重庆市开州区云枫教育集团2023-2024学年九年级上学期12月月考 数学试题（含解析）

这是一份重庆市开州区云枫教育集团2023-2024学年九年级上学期12月月考 数学试题（含解析），共32页。试卷主要包含了选择题，四象限内，解答题等内容，欢迎下载使用。
九年级数学试卷
参考公式：的顶点坐标为，对称轴为．
一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1．的相反数是（ ）
A．B．C．22D．
2．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．估计的值应在（ ）
A．0和1之间B．1和2之间C．2和3之间D．3和4之间
5．如图，与是位似图形，点为位似中心，已知，则与的周长比是（ ）
A．B．C．D．
6．已知反比例函数，下列说法不正确的是（ ）
A．图象经过点B．图象分别位于第二、四象限内
C．在每个象限内y的值随x的值增大而增大D．时，
7．用圆圈按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个圆圈，第②个图案中有5个圆圈，第③个图案中有8个圆圈，第④个图案中有11个圆圈，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中圆圈的个数为（ ）

A．14B．20C．23D．26
8．如图，已知与相切于点A，是的直径，连接交于点D，E为上一点，当时，的度数是（ ）

A．B．C．D．
9．如图，在正方形中，点在对角线上，连接，于点，交于点，连接，已知，，则的面积为（ ）
A．4B．5C．10D．
10．已知两个多项式，，
①若时，则有或4；
②若a为整数，且为整数，则或5；
③当时，若，则；
④若当式子中a取值为与时，对应的值相等，则m的最大值为．
以上结论正确的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
11．计算 ．
12．若一个多边形的内角和是900º，则这个多边形是 边形．
13．已知关于x的一元二次方程的两根分别为a，b，则 ．
14．有三张完全一样的卡片，正面分别标有数字，1，2，将其背面朝上洗匀，从中抽出一张记为P点的横坐标x，放回后洗匀，再从中抽出一张记为P点的纵坐标y，则点在第一象限的概率是 ．
15．如图，边长为2与3的两个正方形并排放在一起，在大正方形中画一个以它的顶点B为圆心，边长为半径的圆弧，连接，则圆弧与线段所围成的阴影部分的面积是 （结果保留π）．
16．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象刚好经过平行四边形的顶点和边的中点，连接，若，则 .

17．若关于的一元一次不等式组至少有2个整数解，且关于的分式方程的解是正整数，则所有满足条件的整数的值之和是 ．
18．对于一个三位数，若其个位上的数与百位上的数之和等于十位上的数，则称数为“和悦数”．如：三位数，，是“和悦数”，三位数，，不是“和悦数”，则最小的“和悦数”为 ．"三位数是“和悦数”，若为整数，则满足条件的的最大值为 ．
三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余各题10分，共78分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19．化简：
(1)；
(2)．
20．如图，四边形是菱形，连接，，点在线段上，连接，的延长线交于点．
(1)用尺规完成以下基本作图：在内部作，使得，交边于点，交于点，交的延长线于点．保留作图痕迹
(2)在(1)所作的图中，求证：．完成下列填空．
证明：四边形是菱形；
∴，，；
；
与 均为等边三角形；
，；
；
在与中，
；
．
21．夏季自然灾害频发，据应急管理部统计，2023年7月以来，各种自然灾害共造成万人受灾．为有效提高学生面对自然灾害时的自救自护能力，该校从七、八年级各选取了20名同学，开展了“防灾减灾”知识竞赛，并对竞赛成绩进行了整理、描述和分析（成绩得分用x表示，其中，，，，得分在90分及以上为优秀）．下面给出了部分信息：
七年级C组同学的分数分别为：94，92，93，91；
八年级C组同学的分数分别为：91，92，93，93，94，94，94，94，94．

