2022-2023学年上海市静安区华东模范中学九年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年上海市静安区华东模范中学九年级（上）期中数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年上海市静安区华东模范中学九年级（上）期中数学试卷  第I卷（选择题） 一、选择题（本大题共6小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）下列图形中一定相似的是(    )A. 直角三角形都相似 B. 等腰三角形都相似
C. 矩形都相似 D. 等腰直角三角形都相似已知中，，则是的(    )A. 正切 B. 余切 C. 正弦 D. 余弦如图，在中，、两点分别在、边上，，若：：，则：为(    )A. ：
B. ：
C. ：
D. ：已知非零向量、和，下列条件中不能判定(    )A. ， B. ，
C.  D. 如图，已知是上一点，如果，，点，分别在，上，那么下列比例式中正确的是(    )A.
B.
C.
D. 下列五幅图均是由边长为的个小正方形组成的正方形网格，网格中的三角形的顶点都在小正方形的顶点上，那么在下列右边四幅图中的三角形，与左图中的相似的个数有(    )
 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）如果在比例尺为：  的地图上，、两地的图上距离是厘米，那么、两地的实际距离是______千米．若点是线段的黄金分割点，且，，则______保留根号计算：______．如图，如果，那么，这个命题是______命题填“真”或“假”．
 若均不为，则的值为______．已知在中，，，点为重心，那么______．如果两个相似三角形的面积的比等于：，那么它们的对应边上的高的比等于______．如图，在中，，，，是边的中点，过点的直线将分割成两个部分，若其中的一个部分与相似，则满足条件的直线共有______条．
 在中，，则的形状是______．如图，已知，，，如果图中的两个直角三角形相似，那么______．
 已知在中，，是上的中线，，，则______．在中，，，绕着点旋转后能与重合，那么与的周长之比为______． 三、解答题（本大题共7小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）本小题分
 本小题分
如图，在梯形中，，是的中点，且，与交于点．
若，，请用，来表示、；
请直接在图中画出在，方向上的分向量．
本小题分
如图，已知中，交于点，交于点，点在边上，交于点．
求证：．
本小题分
如图，中，平分，，
求证：∽；
若，，，求．
本小题分
已知点和点，点在轴的负半轴上，且，点的坐标为，直线经过点、．
求直线的表达式；
点是直线在第三象限上的点．联结、，若线段是线段、的比例中项．
求证：∽；
求的值．
本小题分
已知：如图，梯形中，，，、是对角线，是延长线上一点，且，联结．
求证：四边形是平行四边形；
求证：．
本小题分
已知：如图，在等腰直角中，，斜边的长为，过点作射线，为射线上一点，在边上不与、重合，且，与交于点．
求证：∽；
设，，求关于的函数解析式，并写出它的定义域；
如果与相似，求的值．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：直角三角形，等腰三角形，矩形不一定相似，等腰直角三角形一定相似．
故选：．
根据相似图形的定义一一判断．
本题考查相似图形，解题的关键是掌握相似图形的定义，属于中考常考题型．
 2.【答案】 【解析】解：如图，．
故选：．
根据题意画出直角三角形，根据锐角三角函数的定义便可直接解答．
本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
 3.【答案】 【解析】解：：：，
：：，
，
∽，
：：．
故选：．
由，根据相似三角形的判定方法得到∽，然后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求解．
本题考查了相似三角形的判定与性质：平行于三角形一边的直线与其他两边所截的三角形与原三角形相似；相似三角形对应边的比相等，都等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．
 4.【答案】 【解析】解：，，
，
故A能判定，不符合题意；
，，
与方向相同，
，
故B能判定，不符合题意；
，
与方向相反，
，
故C能判定，不符合题意；
不能确定与的方向，
不能判定向量与向量平行，
故D不能判定，符合题意．
故选：．
根据平面向量的性质即可判断．
本题考查了平面向量，掌握向量平行的判定是解题关键．
 5.【答案】 【解析】解：，，
∽，∽，
，故A错误；
，故B正确；
，，故C错误；
，故D错误；
故选：．
由相似三角形的判定，可得∽，∽；又由相似三角形的对应边成比例与平行线分线段成比例定理，可得B正确．
本题主要考查了平行线分线段成比例定理及其应用问题；解题的关键是找准对应线段，准确列出比例式，科学推理论证．
 6.【答案】 【解析】【分析】
此题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，三角形对应边比值相等判定三角形相似的方法，本题中根据勾股定理计算三角形的三边长是解题的关键．
可利用勾股定理把对应的线段表示出来，利用三边对应成比例两个三角形相似，分别计算各边的长度即可解题．
【解答】
解：观察可以发现，，，故该三角形中必须有一条边与邻边的比值为，且为直角三角形，
第个图形中，有两边为，，且为直角三角三角形，
第，图形中，两边不具备倍关系，不可能相似，
第个图形中，有两边为，，且为直角三角三角形，
只有第，个图形与左图中的相似．
故选：．  7.【答案】 【解析】解：根据题意，厘米千米．
即实际距离是千米．
故答案为：．
实际距离图上距离：比例尺，根据题意代入数据可直接得出实际距离．
本题考查了比例线段的知识，注意掌握比例线段的定义及比例尺，并能够灵活运用，同时要注意单位的转换．
 8.【答案】 【解析】解：由于为线段的黄金分割点，
且是较长线段；
则．
故答案为．
根据黄金分割点的定义，知是较长线段；则，代入数据即可得出的长．
本题考查了黄金分割的概念．应该识记黄金分割的公式：较短的线段原线段的，较长的线段原线段的．
 9.【答案】 【解析】解：


