江苏专版2023_2024学年新教材高中数学第五章一元函数的导数及其应用测评新人教A版选择性必修第二册

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第五章测评（时间：120分钟 满分：150分）一、选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知函数,则( )A. B. 2 C. D. 42. [2023江西赣州期末]已知,,,,则( )A. B. C. D. 3. 如图为函数的导函数的图象,那么函数的图象可能为( )A. B. C. D. 4. 曲线在处的切线方程为( )A. B. C. D. 5. 在气象学中,通常把某时段内降雨量的平均变化率称为该时段内的降雨强度.下表为一次降雨过程中记录的降雨量数据.则下列四个时段降雨强度最小的是( )A. 到 B. 到 C. 到 D. 到6. 若函数在区间,上单调递减,则的取值范围是( )A. B. C. D. 7. 已知函数（,,为常数）,当时,只有一个实数根,当时,有3个不同的实数根,现给出下列4个结论:①函数有2个极值点;②函数有3个极值点;和有一个相同的实根;和有一个相同的实根.其中正确结论的个数是( )A. 1 B. 2 C. 3 D. 48. 定义在上的偶函数的导函数为,若对任意的实数,都有恒成立,则使成立的实数的取值范围为( )A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9. 下列导数运算不正确的是( )A. （ 为常数） B. C. （ 为自然对数的底数） D. 10. [2023江苏镇江京口期中]如图是函数的导函数的图象,则以下说法正确的为( )A. 是函数 的极值点B. 函数 在 处取得最小值C. 函数 在 处切线的斜率小于零D. 函数 在区间 上单调递增11. [2023北京朝阳期末]已知函数,下列结论正确的是( )A. 若 是函数 的极值点,则B. 若 是函数 的极值点,则 在 上的最小值为C. 若 在 上单调递减,则D. 若 在 上恒成立,则12. [2023江苏常熟月考]对于三次函数,给出定义：设是函数的导数,是的导数,若方程有实数解,则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”,任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是函数图象的对称中心.设函数,则以下说法正确的是( )A. B. 当 时, 有三个零点C. D. 当 有两个极值点 , 时,过 , 的直线必过点 ,三、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.13. 函数的单调递减区间为.14. 已知是的极值点,则.15. [2023陕西咸阳期末]已知是定义在上的函数,且函数的图象关于直线对称,当时,,则,曲线在处的切线方程是.16. [2023辽宁大连月考]设函数在上存在导数,,有,在上,若,则实数的取值范围是.四、解答题：本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. [2023湖北荆州月考]（10分）已知曲线.（1） 求曲线在点处的切线方程;（2） 求过点并与曲线相切的直线方程.18. （12分）设函数,.（1） 求的极值点;（2） 若关于的方程有3个不相等的实数根,求实数的取值范围;（3） 已知当时,恒成立,求实数的取值范围.19. （12分）已知函数有两个极值点,,且.（1） 求实数的取值范围;（2） 求的取值范围.20. [2023江西宜春期末]（12分）已知函数.（1） 求函数在区间上的最小值;（2） 不等式对于恒成立,求实数的取值范围.21. （12分）某广场一雕塑造型结构如图所示,最上层是呈水平状态的圆环且圆心为,其半径为,通过金属杆,,,,支撑在地面处（垂直于水平面）,,,,是圆环上的等分点,圆环所在的水平面距地面,设金属杆,,,所在直线与圆环所在水平面所成的角都为 （圆环及金属杆均不计粗细）.（1） 当 为 且时,求金属杆,,,的总长.（2） 当 变化,一定时,为美观与安全起见,要求金属杆,,,,的总长最短,此时 的正弦值是多少？并由此说明越大,点的位置将会上移还是下移?22. （12分）已知函数.（1） 若,讨论的单调性;（2） 已知,若方程在,上有且只有两个不相等的实数根,求实数的取值范围.第五章测评一、选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. D[解析]由已知得,所以,解得.故,.故选.2. D[解析],故是减函数,又,,,故,所以.故选.3. A[解析]由导函数的图象可知,当时,;当时,.所以在,上单调递增,在上单调递减.故选.4. A[解析]由,得,所以,,所以曲线在处的切线方程为,即.故选.5. D[解析]到的降雨强度为;到的降雨强度为;到的降雨强度为;到的降雨强度为.因为,所以四个时段中到的降雨强度最小.故选.6. A[解析]由函数,求导可得.因为函数在区间,上单调递减,所以在区间,上,因为在区间,上小于零,且,所以只需即可.故选.7. C[解析]因为函数,所以.