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初中人教版12.1 全等三角形单元测试课时作业
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这是一份初中人教版12.1 全等三角形单元测试课时作业，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第12章 全等三角形
一、选择题（共9小题）
1．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，若连接AC、BD相交于点O，则图中全等三角形共有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
2．如图所示，点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点，且AD=DE，连结BE交CD于点O，连结AO，下列结论不正确的是（ ）
A．△AOB≌△BOC B．△BOC≌△EOD C．△AOD≌△EOD D．△AOD≌△BOC
3．使两个直角三角形全等的条件是（ ）
A．一个锐角对应相等 B．两个锐角对应相等
C．一条边对应相等 D．两条边对应相等
4．如图，在△ABC和△DEC中，已知AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是（ ）
A．BC=EC，∠B=∠E B．BC=EC，AC=DC C．BC=DC，∠A=∠D D．∠B=∠E，∠A=∠D
5．如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是（ ）
A．∠A=∠C B．AD=CB C．BE=DF D．AD∥BC
6．如图，AB=AC，D，E分别是AB，AC上的点，下列条件中不能证明△ABE≌△ACD的是
（ ）
A．AD=AE B．BD=CE C．BE=CD D．∠B=∠C
7．附图为八个全等的正六边形紧密排列在同一平面上的情形．根据图中标示的各点位置，判断△ACD与下列哪一个三角形全等？（ ）
A．△ACF B．△ADE C．△ABC D．△BCF
8．如图，AB∥DE，AC∥DF，AC=DF，下列条件中不能判断△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AB=DE B．∠B=∠E C．EF=BC D．EF∥BC
9．已知△A1B1C1，△A2B2C2的周长相等，现有两个判断：
①若A1B1=A2B2，A1C1=A2C2，则△A1B1C1≌△A2B2C2；
②若∠A1=∠A2，∠B1=∠B2，则△A1B1C1≌△A2B2C2，
对于上述的两个判断，下列说法正确的是（ ）
A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①，②都错误 D．①，②都正确
二、填空题（共10小题）
10．如图，已知BC=EC，∠BCE=∠ACD，要使△ABC≌△DEC，则应添加的一个条件为 ．（答案不唯一，只需填一个）
11．如图，在△ABC和△DEF中，点B、F、C、E在同一直线上，BF=CE，AC∥DF，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是 ．（只需写一个，不添加辅助线）
12．如图，点D、E分别在线段AB，AC上，AE=AD，不添加新的线段和字母，要使△ABE≌△ACD，需添加的一个条件是 （只写一个条件即可）．
13．如图，已知∠B=∠C，添加一个条件使△ABD≌△ACE（不标注新的字母，不添加新的线段），你添加的条件是 ．
14．如图，已知点B、C、F、E在同一直线上，∠1=∠2，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需添加一个条件，这个条件可以是 ．（只需写出一个）
15．如图，已知∠1=∠2，AC=AD，请增加一个条件，使△ABC≌△AED，你添加的条件是 ．
16．如图，BC=EC，∠1=∠2，添加一个适当的条件使△ABC≌△DEC，则需添加的条件是 （不添加任何辅助线）．
17．如图，AB=AC，要使△ABE≌△ACD，应添加的条件是 （添加一个条件即可）．
18．如图，A，B，C三点在同一条直线上，∠A=∠C=90°，AB=CD，请添加一个适当的条件 ，使得△EAB≌△BCD．
19．如图，AF=DC，BC∥EF，只需补充一个条件 ，就得△ABC≌△DEF．
三、解答题（共11小题）
20．如图，AC=AE，∠1=∠2，AB=AD．求证：BC=DE．
21．如图，△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°，四边形BCDE是平行四边形，E为AC中点，BD平分∠ABC，点F在AB上，且BF=BC．求证：
（1）DF=AE；
（2）DF⊥AC．
22．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AE∥BC，CE⊥AE，垂足为E．
（1）求证：△ABD≌△CAE；
（2）连接DE，线段DE与AB之间有怎样的位置和数量关系？请证明你的结论．
23．如图，AB=AE，∠1=∠2，∠C=∠D．
求证：△ABC≌△AED．
第12章 全等三角形
参考答案与试题解析
一、选择题（共9小题）
1．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，若连接AC、BD相交于点O，则图中全等三角形共有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【考点】全等三角形的判定．
【分析】首先证明△ABC≌△ADC，根据全等三角形的性质可得∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA，再证明△ABO≌△ADO，△BOC≌△DOC．
【解答】解：∵在△ABC和△ADC中，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA，
∵在△ABO和△ADO中，
∴△ABO≌△ADO（SAS），
∵在△BOC和△DOC中，
∴△BOC≌△DOC（SAS），
故选：C．
【点评】考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
2．如图所示，点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点，且AD=DE，连结BE交CD于点O，连结AO，下列结论不正确的是（ ）
A．△AOB≌△BOC B．△BOC≌△EOD C．△AOD≌△EOD D．△AOD≌△BOC
【考点】全等三角形的判定；矩形的性质．
【专题】压轴题．