．
故答案为：．
先去括号，然后合并同类项．
本题主要考查了平面向量，实数的运算法则同样适用于平面向量的计算过程中．
 10.【答案】假 【解析】解：当是的中点，是的中点时比例成立但不一定平行，
则这是假命题；
故答案为：假．
当是的中点，是的中点时比例成立但不一定平行，由此得出是假命题．
此题考查了平行线分线段成比例定理和命题的真假，注意找准对应关系，得出正确答案．
 11.【答案】 【解析】解：已知均不为，由比例的性质得：
，
，
则，
故答案为：．
首先根据比例的等比性质与已知得出，，然后将化为：，再代入求值．
此题考查的知识点是比例的性质，关键是准确掌握其性质进行运算．
 12.【答案】 【解析】解：，，点为重心，
，，
，
．
故答案为：．
根据等腰三角形的中线、角平分线和垂线三线合一，利用勾股定理求出的长，再利用重心的性质即可求出的长．
此题主要考查学生对三角形重心的理解和掌握，解答此题的关键是明确等腰三角形的中线、角平分线和垂线三线合一．此题难度不大，属于基础题．
 13.【答案】 【解析】解：两个相似三角形的面积之比为：，
相似比是：，
又相似三角形对应高的比等于相似比，
对应高线的比为：，即．
故答案为：．
根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，对应高的比等于相似比解答．
本题考查对相似三角形性质的理解，掌握相似三角形对应高的比等于相似比是解题关键．
 14.【答案】 【解析】解：三角形是直角三角形，
只有创造出一个直角时，才有可能满足题中相似的条件；
当时，可得三角形相似；
当时，亦可得三角形相似；
当时，三角形也相似，
故满足题中的直线共有条．
由于三角形是直角三角形，所以必须保证直线与三角形的任意一边能够形成直角三角形，进而再判定其是否相似．
本题主要考查了相似三角形的判定问题，应熟练掌握．
 15.【答案】钝角三角形 【解析】解：在中，，
，，
，，
，
是钝角三角形．
故答案为：钝角三角形．
先根据非负数的性质求出及的度数，再根据特殊角的三角函数值得出及的度数，进而可判断出的形状．
本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．
 16.【答案】或 【解析】解：，，，
，
若∽，则，
即，
解得：．
若∽，则，
即，
解得：．
综上所述．的长为：或．
由与中，，，，可求得的长，然后分别从∽或∽，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．
此题考查了相似三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．
 17.【答案】 【解析】解：
中，，是上的中线，
，
，
，
设为，则，
，
，
，
，
，
故答案为．
易得，那么，则可得与之比为：，利用勾股定理可得的份数，进而可得的长，除以即为的长．
考查解直角三角形的知识；突破点是得到的余弦值；用到的知识点为：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
 18.【答案】： 【解析】解：由旋转的性质可知，
，，旋转角，
所以，∽，相似比：：，
根据相似三角形的周长比等于相似比可知，
与的周长之比为：，
故答案为：：．
旋转的性质：对应点与旋转中心的连线长度相等，夹角为旋转角，旋转角相等．可知与是顶角相等的两个等腰三角形，易证它们相似，利用相似三角形的性质解题．
本题利用旋转的性质，证明相似三角形，再用相似三角形的性质求周长的比．
 19.【答案】解：原式


