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2023-2024学年重庆市开州区文峰初中教育集团九年级（上）开学数学试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年重庆市开州区文峰初中教育集团九年级（上）开学数学试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年重庆市开州区文峰初中教育集团九年级（上）开学数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列各式中最简二次根式是( )
A. 9 B. 4a C. x2 D. a
2. 把5米长的梯子斜靠在墙上，若梯子底端离墙4米，则梯子顶端到离地面( )
A. 2米 B. 3米 C. 4米 D. 4.5米
3. 下列算式中正确的是( )
A. 4÷ 2= 2 B. 3+ 2= 5 C. 3− 2=1 D. (−2)2=−2
4. 将字母“a”，“b”按照如图所示得规律摆放，依次下去，则第④个图形中字母“b”的个数是( )
A. 10 B. 11 C. 12 D. 13
5. 估计 61−2的值应该在( )
A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间
6. 八年级1班班主任从全班选出15名同学参加合唱训练，已知15名同学组成的合唱队成员的身高如下：
身高(cm)
158
160
163
165
168
170
人数
2
3
5
2
2
1
则该合唱队15名同学的身高的众数和中位数分别是( )
A. 160，163 B. 163，163 C. 163，164 D. 165，164
7. 已知M(x1,y1)，N(x2,y2)是一次函数y=kx+2(k>0)图象上的点，若x1<0
A. B. C. D.
9. 如图，在正方形ABCD中，点E在BC上，点F在CD的延长线上.满足BE=DF，连接AE.AF，取AE的中点G，连接BG，FG，若BG=2，则FG=( )
A. 5
B. 2 5
C. 10
D. 2 10
10. 有n个依次排列的整式：第1项是(x+1)，用第1项乘(x−1)，所得之积记为a1，将第1项加上(a1+1)得到第2项，再将第2项乘(x−1)得到a2，将第2项加上(a2+1)得到第3项……以此类推，某数学兴趣小组对此展开研究，得到下列4个结论：
①第4项为x4+x3+x2+x+1；
②a5=x5−1；
③若第2023项的值为0，则x2024=1．
以上结论正确的个数为( )
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）
11. 若二次根式 2x−2有意义，则x的取值范围为______．
12. 如图，O是菱形ABCD的对角线AC、BD的交点，E是BC的中点，连接OE.若OE=1，则AB= ______ ．
13. 若y=(m−1)x|m|+2m+1是关于x的一次函数，则实数m= ______ ．
14. 某校招募校园活动主持人，甲候选人的综合素质、普通话、才艺展示成绩如表所示．
测试项目
综合素质
普通话
才艺展示
测试成绩
90
86
91
根据实际需求，该校规定综合素质、普通话和才艺展示三项测试得分按5：3：2的比例确定最终成绩，则甲候选人的最终成绩为______ 分.
15. 如图，在四边形ABCD中，DE⊥AB于点E，且点E为AB的中点.若AB=8，DE=2 2，BC=1，CD=5，则四边形ABCD的面积为______ ．
16. 已知关于x的分式方程1−ax2−x−1x−2+1=0有整数解，且一次函数y=ax+a图象经过第一、二、三象限，则整数a的值为______ ．
17. 如图，∠ABC=90°，四边形ACDE是正方形，若AB=1，BC=2，则△BCE的面积等于______ ．
18. 一个四位正整数A满足百位上的数字比千位上的数字小5，个位上的数字比十位上的数字小3则称A为“三五律数”，将“三五律数”A的千位和十位数字组成的两位数与百位和个位数字组成的两位数的和记为F(A)，将“三五律数”A的千位和百位数字组成的两位数与十位和个位数字组成的两位数的差记为G(A)例如：四位正整数7241，∵7−2=5，4−1=3，∴7241是“三五律数”，此时F(A)=74+21=95，G(A)=72−41=31．
(1)四位正整数6130是“三五律数”，则F(6130)= ______ ．
(2)若A是“三五律数”，且满足F(A)−G(A)是一个正整数的4次方，则符合条件的A为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题8.0分)
(1)计算(−1)10−(− 2)2+ (−3)2；
(2)化简( x− y)( x+ y)− x( x− y)．
20. (本小题10.0分)
如图，在平行四边形ABCD中，AB
(2)在(1)所作的图形中，连接EF，求证：四边形ABEF是菱形.请补全下面的证明过程．
证明：四边形ABCD为平行四边形，
∴AD//BC且AD= ______ ，
∵DF=CE，AD−DF=BC−CE，
∴ ______ ．
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AD//BC，
∴ ______ ．
∵AE平分∠BAF，
∴ ______ ，
∴∠BEA=∠BAE．
∴ ______ ，
∴四边形ABEF是菱形．
21. (本小题10.0分)
海军陆战队分蓝队、红队进行专业科目比赛.现从两队中各随机抽取10名队员的比赛成绩(百分制)作样本进行整理和分析(用x表示成绩得分，并分成四组：A.80≤x<85，B.85≤x<90，C.90≤x<95，D.95≤x≤100)，得到如图统计图，还知道两队的平均数都是92，红队的众数是98，蓝队成绩在D组中的数据：96，96，97，96，96，96；红队成绩在C组中的数据是：92，93，94．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)求a的值，并写出蓝队样本的众数和红队样本的中位数；
(2)你认为该蓝队、红队哪一个比赛成绩较更好？请说明理由(一条理由即可)；
(3)若该陆战队的蓝队、红队共100人参加了此次比赛活动，估计参加此次比赛活动成绩优秀(x≥95)的人数是多少？
22. (本小题10.0分)
某中学计划购买某种品牌的A、B两种型号的盲盒作为学生参加活动的奖励.若购买2盒A种型号的盲盒和1盒B种型号的盲盒需用68元；若购买1盒A种型号的盲盒和2盒B种型号的盲盒需用64元．
(1)求每盒A种型号的盲盒和每盒B种型号的盲盒各多少元；
(2)学校决定购买以上两种型号的盲盒共100盒，总费用不超过2240元，那么该中学最多可以购买多少盒A种型号的盲盒？
23. (本小题10.0分)
在海平面上有A，B，C三个标记点，其中A在C的北偏西54°方向上，与C的距离是800海里，B在C的南偏西36°方向上，与C的距离是600海里．
(1)求点A与点B之间的距离；
(2)若在点C处有一灯塔，灯塔的信号有效覆盖半径为500海里，每隔半小时会发射一次信号，此时在点B处有一艘轮船准备沿直线向点A处航行，轮船航行的速度为每小时20海里.轮船在驶向A处的过程中，最多能收到多少次信号？(信号传播的时间忽略不计)．
24. (本小题10.0分)
如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，AC=5，动点P从点A出发，沿着折线A→B→C匀速运动，到达C点时停止，设点P运动路程为x，△PAC的面积为y(动点P在点A和点C时，△PAC的面积记为0)．
(1)请直接写出y关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；
(2)在平面直角坐标系中画出y与x的函数图象，并写出它的一条性质；
(3)根据图象直接写出当y≤2时x的取值范围．
25. (本小题10.0分)
如图，一次函数y=kx+b的图象交x轴于点A，OA=4，与正比例函数y=−3x的图象交于点B，点B的横坐标为−1．
(1)求一次函数y=kx+b的解析式；
(2)若点C在y轴上，且满足S△BOC=12S△AOB，求点C的坐标；
(3)一次函数y=kx+b有一点D，点D的纵坐标为1，点M为坐标轴上一动点，在函数y=−3x上确定一点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一个情况的过程．
26. (本小题10.0分)