【分析】根据AD=DE，OD=OD，∠ADO=∠EDO=90°，可证明△AOD≌△EOD，OD为△ABE的中位线，OD=OC，然后根据矩形的性质和全等三角形的性质找出全等三角形即可．
【解答】解：∵AD=DE，DO∥AB，
∴OD为△ABE的中位线，
∴OD=OC，
∵在△AOD和△EOD中，
，
∴△AOD≌△EOD（SAS）；
∵在△AOD和△BOC中，
，
∴△AOD≌△BOC（SAS）；
∵△AOD≌△EOD，
∴△BOC≌△EOD；
故B、C、D均正确．
故选A．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
3．使两个直角三角形全等的条件是（ ）
A．一个锐角对应相等 B．两个锐角对应相等
C．一条边对应相等 D．两条边对应相等
【考点】直角三角形全等的判定．
【专题】压轴题．
【分析】利用全等三角形的判定来确定．做题时，要结合已知条件与三角形全等的判定方法逐个验证．
【解答】解：A、一个锐角对应相等，利用已知的直角相等，可得出另一组锐角相等，但不能证明两三角形全等，故A选项错误；
B、两个锐角相等，那么也就是三个对应角相等，但不能证明两三角形全等，故B选项错误；
C、一条边对应相等，再加一组直角相等，不能得出两三角形全等，故C选项错误；
D、两条边对应相等，若是两条直角边相等，可利用SAS证全等；若一直角边对应相等，一斜边对应相等，也可证全等，故D选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了直角三角形全等的判定方法；三角形全等的判定有ASA、SAS、AAS、SSS、HL，可以发现至少得有一组对应边相等，才有可能全等．
4．如图，在△ABC和△DEC中，已知AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是（ ）
A．BC=EC，∠B=∠E B．BC=EC，AC=DC C．BC=DC，∠A=∠D D．∠B=∠E，∠A=∠D
【考点】全等三角形的判定．
【分析】根据全等三角形的判定方法分别进行判定即可．
【解答】解：A、已知AB=DE，再加上条件BC=EC，∠B=∠E可利用SAS证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；
B、已知AB=DE，再加上条件BC=EC，AC=DC可利用SSS证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；
C、已知AB=DE，再加上条件BC=DC，∠A=∠D不能证明△ABC≌△DEC，故此选项符合题意；
D、已知AB=DE，再加上条件∠B=∠E，∠A=∠D可利用ASA证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
5．如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是（ ）
A．∠A=∠C B．AD=CB C．BE=DF D．AD∥BC
【考点】全等三角形的判定．
【分析】求出AF=CE，再根据全等三角形的判定定理判断即可．
【解答】解：∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，
∴AF=CE，
A、∵在△ADF和△CBE中
∴△ADF≌△CBE（ASA），正确，故本选项错误；
B、根据AD=CB，AF=CE，∠AFD=∠CEB不能推出△ADF≌△CBE，错误，故本选项正确；
C、∵在△ADF和△CBE中
∴△ADF≌△CBE（SAS），正确，故本选项错误；
D、∵AD∥BC，
∴∠A=∠C，
∵在△ADF和△CBE中
∴△ADF≌△CBE（ASA），正确，故本选项错误；
故选B．
【点评】本题考查了平行线性质，全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．
6．如图，AB=AC，D，E分别是AB，AC上的点，下列条件中不能证明△ABE≌△ACD的是
（ ）
A．AD=AE B．BD=CE C．BE=CD D．∠B=∠C
【考点】全等三角形的判定．
【分析】欲使△ABE≌△ACD，已知AB=AC，可根据全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA添加条件，逐一证明即可．
【解答】解：∵AB=AC，∠A为公共角，
A、如添加AE=AD，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；
B、如添BD=CE，可证明AD=AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；
C、如添BE=CD，因为SSA，不能证明△ABE≌△ACD，所以此选项不能作为添加的条件；
D、如添∠B=∠C，利用ASA即可证明△ABE≌△ACD；
故选C．
【点评】此题主要考查学生对全等三角形判定定理的理解和掌握，此类添加条件题，要求学生应熟练掌握全等三角形的判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
7．附图为八个全等的正六边形紧密排列在同一平面上的情形．根据图中标示的各点位置，判断△ACD与下列哪一个三角形全等？（ ）
A．△ACF B．△ADE C．△ABC D．△BCF
【考点】全等三角形的判定．
【分析】根据全等三角形的判定定理（SAS，ASA，AAS，SSS）结合图形进行判断即可．
【解答】解：根据图象可知△ACD和△ADE全等，
理由是：∵根据图形可知AD=AD，AE=AC，DE=DC，
∴△ACD≌△AED，
即△ACD和△ADE全等，
故选B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定的应用，主要考查学生的观察图形的能力和推理能力，注意：全等三角形的判定定理有：SAS，ASA，AAS，SSS．
8．如图，AB∥DE，AC∥DF，AC=DF，下列条件中不能判断△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AB=DE B．∠B=∠E C．EF=BC D．EF∥BC
【考点】全等三角形的判定．
【分析】本题可以假设A、B、C、D选项成立，分别证明△ABC≌△DEF，即可解题．
【解答】解：∵AB∥DE，AC∥DF，∴∠A=∠D，
（1）AB=DE，则△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF，故A选项错误；
（2）∠B=∠E，则△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF，故B选项错误；
（3）EF=BC，无法证明△ABC≌△DEF（ASS）；故C选项正确；
