P(−2,4),PC=2,
    作PH⊥AC于H,如图1,
    ∵OA=OC=4,
    ∴△OAC为等腰直角三角形,
    ∴∠OAC=45°,AC=4 2,
    ∵PC/​/OA,
    ∴∠PCA=∠OAC=45°,
    ∴△PCH为等腰直角三角形,
    ∴PH=CH= 22×2= 2,
    ∴AH=AC−CH=4 2− 2=3 2,
    在Rt△PAH中,tan∠PAH=PHAH= 23 2=13,
    即∠PAC的正切值为13;
    (3)以AP、AO为邻边的平行四边形第四个顶点为点Q,如图2,
    ∵四边形APQO为平行四边形,
    ∴PQ/​/OA,PQ=OA=4,
    设P(t,−12t2−t+4),则Q(t+4,−12t2−t+4),
    把(t+4,−12t2−t+4)代入y=−12x2−x+4得−12(t+4)2−(t+4)+4=−12t2−t+4,解得t=−3,
    ∴此时P点坐标为(−3,52).
    【解析】(1)利用一次函数解析式确定C(0,4),A(−4,0),然后根据待定系数法求抛物线解析式;
    (2)先确定抛物线的对称轴为直线x=−1,再利用对称性得到P(−2,4),作PH⊥AC于H,如图1,证明△OAC和△PCH为等腰直角三角形得到AC=4 2,PH=CH= 2,则AH=3 2,然后根据正切的定义求解;
    (3)以AP、AO为邻边的平行四边形第四个顶点为点Q,如图2,利用平行四边形的性质得PQ/​/OA,PQ=OA=4,设P(t,−12t2−t+4),则Q(t+4,−12t2−t+4),然后Q点坐标代入y=−12x2−x+4得−12(t+4)2−(t+4)+4=−12t2−t+4,再解关于t的方程即可得到P点坐标.
    本题考查了二次函数的综合题:熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、等腰直角三角形的性质和平行四边形的性质;会利用待定系数法求函数解析式;理解坐标与图形性质.
    25.【答案】解:(1)∵DF⊥AE,∴∠DFA=90°又∠B=90°,
    ∵AD/​/BC,
    ∴∠DAE=∠AEB,
    ∴△ABE∽△DFA,
    ∴BEFA=ABDF,
    ∴y= 2x;(3分)
    (2)∵△ABE:△ADF:四边形CDFE的面积比是3:4:5,
    ∴S△ABE=14S矩形ABCD,
    ∴BE=12BC,(1分)
    设BE=x,则BC=2x,
    ∵△ABE∽△DFA,且△ABE:△ADF=3:4
    ∴AD2AE2=43,∴4x2x2+2=43,(2分)
    解得x=1,(1分)
    ∴BC=2,S矩形ABCD=2 2;(1分)
    (3)①CF=CD时,过点C作CM⊥DF,垂足为点M,
    则CM/​/AE,DM=MF,(1分)
    延长CM交AD于点G,
    ∴AG=GD=1,
    ∴CE=1,
    ∴当BE=1时,△CDF是等腰三角形;(1分)
    ②DF=DC时,则DC=DF= 2,
    ∵DF⊥AE,AD=2,
    ∴∠DAE=45°,(1分)
    则BE= 2,
    ∴当BE= 2时,△CDF是等腰三角形;(1分)
    ③FD=FC时,则点F在CD的垂直平分线上,故F为AE中点.
    ∵AB= 2,BE=x,
    ∴AE= 2+x2,
    AF= 2+x22
    ∵△ADF∽△EAB,
    ∴ADAE=AFEB,
    2 2+x2= 2+x22x,
    x2−4x+2=0,
    解得x=2± 2,
    ∴当BE=2− 2时,△CDF是等腰三角形.(1分)
    【解析】(1)根据已知条件矩形ABCD和DF⊥AE,证△ABE∽△DFA,从而求出y关于x的函数解析式;
    (2)假设存在,由题意△ABE、△ADF与四边形CDFE的面积比是3:4:5,可得BE=12BC,设BE=x,证△ABE∽△DFA,根据三角形的相似比,从而求解;
    (3)过点C作CM⊥DF,垂足为点M,判断△CDF是等腰三角形,要分类讨论,①CF=CD;②DF=DC;③FD=FC,根据三角形相似进行求解.
    此题难度比较大,主要考查矩形的性质、相似三角形的性质及等腰三角形的判定,考查知识点比较多,综合性比较强,另外要注意辅助线的作法.
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