已知，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°．
(1)如图1，点D、点E分别是线段AB上两点，连接CD、CE，若AD=BE，且∠ECD=45°，求∠ECB的度数；
(2)如图2，点D、点E分别是线段AB上两点，连接CD、CE，过点B作BF⊥AB交CE延长线于F，连接DF，若∠ECD=45°，求证：AD+BF=DF；
(3)如图3，M为射线AC上一点，N为射线CA上一点，且始终满足CM=AN，过点C作MB的垂线交AB的延长线于点P，连接NP，猜想：NP、MB、CP之间的数量关系并证明你的结论．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、 9=3，故A不符合题意；
B、 4a=2 a，故B不符合题意；
C、 x2=|x|，故C不符合题意；
D、 a是最简二次根式，故D符合题意；
故选：D．
根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答．
本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：设梯子顶端到离地面高度为h米，
根据勾股定理得h= 52−42=3(米)，
答：梯子顶端到离地面高度为3米，
故选：B．
利用勾股定理即可求出梯子顶端到离地面的高度．
本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是掌握勾股定理在直角三角形中的表达式．
3.【答案】A
【解析】解：A． 4÷ 2= 4÷2= 2，所以A选项符合题意；
B. 3与 2不能合并，所以B选项不符合题意；
C. 3与 2不能合并，所以C选项不符合题意；
D. (−2)2=2，所以D选项不符合题意．
故选：A．
根据二次根式的除法法则对A选项进行判断；根据二次根式的加法运算对B选项进行判断；根据二次根式的减法运算对C选项进行判断；根据二次根式的性质对D选项进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：由题目得，第①个图形中的“b”的个数是4；
第②个图形中的“b”的个数是6；
第③个图形中的“b”的个数是8；
发现规律：每一个图形都比前一个图形的“b”的个数多2个；
则第④个图形中的“b”的个数是10．
故答案应选：A．
本题是一道关于图形变化来进行数字猜想的问题，通过归纳与总结，得到其中的规律．
本题考察了从图形规律到数字猜想的问题，需要通过归纳总结，得到其中的规律．需要考生细心观察，仔细求证解决本题．
5.【答案】C
【解析】解：∵7< 61<8，
∴5< 61−2<6，
故选：C．
根据算术平方根的定义估算无理数 61的大小，进而得出 61−2的大小即可．
本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的前提．
6.【答案】B
【解析】解：因为163出现的次数最多，
所以众数是：163；
因为第8个数是163，
所以中位数是：163．
故选：B．
找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数(或两个数的平均数)为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据．
本题为统计题，考查众数与中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(或最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数．如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
7.【答案】A
【解析】解：当x=0时，y=k×0+2=2，
∴一次函数y=kx+2的图象经过点(0,2)．
∵k>0，
∴y随x的增大而增大，
又∵M(x1,y1)，N(x2,y2)是一次函数y=kx+2(k>0)图象上的点，且x1<0
利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出一次函数y=kx+2的图象经过点(0,2)，由k>0，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而增大，再结合x1<0
8.【答案】B
【解析】解：由题意得，当点P在点B运动到点C时，S=12AB⋅BP，△ABP的面积S随时间t的增大而增大；
当点P在点C运动到点D时，S=12AB⋅BC，△ABP的面积S随时间t的增大而不变；
当点P在点D运动到点A时，S=12AB⋅AP，△ABP的面积S随时间t的增大而减小；
所以在点P的运动过程中，△ABP的面积S随时间t变化的函数图象大致是选项B的图象．
故选：B．
分析动点P在每段路径上的运动的过程中的面积增大、减小或不变的趋势即可．
本题为动点问题的函数图象判断题，考查学生对于动点运动过程中函数图象的变化趋势的判断．解答关键是注意动点到达临界点前后的图象变化．
9.【答案】B
【解析】解：∵正方形ABCD，
∴∠BAD=∠ABE=∠ADF=90°，AB=AD，
∵G是AE的中点，
∴AG=BG=2，AE=2BG=2×2=4，
在△ABE和△ADF中，
AB=AD∠ABE=∠ADFBE=DF，
∴△ABE≌△ADF(SAS)，
∴AF=AE=4，∠BAE=∠DAF，
∴∠GAF=∠GAD+∠DAF=∠GAD+∠BAE=∠BAD=90°，
由勾股定理，得：
FG= AG2+AF2= 22+42=2 5，
故选：B．
先由正方形的性质得∠BAD=∠ABE=∠ADF=90°，AB=AD，再由直角三角形性质得AG=BG=2，AE=2BG=2×2=4，然后证明△ABE≌△ADF(SAS)，得AF=AE=4，∠BAE=∠DAF，从而可证得∠GAF=90°，最后利用勾股定理求解即可．
本题考查正方形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，利用SAS证△ABE≌△ADF是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：根据题意：第1项为x+1，a1=(x+1)(x−1)=x2−1，a1+1=x2；
第2项为x2+x+1，a2=(x2+x+1)(x−1)=x3−1，a2+1=x3；
第3项为x3+x2+x+1，a3=(x3+x2+x+1)(x−1)=x4−1，a3+1=x4；
第4项为x4+x3+x2+x+1，故①正确；
a4=(x4+x3+x2+x+1)(x−1)=x5−1，故②不正确；
如果第2023项为0，则a2023+a2022+…+x+1=0，即a2023=0．
∵a2023=x2024−1，
∴x2024=1.故③正确；
则正确的有2个．
故选：C．
第1项为x+1，a1=(x+1)(x−1)=x2−1，a1+1=x2；第2项为x2+x+1，a2=(x2+x+1)(x−1)=x3−1，a2+1=x3；第3项为x3+x2+x+1，a3=(x3+x2+x+1)(x−1)=x4−1，a3+1=x4；第4项为x4+x3+x2+x+1；根据规律分析出选项．
本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是分析清楚所给式子存在的规律．
11.【答案】x≥1
【解析】解：由题意得，2x−2≥0，
解得x≥1，
故答案为：x≥1．
根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
12.【答案】2
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，BD⊥AC，
∴∠BOC=90°，
∵E是CD的中点，OE=1，
∴BC=2OE=2，
∴AB=2，
故答案为：2．
由菱形的性质得AB=BC，BD⊥AC，则∠BOC=90°，再由直角三角形斜边上的中线性质得BC=2OE=2，即可得出结论．
本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
13.【答案】−1
【解析】解：∵y=(m−1)x|m|+2m+1是关于x的一次函数，
∴|m|=1且m−1≠0，
解得：m=−1．
故答案为：−1．
根据一次函数解析式的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数，进而得出答案．
此题主要考查了一次函数的定义，正确掌握一次函数的定义是解题关键．
14.【答案】89
