第23章 旋转人教版数学九年级上册单元提升卷(含答案)

2023年秋人教版数学九年级上册

《旋转》单元提升卷

一 、选择题

1.观察下列图形，其中既是轴对称又是中心对称图形的是(　   　)

2.点A(4，3)经过某种图形变化后得到点B(﹣3，4)，这种图形变化可以是(　　)

A.关于x轴对称                B.关于y轴对称      

C.绕原点逆时针旋转90°       D.绕原点顺时针旋转90°

3.如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1=70°，∠2=50°，要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是(  )

A.10°     B.20°     C.50°        D.70°

4.将正六边形绕其对称中心旋转后，恰好能与原来的正六边形重合，那么旋转的角度至少是 (　　)

A.120°          B.60°         C.45°        D.30°

5.如图，在方格纸中，△ABC经过变换得到△DEF，则正确的变换是(        )

A．把△ABC绕点C逆时针方向旋转90°，再向下平移2格

B．把△ABC绕点C顺时针方向旋转90°，再向下平移5格

C．把△ABC向下平移4格，再绕点C逆时针方向旋转180°

D．把△ABC向下平移5格，再绕点C顺时针方向旋转180°

6.如图，点O为平面直角坐标系的原点，点A在x轴上，△OAB是边长为4的等边三角形，以O为旋转中心，将△OAB按顺时针方向旋转60°，得到△OA′B′，那么点A′的坐标为(   )

A.(2，2)       B.(－2，4)      C.(－2，2)      D.(－2，2)

7.如图，△ABC中，AB=6，BC=4，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AEF，使得AF∥BC，延长BC交AE于点D，则线段CD的长为(  )

A.4            B.5              C.6              D.7

8.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(﹣1，)，以原点O为中心，将点A顺时针旋转150°得到点A′，则点A′的坐标为(     )

A.(0，﹣2)      B.(1，﹣)     C.(2，0)     D.( ，﹣1)

9.如图,在正方形ABCD中,AB＝3,点M在CD的边上,且DM＝1,△AEM与△ADM关于AM所在的直线对称,将△ADM按顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABF,连接EF,则线段EF的长为(　　)

A.3　　　B.2　　　C.　　　D.

10.一副三角板按图1所示的位置摆放．将△DEF绕点A（F）逆时针旋转60°后（图2），测得CG=10cm，则两个三角形重叠（阴影）部分的面积为（      ）

A.75cm2    B. (25+25) cm2      C.(25+8) cm2  D. (25+16) cm2  

11.如图，等边三角形ABC的边长为4，点O是△ABC的中心，∠FOG=120°，绕点O旋转∠FOG，分别交线段AB、BC于D、E两点，连接DE.

给出下列四个结论：

①OD=OE；

②S△ODE=S△BDE；

③四边形ODBE的面积始终等于；

④△BDE周长的最小值为6.

上述结论中正确的个数是(  )

A.1         B.2           C.3                   D.4

12.如图,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C,M是BC的中点,P是A′B′的中点,连接PM.若BC＝2,∠BAC＝30°,则线段PM的最大值是(　　)

A.4            B.3            C.2            D.1

二 、填空题

13.在平面直角坐标系中，点P(2，3)与点P′(2a＋b，a＋2b)关于原点对称，则a－b的值为________.

14.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1cm，如果以AC的中点O为旋转中心，将△ABC旋转180°，点B落在点D处，连接BD，那么线段BD的长为　　　　　　cm.　

15.如图，在△ACB中，∠BAC=50°，AC=2，AB=3，现将△ACB绕点A逆时针旋转50°得到△AC1B1，则阴影部分的面积为     .

16.如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=3，将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转得到矩形GBEF，点A落在矩形ABCD的边CD上，连接CE，则CE的长是     .

17.有两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心O按逆时针方向向进行旋转，每次均旋转45°，第1次旋转后得到图①，第2次旋转后得到图②，…，则第10次旋转后得到的图形是图　 　(填①、②、③、④)

18.如图，已知∠MON=120°，点A，B分别在OM，ON上，且OA=OB=a，将射线OM绕点O逆时针旋转得到OM′，旋转角为α(0°＜α＜120°且α≠60°)，作点A关于直线OM′的对称点C，画直线BC交OM′于点D，连接AC，AD.