（4）∵EF∥BC，AB∥DE，∴∠B=∠E，则△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF，故D选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的不同方法的判定，注意题干中“不能”是解题的关键．
9．已知△A1B1C1，△A2B2C2的周长相等，现有两个判断：
①若A1B1=A2B2，A1C1=A2C2，则△A1B1C1≌△A2B2C2；
②若∠A1=∠A2，∠B1=∠B2，则△A1B1C1≌△A2B2C2，
对于上述的两个判断，下列说法正确的是（ ）
A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①，②都错误 D．①，②都正确
【考点】全等三角形的判定．
【专题】压轴题．
【分析】根据SSS即可推出△A1B1C1≌△A2B2C2，判断①正确；根据“两角法”推知两个三角形相似，然后结合两个三角形的周长相等推出两三角形全等，即可判断②．
【解答】解：∵△A1B1C1，△A2B2C2的周长相等，A1B1=A2B2，A1C1=A2C2，
∴B1C1=B2C2，
∴△A1B1C1≌△A2B2C2（SSS），∴①正确；
∵∠A1=∠A2，∠B1=∠B2，
∴△A1B1C1∽△A2B2C2
∵△A1B1C1，△A2B2C2的周长相等，
∴△A1B1C1≌△A2B2C2
∴②正确；
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，而AAA和SSA不能判断两三角形全等．
二、填空题
10．如图，已知BC=EC，∠BCE=∠ACD，要使△ABC≌△DEC，则应添加的一个条件为 AC=CD ．（答案不唯一，只需填一个）
【考点】全等三角形的判定．
【专题】开放型．
【分析】可以添加条件AC=CD，再由条件∠BCE=∠ACD，可得∠ACB=∠DCE，再加上条件CB=EC，可根据SAS定理证明△ABC≌△DEC．
【解答】解：添加条件：AC=CD，
∵∠BCE=∠ACD，
∴∠ACB=∠DCE，
在△ABC和△DEC中，
∴△ABC≌△DEC（SAS），
故答案为：AC=CD（答案不唯一）．
【点评】此题主要考查了考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
11．如图，在△ABC和△DEF中，点B、F、C、E在同一直线上，BF=CE，AC∥DF，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是 AC=DF ．（只需写一个，不添加辅助线）
【考点】全等三角形的判定．
【专题】开放型．
【分析】求出BC=EF，∠ACB=∠DFE，根据SAS推出两三角形全等即可．
【解答】解：AC=DF，
理由是：∵BF=CE，
∴BF+FC=CE+FC，
∴BC=EF，
∵AC∥DF，
∴∠ACB=∠DFE，
在△ABC和△DEF中
∴△ABC≌△DEF（SAS），
故答案为：AC=DF．
【点评】本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，答案不唯一．
12．如图，点D、E分别在线段AB，AC上，AE=AD，不添加新的线段和字母，要使△ABE≌△ACD，需添加的一个条件是 ∠B=∠C（答案不唯一） （只写一个条件即可）．
【考点】全等三角形的判定．
【专题】开放型．
【分析】由题意得，AE=AD，∠A=∠A（公共角），可选择利用AAS、SAS进行全等的判定，答案不唯一．
【解答】解：添加∠B=∠C．
在△ABE和△ACD中，∵，
∴△ABE≌△ACD（AAS）．
故答案可为：∠B=∠C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，属于开放型题目，解答本题需要同学们熟练掌握三角形全等的几种判定定理．
13．如图，已知∠B=∠C，添加一个条件使△ABD≌△ACE（不标注新的字母，不添加新的线段），你添加的条件是 AC=AB ．
【考点】全等三角形的判定．
【专题】开放型．
【分析】添加条件：AB=AC，再加上∠A=∠A，∠B=∠C可利用ASA证明△ABD≌△ACE．
【解答】解：添加条件：AB=AC，
∵在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（ASA），
故答案为：AB=AC．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
14．如图，已知点B、C、F、E在同一直线上，∠1=∠2，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需添加一个条件，这个条件可以是 CA=FD ．（只需写出一个）
【考点】全等三角形的判定．
【专题】开放型．
【分析】可选择添加条件后，能用SAS进行全等的判定，也可以选择AAS进行添加．
【解答】解：添加CA=FD，可利用SAS判断△ABC≌△DEF．
故答案可为CA=FD．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，解答本题关键是掌握全等三角形的判定定理，本题答案不唯一．
15．如图，已知∠1=∠2，AC=AD，请增加一个条件，使△ABC≌△AED，你添加的条件是 AE=AB ．
【考点】全等三角形的判定．
【专题】开放型．
【分析】添加条件AE=AB，根据等式的性质可得∠BAC=∠EAD，然后再用SAS证明△BAC≌△EAD．
【解答】解：添加条件AE=AB，
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠EAB=∠2+∠EAB，
∴∠BAC=∠EAD，
在△BCA和△EDA中，
，
∴△BAC≌△EAD（SAS）．
故答案为：AE=AB．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
16．如图，BC=EC，∠1=∠2，添加一个适当的条件使△ABC≌△DEC，则需添加的条件是 ∠A=∠D （不添加任何辅助线）．
【考点】全等三角形的判定．
【专题】开放型．
【分析】先求出∠ACB=∠DCE，再添加∠A=∠D，由已知条件BC=EC，即可证明△ABC≌△DEC．
【解答】解：添加条件：∠A=∠D；
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠ECA=∠2+∠ECA，
即∠ACB=∠DCE，
在△ABC和△DEC中，
∴△ABC≌△DEC（AAS）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定；熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
17．如图，AB=AC，要使△ABE≌△ACD，应添加的条件是 ∠B=∠C或AE=AD （添加一个条件即可）．