七、八年级选取的学生竞赛成绩统计表
(1)填空： ， ， ；
(2)根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在“防灾减灾”知识竞赛中，哪个年级学生对“防灾减灾”的了解情况更好？请说明理由；（写出一条理由即可）
(3)该校七年级有1050名学生，八年级有1100名学生，估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数．
22．体育用品店准备从厂家购进甲、乙两款篮球进行销售，若一个甲款篮球的进价比一个乙款篮球的进价多30元．
(1)若商店用5000元购进甲款篮球的数量是用2000元购进乙款篮球的数量的2倍．求每个甲款篮球，每个乙款篮球的进价分别为多少元？
(2)若商店购进乙款篮球的数量比购进甲款篮球的数量的2倍少10个，且乙款篮球的数量不高于甲款篮球的数量；商店销售甲款篮球每个获利30元，商店销售乙款篮球每个获利为20元，购进甲款篮球的数量为多少时，商店获利最大？
23．如图，在等腰中，，，，动点从点出发，沿运动，点运动到点时停止运动，过点作交于点，记，点的运动路程为．

(1)求出关于的函数关系式，并注明的取值范围，并在下面的平面直角坐标系中直接画出的函数图象．
(2)根据所画的函数图像，写出该函数的一条性质：_________________________
(3)在射线上有一动点，始终满足，利用所求函数解决问题：当时，直接写出的取值范围．
24．事发地点C处发生了一起交通事故，有伤员需要救援．为了提高营救效率，位于B点处的警车和A处的救护车接到通知后立刻同时出发前往事发地点C处．计划由警车赶到事发地点C处接该伤员，再沿方向行驶，与救护车相遇后将该伤员转到救护车上．已知C在A的北偏东方向上，B在A的北偏东方向上米处，且在C的正南方向上．
(1)求两点的距离（结果精确到1米，参考数据：）；
(2)黄金救援时间是6分钟，救护车的平均速度为米分，警车的平均速度为米分，请判断该伤员是否能在黄金救援时间内接受救治?请说明理由．（事发与接到通知之间的时间、接送伤员上下车的时间均忽略不计）
25．二次函数经过点，，．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)直线上方有一点D，过点D作轴交直线于点E，过点D作交x 轴于点F，求的值最大值及此时点D的坐标．
(3)将原抛物线向右平移得到经过原点的新抛物线，直线 (m、n为常数，)与抛物线有唯一公共点G，且与抛物线对称轴相交于点P，点P关于x轴的对称点为点，过点G作于点H，求线段的长．
26．如图，在中，，点D为斜边上一点，连接，将绕点C顺时针旋转，得到，连接交于点F．
(1)如图1，若，，D为的中点，求的长度．
(2)如图2，于点D，G为边上一点，且，求证：．
(3)如图3，若，，当线段值最小时，直接写出的面积．
年级
平均数
中位数
众数
优秀率
七年级
91
a
95
m
八年级
91
93
b
1．C
【分析】利用相反数的定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．即可求解．
【详解】解： 的相反数是22，
故选：C．
【点睛】本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题关键．
2．C
【分析】本题考查的是中心对称图形的概念，根据中心对称图形的概念判断即可．熟练掌握中心对称图形的概念是解题的关键．
【详解】解：A、此图形不能找到一个点，使图形绕这一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，不符合题意；
B、此图形不能找到一个点，使图形绕这一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，不符合题意；
C、此图形能找到一个点，使图形绕这一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，符合题意．
D、此图形不能找到一个点，使图形绕这一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，不符合题意；
故选：C．
3．B
【分析】根据同底数幂相乘、积的乘方、乘法公式逐一判断即可．
【详解】解：A．，该项计算错误；
B．，该项计算正确；
C．，该项计算错误；
D．，该项计算错误；
故选：B．
【点睛】本题考查整式乘法，掌握同底数幂相乘、积的乘方、乘法公式是解题的关键．
4．B
【分析】先计算可得原式，再估算出的大小，即可求解．
【详解】解：
∵，
∴，
∴的值应在1和2之间．
故选：B
【点睛】本题主要考查估算无理数的大小，二次根式的混合运算，解题的关键在于求出无理数的范围．
5．C
【分析】由位似图形的概念得到，，根据相似三角形的性质得到答案即可．
【详解】解：与位似，
∴，，
，
，
，
即与的周长比是：，
故选：C．
【点睛】本题考查了位似变换的概念，掌握位似三角形是相似三角形以及相似三角形的周长之比等于相似比是解题的关键．
6．D
【分析】根据反比例函数的性质逐一判断即可．
【详解】因为，
所以A正确，不符合题意；
因为反比例函数，
所以图象分别位于第二、四象限内；在每个象限内y的值随x的值增大而增大；
所以B、C正确，不符合题意；
当时，或，
所以D错误，符合题意，
故选D．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的基本性质是解题的关键．
7．B
【分析】根据前四个图案圆圈的个数找到规律，即可求解.
【详解】解：因为第①个图案中有2个圆圈，；
第②个图案中有5个圆圈，；
第③个图案中有8个圆圈，；
第④个图案中有11个圆圈，；
…，
所以第⑦个图案中圆圈的个数为；
故选：B.
【点睛】本题考查了图形类规律探究，根据前四个图案圆圈的个数找到第n个图案的规律为是解题的关键.
8．D
【分析】连接，根据圆周角定理得到，从而求得，根据与相切得到，结合三角形内角和即可得到答案；
【详解】解：连接，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵与相切，
∴，
∴，
故选：D．