【解析】解：甲候选人的最终成绩为：
90×5+86×3+91×210=89(分)．
故答案为：89．
根据加权平均数的定义，直接求解即可．
本题主要考查加权平均数，掌握加权平均数的定义是解题的关键．
15.【答案】8 2+ 6
【解析】解：连接BD，
∵E为AB的中点，DE⊥AB，AB=8，
∴AE=BE=4，∠DEB=90°，
∵DE=2 2，
∴BD2=DE2+BE2=(2 2)2+42=24，
∵BC=1，CD=5，
∴BD2+BC2=CD2，
∴△DBC是直角三角形(∠DBC=90°)，
∴四边形ABCD的面积S=S△DAB+S△DBC
=12AB⋅DE+12BD⋅BC
=12×8×2 2+12× 24×1
=8 2+ 6．
故答案为：8 2+ 6．
连接BD，根据E为AB的中点求出BE，根据勾股定理求出BD，根据勾股定理的逆定理求出△DBC是直角三角形，再根据三角形的面积公式求出即可．
本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理，勾股定理的逆定理和三角形的面积等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键．
16.【答案】3
【解析】解：去分母得：1−ax+1+2−x=0，
解得：x=4a+1且x≠2，
∵关于x的分式方程1−ax2−x−1x−2+1=0有整数解，
∴4a+1为整数且4a+1≠2，
解得：a=0或3或−5或−3或−2，
∵一次函数y=ax+a图象经过第一、二、三象限，
∴a>0，
∴符合条件的a的值为3，
故答案为：3．
解分式方程得x=4a+1且x≠2，则整数a为0，3，−5，−3，−2时分式方程的解为整数解，再解不等式a>0，从而得到满足条件的整数a的值．
本题考查了分式方程的解：求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．也考查了一元一次不等式组的整数解，求出a值是本题的关键．
17.【答案】3
【解析】解：如图，过点E作EF⊥AB交BA的延长线于F，
在正方形ACDE中，AC=AE，∠CAE=90°，
∠EAF+∠BAC=180°−∠CAE=180°−90°=90°
∠BAC+∠ACB=90°，
∴∠EAF=∠ACB
在△ABC和△EFA中，
∠EAF=∠ACB∠F=∠ABC=90°AC=AE，
∴△ABC≌△EFA(AAS)，
∴EF=AB=1，AF=BC=2．
∴BF=AB+AF=1+2=3，
∴S△BCE=12BC⋅BF=12×2×3=3．
故答案为：3．
过点E作EF⊥AB交BA的延长线于F，根据正方形的性质可得AC=AE，再求出∠EAF=∠ACB，然后利用“角角边”证明△ABC和△EFA全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=AB，AF=BC，再求出BF，然后利用三角形的面积计算公式解答即可．
此题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质和勾股定理的应用，作辅助线构造成全等三角形和直角三角形是解题的关键．
18.【答案】73 6163
【解析】解：∵四位正整数6130是“三五律数”，
∴F(6130)=63+10=73，
故答案为：73；
(2)设A的千位数字是x，十位上的数字为y，则A=1000x+100(x−5)+10y+y−3，
∴F(A)=10x+y+10(x−5)+y−3=20x+2y−53，
G(A)=10x+x−5−(10y+y−3)=11x−11y−2，
∴F(A)−G(A)
=20x+2y−53−(11x−11y−2)
=20x+2y−53−11x+11y+2
=9x+13y−51，
∵F(A)−G(A)是一个正整数的4次方，
设M(A)=F(A)−G(A)，
∵5≤x≤9，3≤y≤9，
①当x=5时，M(A)=F(A)−G(A)=13y−6，
此时把y=3，4，5，6，7，8，9均不符合题意，故舍去，
②当x=6时，M(A)=F(A)−G(A)=13y+3，
此时把y=3，4，5，6，7，8，9代入，
当y=6时，M(A)=F(A)−G(A)=13y+3=81=34，符合题意，
③当x=7时，M(A)=F(A)−G(A)=13y+12，
此时把y=3，4，5，6，7，8，9均不符合题意，故舍去，
④当x=8时，M(A)=F(A)−G(A)=13y+21，
此时把y=3，4，5，6，7，8，9均不符合题意，故舍去，
⑤当x=9时，M(A)=F(A)−G(A)=13y+30，
此时把y=3，4，5，6，7，8，9均不符合题意，故舍去，
综上，符合条件的A为：6163．
(1)根据所给的定义进行求解即可；
(2)可令A的千位数字是x，十位上的数字为y，则A=1000x+100(x−5)+10y+y−3，分别表示出F(A)，G(A)，结合所给的条件进行分析即可．
本题考查新定义题型，解题的关键是对新定义题型的理解．
19.【答案】解：(1)(−1)10−(− 2)2+ (−3)2
=1−2+3
=2；
(2)( x− y)( x+ y)− x( x− y)
=x−y−x+ xy
= xy−y．
【解析】(1)先算乘方与开方，再进行加减运算即可；
(2)先利用平方差公式与单项式乘多项式的法则计算，再进行加减运算即可．
本题考查了二次根式的混合运算，掌握运算法则以及乘法公式是解题的关键．
20.【答案】BC BE=AF ∠AEB=∠EAD ∠EAB=∠EAD BA=BE
【解析】(1)解：图形如图所示：
(2)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD//BC且AD=BC，
∵DF=CE，
∴AD−DF=BC−CE，
∴BE=AF．
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AD//BC，
∴∠AEB=∠EAD．
∵AE平分∠BAF，
∴∠EAB=∠EAD，
∴∠BEA=∠BAE．
∴BA=BE，
∴四边形ABEF是菱形．
故答案为：BC；BE=AF，∠AEB=∠EAD，∠EAB=∠EAD，BA=BE．
(1)根据要求作出图形即可；
(2)根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．
本题考查作图−复杂作图，平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
21.【答案】解：(1)1−20%−10%−3÷10×100%=40%，
则a=40，
蓝队样本的众数为96，
红队样本的中位数为(93+94)÷2=93.5；
(2)我认为蓝队比赛成绩好些(一条合理即得分)，
因为蓝队的中位数96大于红队的中位数93.5：
(3)两队抽取的20人中此次比赛活动成绩优秀的有6+4=10(人)，
占样本的50%，该陆战队的蓝队、红队共100人参加了此次比赛，
所以估计成绩为优秀的军人有100×50%=50(人)．
故估计参加此次比赛活动成绩优秀(x≥95)的人数是50人．
【解析】(1)用“1”分别减去其他三组所占比例可得a的值；根据众数的定义可得蓝队样本的众数；根据中位数的定义可得红队样本的中位数；
(2)根据中位数的意义解答即可；
(3)利用样本估计总体思想求解可得．
本题考查读扇形统计图的能力和利用统计图获取信息的能力，样本估计总体，正确利用统计图获取信息，作出正确的判断和解决问题是解题关键．
22.【答案】解：(1)设每盒A种型号的盲盒x元，每盒B种型号的盲盒y元，
根据题意得：2x+y=68x+2y=64，
解得：x=24y=20．
答：每盒A种型号的盲盒24元，每盒B种型号的盲盒20元；
(2)设该中学购买m盒A种型号的盲盒，则购买(100−m)盒B种型号的盲盒，
根据题意得：24m+20(100−m)≤2240，
解得：m≤60，
∴m的最大值为60．
答：该中学最多可以购买60盒A种型号的盲盒．
【解析】(1)设每盒A种型号的盲盒x元，每盒B种型号的盲盒y元，根据“购买2盒A种型号的盲盒和1盒B种型号的盲盒需用68元；购买1盒A种型号的盲盒和2盒B种型号的盲盒需用64元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设该中学购买m盒A种型号的盲盒，则购买(100−m)盒B种型号的盲盒，利用总价=单价×数量，结合总价不超过2240元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
23.【答案】解：(1)依题意有：AC=800，BC=600，∠NCA=54°，∠SCB=36°，
