2023-2024学年重庆市开州区德阳初中教育集团八年级（上）第一次月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年重庆市开州区德阳初中教育集团八年级（上）第一次月考数学试卷（含解析），共31页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．用下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．2，3，5B．8，12，5C．5，10，4D．3，3，7
2．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．画△ABC中BC边上的高，下列画法中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．如图，已知∠ABC＝∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（ ）
A．∠A＝∠DB．AB＝DCC．∠ACB＝∠DBCD．AC＝BD
5．如图，△ABC≌△DEC，点E在AB上，AC与DE相交于点F，∠BCE＝30°．则∠AED的度数为（ ）
A．30°B．40°C．60°D．75°
6．下列命题是真命题的是（ ）
A．周长相等的两个三角形全等
B．斜边和一个锐角对应相等的两个直角三角形全等
C．两边和一角对应相等的两个三角形全等
D．两锐角对应相等的两个直角三角形全等
7．如图，四边形ABCD为长方形纸带，点E、F分别在边AB、CD上，将纸带沿EF折叠，点A、D的对应点分别为A'、D'，若∠1＝40°，则∠CFD'的度数为（ ）
A．30°B．35°C．40°D．50°
8．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，AB＝6cm，AC＝4cm，DE＝2cm，则△ABC的面积是（ ）
A．20cm2B．12cm2C．10cm2D．8cm2
9．如图，在平面直角坐标系中，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC．点B（0，﹣1），点C（1，1）．则点A坐标为（ ）
A．（﹣1，3）B．（3，﹣1）C．（2，﹣1）D．（﹣1，2）
10．如图，△ABC与△ADE均为等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连接BD、CE交于点F，BD与AC交于点G，CE与AD交于点H，并连接AF．下列结论：①△ABD≌△ACE；②AG＝AH；③∠BFC＝∠DAE；④AF平分∠BFE；⑤BC∥AD，正确的个数有（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（本题有8小题，每小题4分，共32分）
11．如图，工人师傅在安装木制门框时，为防止变形常常钉上两根木条，这样做的依据是 ．
12．若点A（a，2）与点B（3，b）关于x轴对称，则a+b＝ ．
13．五边形的内角和是 °．
14．一副三角板，如图所示叠放在一起，则图中∠1的度数为 °．
15．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D，E，连接BE．若BD＝3cm，△ABC的周长为16cm，则△BCE的周长为 cm．
16．在△ABC中，已知点D、E、F分别是BC、AD、BE的中点，且△ABC的面积是12，则△CEF的面积是 ．
17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，AB＝10，BD平分∠ABC交AC于点D，点E、点F是BC、BD上的动点，则CF+EF的最小值是 ．
18．如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个数为的“阳光数”．例如：四位数1347，∵13+34＝47，∴1347是“阳光数”；四位数2469，∵24+46≠69，∴2469不是“阳光数”．若一个“阳光数”为，则这个数为 ；若一个“阳光数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被9整除，则满足条件的数的最大值是 ．
三、解答题（本题有8小题，19题8分，其余各题分别10分，共78分）
19．计算：
（1）计算：|﹣3|；
（2）解方程组．
20．如图，已知点B，E，C，F在同一直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF．求证：AC∥DF．
21．德中教育集团为进一步开展“睡眠管理”工作，德中教育集团对本校部分学生的睡眠情况进行了问卷调查．设每名学生平均每天的睡眠时间为x小时，其中的分组情况是：
A组：x＜8；
B组：8≤x＜8.5；
C组：8.5≤x＜9；
D组：9≤x＜9.5；
E组：x≥9.5．
