人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质教课内容ppt课件

课题名

3.2.1第1课时函数的单调性

教学目标

1.理解单调函数的定义，增函数、减函数、单调区间、单调性的定义．

2.掌握定义法证明函数单调性的步骤.

3.掌握求函数单调区间的方法.

教学重点

掌握求函数单调区间的方法

教学难点

掌握定义法证明函数单调性的步骤

教学准备

教师准备：幻灯片、黑板、投影

学生准备：笔、纸、课本

教学过程

一．新课引入

观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：

观察这三个图象，你能说出图象的特征吗？

随x的增大，y的值有什么变化？

画出下列函数的图象，观察其变化规律：

1.在区间_______上,f(x)的值随着x的增大而_____．

2. 在区间_______上,f(x)的值随着x的增大而 _____

二、讲授新课

增函数与减函数的定义

思考1：在增函数与减函数的定义中，能否把“∀x1，x2∈D”改为“∃x1，x2∈D”？

不能，如图所示：虽然 f(－1)<f(2)，但原函数在[－1，2]上不是增函数．

思考2：设x1、x2是f(x)定义域某一个子区间M上的两个变量，如果f(x)满足以下条件，该函数f(x)是否为增函数？

(1)对任意x1<x2，都有f(x1)<f(x2)；

(2)对任意x1，x2，都有[f(x1)－f(x2)](x1－x2)>0；

(3)对任意x1、x2都有  >0.

是增函数，它们是增函数的几种等价命题．

思考3：由思考2推广，能否写出减函数的几个等价命题？

减函数(x1，x2∈M)⇔任意x1<x2，都有f(x1)>f(x2)⇔ <0⇔[f(x1)－f(x2)]·(x1－x2)<0.

函数的单调性与单调区间

如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的_单调区间.

基本初等函数的单调区间如下表所示：

【小试牛刀】

思辨解析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)因为f(－1)<f(2)，所以函数f(x)在[－1,2]上是增函数．(　　)

(2)若f(x)为R上的减函数，则f(0)>f(1)．(　　)

(3)若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数，则函数f(x)在区间(1,3)上为增函数．(　　)

(4)若函数f(x)在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，则f(x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上单调递减． (　　)

(1) ×  (2) √  (3) ×  (4) ×

题型一   函数单调性的判定与证明

点拨：利用定义证明函数单调性的4个步骤：

例1 用定义证明：函数f(x)＝x＋在(－1,0)上是减函数．

证明：设－1＜x1＜x2＜0，

则有f(x1)－f(x2)＝－＝

(x1－x2)＋＝，

由于－1＜x1＜x2＜0,0＜x1x2＜1，x1x2－1＜0，

又x1x2＞0，x1－x2＜0，

则f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，

所以函数在(－1,0)上为减函数．

【跟踪训练】1

用定义证明，函数y＝在(－1，＋∞)上为增函数．

解：设x1>x2>－1，

y1－y2＝－＝>0，

∴y1>y2，∴函数y＝在(－1，＋∞)上为增函数．

题型二  利用图象确定函数的单调区间                           

点拨：1.求函数单调区间的方法：(1)利用基本初等函数的单调性，其中分段函数的单调区间要根据函数的自变量的取值范围分段求解；(2)利用函数的图象．

2．若所求出函数的单调增区间或单调减区间不唯一，函数的单调区间之间要用“，”“或”连接，不能用“∪”连接

例2 如图为函数y＝f(x)，x∈[－4,7]的图象，指出它的单调区间.

解：函数的单调增区间为[－1.5,3)，[5,6)，  

单调减区间为[－4，－1.5)，[3,5)，[6,7]．

【跟踪训练】2

画出函数y＝－x2＋2|x|＋3的图象，并指出函数的单调区间．

解：y＝－x2＋2|x|＋3＝

函数图象如图所示．

函数在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数；函数在[－1,0]，

[1，＋∞)上是减函数．

所以函数的单调增区间是(－∞，－1]和[0,1]，

单调减区间是[－1,0]和[1，＋∞)．

题型三  函数单调性的应用

已知函数的单调性求参数的取值范围的方法：

(1)确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．

(2)依据常见函数的单调性，如一次函数、反比例函数、二次函数的单调性求解．

(3)要注意：“函数f(x)的增区间是(a，b)”与“函数f(x)在区间(a，b)上单调递增”是不同的，后者意味着区间(a，b)是函数f(x)的增区间的一个子集．