【考点】全等三角形的判定．
【专题】开放型．
【分析】要使△ABE≌△ACD，已知AB=AC，∠A=∠A，则可以添加一个边从而利用SAS来判定其全等，或添加一个角从而利用AAS来判定其全等．
【解答】解：添加∠B=∠C或AE=AD后可分别根据ASA、SAS判定△ABE≌△ACD．
故答案为：∠B=∠C或AE=AD．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．
18．（2013•绥化）如图，A，B，C三点在同一条直线上，∠A=∠C=90°，AB=CD，请添加一个适当的条件 AE=CB ，使得△EAB≌△BCD．
【考点】全等三角形的判定．
【专题】开放型．
【分析】可以根据全等三角形的不同的判定方法添加不同的条件．
【解答】解：∵∠A=∠C=90°，AB=CD，
∴若利用“SAS”，可添加AE=CB，
若利用“HL”，可添加EB=BD，
若利用“ASA”或“AAS”，可添加∠EBD=90°，
若添加∠E=∠DBC，可利用“AAS”证明．
综上所述，可添加的条件为AE=CB（或EB=BD或∠EBD=90°或∠E=∠DBC等）．
故答案为：AE=CB．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，开放型题目，根据不同的三角形全等的判定方法可以选择添加的条件也不相同．
19．如图，AF=DC，BC∥EF，只需补充一个条件 BC=EF ，就得△ABC≌△DEF．
【考点】全等三角形的判定．
【专题】开放型．
【分析】补充条件BC=EF，首先根据AF=DC可得AC=DF，再根据BC∥EF可得∠EFC=∠BCF，然后再加上条件CB=EF可利用SAS定理证明△ABC≌△DEF．
【解答】解：补充条件BC=EF，
∵AF=DC，
∴AF+FC=CD+FC，
即AC=DF，
∵BC∥EF，
∴∠EFC=∠BCF，
∵在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
故答案为：BC=EF．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
三、解答题
20．如图，AC=AE，∠1=∠2，AB=AD．求证：BC=DE．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】先证出∠CAB=∠DAE，再由SAS证明△BAC≌△DAE，得出对应边相等即可．
【解答】证明：∵∠1=∠2，
∴∠CAB=∠DAE，
在△BAC和△DAE中，，
∴△BAC≌△DAE（SAS），
∴BC=DE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质；熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键．
21．如图，△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°，四边形BCDE是平行四边形，E为AC中点，BD平分∠ABC，点F在AB上，且BF=BC．求证：
（1）DF=AE；
（2）DF⊥AC．
【考点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
【专题】证明题．
【分析】（1）延长DE交AB于点G，连接AD．构建全等三角形△AED≌△DFB（SAS），则由该全等三角形的对应边相等证得结论；
（2）设AC与FD交于点O．利用（1）中全等三角形的对应角相等，等角的补角相等以及三角形内角和定理得到∠EOD=90°，即DF⊥AC．
【解答】证明：（1）延长DE交AB于点G，连接AD．
∵四边形BCDE是平行四边形，
∴ED∥BC，ED=BC．
∵点E是AC的中点，∠ABC=90°，
∴AG=BG，DG⊥AB．
∴AD=BD，
∴∠BAD=∠ABD．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠BAD=45°，即∠BDE=∠ADE=45°．
又BF=BC，
∴BF=DE．
∴在△AED与△DFB中，，
∴△AED≌△DFB（SAS），
∴AE=DF，即DF=AE；
（2）设AC与FD交于点O．
∵由（1）知，△AED≌△DFB，
∴∠AED=∠DFB，
∴∠DEO=∠DFG．
∵∠DFG+∠FDG=90°，
∴∠DEO+∠EDO=90°，
∴∠EOD=90°，即DF⊥AC．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
22．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AE∥BC，CE⊥AE，垂足为E．
（1）求证：△ABD≌△CAE；
（2）连接DE，线段DE与AB之间有怎样的位置和数量关系？请证明你的结论．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】（1）运用AAS证明△ABD≌△CAE；
（2）易证四边形ADCE是矩形，所以AC=DE=AB，也可证四边形ABDE是平行四边形得到AB=DE．
【解答】证明：（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠ACD，
∵AE∥BC，
∴∠EAC=∠ACD，
∴∠B=∠EAC，
∵AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，
∵CE⊥AE，
∴∠ADC=∠CEA=90°
在△ABD和△CAE中
∴△ABD≌△CAE（AAS）；
（2）AB=DE，AB∥DE，如右图所示，
∵AD⊥BC，AE∥BC，
∴AD⊥AE，
又∵CE⊥AE，
∴四边形ADCE是矩形，
∴AC=DE，
∵AB=AC，
∴AB=DE．
∵AB=AC，
∴BD=DC，
∵四边形ADCE是矩形，
∴AE∥CD，AE=DC，
∴AE∥BD，AE=BD，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AB∥DE且AB=DE．
【点评】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，矩形的判定与性质以及平行四边形的判定与性质，难度不大，比较灵活．
23．如图，AB=AE，∠1=∠2，∠C=∠D．
求证：△ABC≌△AED．
【考点】全等三角形的判定．
【专题】证明题．
【分析】首先根据∠1=∠2可得∠BAC=∠EAD，再加上条件AB=AE，∠C=∠D可证明△ABC≌△AED．
【解答】证明：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠EAC=∠2+∠EAC，
即∠BAC=∠EAD，
∵在△ABC和△AED中，