根据调查结果绘制成两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次共调查了 名学生，并补全条形统计图（两处）；
（2）在扇形统计图中，C组所对应的扇形圆心角的度数为 °；
（3）德中教育集团现有7000名学生，请估计平均每天的睡眠时间为9小时及以上的学生共有多少人？
22．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，DE平分∠ADC，交BC于点E．
（1）用直尺和圆规作∠ABC的平分线，交AD于点F；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）求证：BF∥DE．
证明：∵∠A+∠ABC+∠C+∠ADC＝360°，且∠A＝∠C＝90°，
∴∠ABC+∠ADC＝ ①°，
∴＝ ②，
∵BF平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴ ③，
∴ ④+∠ADE＝90°，
∵∠A＝90°，
∴∠ABF+∠AFB＝90°，
∴ ⑤＝∠ADE，
∴BF∥DE．
23．如图所示，△ABC在平面直角坐标系中，其中点A（4，4）、B（2，0）、C（1，2）．
（1）求△ABC的面积；
（2）画出△ABC关于y轴对称的△A'B'C'，并写出点A'，B'，C'的坐标；
（3）在x轴上有一点P，使△BCP面积为3，直接写出点P的坐标．
24．如图，已知：AB⊥BC，AD⊥DE，AB＝AD，AE＝AC，AE、BC交于点F，AC、DE交于点G．
（1）求证：∠BAE＝∠DAC；
（2）若AC＝7，AF＝4，求CG的长．
25．如图，线段AB⊥CD于点B，且AB＝CB，CE⊥AD于点E，交AB于点F，连接BE．
求证：
（1）AD＝CF；
（2）∠BED＝45°．
26．如图，点A在y轴正半轴上，点D在点A下方的y轴上，点B在x轴正半轴上，AC平分∠BAD与x轴交于点C．
（1）如图1，若∠ABO＝∠CDO，求证：AB＝AD；
（2）如图2，若点A的坐标为（0，3），点E为AB上一点，且∠CEB＝∠ADC，求AD+AE的长；
（3）如图3，若∠OAB＝40°，过C作CF⊥AB于点F，点H为线段AF上一动点，点G为线段OA上一动点，在运动过程中，始终满足∠GCH＝70°，试判断FH、GH、OG之间的数量关系，写出你的结论并加以证明．
参考答案
一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分）每小题只有一个答案正确，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。
1．用下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．2，3，5B．8，12，5C．5，10，4D．3，3，7
【分析】在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断．
解：A、2+3＝5，不能组成三角形，故A不符合题意；
B、5+8＞12，能组成三角形，故B符合题意；
C、4+5＜10，不能组成三角形，故C不符合题意；
D、3+3＜7，不能组成三角形，故D不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查三角形的三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．
2．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
解：选项A、B、C不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3．画△ABC中BC边上的高，下列画法中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据三角形的高的定义：过三角形的顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高解答．
解：表示△ABC中BC边上的高的是D选项．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的高线，是基础题，熟记概念是解题的关键．
4．如图，已知∠ABC＝∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（ ）
A．∠A＝∠DB．AB＝DCC．∠ACB＝∠DBCD．AC＝BD
【分析】根据题目所给条件∠ABC＝∠DCB，再加上公共边BC＝BC，然后再结合判定定理分别进行分析即可．
解：A、添加∠A＝∠D可利用AAS判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；
B、添加AB＝DC可利用SAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；