由题意,当时,只有一个实数根,当时,有3个不同的实数根,故函数既有极大值,又有极小值,且极大值为4,极小值为0,故①正确,②错误;与有一个相同的实根,即极大值点,故③正确;与有一个相同的实根,即极小值点,故④正确.故正确结论的个数是3.故选.8. B[解析]当时,由可知.设,,则恒成立,所以在上单调递减.当时，由,得,所以;因为函数是偶函数,所以也是偶函数,所以当时,解得.综上可知,实数的取值范围为.故选.二、选择题：本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9. ABD[解析]对于,,错误;对于,,错误;对于,,正确;对于,,错误.故选.10. AD[解析]根据导函数的图象,可知当时,,时,,当且仅当时,.故在上函数单调递减;在上函数单调递增,所以是函数的极小值点,所以正确;其中两侧函数的单调性不变,则在处的函数值不是函数的最小值,所以不正确;由图象可知,所以函数在处的切线的斜率大于零,所以不正确;由图象可知,当时,,当且仅当时,等号成立,所以函数在区间上单调递增,所以正确.故选.11. ABC[解析]由,得.对于,因为是函数的极值点,所以,得,经检验是函数的极小值点,所以正确;对于,由选项可知,则,由,得或,由,得,所以在 ,和上单调递增,在,上单调递减,所以当时,取得最小值,所以正确;对于,因为在上单调递减,所以当时,即,则在上恒成立,令,则,所以在上单调递增,所以,即,所以,所以正确;对于,由在上恒成立,得在上恒成立,即在上恒成立,令,,则,所以在上单调递增,所以,所以,所以错误.故选.12. AB[解析]对于选项,,,令,得,的拐点为,,的图象的对称中心为,,即成立,故选项正确;对于选项,当时,,不是的零点,令,即有三个实数根,令,, 当时,,单调递增,当时,单调递减,时,单调递减,且,的大致图象如图所示,由图可知,当时,与有三个交点,即有三个零点,故选项正确;对于选项,由选项可知,,,两式相加可得,故选项错误;对于选项,由于有两个极值点,,有两个不相等的实数根,,由于直线过,,则直线一定过线段的中点,由选项知,且有,, 线段的中点坐标为,,,则直线一定过点,,故选项错误.故选.三、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.13. ,[解析]函数的定义域为,,令,得或（舍去）,所以在,上,,单调递减,在,上,,单调递增.14. 1[解析]因为,所以,因为是函数的极值点,则,即,解得.当时,,当时,,单调递减,当时,,单调递增,所以是函数的极值点,故.15. 0;[解析] 函数的图象关于直线对称,,即,,故的图象关于直线对称,.当,即时,, 当时,,则,,,故曲线在处的切线方程为,即.16. [解析]令,,, 函数为奇函数. 当时,,故函数在上单调递减,故函数在上也单调递减,由,得,在上是减函数,,,,解得.四、解答题：本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. （1） 解,,当时,, 点处的切线方程为,即.（2） 设切点坐标为,易知,则切线斜率,而,则,整理得,即,解得,,.当时,,所求直线方程为;当时,,所求直线方程为;当时,,所求直线方程为.18. （1） 解,令,得,.当时,,当时,,因此,分别为的极大值点、极小值点.（2） ,,由（1）的分析可知图象的大致形状及走向如图所示.要使直线与的图象有3个不同的交点,则需.则方程有3个不相等的实数根时,所求实数的取值范围为.（3） ,,即,,因为,所以在上恒成立,令,由二次函数的性质得在上单调递增,所以,所以所求的取值范围为.19. （1） 解根据题意,函数,则,函数有两个极值点等价于关于的方程有两个不相等的正实数根.令,因为图象的对称轴为直线,所以解得,所以实数的取值范围为,.（2） 由（1）知,是的两个不相等的正实数根,且,所以,,故,其中,.令,,,因为当,时,,所以在,上单调递增,所以,,即的取值范围是,.20. （1） 解,当时,,,故当时,且不恒为0,故在上单调递增,故在处取得最小值.（2） 由已知,有对于恒成立,故,令,则,故.构造,则,令,解得,令,解得,故在上单调递增,在上单调递减,故在时取最大值,故.故实数的取值范围是,.21. （1） 解当 且时（如图）,,,所以.（2） 因为金属杆,,,所在直线与圆环所在水平面所成的角都为 ,所以 ,, .设金属杆总长为,则,.当时,;当时,.所以当时,函数有极小值,极小值也是最小值.此时,越大, 越小.因为 是锐角,所以 也越小,因此点上移了.22. （1） 解依题可得,定义域为,所以.当时,由,得,由,得,则的单调递减区间为,单调递增区间为.当时,由,得,由,得或,则的单调递减区间为,单调递增区间为和.当时,且不恒为0,则的单调递增区间为.当时,由,得,由,得或,则的单调递减区间为,单调递增区间为和.（2） .方程在,上有且只有两个不相等的实数根,即关于的方程在,上有且只有两个不相等的实数根.令,,,则.令,,,则,因为在,上恒成立,且仅有,故在,上单调递增.因为,所以当,时,有,即,单调递减;当时,有,即,单调递增.因为,,,所以的取值范围是,.时间0102030405060降雨量061418202324