，
∴△ABC≌△AED（AAS）．
【点评】此题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
第12章 全等三角形
一、选择题（共9小题）
1．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，若连接AC、BD相交于点O，则图中全等三角形共有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
2．如图所示，点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点，且AD=DE，连结BE交CD于点O，连结AO，下列结论不正确的是（ ）
A．△AOB≌△BOC B．△BOC≌△EOD C．△AOD≌△EOD D．△AOD≌△BOC
3．使两个直角三角形全等的条件是（ ）
A．一个锐角对应相等 B．两个锐角对应相等
C．一条边对应相等 D．两条边对应相等
4．如图，在△ABC和△DEC中，已知AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是（ ）
A．BC=EC，∠B=∠E B．BC=EC，AC=DC C．BC=DC，∠A=∠D D．∠B=∠E，∠A=∠D
5．如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是（ ）
A．∠A=∠C B．AD=CB C．BE=DF D．AD∥BC
6．如图，AB=AC，D，E分别是AB，AC上的点，下列条件中不能证明△ABE≌△ACD的是
（ ）
A．AD=AE B．BD=CE C．BE=CD D．∠B=∠C
7．附图为八个全等的正六边形紧密排列在同一平面上的情形．根据图中标示的各点位置，判断△ACD与下列哪一个三角形全等？（ ）
A．△ACF B．△ADE C．△ABC D．△BCF
8．如图，AB∥DE，AC∥DF，AC=DF，下列条件中不能判断△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AB=DE B．∠B=∠E C．EF=BC D．EF∥BC
9．已知△A1B1C1，△A2B2C2的周长相等，现有两个判断：
①若A1B1=A2B2，A1C1=A2C2，则△A1B1C1≌△A2B2C2；
②若∠A1=∠A2，∠B1=∠B2，则△A1B1C1≌△A2B2C2，
对于上述的两个判断，下列说法正确的是（ ）
A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①，②都错误 D．①，②都正确
二、填空题（共10小题）
10．如图，已知BC=EC，∠BCE=∠ACD，要使△ABC≌△DEC，则应添加的一个条件为 ．（答案不唯一，只需填一个）
11．如图，在△ABC和△DEF中，点B、F、C、E在同一直线上，BF=CE，AC∥DF，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是 ．（只需写一个，不添加辅助线）
12．如图，点D、E分别在线段AB，AC上，AE=AD，不添加新的线段和字母，要使△ABE≌△ACD，需添加的一个条件是 （只写一个条件即可）．
13．如图，已知∠B=∠C，添加一个条件使△ABD≌△ACE（不标注新的字母，不添加新的线段），你添加的条件是 ．
14．如图，已知点B、C、F、E在同一直线上，∠1=∠2，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需添加一个条件，这个条件可以是 ．（只需写出一个）
15．如图，已知∠1=∠2，AC=AD，请增加一个条件，使△ABC≌△AED，你添加的条件是 ．
16．如图，BC=EC，∠1=∠2，添加一个适当的条件使△ABC≌△DEC，则需添加的条件是 （不添加任何辅助线）．
17．如图，AB=AC，要使△ABE≌△ACD，应添加的条件是 （添加一个条件即可）．
18．如图，A，B，C三点在同一条直线上，∠A=∠C=90°，AB=CD，请添加一个适当的条件 ，使得△EAB≌△BCD．
19．如图，AF=DC，BC∥EF，只需补充一个条件 ，就得△ABC≌△DEF．
三、解答题（共11小题）
20．如图，AC=AE，∠1=∠2，AB=AD．求证：BC=DE．
21．如图，△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°，四边形BCDE是平行四边形，E为AC中点，BD平分∠ABC，点F在AB上，且BF=BC．求证：
（1）DF=AE；
（2）DF⊥AC．
22．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AE∥BC，CE⊥AE，垂足为E．
（1）求证：△ABD≌△CAE；
（2）连接DE，线段DE与AB之间有怎样的位置和数量关系？请证明你的结论．
23．如图，AB=AE，∠1=∠2，∠C=∠D．
求证：△ABC≌△AED．
第12章 全等三角形
参考答案与试题解析
一、选择题（共9小题）
1．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，若连接AC、BD相交于点O，则图中全等三角形共有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【考点】全等三角形的判定．
【分析】首先证明△ABC≌△ADC，根据全等三角形的性质可得∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA，再证明△ABO≌△ADO，△BOC≌△DOC．
【解答】解：∵在△ABC和△ADC中，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA，
∵在△ABO和△ADO中，
∴△ABO≌△ADO（SAS），
∵在△BOC和△DOC中，
∴△BOC≌△DOC（SAS），
故选：C．
【点评】考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
2．如图所示，点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点，且AD=DE，连结BE交CD于点O，连结AO，下列结论不正确的是（ ）
A．△AOB≌△BOC B．△BOC≌△EOD C．△AOD≌△EOD D．△AOD≌△BOC
【考点】全等三角形的判定；矩形的性质．
【专题】压轴题．
【分析】根据AD=DE，OD=OD，∠ADO=∠EDO=90°，可证明△AOD≌△EOD，OD为△ABE的中位线，OD=OC，然后根据矩形的性质和全等三角形的性质找出全等三角形即可．
【解答】解：∵AD=DE，DO∥AB，
∴OD为△ABE的中位线，
∴OD=OC，