C、添加∠ACB＝∠DBC可利用ASA定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；
D、添加AC＝BD不能判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
5．如图，△ABC≌△DEC，点E在AB上，AC与DE相交于点F，∠BCE＝30°．则∠AED的度数为（ ）
A．30°B．40°C．60°D．75°
【分析】由△ABC≌△DEC，得∠DEC＝∠B，BC＝EC，再求出∠CEB＝∠B，最后根据平角的性质即可得答案．
解：∵△ABC≌△DEC，
∴BC＝EC，∠CED＝∠B，
∴∠CEB＝∠B，
∵∠BCE＝30°，
∴∠CEB＝∠B＝，
∴∠AED＝180°﹣∠DEC﹣∠CEB＝180°﹣75°﹣75°＝30°，
故选：A．
【点评】本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．
6．下列命题是真命题的是（ ）
A．周长相等的两个三角形全等
B．斜边和一个锐角对应相等的两个直角三角形全等
C．两边和一角对应相等的两个三角形全等
D．两锐角对应相等的两个直角三角形全等
【分析】根据全等三角形的判定定理判断即可．
解：A、周长相等的两个三角形不一定全等，故本选项命题是假命题，不符合题意；
B、斜边和一个锐角对应相等的两个直角三角形全等，是真命题，符合题意；
C、两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，故本选项命题是假命题，不符合题意；
D、两锐角对应相等的两个直角三角形不一定全等，故本选项命题是假命题，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
7．如图，四边形ABCD为长方形纸带，点E、F分别在边AB、CD上，将纸带沿EF折叠，点A、D的对应点分别为A'、D'，若∠1＝40°，则∠CFD'的度数为（ ）
A．30°B．35°C．40°D．50°
【分析】根据折叠性质求得∠AEF的度数，然后利用平行线性质求得∠DFE的度数，再结合折叠性质即可求得答案．
解：∵∠1＝40°，
∴∠AEA′＝180°﹣40°＝140°，
∵由折叠性质可得∠AEF＝∠A′EF，
∴∠AEF＝×140°＝70°，
∵长方形ABCD中AB∥CD，
∴∠DFE+∠AEF＝180°，
∴∠DFE＝180°﹣70°＝110°，
∵由折叠性质可得∠D′FE＝∠DFE＝110°，
∴∠CFD′＝110°+110°﹣180°＝40°，
故选：C．
【点评】本题考查折叠性质及平行线的性质，结合已知条件求得∠DFE的度数是解题的关键．
8．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，AB＝6cm，AC＝4cm，DE＝2cm，则△ABC的面积是（ ）
A．20cm2B．12cm2C．10cm2D．8cm2
【分析】先根据角平分线的性质得到DE＝DF，则根据三角形面积公式得到AB•DE+AC•DF，解答即可．
解：∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
∴DE＝DF，
∵S△ABD+S△ACD＝S△ABC，
∴AB•DE+AC•DF＝（cm2），
故选：C．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
9．如图，在平面直角坐标系中，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC．点B（0，﹣1），点C（1，1）．则点A坐标为（ ）
A．（﹣1，3）B．（3，﹣1）C．（2，﹣1）D．（﹣1，2）
【分析】过C作直线l∥y轴，过B作BE⊥直线l于E，过A作AD⊥直线l于D，于是得到∠ADC＝∠ACB＝∠BEC＝90°，得到∠CAD＝∠BCE，根据全等三角形的性质得到AD＝CE，CD＝BE，根据点B（0，﹣1），点C（1，1），得到BE＝CD＝1，AD＝CE＝1+1＝2，于是得到结论．
解：过C作直线l∥y轴，过B作BE⊥直线l于E，过A作AD⊥直线l于D，
∴∠ADC＝∠ACB＝∠BEC＝90°，
∴∠DAC+∠ACD＝∠ACD+∠BCE＝90°，
∴∠CAD＝∠BCE，
在△ACD与△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴AD＝CE，CD＝BE，
∵点B（0，﹣1），点C（1，1），
∴BE＝CD＝1，AD＝CE＝1+1＝2，
∴A（﹣1，2）．
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