∴∠ACB=180°−54°−36°=90°，
在Rt△ACB中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，
∴AB= 6002+8002(米)，
答：点A与点B之间的距离为1000米；
(2)过C作CD⊥AB于D，
∵S△ABC=12AC⋅BC=12AB⋅CD，
∴CD=AC⋅BCAB=480(米)，
∵480<500，
故分别在DB和DA上找点E和点F使CF=CE=500，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：CD2+DE2=CE2，
∴DE= 5002−4802=140(米)，
同理得：DF=140(米)，
当无人机处在EF段时能收到信号，由无人机的速度为10m/s，
则无人机飞过此段的时间为：140+14020=14(秒)，
∴无人机收到信号次数最多为142+1=8(次)．
【解析】(1)由题意易得∠ACB是直角，由勾股定理即可求得点A与点B之间的距离；
(2)过C作CD⊥AB于D，由面积关系可求得CD的长，判断出CD<500，分别在DB和DA上找点E和点F使CF=CE=500，分别求得DE、DF的长，可求得此时无人机飞过EF时的时间，从而可求得最多能收到的信号次数．
本题考查了勾股定理的应用，直角三角形的判定等知识，涉及路程、速度、时间的关系，熟练掌握勾股定理的应用是关键．
24.【答案】解：(1)∵∠ABC=90°，AB=4，AC=5，
∴BC= AC2−AB2=3，
当P在边AB上，即0≤x≤4时，如图：
y=12AP⋅BC=12x×3=32x；
当P在边BC(不含B)上，即4
y=12CP⋅AB=12(7−x)×4=−2x+14；
∴y=32x(0≤x≤4)−2x+14(4
画出函数图象如下：
由图象可知，当0≤x≤4时，y随x的增大而增大；y的最大值为6(写出一条即可)；
(3)根据函数图象可得，当y≤2时x的取值范围是0≤x≤43或6≤x≤7．
【解析】(1)求出BC= AC2−AB2=3，分两种情况：当P在边AB上，即0≤x≤4时，y=12AP⋅BC=12x×3=32x；当P在边BC(不含B)上，即4
(3)根据函数图象即可得到答案．
本题考查三角形综合应用，涉及一次函数图象及性质，解题的关键是读懂题意，应用分类讨论思想写出函数关系式．
25.【答案】解：(1)∵OA=4，
∴A(−4,0)，
∵直线y=−3x经过点B，且点B的横坐标为−1，
∴B(−1,3)，
把A(−4,0)，B(−1,3)代入y=kx+b，得−4k+b=0−k+b=3，
解得：k=1b=4，
∴一次函数的解析式为y=x+4；
(2)设C(0,y)，则OC=|y|，
∵S△BOC=12S△AOB，
∴12⋅|xB|⋅OC=12×12OA⋅|yB|，
即12×1×|y|=12×12×4×3，
解得：y=±6，
∴点C的坐标为(0,6)或(0,−6)；
(3)由(1)知B(−1,3)，
∵一次函数y=x+4有一点D，点D的纵坐标为1，
∴D(−3,1)，
∵点N在直线y=−3x上，
∴设N(n,−3n)，
当点M在x轴上时，设M(m,0)，
若BM、DN为对角线，则BM、DN的中点重合，
∴m−1=n−33+0=1−3n，
解得：m=−83n=−23，
∴N(−23,2)；
若BD、MN为对角线，则BD、MN的中点重合，
∴−1−3=m+n3+1=−3n+0，
解得：m=−83n=−43，
∴N(−43,4)；
若BN、DM为对角线，则BN、DM的中点重合，
∴n−1=m−3−3n+3=1+0，
解得：m=83n=23，
∴N(23,−2)；
当点M在y轴上时，设M(0,m)，
若BM、DN为对角线，则BM、DN的中点重合，
∴−1+0=n−3m+3=1−3n，
解得：m=−8n=2，
∴N(2,−6)；
若BD、MN为对角线，则BD、MN的中点重合，
∴−1−3=n+03+1=m−3n，
解得：m=−8n=−4，
∴N(−4,12)；
若BN、DM为对角线，则BN、DM的中点重合，
∴n−1=0−33−3n=m+1，
解得：m=8n=−2，
∴N(−2,6)；
综上所述，点N的坐标为(−23,2)或(−43,4)或(23,−2)或N(2,−6)或(−4,12)或(−2,6)．
【解析】(1)先求得A(−4,0)，B(−1,3)，再运用待定系数法即可求得一次函数的解析式；
(2)设C(0,y)，则OC=|y|，根据S△BOC=12S△AOB，建立方程求解即可得出答案；
(3)根据题意可得B(−1,3)，D(−3,1)，设N(n,−3n)，当点M在x轴上时，设M(m,0)，分三种情况：若BM、DN为对角线，则BM、DN的中点重合，若BD、MN为对角线，则BD、MN的中点重合，若BN、DM为对角线，则BN、DM的中点重合，当点M在y轴上时，设M(0,m)，分三种情况：若BM、DN为对角线，则BM、DN的中点重合，若BD、MN为对角线，则BD、MN的中点重合，若BN、DM为对角线，则BN、DM的中点重合，分别建立方程求解即可得出答案．
本题是一次函数综合题，考查了待定系数法，三角形面积，平行四边形性质等，解题的关键是进行正确的分类讨论．
26.【答案】(1)解：∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠A=∠B=45°，
又∵AD=BE，AC=BC，
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴∠ACD=∠BCE，
∵∠ECD=45°，∠ACB=90°，
∴∠ECB=∠ACD=22.5°；
(2)证明：延长BA至H，使BF=AH，连接CH，
∵∠ECD=45°，
∴∠ACD+∠BCF=45°，
∵BF⊥AB，∠BAC=∠ABC=45°，
∴∠CBF=∠CAH=135°，
又∵AC=BC，BF=AH，
∴△ACH≌△BCF(SAS)，
∴CF=CH，∠ACH=∠BCF，
∴∠FCH=∠BCA=90°，
∵∠ECD=45°，
∴∠HCD=∠ECD=45°，
又∵CD=CD，CF=CH，
∴△CDH≌△CDF(SAS)，
∴DH=DF，
∴BF+AD=DF；
(3)解：PN=MB+PC，理由如下：
过点A作AQ⊥AC交PC的延长线于Q．
∵∠CAQ=∠BCQ=∠ACB=90°，PC⊥BM，
∴∠ACQ+BCP=90°，∠BCP+∠CBM=90°，
∴∠ACQ=∠CBM，
在△ACQ和△CBM中，
∠CAQ=∠BCMCA=CB∠ACQ=∠CBM，
∴△ACQ≌△CBM(ASA)，
∴CQ=BM，AQ=CM，
∵AN=CM，
∴AN=AQ，
∵∠BAC=45°，∠CAQ=90°，
∴∠PAN=∠PAQ=135°，
在△PAN和△PAQ中，
PA=PA∠PAN=∠PAQAN=AQ，
∴△PAN≌△PAQ(SAS)，
∴PN=PQ，
∵PQ=PC+CQ=PC+BM，
∴PN=MB+PC．
【解析】(1)由“SAS”可证∠ACD=∠BCE，即可求解；
(2)由“SAS”可证△ACH≌△BCF，可得CF=CH，∠ACH=∠BCF，可得△CDH≌△CDF，可得DH=DF，可得结论；
(3)过点A作AQ⊥AC交PC的延长线于Q.证明△ACQ≌△CBM(ASA)，推出CQ=BM，AQ=CM，由“SAS”可证△PAN≌△PAQ，可得PN=PQ，可得结论．
本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
2023-2024学年重庆市开州区文峰初中教育集团九年级（上）开学数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列各式中最简二次根式是( )
A. 9 B. 4a C. x2 D. a
2. 把5米长的梯子斜靠在墙上，若梯子底端离墙4米，则梯子顶端到离地面( )
A. 2米 B. 3米 C. 4米 D. 4.5米
3. 下列算式中正确的是( )
A. 4÷ 2= 2 B. 3+ 2= 5 C. 3− 2=1 D. (−2)2=−2
4. 将字母“a”，“b”按照如图所示得规律摆放，依次下去，则第④个图形中字母“b”的个数是( )
A. 10 B. 11 C. 12 D. 13
5. 估计 61−2的值应该在( )
A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间
6. 八年级1班班主任从全班选出15名同学参加合唱训练，已知15名同学组成的合唱队成员的身高如下：
身高(cm)
158
160
163
165
168
170
人数
2
3
5
2
2
1
则该合唱队15名同学的身高的众数和中位数分别是( )