∵在△AOD和△EOD中，
，
∴△AOD≌△EOD（SAS）；
∵在△AOD和△BOC中，
，
∴△AOD≌△BOC（SAS）；
∵△AOD≌△EOD，
∴△BOC≌△EOD；
故B、C、D均正确．
故选A．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
3．使两个直角三角形全等的条件是（ ）
A．一个锐角对应相等 B．两个锐角对应相等
C．一条边对应相等 D．两条边对应相等
【考点】直角三角形全等的判定．
【专题】压轴题．
【分析】利用全等三角形的判定来确定．做题时，要结合已知条件与三角形全等的判定方法逐个验证．
【解答】解：A、一个锐角对应相等，利用已知的直角相等，可得出另一组锐角相等，但不能证明两三角形全等，故A选项错误；
B、两个锐角相等，那么也就是三个对应角相等，但不能证明两三角形全等，故B选项错误；
C、一条边对应相等，再加一组直角相等，不能得出两三角形全等，故C选项错误；
D、两条边对应相等，若是两条直角边相等，可利用SAS证全等；若一直角边对应相等，一斜边对应相等，也可证全等，故D选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了直角三角形全等的判定方法；三角形全等的判定有ASA、SAS、AAS、SSS、HL，可以发现至少得有一组对应边相等，才有可能全等．
4．如图，在△ABC和△DEC中，已知AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是（ ）
A．BC=EC，∠B=∠E B．BC=EC，AC=DC C．BC=DC，∠A=∠D D．∠B=∠E，∠A=∠D
【考点】全等三角形的判定．
【分析】根据全等三角形的判定方法分别进行判定即可．
【解答】解：A、已知AB=DE，再加上条件BC=EC，∠B=∠E可利用SAS证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；
B、已知AB=DE，再加上条件BC=EC，AC=DC可利用SSS证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；
C、已知AB=DE，再加上条件BC=DC，∠A=∠D不能证明△ABC≌△DEC，故此选项符合题意；
D、已知AB=DE，再加上条件∠B=∠E，∠A=∠D可利用ASA证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
5．如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是（ ）
A．∠A=∠C B．AD=CB C．BE=DF D．AD∥BC
【考点】全等三角形的判定．
【分析】求出AF=CE，再根据全等三角形的判定定理判断即可．
【解答】解：∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，
∴AF=CE，
A、∵在△ADF和△CBE中
∴△ADF≌△CBE（ASA），正确，故本选项错误；
B、根据AD=CB，AF=CE，∠AFD=∠CEB不能推出△ADF≌△CBE，错误，故本选项正确；
C、∵在△ADF和△CBE中
∴△ADF≌△CBE（SAS），正确，故本选项错误；
D、∵AD∥BC，
∴∠A=∠C，
∵在△ADF和△CBE中
∴△ADF≌△CBE（ASA），正确，故本选项错误；
故选B．
【点评】本题考查了平行线性质，全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．
6．如图，AB=AC，D，E分别是AB，AC上的点，下列条件中不能证明△ABE≌△ACD的是
（ ）
A．AD=AE B．BD=CE C．BE=CD D．∠B=∠C
【考点】全等三角形的判定．
【分析】欲使△ABE≌△ACD，已知AB=AC，可根据全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA添加条件，逐一证明即可．
【解答】解：∵AB=AC，∠A为公共角，
A、如添加AE=AD，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；
B、如添BD=CE，可证明AD=AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；
C、如添BE=CD，因为SSA，不能证明△ABE≌△ACD，所以此选项不能作为添加的条件；
D、如添∠B=∠C，利用ASA即可证明△ABE≌△ACD；
故选C．
【点评】此题主要考查学生对全等三角形判定定理的理解和掌握，此类添加条件题，要求学生应熟练掌握全等三角形的判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
7．附图为八个全等的正六边形紧密排列在同一平面上的情形．根据图中标示的各点位置，判断△ACD与下列哪一个三角形全等？（ ）
A．△ACF B．△ADE C．△ABC D．△BCF
【考点】全等三角形的判定．
【分析】根据全等三角形的判定定理（SAS，ASA，AAS，SSS）结合图形进行判断即可．
【解答】解：根据图象可知△ACD和△ADE全等，
理由是：∵根据图形可知AD=AD，AE=AC，DE=DC，
∴△ACD≌△AED，
即△ACD和△ADE全等，
故选B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定的应用，主要考查学生的观察图形的能力和推理能力，注意：全等三角形的判定定理有：SAS，ASA，AAS，SSS．
8．如图，AB∥DE，AC∥DF，AC=DF，下列条件中不能判断△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AB=DE B．∠B=∠E C．EF=BC D．EF∥BC
【考点】全等三角形的判定．
【分析】本题可以假设A、B、C、D选项成立，分别证明△ABC≌△DEF，即可解题．
【解答】解：∵AB∥DE，AC∥DF，∴∠A=∠D，
（1）AB=DE，则△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF，故A选项错误；
（2）∠B=∠E，则△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF，故B选项错误；
（3）EF=BC，无法证明△ABC≌△DEF（ASS）；故C选项正确；
（4）∵EF∥BC，AB∥DE，∴∠B=∠E，则△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF，故D选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的不同方法的判定，注意题干中“不能”是解题的关键．