10．如图，△ABC与△ADE均为等腰三角形，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连接BD、CE交于点F，BD与AC交于点G，CE与AD交于点H，并连接AF．下列结论：①△ABD≌△ACE；②AG＝AH；③∠BFC＝∠DAE；④AF平分∠BFE；⑤BC∥AD，正确的个数有（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】过点A作AM⊥BD于点M，AN⊥CE于点N，证明△BAD≌△CAE（SAS），即可判断①③④正确．
解：过点A作AM⊥BD于点M，AN⊥CE于点N，
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），故①正确，
∴∠ADB＝∠AEC，
∵∠DHF＝∠AHE，
∴∠DFE＝∠HAE，
∵∠BFC＝∠DFE，
∴∠BFC＝∠DAE，故③正确，
∵△BAD≌△CAE，
∴BD＝CE，S△BAD＝S△CAE，
∴•BD•AM＝•CE•AN，
∴AM＝AN，
∴FA平分∠BFE，故④正确，
在△EAH和△DAG中，AE＝AD，∠AEH＝∠ADG，
由于无法判断∠EAH＝∠DAG，
故无法判断△AEH≌△ADG，故AH与AG不一定相等．故②错误．
故选：C．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
二、填空题（本题有8小题，每小题4分，共32分）
11．如图，工人师傅在安装木制门框时，为防止变形常常钉上两根木条，这样做的依据是 三角形具有稳定性 ．
【分析】根据三角形具有稳定性解答即可．
解：工人师傅在安装木制门框时，为防止变形常常钉上两根木条，这样做的依据是三角形具有稳定性，
故答案为：三角形具有稳定性．
【点评】本题考查的是三角形的性质，掌握三角形具有稳定性是解题的关键．
12．若点A（a，2）与点B（3，b）关于x轴对称，则a+b＝ 1 ．
【分析】直接利用关于x轴对称点的性质得出a，b的值，进而得出答案．
解：∵点A（a，2）与点B（3，b）关于x轴对称，
∴a＝3，b＝﹣2，
则a+b＝3﹣2＝1．
故答案为：1．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确掌握横纵坐标的符号关系是解题关键．
13．五边形的内角和是 540 °．
【分析】根据多边形的内角和是（n﹣2）•180°，代入计算即可．
解：根据题意得：（5﹣2）•180°
＝540°，
故答案为：540．
【点评】本题考查的是多边形的内角和的计算，掌握多边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°是解题的关键．
14．一副三角板，如图所示叠放在一起，则图中∠1的度数为 105 °．
【分析】在图中添上字母，由∠1是△ABC的外角，利用三角形的外角性质，即可求出图中∠1的度数．
解：在图中添上字母，如图所示．
∵∠1是△ABC的外角，∠ABC＝60°，∠C＝45°，
∴∠1＝∠ABC+∠C＝60°+45°＝105°．
故答案为：105．
【点评】本题考查了三角形的外角性质，牢记“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”是解题的关键．
15．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D，E，连接BE．若BD＝3cm，△ABC的周长为16cm，则△BCE的周长为 10 cm．
【分析】由已知条件，利用垂直平分线的性质可得其两条边AE＝BE，然后等效替换即可求出周长．
解：∵ED垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴AD＝BD＝3cm，AB＝6cm，
∵△ABC的周长为16cm，
∴AC+BC＝16﹣6＝10（cm），
△BCE的周长＝BC+CE+AE＝BC+CE+AE＝10（cm）．
故答案为：10．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及判定及垂直平分线的性质；进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．
16．在△ABC中，已知点D、E、F分别是BC、AD、BE的中点，且△ABC的面积是12，则△CEF的面积是 3 ．
【分析】先根据点D是BC的中点，AD是△ABC的中线，根据中线能把一个三角形分成两个面积相等的三角形，从而求出△ABD和△ADC与△ABC的面积关系，同理由E是AD中点，求出△BED与△ABD，△CDE与△ADC的面积关系，最后再根据E是BE中点，利用中线等分三角形面积进行解答即可．
解：∵点D是BC的中点，
∴，
∵点E是AD的中点，
∴，
∴＝，
∵F是BE的中点，
∴，
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了三角形面积问题，解题关键是熟练掌握三角形中线平分三角形面积．
17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，AB＝10，BD平分∠ABC交AC于点D，点E、点F是BC、BD上的动点，则CF+EF的最小值是 4.8 ．