A. 160，163 B. 163，163 C. 163，164 D. 165，164
7. 已知M(x1,y1)，N(x2,y2)是一次函数y=kx+2(k>0)图象上的点，若x1<0
A. B. C. D.
9. 如图，在正方形ABCD中，点E在BC上，点F在CD的延长线上.满足BE=DF，连接AE.AF，取AE的中点G，连接BG，FG，若BG=2，则FG=( )
A. 5
B. 2 5
C. 10
D. 2 10
10. 有n个依次排列的整式：第1项是(x+1)，用第1项乘(x−1)，所得之积记为a1，将第1项加上(a1+1)得到第2项，再将第2项乘(x−1)得到a2，将第2项加上(a2+1)得到第3项……以此类推，某数学兴趣小组对此展开研究，得到下列4个结论：
①第4项为x4+x3+x2+x+1；
②a5=x5−1；
③若第2023项的值为0，则x2024=1．
以上结论正确的个数为( )
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）
11. 若二次根式 2x−2有意义，则x的取值范围为______．
12. 如图，O是菱形ABCD的对角线AC、BD的交点，E是BC的中点，连接OE.若OE=1，则AB= ______ ．
13. 若y=(m−1)x|m|+2m+1是关于x的一次函数，则实数m= ______ ．
14. 某校招募校园活动主持人，甲候选人的综合素质、普通话、才艺展示成绩如表所示．
测试项目
综合素质
普通话
才艺展示
测试成绩
90
86
91
根据实际需求，该校规定综合素质、普通话和才艺展示三项测试得分按5：3：2的比例确定最终成绩，则甲候选人的最终成绩为______ 分.
15. 如图，在四边形ABCD中，DE⊥AB于点E，且点E为AB的中点.若AB=8，DE=2 2，BC=1，CD=5，则四边形ABCD的面积为______ ．
16. 已知关于x的分式方程1−ax2−x−1x−2+1=0有整数解，且一次函数y=ax+a图象经过第一、二、三象限，则整数a的值为______ ．
17. 如图，∠ABC=90°，四边形ACDE是正方形，若AB=1，BC=2，则△BCE的面积等于______ ．
18. 一个四位正整数A满足百位上的数字比千位上的数字小5，个位上的数字比十位上的数字小3则称A为“三五律数”，将“三五律数”A的千位和十位数字组成的两位数与百位和个位数字组成的两位数的和记为F(A)，将“三五律数”A的千位和百位数字组成的两位数与十位和个位数字组成的两位数的差记为G(A)例如：四位正整数7241，∵7−2=5，4−1=3，∴7241是“三五律数”，此时F(A)=74+21=95，G(A)=72−41=31．
(1)四位正整数6130是“三五律数”，则F(6130)= ______ ．
(2)若A是“三五律数”，且满足F(A)−G(A)是一个正整数的4次方，则符合条件的A为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题8.0分)
(1)计算(−1)10−(− 2)2+ (−3)2；
(2)化简( x− y)( x+ y)− x( x− y)．
20. (本小题10.0分)
如图，在平行四边形ABCD中，AB
(2)在(1)所作的图形中，连接EF，求证：四边形ABEF是菱形.请补全下面的证明过程．
证明：四边形ABCD为平行四边形，
∴AD//BC且AD= ______ ，
∵DF=CE，AD−DF=BC−CE，
∴ ______ ．
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AD//BC，
∴ ______ ．
∵AE平分∠BAF，
∴ ______ ，
∴∠BEA=∠BAE．
∴ ______ ，
∴四边形ABEF是菱形．
21. (本小题10.0分)
海军陆战队分蓝队、红队进行专业科目比赛.现从两队中各随机抽取10名队员的比赛成绩(百分制)作样本进行整理和分析(用x表示成绩得分，并分成四组：A.80≤x<85，B.85≤x<90，C.90≤x<95，D.95≤x≤100)，得到如图统计图，还知道两队的平均数都是92，红队的众数是98，蓝队成绩在D组中的数据：96，96，97，96，96，96；红队成绩在C组中的数据是：92，93，94．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)求a的值，并写出蓝队样本的众数和红队样本的中位数；
(2)你认为该蓝队、红队哪一个比赛成绩较更好？请说明理由(一条理由即可)；
(3)若该陆战队的蓝队、红队共100人参加了此次比赛活动，估计参加此次比赛活动成绩优秀(x≥95)的人数是多少？
22. (本小题10.0分)
某中学计划购买某种品牌的A、B两种型号的盲盒作为学生参加活动的奖励.若购买2盒A种型号的盲盒和1盒B种型号的盲盒需用68元；若购买1盒A种型号的盲盒和2盒B种型号的盲盒需用64元．
(1)求每盒A种型号的盲盒和每盒B种型号的盲盒各多少元；
(2)学校决定购买以上两种型号的盲盒共100盒，总费用不超过2240元，那么该中学最多可以购买多少盒A种型号的盲盒？
23. (本小题10.0分)
在海平面上有A，B，C三个标记点，其中A在C的北偏西54°方向上，与C的距离是800海里，B在C的南偏西36°方向上，与C的距离是600海里．
(1)求点A与点B之间的距离；
(2)若在点C处有一灯塔，灯塔的信号有效覆盖半径为500海里，每隔半小时会发射一次信号，此时在点B处有一艘轮船准备沿直线向点A处航行，轮船航行的速度为每小时20海里.轮船在驶向A处的过程中，最多能收到多少次信号？(信号传播的时间忽略不计)．
24. (本小题10.0分)
如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，AC=5，动点P从点A出发，沿着折线A→B→C匀速运动，到达C点时停止，设点P运动路程为x，△PAC的面积为y(动点P在点A和点C时，△PAC的面积记为0)．
(1)请直接写出y关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；
(2)在平面直角坐标系中画出y与x的函数图象，并写出它的一条性质；
(3)根据图象直接写出当y≤2时x的取值范围．
25. (本小题10.0分)
如图，一次函数y=kx+b的图象交x轴于点A，OA=4，与正比例函数y=−3x的图象交于点B，点B的横坐标为−1．
(1)求一次函数y=kx+b的解析式；
(2)若点C在y轴上，且满足S△BOC=12S△AOB，求点C的坐标；
(3)一次函数y=kx+b有一点D，点D的纵坐标为1，点M为坐标轴上一动点，在函数y=−3x上确定一点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一个情况的过程．
26. (本小题10.0分)
已知，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°．
(1)如图1，点D、点E分别是线段AB上两点，连接CD、CE，若AD=BE，且∠ECD=45°，求∠ECB的度数；
(2)如图2，点D、点E分别是线段AB上两点，连接CD、CE，过点B作BF⊥AB交CE延长线于F，连接DF，若∠ECD=45°，求证：AD+BF=DF；
(3)如图3，M为射线AC上一点，N为射线CA上一点，且始终满足CM=AN，过点C作MB的垂线交AB的延长线于点P，连接NP，猜想：NP、MB、CP之间的数量关系并证明你的结论．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、 9=3，故A不符合题意；
B、 4a=2 a，故B不符合题意；
C、 x2=|x|，故C不符合题意；
D、 a是最简二次根式，故D符合题意；
故选：D．