． 【解析】直接利用特殊角的三角函数值代入，进而计算得出答案．
此题主要考查了实数的运算、特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
 20.【答案】解：，，
，
是的中点，
，
，
，
，
，
；

过点作交于点，，即为所求．
 【解析】利用平行向量的性质，以及三角形法则求解即可；
利用平行四边形法则画出图形即可．
本题考查作图复杂作图，平面向量，三角形法则，平行四边形法则等知识，解题的关键是掌握三角形法则，平行四边形法则，属于中考常考题型．
 21.【答案】证明：，
，
，
． 【解析】由，将问题分解为，，分别利用平行线分线段成比例定理，利用“中间比”过渡，得出新的比例式，再变形即可．
本题考查了平行线分线段成比例定理．关键是利用中间比过渡，得出新的比例．
 22.【答案】解：，
；
平分，
，，
，
∽．
∽，
，
，，，
．
∽，
，
，
． 【解析】证明，结合，即可解决问题．
由∽，得到，利用，，，即可解决问题．
该题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；牢固掌握相似三角形的判定及其性质是灵活运用、解题的基础和关键．
 23.【答案】解：，，
，，
且点在点的左侧，
，
．
设直线的表达式为，
，在直线上，
，
解得：，
直线的表达式为；
线段是线段、的比例中项，
，
又是公共角，
∽；
，，，
，
∽，
，过作轴于，
，，
，
，
，
，，，
，
在中，，
． 【解析】根据，，求得，，得到设直线的表达式为，解方程组即可得到答案；
根据线段是线段、的比例中项，得到，根据相似三角形的判定定理即可得到结论；
过作轴于，根据等腰直角三角形的性质得到，求得，根据三角函数的定义即可得到结论．
本题考查了一次函数的综合题，待定系数法求一次函数的解析式，相似三角形的判定和性质，三角函数的定义，证得∽是解题的关键．
 24.【答案】证明：梯形中，，，
，
在和中，

≌，
，
，，
，
，，
，
又，四边形是平行四边形；
由得：四边形是平行四边形，
，
，，
，，
，
，
又，∽，
，
，，
，
． 【解析】本题考查了平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰梯形的性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形相似得出比例式是解决问题的关键．
由等腰梯形的性质得出，由证明≌，得出，由等腰三角形的性质和已知条件得出，证出，即可得出结论；
证出，证明∽，得出对应边成比例，即可得出结论．
 25.【答案】证明：由题意可知，
；
，．
∽，
，即，
又，
∽．

解：等腰直角中，斜边的长为，
．
如答图，过点作于点，则为等腰直角三角形，
，
，
．

由知，，，
，定义域．

解：在与中，，与均为钝角，
如果与相似，只能是∽，．
，，
，
，．
，，，
，
，即为角平分线．

如答图，过点作于点，则，且为等腰直角三角形．
，．
，
． 【解析】首先利用两角对应相等，证明∽，进而证明∽；
如答图所示，过点作于点，则为等腰直角三角形；分别求出、、的长度，然后利用求解；
首先确定∽，然后证明为角平分线；如答图，作辅助线，利用角平分线与等腰直角三角形的性质，求出的长度．
本题是几何综合题，考查了等腰直角三角形、平行线、角平分线、相似三角形等几何知识点．本题着重考查几何基础知识，难度不大．