9．已知△A1B1C1，△A2B2C2的周长相等，现有两个判断：
①若A1B1=A2B2，A1C1=A2C2，则△A1B1C1≌△A2B2C2；
②若∠A1=∠A2，∠B1=∠B2，则△A1B1C1≌△A2B2C2，
对于上述的两个判断，下列说法正确的是（ ）
A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①，②都错误 D．①，②都正确
【考点】全等三角形的判定．
【专题】压轴题．
【分析】根据SSS即可推出△A1B1C1≌△A2B2C2，判断①正确；根据“两角法”推知两个三角形相似，然后结合两个三角形的周长相等推出两三角形全等，即可判断②．
【解答】解：∵△A1B1C1，△A2B2C2的周长相等，A1B1=A2B2，A1C1=A2C2，
∴B1C1=B2C2，
∴△A1B1C1≌△A2B2C2（SSS），∴①正确；
∵∠A1=∠A2，∠B1=∠B2，
∴△A1B1C1∽△A2B2C2
∵△A1B1C1，△A2B2C2的周长相等，
∴△A1B1C1≌△A2B2C2
∴②正确；
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，而AAA和SSA不能判断两三角形全等．
二、填空题
10．如图，已知BC=EC，∠BCE=∠ACD，要使△ABC≌△DEC，则应添加的一个条件为 AC=CD ．（答案不唯一，只需填一个）
【考点】全等三角形的判定．
【专题】开放型．
【分析】可以添加条件AC=CD，再由条件∠BCE=∠ACD，可得∠ACB=∠DCE，再加上条件CB=EC，可根据SAS定理证明△ABC≌△DEC．
【解答】解：添加条件：AC=CD，
∵∠BCE=∠ACD，
∴∠ACB=∠DCE，
在△ABC和△DEC中，
∴△ABC≌△DEC（SAS），
故答案为：AC=CD（答案不唯一）．
【点评】此题主要考查了考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
11．如图，在△ABC和△DEF中，点B、F、C、E在同一直线上，BF=CE，AC∥DF，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是 AC=DF ．（只需写一个，不添加辅助线）
【考点】全等三角形的判定．
【专题】开放型．
【分析】求出BC=EF，∠ACB=∠DFE，根据SAS推出两三角形全等即可．
【解答】解：AC=DF，
理由是：∵BF=CE，
∴BF+FC=CE+FC，
∴BC=EF，
∵AC∥DF，
∴∠ACB=∠DFE，
在△ABC和△DEF中
∴△ABC≌△DEF（SAS），
故答案为：AC=DF．
【点评】本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，答案不唯一．
12．如图，点D、E分别在线段AB，AC上，AE=AD，不添加新的线段和字母，要使△ABE≌△ACD，需添加的一个条件是 ∠B=∠C（答案不唯一） （只写一个条件即可）．
【考点】全等三角形的判定．
【专题】开放型．
【分析】由题意得，AE=AD，∠A=∠A（公共角），可选择利用AAS、SAS进行全等的判定，答案不唯一．
【解答】解：添加∠B=∠C．
在△ABE和△ACD中，∵，
∴△ABE≌△ACD（AAS）．
故答案可为：∠B=∠C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，属于开放型题目，解答本题需要同学们熟练掌握三角形全等的几种判定定理．
13．如图，已知∠B=∠C，添加一个条件使△ABD≌△ACE（不标注新的字母，不添加新的线段），你添加的条件是 AC=AB ．
【考点】全等三角形的判定．
【专题】开放型．
【分析】添加条件：AB=AC，再加上∠A=∠A，∠B=∠C可利用ASA证明△ABD≌△ACE．
【解答】解：添加条件：AB=AC，
∵在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（ASA），
故答案为：AB=AC．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
14．如图，已知点B、C、F、E在同一直线上，∠1=∠2，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需添加一个条件，这个条件可以是 CA=FD ．（只需写出一个）
【考点】全等三角形的判定．
【专题】开放型．
【分析】可选择添加条件后，能用SAS进行全等的判定，也可以选择AAS进行添加．
【解答】解：添加CA=FD，可利用SAS判断△ABC≌△DEF．
故答案可为CA=FD．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，解答本题关键是掌握全等三角形的判定定理，本题答案不唯一．
15．如图，已知∠1=∠2，AC=AD，请增加一个条件，使△ABC≌△AED，你添加的条件是 AE=AB ．
【考点】全等三角形的判定．
【专题】开放型．
【分析】添加条件AE=AB，根据等式的性质可得∠BAC=∠EAD，然后再用SAS证明△BAC≌△EAD．
【解答】解：添加条件AE=AB，
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠EAB=∠2+∠EAB，
∴∠BAC=∠EAD，
在△BCA和△EDA中，
，
∴△BAC≌△EAD（SAS）．
故答案为：AE=AB．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
16．如图，BC=EC，∠1=∠2，添加一个适当的条件使△ABC≌△DEC，则需添加的条件是 ∠A=∠D （不添加任何辅助线）．
【考点】全等三角形的判定．
【专题】开放型．
【分析】先求出∠ACB=∠DCE，再添加∠A=∠D，由已知条件BC=EC，即可证明△ABC≌△DEC．
【解答】解：添加条件：∠A=∠D；
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠ECA=∠2+∠ECA，
即∠ACB=∠DCE，
在△ABC和△DEC中，
∴△ABC≌△DEC（AAS）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定；熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
17．如图，AB=AC，要使△ABE≌△ACD，应添加的条件是 ∠B=∠C或AE=AD （添加一个条件即可）．
【考点】全等三角形的判定．
【专题】开放型．
【分析】要使△ABE≌△ACD，已知AB=AC，∠A=∠A，则可以添加一个边从而利用SAS来判定其全等，或添加一个角从而利用AAS来判定其全等．