【点睛】本题考查圆周角定理，切线性质，三角形内角和定理，解题的关键是作出辅助线得到．
9．B
【分析】过点E作MN⊥DC，根据得出EN=DN=AM=3，则ME=1，根据勾股定理，算出AE的值，根据“AAS”证明，得出EF的长，算出三角形的面积即可．
【详解】解：过点E作MN⊥DC，交AB于点M，交DC于点N，如图所示：
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BDC=∠ABD=45°，AB=BC=CD=AD=4，，
∴∠DEN=90°-45°=45°，
∴，
∵四边形ADNM为矩形，
∴MN=AD=4，AM=DN=3，
∴ME=MN-EN=4-3=1，
∴，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF=90°，
∴∠AEM+∠FEN=180°-90°=90°，
∵∠FEN+∠EFN=90°，
∴∠AEM=∠EFN，
∵在△AME和△ENF中，
∴，
∴，
∴，故B正确．
故选：B．
【点睛】本本题主要考查了正方形性质的应用和三角形全等的判定和性质，以及勾股定理的应用，正确作出辅助线是解题的关键．
10．C
【分析】根据整式、分式的运算法则进行化简，并运用函数思想对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
【详解】解：①∵，
∴，
∴，
∴或4，
∴①的结论正确；
②
∵为整数，
∴为整数，即为整数，
，，，．
∴②的结论错误；
③，即，
化简得，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴．
∴③的结论错误；
④，
∵中a取值为与时，对应的值相等，
∴二次函数的对称轴为直线，
∴，则当时，m有最大值．
∴④的结论正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了整式、分式的运算法则，及二次函数图像性质，综合运用以上知识是解题的关键．
11．2
【分析】根据负整数指数幂，零指数幂的运算性质进行计算即可．
【详解】解：原式
，
故答案为：2
【点睛】本题考查负整数指数幂，零指数幂，掌握负整数指数幂，零指数幂的运算性质是解题的关键．
12．七
【分析】根据多边形的内角和公式，列式求解即可．
【详解】设这个多边形是边形，根据题意得，
，
解得．
故答案为七．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键．
13．##
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，代数式求值．掌握一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键．根据一元二次方程根与系数的关系可求出，，再将所求式子变形为，最后整体代入求值即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两根分别为a，b，
∴，，
∴．
故答案为：．
14．
【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图为：
共有9种等可能的结果，其中点在第一象限的有4种结果，
所以点在第一象限的概率为．
故答案为：
15．
【分析】本题考查扇形面积的计算，掌握扇形面积、正方形以及平行线的性质是解决问题的关键．根据正方形的性质，平行线的性质得出，于是将转化为，再根据扇形面积的计算方法进行计算即可．
【详解】解：如图，连接，，
四边形，是正方形，
，
，
，
，
故答案为：．
16．
【分析】连接，作轴于，轴于，由是边的中点，，即可求得，设，，则，，根据，即可得到，解得．
【详解】解：连接，作轴于，轴于，