根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答．
本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：设梯子顶端到离地面高度为h米，
根据勾股定理得h= 52−42=3(米)，
答：梯子顶端到离地面高度为3米，
故选：B．
利用勾股定理即可求出梯子顶端到离地面的高度．
本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是掌握勾股定理在直角三角形中的表达式．
3.【答案】A
【解析】解：A． 4÷ 2= 4÷2= 2，所以A选项符合题意；
B. 3与 2不能合并，所以B选项不符合题意；
C. 3与 2不能合并，所以C选项不符合题意；
D. (−2)2=2，所以D选项不符合题意．
故选：A．
根据二次根式的除法法则对A选项进行判断；根据二次根式的加法运算对B选项进行判断；根据二次根式的减法运算对C选项进行判断；根据二次根式的性质对D选项进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：由题目得，第①个图形中的“b”的个数是4；
第②个图形中的“b”的个数是6；
第③个图形中的“b”的个数是8；
发现规律：每一个图形都比前一个图形的“b”的个数多2个；
则第④个图形中的“b”的个数是10．
故答案应选：A．
本题是一道关于图形变化来进行数字猜想的问题，通过归纳与总结，得到其中的规律．
本题考察了从图形规律到数字猜想的问题，需要通过归纳总结，得到其中的规律．需要考生细心观察，仔细求证解决本题．
5.【答案】C
【解析】解：∵7< 61<8，
∴5< 61−2<6，
故选：C．
根据算术平方根的定义估算无理数 61的大小，进而得出 61−2的大小即可．
本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的前提．
6.【答案】B
【解析】解：因为163出现的次数最多，
所以众数是：163；
因为第8个数是163，
所以中位数是：163．
故选：B．
找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数(或两个数的平均数)为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据．
本题为统计题，考查众数与中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(或最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数．如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
7.【答案】A
【解析】解：当x=0时，y=k×0+2=2，
∴一次函数y=kx+2的图象经过点(0,2)．
∵k>0，
∴y随x的增大而增大，
又∵M(x1,y1)，N(x2,y2)是一次函数y=kx+2(k>0)图象上的点，且x1<0
利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出一次函数y=kx+2的图象经过点(0,2)，由k>0，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而增大，再结合x1<0
8.【答案】B
【解析】解：由题意得，当点P在点B运动到点C时，S=12AB⋅BP，△ABP的面积S随时间t的增大而增大；
当点P在点C运动到点D时，S=12AB⋅BC，△ABP的面积S随时间t的增大而不变；
当点P在点D运动到点A时，S=12AB⋅AP，△ABP的面积S随时间t的增大而减小；
所以在点P的运动过程中，△ABP的面积S随时间t变化的函数图象大致是选项B的图象．
故选：B．
分析动点P在每段路径上的运动的过程中的面积增大、减小或不变的趋势即可．
本题为动点问题的函数图象判断题，考查学生对于动点运动过程中函数图象的变化趋势的判断．解答关键是注意动点到达临界点前后的图象变化．
9.【答案】B
【解析】解：∵正方形ABCD，
∴∠BAD=∠ABE=∠ADF=90°，AB=AD，
∵G是AE的中点，
∴AG=BG=2，AE=2BG=2×2=4，
在△ABE和△ADF中，
AB=AD∠ABE=∠ADFBE=DF，
∴△ABE≌△ADF(SAS)，
∴AF=AE=4，∠BAE=∠DAF，
∴∠GAF=∠GAD+∠DAF=∠GAD+∠BAE=∠BAD=90°，
由勾股定理，得：
FG= AG2+AF2= 22+42=2 5，
故选：B．
先由正方形的性质得∠BAD=∠ABE=∠ADF=90°，AB=AD，再由直角三角形性质得AG=BG=2，AE=2BG=2×2=4，然后证明△ABE≌△ADF(SAS)，得AF=AE=4，∠BAE=∠DAF，从而可证得∠GAF=90°，最后利用勾股定理求解即可．
本题考查正方形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，利用SAS证△ABE≌△ADF是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：根据题意：第1项为x+1，a1=(x+1)(x−1)=x2−1，a1+1=x2；
第2项为x2+x+1，a2=(x2+x+1)(x−1)=x3−1，a2+1=x3；
第3项为x3+x2+x+1，a3=(x3+x2+x+1)(x−1)=x4−1，a3+1=x4；
第4项为x4+x3+x2+x+1，故①正确；
a4=(x4+x3+x2+x+1)(x−1)=x5−1，故②不正确；
如果第2023项为0，则a2023+a2022+…+x+1=0，即a2023=0．
∵a2023=x2024−1，
∴x2024=1.故③正确；
则正确的有2个．
故选：C．
第1项为x+1，a1=(x+1)(x−1)=x2−1，a1+1=x2；第2项为x2+x+1，a2=(x2+x+1)(x−1)=x3−1，a2+1=x3；第3项为x3+x2+x+1，a3=(x3+x2+x+1)(x−1)=x4−1，a3+1=x4；第4项为x4+x3+x2+x+1；根据规律分析出选项．
本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是分析清楚所给式子存在的规律．
11.【答案】x≥1
【解析】解：由题意得，2x−2≥0，
解得x≥1，
故答案为：x≥1．
根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
12.【答案】2
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，BD⊥AC，
∴∠BOC=90°，
∵E是CD的中点，OE=1，
∴BC=2OE=2，
∴AB=2，
故答案为：2．
由菱形的性质得AB=BC，BD⊥AC，则∠BOC=90°，再由直角三角形斜边上的中线性质得BC=2OE=2，即可得出结论．
本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
13.【答案】−1
【解析】解：∵y=(m−1)x|m|+2m+1是关于x的一次函数，
∴|m|=1且m−1≠0，
解得：m=−1．
故答案为：−1．
根据一次函数解析式的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数，进而得出答案．
此题主要考查了一次函数的定义，正确掌握一次函数的定义是解题关键．
14.【答案】89
【解析】解：甲候选人的最终成绩为：
90×5+86×3+91×210=89(分)．
故答案为：89．
根据加权平均数的定义，直接求解即可．
本题主要考查加权平均数，掌握加权平均数的定义是解题的关键．
15.【答案】8 2+ 6
【解析】解：连接BD，
