人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质随堂练习题

函数的单调性

1 函数单调性的概念

一般地，设函数的定义域为，区间:

如果，当时，都有，那么就说在区间上单调递增(图①).特别地，当函数在它定义域上单调递增时，我们就称它是增函数.

如果，当时，都有，那么就说在区间上单调递减(图②).特别地，当函数在它定义域上单调递减时，我们就称它是减函数.

Eg：在上单调递减，但它不是减函数，

特别注意它的减区间是，不是.

2 单调性概念的拓展

① 若递增，，则.

比如：递增，则.

② 若递增，，则.

比如：递增则.

递减，有类似结论！

3 判断函数单调性的方法

① 定义法

解题步骤

(1) 任取，且；

(2) 作差；

(3) 变形(通常是因式分解和配方)；

(4) 定号(即判断差的正负)；

(5) 下结论(指出函数在给定的区间上的单调性)．

② 数形结合

③ 性质法

增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数；

但增函数增函数不一定是增函数，比如，均是增函数，而不是.

④ 复合函数的单调性

(1)如果则称为的复合函数；

比如：  (和的复合函数)；

(和的复合函数)；

   (和的复合函数).

(2) 同增异减

设函数的值域是，函数

若在各自区间单调性相同，则复合函数在区间上递增；

若在各自区间单调性不同，则复合函数在区间上递减.

4 函数的最值

一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：

(1) ，都有；(2)，使得；

那么，我们称是函数的最大值.(最小值类似定义)

简单来说，最大值和最小值分别是函数图像中最高点和最低点的函数值.

【题型一】对函数单调性的理解

【典题1】 函数在是增函数，若，则有  (    )

【解析】

又函数在上是增函数，

故选.

【典题2】已知函数在上是单调函数，且对任意，都有，

则的值等于      .

【解析】函数在上是单调函数

可设(是个常数)，则；

；

在上单调递增，只有时对应的函数值是，即；

；

【点拨】函数若是单调函数，即函数是“一一对应”的关系，一个对应一个，所以题目中“”只能是个常数.

巩固练习

1(★★) 设，函数在区间是增函数，则(　　)

 ． 

 ．

【答案】

【解析】根据题意，，

又由函数在区间上是增函数，则有；

故选：．

2(★★) 已知是定义在上单调递增的函数，则满足的取值范围是           .

【答案】   

【解析】是定义在上单调递增的函数，

不等式等价为，即，

即不等式的解集为，

【题型二】 判断函数单调性的方法

方法1 定义法

【典题1】判断在的单调性.

【解析】设

则

  (因式分解方便判断差的正负)

(1) 假如则

又所以故函数单调递减；

(2) 假如则

又所以故函数单调递增；

所以函数在内单调递减，在内单调递增．

【点拨】利用定义法证明函数的单调性，注意熟练掌握解题的步骤：设元—作差—变式—定号—下结论.

方法2 数形结合

【典题2】函数的单调增区间是       (　　)

【解析】 (分离常数法)

的图象是由的图象沿轴向右平移个单位，然后沿轴向下平移个单位得到, 如下图

的单调增区间是．故选．(切勿选)

【点拨】

① 本题先利用分离常数法，再利用函数的平移变换得到函数的图像从而得到函数单调性.

② 利用数形结合的方法，平时需要多注意函数图像的变换，包括平移变换、对称变换、翻转变换等.

方法3 复合函数的单调性

【典题3】函数的单调减区间为          .

【解析】函数是由函数和组成的复合函数，

   函数的定义域是

(优先考虑定义域，否则容易选)

由二次函数图像易得在单调递减，在单调递增，

而在是单调递增，

由复合函数单调性的“同增异减”，可得函数的单调减区间．

【点拨】

① 研究函数的基本性质，优先考虑定义域；

② 研究复合函数，要弄清楚它由什么函数复合而成的.

巩固练习

1(★) 下列四个函数在是增函数的为(　　)

【答案】

【解析】对于，二次函数，开口向上，对称轴为轴，在是减函数，故不对．

对于，一次函数，，在是减函数，故不对．

对于，二次函数，开口向下，对称轴为，在)是增函数，故C不对．

对于，反比例类型，，在是增函数，故对．

故选：．

2(★)设函数在上为增函数，则下列结论一定正确的是(　　)

．在上为减函数           ．在上为增函数 

．在上为增函数      ．在上为减函数

【答案】

【解析】根据题意，依次分析选项：

对于，若，则，在上不是减函数，错误；

对于，若，则，在上不是增函数，错误；

对于，若，则，在上不是增函数，错误；

对于，函数在上为增函数，

则对于任意的，设，必有，

对于，则有，

则在上为减函数，正确；

故选：．

3(★)  函数的递减区间为    　．

【答案】

【解析】当时，，对称轴为，此时为增函数，

当时，，对称轴为，抛物线开口向下，当时，为减函数，

即函数的单调递减区间为，

故选：．

4(★) 函数的单调递减区间为    　．

【答案】  

【解析】由题意，，可得或，

函数的定义域为，

令，则在上单调递增，

，在上单调递减，在上单调递增，

函数的单调递减区间为，

5(★★) 函数的单调递增区间为　    　．

【答案】

【解析】作出函数的图象如图，

由图可知，函数的增区间为．

6(★★★) 已知函数在定义域上单调递增

(1)求的取值范围；

(2)若方程存在整数解，求满足条件的个数.