有下列结论：

①AD=CD；

②∠ACD的大小随着α的变化而变化；

③当α=30°时，四边形OADC为菱形；

④△ACD面积的最大值为a2；

其中正确的是     .(把你认为正确结论的序号都填上).

三 、解答题

19.如图，在△ABC中，AB＝AC，若将△ABC绕点C顺时针旋转180°得到△EFC，连接AF、BE.

(1)求证：四边形ABEF是平行四边形；

(2)当∠ABC为多少度时，四边形ABEF为矩形？请说明理由.

20.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4，将△ABC绕点C顺时针旋转90°，若点A、B的对应点分别是点D、E，请直接画出旋转后的三角形简图(不要求尺规作图)，并求点A与点D之间的距离.

21.已知△ABC与△DEC是两个大小不同的等腰直角三角形.

(1)如图①所示，连接AE，DB，试判断线段AE和DB的数量和位置关系，并说明理由；

(2)如图②所示，连接DB，将线段DB绕D点顺时针旋转90°到DF，连接AF，试判断线段DE和AF的数量和位置关系，并说明理由.

22.如图，△ABC是边长为4 cm的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA＝6 cm，点D从点O出发，沿OM的方向以1 cm/s的速度运动，当D不与A点重合时，将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，连接DE.

(1)求证：△CDE是等边三角形；

(2)点D运动时间为t，当6<t<10时，△BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE的最小周长；若不存在，请说明理由；

(3)当点D在射线OM上运动时，是否存在以D，E，B为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．

23.已知，在菱形ABCD中，∠ADC＝60°，点H为CD上任意一点(不与C、D重合)，过点H作CD的垂线，交BD于点E，连接AE.

(1)如图1，线段EH、CH、AE之间的数量关系是　   　；

(2)如图2，将△DHE绕点D顺时针旋转，当点E、H、C在一条直线上时.

求证：AE＋EH＝CH.

24.如图1，已知∠DAC＝90°，△ABC是等边三角形，点P为射线AD上任意一点(点P与点A不重合)，连接CP，将线段CD绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，连接QB并延长交直线AD于点E.

(1)如图1，猜想∠QEP＝　 　°

(2)如图2、3，若当∠DAC是锐角或钝角时，其它条件不变，猜想∠QEP的度数，选取一种情况加以证明；

(3)如图3，若∠DAC＝120°，∠ACP＝15°，且AC＝6，求BQ的长.

答案

1.D

2.C.

3.B.

4.B

5.B

6.D.

7.B

8.D

9.C

10.C

11.C

12.B

13.答案为：1.

14.答案为：.

15.答案为：π.

16.答案为：.

17.答案为：②.

18.答案为：①③④.

19.证明：(1)∵将△ABC绕点C顺时针旋转180°得到△EFC，

∴△ABC≌△EFC，

∴CA＝CE，CB＝CF，

∴四边形ABEF是平行四边形；

(2)解：当∠ABC＝60°时，四边形ABEF为矩形，

理由是：∵∠ABC＝60°，AB＝AC，

∴△ABC是等边三角形，

∴AB＝AC＝BC，

∵CA＝CE，CB＝CF，

∴AE＝BF，

∵四边形ABEF是平行四边形，

∴四边形ABEF是矩形.

20.解：如图，

∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4，

∴AC＝3，

∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°，点A，B的对应点分别是点D，E，

∴AC＝CD＝3，∠ACD＝90°，

∴AD＝3.

21.解：(1)AE＝DB，AE⊥DB，

证明：∵△ABC与△DEC是等腰直角三角形，

∴AC＝BC，EC＝DC，

在Rt△BCD和Rt△ACE中，

，

∴Rt△BCD≌Rt△ACE，

∴AE＝BD，∠AEC＝∠BDC，

∵∠BCD＝90°，

∴∠DHE＝90°，

∴AE⊥DB；

(2)DE＝AF，DE⊥AF，

证明：设DE与AF交于N，由题意得，BE＝AD，

∵∠EBD＝∠C＋∠BDC＝90°＋∠BDC，

∠ADF＝∠BDF＋∠BDC＝90°＋∠BDC，

∴∠EBD＝∠ADF，

在△EBD和△ADF中，

，

∴△EBD≌△ADF，

∴DE＝AF，∠E＝∠FAD，

∵∠E＝45°，∠EDC＝45°，

∴∠FAD＝45°，

∴∠AND＝90°，即DE⊥AF.