【分析】先作CC′⊥BD，交AB于C′，过C′作C′E′⊥BC于E′，把最小值转化为C′E′的长，再根据相似三角形的性质列方程求解．
解：过C作CC′⊥BD，交AB于C′，过C′作C′E′⊥BC于E′，
则：∠BHC＝∠BHC′，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBH＝∠C′BH，
∵AH＝AH，
∴△BCH≌△BC′H（ASA），
∴CH＝CH′，BC′＝BC＝6，
∴CF＝C′F，AC′＝4，
∴CF+EF＝C′F+EF≥C′F，
当C′E⊥BC时，C′E最小，为C′E′的长，
∵C′E′⊥BC，∠ACB＝90°，
∴C′E′∥AC，
∴△BE′C′∽△BCA，
∴，即：，
解得：C′E′＝4.8，
故答案为：4.8．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路径，理解转化思想是解题的关键．
18．如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个数为的“阳光数”．例如：四位数1347，∵13+34＝47，∴1347是“阳光数”；四位数2469，∵24+46≠69，∴2469不是“阳光数”．若一个“阳光数”为，则这个数为 2358 ；若一个“阳光数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被9整除，则满足条件的数的最大值是 4381 ．
【分析】由为“阳光数”，可得y＝10x﹣12，即可得x＝2，y＝8，这个数为 2358；由是“阳光数”，可得10a+11b＝9c+d①，而前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被9整除，可推得c+d能被9整除，即知c+d＝9，再分类讨论可得答案．
解：∵为“阳光数”，
∴10x+3+35＝50+y，
∴y＝10x﹣12，
∵1≤y≤9，且x，y是整数，
∴x＝2，y＝8，
∴这个数为 2358；
∵是“阳光数”，
∴10a+b+10b+c＝10c+d，
∴10a+11b＝9c+d①，
∵前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被9整除，
∴100a+10b+c+100b+10c+d能被9整除，即100a+110b+11c+d能被9整除，
∴10（10a+11b）+11c+d能被9整除，
∴10（9c+d）+11c+d能被9整除，即99c+9d+2（c+d）能被9整除，
∴c+d能被9整除，
∵自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，
∴c+d＝9，
当c＝8，d＝1时，由①知10a+11b＝73，
∴a＝4，b＝3，
此时四位数为4381；
当c＝7，d＝2时，10a+11b＝65，
∴a＝1，b＝5，
此时四位数为1572；
当c＝6，d＝3时，10a+11b＝57，不存在满足条件的a，b；
当c＝5，d＝4时，10a+11b＝49，不存在满足条件的a，b；
当c＝4，d＝5时，10a+11b＝41，
∴a＝3，b＝1，
此时四位数为3145；
当c＝3，d＝6时，10a+11b＝33，不存在满足条件的a，b；
当c＝2，d＝7时，10a+11b＝25，不存在满足条件的a，b；
当c＝1，d＝8时，10a+11b＝17，不存在满足条件的a，b；
综上所述，满足条件的四位数为4381或1572或3145；
∴满足条件的数的最大值是4381；
故答案为：2358，4381．
【点评】本题考查因式分解的应用，涉及新定义，解题的关键是分类讨论思想的应用．
三、解答题（本题有8小题，19题8分，其余各题分别10分，共78分）
19．计算：
（1）计算：|﹣3|；
（2）解方程组．
【分析】（1）利用绝对值的性质，算术平方根及立方根的定义计算即可；
（2）利用加减消元法解方程组即可．
解：（1）原式＝3﹣4﹣3＝﹣4；
（2），
①+②×3得：5x＝25，
解得：x＝5，
将x＝5代入②得：5﹣y＝3，
解得：y＝2，
故原方程组的解为．
【点评】本题考查实数的运算及解二元一次方程组，熟练掌握相关运算法则及解方程组的方法是解题的关键．
20．如图，已知点B，E，C，F在同一直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF．求证：AC∥DF．
【分析】根据BE＝CF得：BC＝EF，由SSS证明△ABC和△DEF（SSS），得∠F＝∠ACB，可以得出结论AC∥DF．
【解答】证明：∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，
即BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
∵，
∴△ABC≌△DEF（SSS），