∵E为AB的中点，DE⊥AB，AB=8，
∴AE=BE=4，∠DEB=90°，
∵DE=2 2，
∴BD2=DE2+BE2=(2 2)2+42=24，
∵BC=1，CD=5，
∴BD2+BC2=CD2，
∴△DBC是直角三角形(∠DBC=90°)，
∴四边形ABCD的面积S=S△DAB+S△DBC
=12AB⋅DE+12BD⋅BC
=12×8×2 2+12× 24×1
=8 2+ 6．
故答案为：8 2+ 6．
连接BD，根据E为AB的中点求出BE，根据勾股定理求出BD，根据勾股定理的逆定理求出△DBC是直角三角形，再根据三角形的面积公式求出即可．
本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理，勾股定理的逆定理和三角形的面积等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键．
16.【答案】3
【解析】解：去分母得：1−ax+1+2−x=0，
解得：x=4a+1且x≠2，
∵关于x的分式方程1−ax2−x−1x−2+1=0有整数解，
∴4a+1为整数且4a+1≠2，
解得：a=0或3或−5或−3或−2，
∵一次函数y=ax+a图象经过第一、二、三象限，
∴a>0，
∴符合条件的a的值为3，
故答案为：3．
解分式方程得x=4a+1且x≠2，则整数a为0，3，−5，−3，−2时分式方程的解为整数解，再解不等式a>0，从而得到满足条件的整数a的值．
本题考查了分式方程的解：求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．也考查了一元一次不等式组的整数解，求出a值是本题的关键．
17.【答案】3
【解析】解：如图，过点E作EF⊥AB交BA的延长线于F，
在正方形ACDE中，AC=AE，∠CAE=90°，
∠EAF+∠BAC=180°−∠CAE=180°−90°=90°
∠BAC+∠ACB=90°，
∴∠EAF=∠ACB
在△ABC和△EFA中，
∠EAF=∠ACB∠F=∠ABC=90°AC=AE，
∴△ABC≌△EFA(AAS)，
∴EF=AB=1，AF=BC=2．
∴BF=AB+AF=1+2=3，
∴S△BCE=12BC⋅BF=12×2×3=3．
故答案为：3．
过点E作EF⊥AB交BA的延长线于F，根据正方形的性质可得AC=AE，再求出∠EAF=∠ACB，然后利用“角角边”证明△ABC和△EFA全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=AB，AF=BC，再求出BF，然后利用三角形的面积计算公式解答即可．
此题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质和勾股定理的应用，作辅助线构造成全等三角形和直角三角形是解题的关键．
18.【答案】73 6163
【解析】解：∵四位正整数6130是“三五律数”，
∴F(6130)=63+10=73，
故答案为：73；
(2)设A的千位数字是x，十位上的数字为y，则A=1000x+100(x−5)+10y+y−3，
∴F(A)=10x+y+10(x−5)+y−3=20x+2y−53，
G(A)=10x+x−5−(10y+y−3)=11x−11y−2，
∴F(A)−G(A)
=20x+2y−53−(11x−11y−2)
=20x+2y−53−11x+11y+2
=9x+13y−51，
∵F(A)−G(A)是一个正整数的4次方，
设M(A)=F(A)−G(A)，
∵5≤x≤9，3≤y≤9，
①当x=5时，M(A)=F(A)−G(A)=13y−6，
此时把y=3，4，5，6，7，8，9均不符合题意，故舍去，
②当x=6时，M(A)=F(A)−G(A)=13y+3，
此时把y=3，4，5，6，7，8，9代入，
当y=6时，M(A)=F(A)−G(A)=13y+3=81=34，符合题意，
③当x=7时，M(A)=F(A)−G(A)=13y+12，
此时把y=3，4，5，6，7，8，9均不符合题意，故舍去，
④当x=8时，M(A)=F(A)−G(A)=13y+21，
此时把y=3，4，5，6，7，8，9均不符合题意，故舍去，
⑤当x=9时，M(A)=F(A)−G(A)=13y+30，
此时把y=3，4，5，6，7，8，9均不符合题意，故舍去，
综上，符合条件的A为：6163．
(1)根据所给的定义进行求解即可；
(2)可令A的千位数字是x，十位上的数字为y，则A=1000x+100(x−5)+10y+y−3，分别表示出F(A)，G(A)，结合所给的条件进行分析即可．
本题考查新定义题型，解题的关键是对新定义题型的理解．
19.【答案】解：(1)(−1)10−(− 2)2+ (−3)2
=1−2+3
=2；
(2)( x− y)( x+ y)− x( x− y)
=x−y−x+ xy
= xy−y．
【解析】(1)先算乘方与开方，再进行加减运算即可；
(2)先利用平方差公式与单项式乘多项式的法则计算，再进行加减运算即可．
本题考查了二次根式的混合运算，掌握运算法则以及乘法公式是解题的关键．
20.【答案】BC BE=AF ∠AEB=∠EAD ∠EAB=∠EAD BA=BE
【解析】(1)解：图形如图所示：
(2)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD//BC且AD=BC，
∵DF=CE，
∴AD−DF=BC−CE，
∴BE=AF．
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AD//BC，
∴∠AEB=∠EAD．
∵AE平分∠BAF，
∴∠EAB=∠EAD，
∴∠BEA=∠BAE．
∴BA=BE，
∴四边形ABEF是菱形．
故答案为：BC；BE=AF，∠AEB=∠EAD，∠EAB=∠EAD，BA=BE．
(1)根据要求作出图形即可；
(2)根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．
本题考查作图−复杂作图，平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
21.【答案】解：(1)1−20%−10%−3÷10×100%=40%，
则a=40，
蓝队样本的众数为96，
红队样本的中位数为(93+94)÷2=93.5；
(2)我认为蓝队比赛成绩好些(一条合理即得分)，
因为蓝队的中位数96大于红队的中位数93.5：
(3)两队抽取的20人中此次比赛活动成绩优秀的有6+4=10(人)，
占样本的50%，该陆战队的蓝队、红队共100人参加了此次比赛，
所以估计成绩为优秀的军人有100×50%=50(人)．
故估计参加此次比赛活动成绩优秀(x≥95)的人数是50人．
【解析】(1)用“1”分别减去其他三组所占比例可得a的值；根据众数的定义可得蓝队样本的众数；根据中位数的定义可得红队样本的中位数；
(2)根据中位数的意义解答即可；
(3)利用样本估计总体思想求解可得．
本题考查读扇形统计图的能力和利用统计图获取信息的能力，样本估计总体，正确利用统计图获取信息，作出正确的判断和解决问题是解题关键．
22.【答案】解：(1)设每盒A种型号的盲盒x元，每盒B种型号的盲盒y元，
根据题意得：2x+y=68x+2y=64，
解得：x=24y=20．
答：每盒A种型号的盲盒24元，每盒B种型号的盲盒20元；
(2)设该中学购买m盒A种型号的盲盒，则购买(100−m)盒B种型号的盲盒，
根据题意得：24m+20(100−m)≤2240，
解得：m≤60，
∴m的最大值为60．
答：该中学最多可以购买60盒A种型号的盲盒．
【解析】(1)设每盒A种型号的盲盒x元，每盒B种型号的盲盒y元，根据“购买2盒A种型号的盲盒和1盒B种型号的盲盒需用68元；购买1盒A种型号的盲盒和2盒B种型号的盲盒需用64元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设该中学购买m盒A种型号的盲盒，则购买(100−m)盒B种型号的盲盒，利用总价=单价×数量，结合总价不超过2240元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