例3 已知函数f(x)的定义域为[－2,2]，且f(x)在区间[－2,2]上是减函数，且f(1－m)＞f(m)，求实数m的取值范围．

解：因为f(x)在区间[－2,2]上单调递减，

所以当－2≤x1＜x2≤2时，总有f(x1)>f(x2)成立，

反之也成立，即若f(x1)>f(x2)，则－2≤x1＜x2≤2.

因为f(1－m)＞f(m)，所以解得＜m≤2.

【跟踪训练】3

已知函数f(x)＝若函数f(x)在[－7，＋∞)上为增函数，求实数a的取值范围．

解：令g(x)＝2－，h(x)＝x2＋2ax－3a＋3.显然，函数g(x)＝2－ 在(1，＋∞)上递增，且g(x)>2－＝－2；

函数h(x)＝x2＋2ax－3a＋3在[－a,1]上递增，

且h(1)＝4－a，故若函数f(x)在[－7，＋∞)上为增函数，

则即∴a≥7，

∴a的取值范围为[7，＋∞)．

三、课堂小结

1.函数的单调性

定义单调性时应强调x1，x2在其定义域内的任意性

2.证明函数的单调性

证明函数的单调性(利用定义)遵循设元、作差、变形、 定号、结

论的步骤，特别在变形上，一定要注意因式分解、配方等技巧的运

用，直到符号判定水到渠成才可．

四、当堂检测

1. (多选)如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，则下列关于函数f(x)的说法正确的是(　　)

A．函数在区间[－5，－3]上单调递增

B．函数在区间[1,4]上单调递增

C．函数在区间[－3,1]∪[4,5]上单调递减

D．函数在区间[－5,5]上没有单调性

解析：由图可知，f(x)在区间[－3,1]，[4,5]上单调递减，单调区间不可以用并集“∪”连接，故选C.

2. (多选)下列函数在区间(0，＋∞)上是增函数的是(　 　)

A．y＝2x＋1   B．y＝x2＋1    C．y＝3－x D．y＝x2＋2x＋1

解析：函数y＝3－x在区间(0，＋∞)上是减函数．

3.已知f(x)＝(3a－1)x＋b在(－∞，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是 (　　)

A．(－∞，)　　B．(，＋∞)    C．(－∞，]   D．[，＋∞)

解析：　f(x)＝(3a－1)x＋b为增函数，应满足3a－1＞0，即a＞，

4.若函数f(x)＝x2－2ax＋3在(2，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围       。

解析：因为函数f(x)＝x2－2ax＋3是图象开口向上的二次函 数，其对称轴为x＝a，所以其单调增区间为(a，＋∞)，由题意可得(2，＋∞)⊆(a，＋∞)，所以a≤2.

5.已知函数y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且f(2x－3)>f(5x＋6)，求实数x的取值范围为________．

(－∞，－3) 解析：∵f(x)是R上的增函数，且f(2x－3)>f(5x＋6)，

∴2x－3>5x＋6，即x<－3.

6.求证：函数f(x)＝在区间(0，＋∞)上是减函数，在区间(－∞，0)上是增函数.

证明：对于任意的x1，x2∈(－∞，0)，且x1＜x2，

有f(x1)－f(x2)＝－＝＝.

因为x1＜x2＜0，所以x2－x1＞0，x1＋x2＜0，xx＞0.

所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．

所以函数f(x)＝在(－∞，0)上是增函数．

对于任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2，有

f(x1)－f(x2)＝.

因为0＜x1＜x2，所以x2－x1＞0，x2＋x1＞0，xx＞0.

所以f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)．

所以函数f(x)＝在(0，＋∞)上是减函数．

布置作业

完成对应课后练习

板书设计

1. 单调性的定义
2. 定义法证明函数的单调性：取值、作差、变形、定号、小结

教学反思

学生在这次课堂上总体上掌握了本次课程的内容，但是还是存在一些问题。例如学生用定义法证明函数单调性时会忘记考虑定义域。