反比例函数的图象刚好经过平行四边形的顶点和边的中点，，
，
，
设，，则，，
，，，，
，
，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，明确是解题的关键．
17．
【分析】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，先解不等式组，确定的取值范围，再把分式方程去分母转化为整式方程，解得，由分式方程有正整数解，确定出的值，相乘即可得到答案．
【详解】解：，
解不等式①得：
解不等式②得：，
则根据题意可知，不等式组的解集为：，
关于的一元一次不等式组至少有2个整数解，
则该不等式的整数解至少包含：，，
，
解得：，
分式方程去分母得：，
解得：，
∵，
∴，
是正整数，且，
∴或，
或，
满足条件的整数的和为，
故答案为：．
18． 110 770
【分析】根据题意，先确定百位最小可取的数为1，根据“和悦数”的定义，即可进行解答；设M百位上数字为a，个位上数字为b，则十位上数字为，根据题意可得，则，根据为整数，得出能被7整除，找出符合条件的最大的a的值，即可进行解答．
【详解】解：∵“和悦数”是三位数，
∴百位数为非0数字，
∵最小的非0数字为1，
∴最小的“和悦数”百位上为1，
∵最小的自然数为0，
∴最小的“和悦数”个位上为0，
∴最小的“和悦数”十位上为，
∴最小的“和悦数”为110；
设M百位上数字为a，个位上数字为b，则十位上数字为，
根据题意可得，且a、b均为整数，
∴数M为，
∵为整数，
∴为整数，
∴能被7整除，
∵，
∴，
则，
∵，
∴
∴a最大值为7，此时b为0，
∴满足条件的的最大值为770，
故答案为：110，770．
【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，列代数式，新定义下的实数运算，解题的关键是正确理解题意，根据题意所给“和悦数”的定义，列出代数式求解．
19．(1)
(2)
【分析】（1）先计算乘法，再合并，即可求解；
（2）先计算括号内的，再计算除法，即可求解．
【详解】（1）解∶
；
（2）解∶
【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，分式的混合运算，熟练掌握式的混合运算和分式的混合运算法则是解题的关键．
20．(1)见解析
(2)；；；
【分析】（1）根据题意作，交边于点，交于点，交的延长线于点；
（2）根据菱形的性质，结合条件得出与均为等边三角形；进而证明；根据全等三角形的性质即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，
（2）证明：四边形是菱形；
∴，，；
；
与均为等边三角形；
，；
；
在与中，
；
．
故答案为：；；；．
【点睛】本题考查了作一个角等于已知角，菱形的性质，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
21．(1)；94；
(2)由于八年级竞赛成绩的中位数大于七年级竞赛成绩的中位数，所以八年级对“防灾减灾”的了解情况更好（答案不唯一）
(3)两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数为人
【分析】（1）根据众数，中位数的概念，求得，利用七年级两类的人数和除以总人数求得，即可解答；
（2）根据平均数，中位数，优秀率，进行评价即可；
（3）根据优秀率的定义，进行计算即可解答．
【详解】（1）解：七年级学生的竞赛成绩从小到大排列第10和11个数为92和93，
，
八年级中组人数为，组人数为，组人数为，组中得分为的人数为5，
，
七年级学生的优秀率为，
故答案为：；94；；
（2）解：由于八年级竞赛成绩的中位数为93为大于七年级竞赛成绩的中位数，
八年级对“防灾减灾”的了解情况更好；
（3）解：（人），
答：两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数为人．
【点睛】本题考查了中位数众数，用样本估计容量，掌握中位数和众数的定义，用样本去估计总量的方法是解题的关键．
22．(1)每个甲款篮球的进价为150元，每个乙款篮球的进价为120元；
(2)购进甲款篮球的数量为10个时，商店获利最大
【分析】（1）设每个甲款篮球进价为x元，则每个乙款篮球进价为元，根据“用5000元购进甲款篮球的数量是用2000元购进乙款篮球的数量的2倍”，列出方程求解即可；
（2）设商店购进甲款篮球a个，则购进乙款篮球个，根据“乙款篮球的数量不高于甲款篮球的数量”列出不等式求出a的取值范围，再设商店获利为W元，根据总获利=甲款篮球获利+乙款篮球获利，列出函数表达式，根据一次函数的性质进行解答即可．
【详解】（1）解：设每个甲款篮球进价为x元，则每个乙款篮球进价为元，
，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
∴，
答：每个甲款篮球的进价为150元，每个乙款篮球的进价为120元．
（2）解：设商店购进甲款篮球a个，则购进乙款篮球个，
，
解得：，
设商店获利为W元，
，
∵，
∴W随x的增大而增大，
∴当时，W取最大值，此时，
即购进甲款篮球10个时，商店获利最大为500元．
【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，一次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出数量关系，列出方程，不等式，以及一次函数表达式．
23．(1)，图象见解析
(2)该函数图象关于直线对称（答案不唯一）
(3)
【分析】（1）过点A作于点D，根据面积求出，根据勾股定理求出，再进行分类讨论①当点P在上时，；②当点P在上时，，根据相似三角形对应边成比例即可解答；
（2）根据图象分析其对称性，即可解答；
（3）根据（1）中得出的关于x法表达式，进行分类讨论，列出不等式求解即可．
【详解】（1）解：过点A作于点D，