23.【答案】解：(1)依题意有：AC=800，BC=600，∠NCA=54°，∠SCB=36°，
∴∠ACB=180°−54°−36°=90°，
在Rt△ACB中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，
∴AB= 6002+8002(米)，
答：点A与点B之间的距离为1000米；
(2)过C作CD⊥AB于D，
∵S△ABC=12AC⋅BC=12AB⋅CD，
∴CD=AC⋅BCAB=480(米)，
∵480<500，
故分别在DB和DA上找点E和点F使CF=CE=500，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：CD2+DE2=CE2，
∴DE= 5002−4802=140(米)，
同理得：DF=140(米)，
当无人机处在EF段时能收到信号，由无人机的速度为10m/s，
则无人机飞过此段的时间为：140+14020=14(秒)，
∴无人机收到信号次数最多为142+1=8(次)．
【解析】(1)由题意易得∠ACB是直角，由勾股定理即可求得点A与点B之间的距离；
(2)过C作CD⊥AB于D，由面积关系可求得CD的长，判断出CD<500，分别在DB和DA上找点E和点F使CF=CE=500，分别求得DE、DF的长，可求得此时无人机飞过EF时的时间，从而可求得最多能收到的信号次数．
本题考查了勾股定理的应用，直角三角形的判定等知识，涉及路程、速度、时间的关系，熟练掌握勾股定理的应用是关键．
24.【答案】解：(1)∵∠ABC=90°，AB=4，AC=5，
∴BC= AC2−AB2=3，
当P在边AB上，即0≤x≤4时，如图：
y=12AP⋅BC=12x×3=32x；
当P在边BC(不含B)上，即4
y=12CP⋅AB=12(7−x)×4=−2x+14；
∴y=32x(0≤x≤4)−2x+14(4
画出函数图象如下：
由图象可知，当0≤x≤4时，y随x的增大而增大；y的最大值为6(写出一条即可)；
(3)根据函数图象可得，当y≤2时x的取值范围是0≤x≤43或6≤x≤7．
【解析】(1)求出BC= AC2−AB2=3，分两种情况：当P在边AB上，即0≤x≤4时，y=12AP⋅BC=12x×3=32x；当P在边BC(不含B)上，即4
(3)根据函数图象即可得到答案．
本题考查三角形综合应用，涉及一次函数图象及性质，解题的关键是读懂题意，应用分类讨论思想写出函数关系式．
25.【答案】解：(1)∵OA=4，
∴A(−4,0)，
∵直线y=−3x经过点B，且点B的横坐标为−1，
∴B(−1,3)，
把A(−4,0)，B(−1,3)代入y=kx+b，得−4k+b=0−k+b=3，
解得：k=1b=4，
∴一次函数的解析式为y=x+4；
(2)设C(0,y)，则OC=|y|，
∵S△BOC=12S△AOB，
∴12⋅|xB|⋅OC=12×12OA⋅|yB|，
即12×1×|y|=12×12×4×3，
解得：y=±6，
∴点C的坐标为(0,6)或(0,−6)；
(3)由(1)知B(−1,3)，
∵一次函数y=x+4有一点D，点D的纵坐标为1，
∴D(−3,1)，
∵点N在直线y=−3x上，
∴设N(n,−3n)，
当点M在x轴上时，设M(m,0)，
若BM、DN为对角线，则BM、DN的中点重合，
∴m−1=n−33+0=1−3n，
解得：m=−83n=−23，
∴N(−23,2)；
若BD、MN为对角线，则BD、MN的中点重合，
∴−1−3=m+n3+1=−3n+0，
解得：m=−83n=−43，
∴N(−43,4)；
若BN、DM为对角线，则BN、DM的中点重合，
∴n−1=m−3−3n+3=1+0，
解得：m=83n=23，
∴N(23,−2)；
当点M在y轴上时，设M(0,m)，
若BM、DN为对角线，则BM、DN的中点重合，
∴−1+0=n−3m+3=1−3n，
解得：m=−8n=2，
∴N(2,−6)；
若BD、MN为对角线，则BD、MN的中点重合，
∴−1−3=n+03+1=m−3n，
解得：m=−8n=−4，
∴N(−4,12)；
若BN、DM为对角线，则BN、DM的中点重合，
∴n−1=0−33−3n=m+1，
解得：m=8n=−2，
∴N(−2,6)；
综上所述，点N的坐标为(−23,2)或(−43,4)或(23,−2)或N(2,−6)或(−4,12)或(−2,6)．
【解析】(1)先求得A(−4,0)，B(−1,3)，再运用待定系数法即可求得一次函数的解析式；
(2)设C(0,y)，则OC=|y|，根据S△BOC=12S△AOB，建立方程求解即可得出答案；
(3)根据题意可得B(−1,3)，D(−3,1)，设N(n,−3n)，当点M在x轴上时，设M(m,0)，分三种情况：若BM、DN为对角线，则BM、DN的中点重合，若BD、MN为对角线，则BD、MN的中点重合，若BN、DM为对角线，则BN、DM的中点重合，当点M在y轴上时，设M(0,m)，分三种情况：若BM、DN为对角线，则BM、DN的中点重合，若BD、MN为对角线，则BD、MN的中点重合，若BN、DM为对角线，则BN、DM的中点重合，分别建立方程求解即可得出答案．
本题是一次函数综合题，考查了待定系数法，三角形面积，平行四边形性质等，解题的关键是进行正确的分类讨论．
26.【答案】(1)解：∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠A=∠B=45°，
又∵AD=BE，AC=BC，
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴∠ACD=∠BCE，
∵∠ECD=45°，∠ACB=90°，
∴∠ECB=∠ACD=22.5°；
(2)证明：延长BA至H，使BF=AH，连接CH，
∵∠ECD=45°，
∴∠ACD+∠BCF=45°，
∵BF⊥AB，∠BAC=∠ABC=45°，
∴∠CBF=∠CAH=135°，
又∵AC=BC，BF=AH，
∴△ACH≌△BCF(SAS)，
∴CF=CH，∠ACH=∠BCF，
∴∠FCH=∠BCA=90°，
∵∠ECD=45°，
∴∠HCD=∠ECD=45°，
又∵CD=CD，CF=CH，
∴△CDH≌△CDF(SAS)，
∴DH=DF，
∴BF+AD=DF；
(3)解：PN=MB+PC，理由如下：
过点A作AQ⊥AC交PC的延长线于Q．
∵∠CAQ=∠BCQ=∠ACB=90°，PC⊥BM，
∴∠ACQ+BCP=90°，∠BCP+∠CBM=90°，
∴∠ACQ=∠CBM，
在△ACQ和△CBM中，
∠CAQ=∠BCMCA=CB∠ACQ=∠CBM，
∴△ACQ≌△CBM(ASA)，
∴CQ=BM，AQ=CM，
∵AN=CM，
∴AN=AQ，
∵∠BAC=45°，∠CAQ=90°，
∴∠PAN=∠PAQ=135°，
在△PAN和△PAQ中，
PA=PA∠PAN=∠PAQAN=AQ，
∴△PAN≌△PAQ(SAS)，
∴PN=PQ，
∵PQ=PC+CQ=PC+BM，
∴PN=MB+PC．
【解析】(1)由“SAS”可证∠ACD=∠BCE，即可求解；
(2)由“SAS”可证△ACH≌△BCF，可得CF=CH，∠ACH=∠BCF，可得△CDH≌△CDF，可得DH=DF，可得结论；
(3)过点A作AQ⊥AC交PC的延长线于Q.证明△ACQ≌△CBM(ASA)，推出CQ=BM，AQ=CM，由“SAS”可证△PAN≌△PAQ，可得PN=PQ，可得结论．
本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
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