∴∠F＝∠ACB，
∴AC∥DF．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，属于常考题型；熟练掌握全等三角形的判定方法是关键，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，还要注意已知的边或角是否为所要证明的三角形的边或角，如果不是要加以证明，必要时添加适当辅助线构造三角形．
21．德中教育集团为进一步开展“睡眠管理”工作，德中教育集团对本校部分学生的睡眠情况进行了问卷调查．设每名学生平均每天的睡眠时间为x小时，其中的分组情况是：
A组：x＜8；
B组：8≤x＜8.5；
C组：8.5≤x＜9；
D组：9≤x＜9.5；
E组：x≥9.5．
根据调查结果绘制成两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次共调查了 100 名学生，并补全条形统计图（两处）；
（2）在扇形统计图中，C组所对应的扇形圆心角的度数为 144 °；
（3）德中教育集团现有7000名学生，请估计平均每天的睡眠时间为9小时及以上的学生共有多少人？
【分析】（1）根据统计图中B组的人数与占比，然后计算即可；根据E组人数占比为15%，求出E组人数，然后作差求出A组人数，最后补全统计图即可；
（2）根据C组人数的占比乘以360°计算求解即可；
（3）根据9小时及以上两组人数的占比乘以总人数即可解答．
解：（1）本次共调查了学生：20÷20%＝100（名），
E组人数为：100×15%＝15（名），
故A组人数为：100﹣20﹣40﹣20﹣15＝5（名），
补全条形统计图如下：
故答案为：100；
（2）在扇形统计图中，C组所对应的扇形圆心角的度数为＝144°，
故答案为：144；
（3）7000×＝3850（人），
答：估计平均每天的睡眠时间为9小时及以上的学生共有3850人．
【点评】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图、画条形统计图、用样本估计总体等知识点，从统计图中获取正确的信息是解题的关键．
22．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，DE平分∠ADC，交BC于点E．
（1）用直尺和圆规作∠ABC的平分线，交AD于点F；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）求证：BF∥DE．
证明：∵∠A+∠ABC+∠C+∠ADC＝360°，且∠A＝∠C＝90°，
∴∠ABC+∠ADC＝ 180 ①°，
∴＝ 90° ②，
∵BF平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴ ∠ADC ③，
∴ ∠ABF ④+∠ADE＝90°，
∵∠A＝90°，
∴∠ABF+∠AFB＝90°，
∴ ∠AFB ⑤＝∠ADE，
∴BF∥DE．
【分析】（1）根据角平分线的作图方法作图即可．
（2）根据角平分线的定义以及平行线的判定可得答案．
【解答】（1）解：如图，BF即为所求．
（2）证明：∵∠A+∠ABC+∠C+∠ADC＝360°，且∠A＝∠C＝90°，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∴＝90°，
∵BF平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴∠ADC，
∴∠ABF+∠ADE＝90°，
∵∠A＝90°，
∴∠ABF+∠AFB＝90°，
∴∠AFB＝∠ADE，
∴BF∥DE．
故答案为：①180；②90°；③∠ADC；④∠ABF；⑤∠AFB．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图、平行线的判定、角平分线的定义，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
23．如图所示，△ABC在平面直角坐标系中，其中点A（4，4）、B（2，0）、C（1，2）．
（1）求△ABC的面积；
（2）画出△ABC关于y轴对称的△A'B'C'，并写出点A'，B'，C'的坐标；
（3）在x轴上有一点P，使△BCP面积为3，直接写出点P的坐标．
【分析】（1）利用割补法求三角形的面积即可．
（2）根据轴对称的性质作图，即可得出答案．
（3）设点P的坐标为（n，0），根据三角形的面积公式可列方程为＝3，求出n的值即可．
解：（1）△ABC的面积为＝4．
（2）如图，△A'B'C'即为所求．
由图可得，A'（﹣4，4），B'（﹣2，0），C'（﹣1，2）．
（3）设点P的坐标为（n，0），
∵△BCP面积为3，
∴＝3，
解得n＝﹣1或5，
∴点P的坐标为（﹣1，0）或（5，0）．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、三角形的面积，熟练掌握轴对称的性质、x轴上的点的坐标特性是解答本题的关键．