∵，，
∴，解得：．
∵，，，
∴，
根据勾股定理可得：，
则，
①当点P在上时：
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴，即，整理得：；
②当点P在上时：
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，整理得：，
综上：，
画出图形如下：

（2）解：由图可知，该函数图象关于直线对称．
故答案为：该函数图象关于直线对称；
（3）解：当时，
∵，
∴，解得：或（舍去），
∴；
当时，
∵，
∴，解得：或（舍去），
∴；
综上：．
【点睛】本题为三角形综合题，解题的关键是掌握等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，一次函数的应用，图象法解一元二次不等式等知识，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例．
24．(1)米
(2)能，理由见解析
【分析】本题考查了解直角三角形及其应用，构造直角三角形并利用三角函数求解使解答本题得关键．
（1）过点A作的垂线，交的延长线于点D，在中，利用三角函数的定义，可逐步求得米，米，进一步在中，可求得的长；
（2）设从接到通知后到警车与救护车相遇共用时x分钟，在中，利用三角函数的定义，可求得米，米，进一步列方程求解即可得到答案．
【详解】（1）过点A作的垂线，交的延长线于点D，
由题意可知，，，
则，
在中，米，
米，
在中，，
米；
（2）设从接到通知后到警车与救护车相遇共用时x分钟，
在中，
米，
米，
由题意可列方程
解得
所以该伤员能在黄金救援时间内接受救治．
25．(1)
(2)的最大值为，此时点
(3)
【分析】（1）用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）求出直线的解析式为，设点D的坐标为，则点E的坐标为，得出，过点C作轴交于点G，求出，得出求出最值即可；
（3）求出，令，根据，得出，求出，得出，，求出，
得出，，根据求出结果即可．
【详解】（1）解：∵二次函数经过点，，，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：设直线的解析式为，把代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
设点D的坐标为，则点E的坐标为，
∴，
∵，，
∴，，
过点C作轴交于点G，如图所示：
∵轴，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴
，
∴当时，有最大值6，
此时点D的坐标为：．
（3）解：，
∵原抛物线向右平移得到经过原点的新抛物线，且点B的坐标为，
∴，
令，
整理得：，
则，
整理得：，
∴直线的解析式为，
此时，
把代入得：，
∴，
抛物线的对称轴为直线，
把代入得：，
∴点P关于x轴的对称点为点，
∴，
∴
，
∴
．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，求出二次函数解析式，二次函数的平移，平行线的性质，解直角三角形，平行四边形的判定和性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握二次函数的性质．
26．(1)4
(2)见解析
(3)
【分析】(1)先解直角三角形得出再根据为的中点，求出证明得出即可求出结果；
（2）在上截取连接先证明得出再证明再证明得出；
(3) 过点作交；，根据，求出，，根据，求出，再根据正弦求出，最后求出
【详解】（1）解：
（2）证明：在上截取连接
（3）解：过点作交；，
根据旋转可知，若使最小，则有
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形面积的计算，三角形内角和定理的应用，特殊角的三角函数的应用，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形。