22.解：(1)∵将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，

∴∠DCE＝60°，DC＝EC，

∴△CDE是等边三角形；

(2)存在，当6＜t＜10时，

由旋转的性质得，BE＝AD，

∴C△DBE＝BE＋DB＋DE＝AB＋DE＝4＋DE，

由(1)知，△CDE是等边三角形，

∴DE＝CD，

∴C△DBE＝CD＋4，

由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，

此时，CD＝2 cm，

∴△BDE的最小周长＝CD＋4＝2＋4(cm)；

(3)存在．

①∵当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形，

∴当点D与点B重合时，不符合题意；

②当0≤t<6时，

由旋转可知，∠ABE＝60°，∠BDE<60°，

∴∠BED＝90°，

由(1)可知，△CDE是等边三角形，

∴∠DEC＝60°，

∴∠CEB＝30°.

∵∠CEB＝∠CDA，

∴∠CDA＝30°.

∵∠CAB＝60°，

∴∠ACD＝∠ADC＝30°，

∴DA＝CA＝4，

∴OD＝OA－DA＝6－4＝2，

∴t＝2÷1＝2 s；

③当6＜t＜10时，由∠DBE＝120°＞90°，

∴此时不存在；

④当t＞10时，由旋转的性质可知，∠DBE＝60°，

又由(1)知∠CDE＝60°，

∴∠BDE＝∠CDE＋∠BDC＝60°＋∠BDC，

而∠BDC＞0°，

∴∠BDE＞60°，

∴∠BDE＝90°，∠BCD＝30°，

∴BD＝BC＝4，

∴OD＝14 cm，

∴t＝14÷1＝14 s，

综上所述：当t＝2或14 s时，以D，E，B为顶点的三角形是直角三角形．

23.解：(1)EH2＋CH2＝AE2，

如图1，过E作EM⊥AD于M，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AD＝CD，∠ADE＝∠CDE，

∵EH⊥CD，

∴∠DME＝∠DHE＝90°，

在△DME与△DHE中，

，

∴△DME≌△DHE，

∴EM＝EH，DM＝DH，

∴AM＝CH，

在Rt△AME中，AE2＝AM2＋EM2，

∴AE2＝EH2＋CH2；

故答案为：EH2＋CH2＝AE2；

(2)如图2，∵菱形ABCD，∠ADC＝60°，

∴∠BDC＝∠BDA＝30°，DA＝DC，

∵EH⊥CD，

∴∠DEH＝60°，

在CH上截取HG，使HG＝EH，

∵DH⊥EG，∴ED＝DG，

又∵∠DEG＝60°，

∴△DEG是等边三角形，

∴∠EDG＝60°，

∵∠EDG＝∠ADC＝60°，

∴∠EDG﹣∠ADG＝∠ADC﹣∠ADG，

∴∠ADE＝∠CDG，

在△DAE与△DCG中，

，

∴△DAE≌△DCG，

∴AE＝GC，

∵CH＝CG＋GH，

∴CH＝AE＋EH.

24.解：(1)∠QEP＝60°；

证明：如图1，QE与CP的交点记为M，

∵PC＝CQ，且∠PCQ＝60°，

则△CQB和△CPA中，

，

∴△CQB≌△CPA(SAS)，

∴∠CQB＝∠CPA，

在△PEM和△CQM中，∠EMP＝∠CMQ，

∴∠QEP＝∠QCP＝60°.

故答案为：60；

(2)∠QEP＝60°.以∠DAC是锐角为例.

证明：如图2，

∵△ABC是等边三角形，

∴AC＝BC，∠ACB＝60°，

∵线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，

∴CP＝CQ，∠PCQ＝6O°，

∴∠ACB＋∠BCP＝∠BCP＋∠PCQ，

即∠ACP＝∠BCQ，

在△ACP和△BCQ中，

，

∴△ACP≌△BCQ(SAS)，

∴∠APC＝∠Q，

∵∠BOP＝∠COQ，

∴∠QEP＝∠PCQ＝60°；

(3)作CH⊥AD于H，如图3，

与(2)一样可证明△ACP≌△BCQ，

∴AP＝BQ，

∵∠DAC＝135°，∠ACP＝15°，

∴∠APC＝30°，∠PCB＝45°，

∴△ACH为等腰直角三角形，

∴AH＝CH＝AC＝3，

在Rt△PHC中，PH＝CH＝3，

∴PA＝PH﹣AH＝3﹣3，

∴BQ＝3﹣3.