24．如图，已知：AB⊥BC，AD⊥DE，AB＝AD，AE＝AC，AE、BC交于点F，AC、DE交于点G．
（1）求证：∠BAE＝∠DAC；
（2）若AC＝7，AF＝4，求CG的长．
【分析】（1）利用HL证明△ABC≌△ADE，得到∠BAC＝∠DAE，进而推出∠BAE＝∠DAC；
（2）利用ASA证明△ABF≌△ADG，得到AF＝AG，再根据CG＝AC﹣AG即可求出CG的长．
【解答】（1）证明：∵AB⊥BC，AD⊥DE，
∴∠B＝∠D＝90°，
在Rt△ABC和Rt△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（HL），
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠EAC＝∠DAE﹣EAC，
即∠BAE＝∠DAC；
（2）解：在△ABF和△ADG中，
，
∴△ABF≌△ADG（ASA），
∴AF＝AG＝4，
∵AC＝7，
∴CG＝AC﹣AG＝7﹣4＝3．
【点评】本题考查全等三角形的频道和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
25．如图，线段AB⊥CD于点B，且AB＝CB，CE⊥AD于点E，交AB于点F，连接BE．
求证：
（1）AD＝CF；
（2）∠BED＝45°．
【分析】（1）先根据AB⊥CD，CE⊥AD推出∠CBF＝∠ABD＝∠AEF＝90°，然后根据等角的余角相等推出∠C＝∠A，结合已知条件判定△CBF≌△ABD即可证明结论；
（2）过点B分别作BM⊥CE于M，BN⊥AD于N，根据全等三角形的对应高相等推出BM＝BN，根据角平分线性质定理的逆定理推出EB是∠CED的平分线，根据∠CED＝90°即可证得结论．
【解答】证明：（1）∵AB⊥CD，CE⊥AD，
∴∠CBF＝∠ABD＝∠AEF＝90°，
又∵∠CFB＝∠AFE，
∴∠C＝∠A，
又∵AB＝CB，
∴△CBF≌△ABD（ASA），
∴AD＝CF；
（2）如图，过点B分别作BM⊥CE于M，BN⊥AD于N，
∵△CBF≌△ABD，BM、BN分别是CE和AD上的高，
∴BM＝BN，
∴EB平分∠CED，
∴∠BED＝∠CED，
∵∠CED＝90°，
∴∠BED＝45°．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线性质定理的逆定理，深入理解题意是解决问题的关键．
26．如图，点A在y轴正半轴上，点D在点A下方的y轴上，点B在x轴正半轴上，AC平分∠BAD与x轴交于点C．
（1）如图1，若∠ABO＝∠CDO，求证：AB＝AD；
（2）如图2，若点A的坐标为（0，3），点E为AB上一点，且∠CEB＝∠ADC，求AD+AE的长；
（3）如图3，若∠OAB＝40°，过C作CF⊥AB于点F，点H为线段AF上一动点，点G为线段OA上一动点，在运动过程中，始终满足∠GCH＝70°，试判断FH、GH、OG之间的数量关系，写出你的结论并加以证明．
【分析】（1）由“AAS”可证△ABC≌△ADC，可得AB＝AD；
（2）由“SAS”可证△AEC≌△AFC，可得CE＝CF，∠AEC＝∠AFC，可证CF＝CD，由等腰三角形的性质可得OD＝OF，即可求解；
（3）由“SAS”可证△CON≌△CFH，可得CN＝CH，∠NCO＝∠FCH，由“SAS”可证△GCN≌△GCH，可得GH＝GN，即可求解．
【解答】（1）证明：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC，
又∵∠ABO＝∠CDO，AC＝AC，
∴△ABC≌△ADC（AAS），
∴AB＝AD；
（2）解：如图2，在AO上截取AF＝AE，连接CF，
∵AF＝AE，∠BAC＝∠DAC，AC＝AC，
∴△AEC≌△AFC（SAS），
∴CE＝CF，∠AEC＝∠AFC，
∴∠BEC＝∠CFD，
∵∠CEB＝∠ADC，
∴∠ADC＝∠DFC，
∴CF＝DC，
又∵CO⊥AD，
∴OF＝OD，
∵点A的坐标为（0，3），
∴AO＝3，
∴AD+AE＝AE+AF+OD+OF＝2AO＝6；
（3）解：HF+OG＝GH，理由如下：
如图3，在AO的延长线截取ON＝FH，连接CN，
∵AC平分∠BAD，CF⊥AB，OC⊥AO，
∴OC＝CF，
又∵∠CON＝∠CFH＝90°，ON＝FH，
∴△CON≌△CFH（SAS），
∴CN＝CH，∠NCO＝∠FCH，
∵∠OAB＝40°，AC平分∠BAD，CF⊥AB，OC⊥AO，
∴∠OAC＝∠BAC＝20°，∠OCF＝140°，
∴∠ACF＝∠ACO＝70°，
∵∠GCH＝70°，
∴∠OCG+∠HCF＝70°，
∴∠GCN＝∠GCH＝70°，
又∵GC＝GC，CN＝CH，
∴△GCN≌△GCH（SAS），
∴GH＝GN，
∴GH＝GO+ON＝GO+HF．
【点评】本题是三角形综合题，考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．