【解答】解：添加∠B=∠C或AE=AD后可分别根据ASA、SAS判定△ABE≌△ACD．
故答案为：∠B=∠C或AE=AD．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．
18．（2013•绥化）如图，A，B，C三点在同一条直线上，∠A=∠C=90°，AB=CD，请添加一个适当的条件 AE=CB ，使得△EAB≌△BCD．
【考点】全等三角形的判定．
【专题】开放型．
【分析】可以根据全等三角形的不同的判定方法添加不同的条件．
【解答】解：∵∠A=∠C=90°，AB=CD，
∴若利用“SAS”，可添加AE=CB，
若利用“HL”，可添加EB=BD，
若利用“ASA”或“AAS”，可添加∠EBD=90°，
若添加∠E=∠DBC，可利用“AAS”证明．
综上所述，可添加的条件为AE=CB（或EB=BD或∠EBD=90°或∠E=∠DBC等）．
故答案为：AE=CB．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，开放型题目，根据不同的三角形全等的判定方法可以选择添加的条件也不相同．
19．如图，AF=DC，BC∥EF，只需补充一个条件 BC=EF ，就得△ABC≌△DEF．
【考点】全等三角形的判定．
【专题】开放型．
【分析】补充条件BC=EF，首先根据AF=DC可得AC=DF，再根据BC∥EF可得∠EFC=∠BCF，然后再加上条件CB=EF可利用SAS定理证明△ABC≌△DEF．
【解答】解：补充条件BC=EF，
∵AF=DC，
∴AF+FC=CD+FC，
即AC=DF，
∵BC∥EF，
∴∠EFC=∠BCF，
∵在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
故答案为：BC=EF．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
三、解答题
20．如图，AC=AE，∠1=∠2，AB=AD．求证：BC=DE．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】先证出∠CAB=∠DAE，再由SAS证明△BAC≌△DAE，得出对应边相等即可．
【解答】证明：∵∠1=∠2，
∴∠CAB=∠DAE，
在△BAC和△DAE中，，
∴△BAC≌△DAE（SAS），
∴BC=DE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质；熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键．
21．如图，△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°，四边形BCDE是平行四边形，E为AC中点，BD平分∠ABC，点F在AB上，且BF=BC．求证：
（1）DF=AE；
（2）DF⊥AC．
【考点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
【专题】证明题．
【分析】（1）延长DE交AB于点G，连接AD．构建全等三角形△AED≌△DFB（SAS），则由该全等三角形的对应边相等证得结论；
（2）设AC与FD交于点O．利用（1）中全等三角形的对应角相等，等角的补角相等以及三角形内角和定理得到∠EOD=90°，即DF⊥AC．
【解答】证明：（1）延长DE交AB于点G，连接AD．
∵四边形BCDE是平行四边形，
∴ED∥BC，ED=BC．
∵点E是AC的中点，∠ABC=90°，
∴AG=BG，DG⊥AB．
∴AD=BD，
∴∠BAD=∠ABD．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠BAD=45°，即∠BDE=∠ADE=45°．
又BF=BC，
∴BF=DE．
∴在△AED与△DFB中，，
∴△AED≌△DFB（SAS），
∴AE=DF，即DF=AE；
（2）设AC与FD交于点O．
∵由（1）知，△AED≌△DFB，
∴∠AED=∠DFB，
∴∠DEO=∠DFG．
∵∠DFG+∠FDG=90°，
∴∠DEO+∠EDO=90°，
∴∠EOD=90°，即DF⊥AC．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
22．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AE∥BC，CE⊥AE，垂足为E．
（1）求证：△ABD≌△CAE；
（2）连接DE，线段DE与AB之间有怎样的位置和数量关系？请证明你的结论．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】（1）运用AAS证明△ABD≌△CAE；
（2）易证四边形ADCE是矩形，所以AC=DE=AB，也可证四边形ABDE是平行四边形得到AB=DE．
【解答】证明：（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠ACD，
∵AE∥BC，
∴∠EAC=∠ACD，
∴∠B=∠EAC，
∵AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，
∵CE⊥AE，
∴∠ADC=∠CEA=90°
在△ABD和△CAE中
∴△ABD≌△CAE（AAS）；
（2）AB=DE，AB∥DE，如右图所示，
∵AD⊥BC，AE∥BC，
∴AD⊥AE，
又∵CE⊥AE，
∴四边形ADCE是矩形，
∴AC=DE，
∵AB=AC，
∴AB=DE．
∵AB=AC，
∴BD=DC，
∵四边形ADCE是矩形，
∴AE∥CD，AE=DC，
∴AE∥BD，AE=BD，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AB∥DE且AB=DE．
【点评】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，矩形的判定与性质以及平行四边形的判定与性质，难度不大，比较灵活．
23．如图，AB=AE，∠1=∠2，∠C=∠D．
求证：△ABC≌△AED．
【考点】全等三角形的判定．
【专题】证明题．
【分析】首先根据∠1=∠2可得∠BAC=∠EAD，再加上条件AB=AE，∠C=∠D可证明△ABC≌△AED．
【解答】证明：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠EAC=∠2+∠EAC，
即∠BAC=∠EAD，
∵在△ABC和△AED中，
，
∴△ABC≌△AED（AAS）．
【点评】此题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
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