【答案】 (1) (2)个 

【解析】(1)任取，且

则

，则，因为函数在定义域上单调递增

所以，在上恒成立，

所以，在上恒成立，，，所以。

(2)因为，所以，即，

解得：(舍去)，或，

因为大于，不大于的整数有个，

所以方程存在整数解，满足条件的个．

7(★★★) 函数在区间上都有意义，且在此区间上

①为增函数，；②为减函数，．

判断在的单调性，并给出证明．

【解析】减函数，令 ，则有，即可得；

同理有，即可得；

从而有 

*

显然，从而*式，

故函数为减函数．

【题型三】函数单调性的应用

角度1 解不等式

【典题1】已知函数，若，则实数的取值范围是   .

【解析】和在上都单调递减，

在上都单调递减，

由得，，解得．

【点拨】

②     我们有增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数，由此性质求出函数单调性.

② 处理类似“”这样的不等式，可利用函数的单调性去掉求解，不要硬代入原函数来个“暴力求解”，特别是复杂的函数或者抽象函数的时候.

角度2  求参数取值范围或值

【典题2】若()，在定义域上是单调函数，则的取值范围       .

【解析】在定义域上是单调函数，

①函数的单调性是增函数时，可得当时，

即，解之得，

时，是增函数，

时，是增函数，，得或，

综上实数的取值范围是；

②函数的单调性是减函数时，可得当时，，

即，解之得或，

时，是减函数，

又时，是减函数，

，得或

综上实数的取值范围是；

综上所述，得.

【点拨】遇到分段函数，注意分离讨论和数形结合“双管齐下”方能一击制敌.

角度3 求函数最值

【典题3】已知函数．

(1)当时，求的值域；

(2)当时，求函数在区间上的最小值．

【解析】(1)时，，

(遇到绝对值可变成分段函数处理)

在上递减，在上递增，

，

值域为．

(2)，

①当时，，对称轴，

在单调递增，．

②当时，，对称轴，

(对于分段函数，多结合图像进行分析，比较对称轴与的大小)

当即时，在单调递增，

，

．

当，即时，

在单调递减，在单调递增，

，

若，即时，，

若，即时，，

综上．

【点拨】

① 遇到绝对值，可利用去掉绝对值符号，本题函数变成了分段函数；

② 函数最值或值域均与函数的单调性密不可分，了解到函数的单调性相当清晰函数的大致图像，最值便易于求解；而二次函数的单调性与函数的对称轴和开口方向有关；

③ 在分类讨论时，注意结合函数图像进行思考找到分类讨论的“临界值”.

巩固练习

1(★★) 已知函数，其定义域是，则下列说法正确的是(　　)

有最大值，无最小值    有最大值，最小值 

有最大值，无最小值    有最大值2，最小值

【答案】

【解析】函数2

即有在递减，则处取得最大值，且为，

由取不到，即最小值取不到．

故选：．

2(★★) 若是上的单调减函数，则实数的取值范围为　  　．

【答案】  

【解析】若是上的单调减函数，

则，解得，

故答案为：．

3(★★) 若函数在上的最小值为．则　  　．

【答案】

【解析】函数图象的对称轴为，图象开口向上，

(1)当时，函数在上单调递增．则，

由，得，不符合；

(2)当时．则，

由，得或，，符合；

(3)当时，函数在上单调递减，

，由，得，

，不符合，

综上可得．

4(★★) 已知函数，若，则实数的取值范围是　  　．

【答案】

【解析】由题意可知，函数在上单调递增，

，则，

即且，

解可得或．

5(★★)  已知函数的最小值为，则实数的值为　  　．

【答案】或

【解析】当，即时，，

则，所以或(舍)．

当，即时，，

则，所以或(舍)．

综上得或.

6(★★★) 已知函数的定义域为(为实数)．

当时，求函数的值域；

求函数在区间上的最大值及最小值，并求出当函数取得最值时的值．

【答案】

当时，无最小值，当时取得最大值;

当时，无最大值，当时取得最小值;

当时，无最大值,当时取得最小值.

【解析】 (1)当时，，任取，

则．

，

在上单调递增，无最小值，

当时取得最大值，所以的值域为．

(2)当时，在上单调递增，无最小值，

当时取得最大值；

当时，，

当1，即时，在上单调递减，无最大值，

当时取得最小值；

当，即时，在上单调递减，

在[上单调递增，无最大值，当时取得最小值．

【题型四】 抽象函数的单调性

定义在上的函数满足对所有的正数都成立，

且当，．

求的值

判断并证明函数在上的单调性

若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.

【解析】，

取，得：；；

设，则，(定义法证明)

；；

又时，；；

，；在上单调递减；

，；

由

又在上单调递减，

．

【点拨】

① 求具体值时，要大胆尝试，可取特殊值，如、等，可取特殊关系，如.

② 抽象函数的单调性用函数的定义法证明，具体的思路有

作差法 令再根据题意“凑出”，证明其大于或者小于;

作商法 令再根据题意“凑出”，证明其大于或者小于，此时还要注意是否成立；

③ 涉及抽象函数，解类似这样的不等式，都要利用函数的单调性去掉;

④ 恒成立问题可用分离参数法，最终转化为最值问题，如恒成立等价于，即求在上的最小值.

巩固练习

1 (★★★) 定义在上的函数满足下面三个条件：

① 对任意正数，都有；② 当时，；③

求和的值；

试用单调性定义证明：函数在上是减函数；

求满足的的取值集合．

【答案】(1)   (2)略，提示：定义法  (3)  

【解析】 (1)令得，则，

而，

且，则；

(2)取定义域中的任意的，，且，，

当时，，，

，

在上为减函数．

(3)由条件①及(Ⅰ)的结果得，

，，

，

，解得，

故的取值集合为.