九年级数学上册专题一+根的判别式的应用同步测试+新人教版

根的判别式的应用

(教材P17习题21.2第13题)

无论p取何值，方程(x－3)(x－2)－p2＝0总有两个不等的实数根吗？给出答案并说明理由．

解：x2－5x＋6－p2＝0，

Δ＝(－5)2－4×1×(6－p2)＝25－24＋4p2＝4p2＋1＞0，

所以方程(x－3)(x－2)－p2＝0总有两个不等的实数根．

【思想方法】 一元二次方程根的判别式Δ＝b2－4ac可以用来判断根的情况，也可以根据一元二次方程根的情况，确定方程中的未知系数．

一　判断一元二次方程根的情况

　方程x2＋7＝8x的根的情况为(　A　)

A．方程有两个不相等的实数根

B．方程有两个相等的实数根

C．只有一个实数根

D．方程没有实数根

　对于任意实数k，关于x的方程x2－2(k＋1)x－k2＋2k－1＝0的根的情况为(　C　)

A．有两个相等的实数根

B．没有实数根

C．有两个不相等的实数根

D．无法确定

　下列对关于x的一元二次方程x2＋2kx＋k－1＝0的根的情况描述正确的是(　A　)

A．方程有两个不相等的实数根

B．方程有两个相等的实数根

C．方程没有实数根

D．无法确定

　已知关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0.求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根．

证明：Δ＝(m＋3)2－4(m＋1)＝(m＋1)2＋4.

∵无论m取何值时，(m＋1)2＋4的值恒大于0，

∴原方程总有两个不相等的实数根．

　已知关于x的方程x2－(m＋2)x＋(2m－1)＝0.

(1)求证：方程恒有两个不相等的实数根；

(2)若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求出以此两根为边长的直角三角形的周长．

【解析】 (1)根据关于x的方程x2－(m＋2)x＋(2m－1)＝0的根的判别式的符号来证明结论；

(2)根据一元二次方程的解的定义求得m值，然后由根与系数的关系求得方程的另一根．分类讨论：①当该直角三角形的两直角边是1，3时，由勾股定理得斜边的长度为；②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1，3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为2；再根据三角形的周长公式进行计算．

解：(1)∵b2－4ac＝[－(m＋2)]2－4×1×(2m－1)＝m2－4m＋8＝(m－2)2＋4>0，

∴方程恒有两个不相等的实数根；

(2)把x＝1代入方程x2－(m＋2)x＋(2m－1)＝0中，解得m＝2，

∴原方程为x2－4x＋3＝0，

解这个方程得x1＝1，x2＝3，

∴方程的另一个根为x＝3.

①当1，3为直角边长时，斜边长为＝，

∴直角三角形的周长为1＋3＋＝4＋.

②当3为斜边长时，另一条直角边长为＝2，∴直角三角形的周长为1＋3＋2＝4＋2.

二　确定一元二次方程中字母系数的值

　关于x的一元二次方程x2＋(m－2)x＋m＋1＝0有两个相等的实数根，则m的值是(　D　)

A．0　　B．8　　C．4±　　D．0或8

【解析】 依题意得Δ＝(m－2)2－4(m＋1)＝0，∴m1＝0，m2＝8.

　已知关于x的一元二次方程x2－2x－k＝0有两个相等的实数根，则k的值为__－3__．

【解析】 ∵关于x的一元二次方程x2－2x－k＝0有两个相等的实数根，

∴Δ＝0，即(－2)2－4×(－k)＝12＋4k＝0，

解得k＝－3.

　已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋1＝0(a≠0)有两个相等的实数根，求的值．

【解析】 由于这个方程有两个相等的实数根，因此Δ＝b2－4a＝0，可得出a、b之间的关系式，然后将化简后，将a、b之间的关系式代入即可求出这个分式的值．

解：∵ax2＋bx＋1＝0(a≠0)有两个相等的实数根，

∴Δ＝b2－4ac＝0，即b2－4a＝0.

∴＝

＝＝＝＝4.

三　确定一元二次方程中字母系数的取值范围

　若关于x的一元二次方程x2＋2x＋k＝ 0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是(　A　)

A．k<1　　B．k>1　　C．k＝1　　D．k≥0

若一元二次方程x2＋2x＋m＝0有实数根，则m的取值范围是(　B　)

A．m≤－1　　　　　　　B．m≤1

C．m≤4  D．m≤

　若关于x的一元二次方程kx2＋4x＋3＝0有实根，则k的非负整数值是__1__.

【解析】 根据题意得：Δ＝16－12k≥0，且k≠0，解得k≤，则k的非负整数值为1.

　已知关于x的方程x2－2(k－1)x＋k2＝0有两个实数根，求k的取值范围．

解：依题意，得Δ≥0，即[－2(k－1)]2－4k2≥0，

整理，得－8k＋4≥0，解得k≤.

四　确实一元二次方程中字母系数的取值范围

　已知关于x的一元二次方程(k－2)2x2＋(2k＋1)x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是(　C　)

A．k>且k≠2　　　　B．k≥且k≠2

C．k>且k≠2  D．k≥且k≠2

【解析】 ∵方程为一元二次方程，∴k－2≠0，即k≠2.

∵方程有两个不相等的实数根，

∴Δ＞0，∴(2k＋1)2－4(k－2)2＞0，

∴(2k＋1－2k＋4)(2k＋1＋2k－4)＞0，

∴5(4k－3)＞0，k＞，故k＞且k≠2.

　关于x的一元二次方程kx2＋(2k＋1)x＋(k－1)＝0有实数根，则k的取值范围是__k≥－且k≠0__．

　如果关于x的方程mx2－2(m＋2)x＋m＋5＝0没有实数根，试判断关于x的方程(m－5)x2－2(m－1)x＋m＝0的根的情况．

解：∵方程mx2－2(m＋2)x＋m＋5＝0没有实数根，∴m≠0，原方程是关于x的一元二次方程，

∴Δ＝[－2(m＋2)]2－4m(m＋5)

＝4(m2＋4m＋4－m2－5m)＝4(4－m)＜0，

∴m＞4.

对于方程(m－5)x2－2(m－1)x＋m＝0，

当m＝5时，方程有一个实数根；

当m≠5时，Δ＝[－2(m－1)]2－4m(m－5)＝4(3m＋1)．∵m＞4，∴3m＋1＞13，

∴Δ＝4(3m＋1)＞0，方程有两个不相等的实数根，

∴当m＝5时，方程(m－5)x2－2(m－1)x＋m＝0有一个实数根；当m＞4且m≠5时，此方程有两个不相等的实数根．

　关于x的一元二次方程(a－6)x2－8x＋9＝0有实根．

(1)求a的最大整数值；

(2)当a取最大整数值时，①求出该方程的根；②求2x2－的值．

解：(1)∵关于x的一元二次方程(a－6)x2－8x＋9＝0有实根，

∴a－6≠0，Δ＝(－8)2－4×(a－6)×9≥0，解得a≤且a≠6.

∴a的最大整数值为7.

(2)①当a＝7时，原一元二次方程变为x2－8x＋9＝0.

∵a＝1，b＝－8，c＝9，

∴Δ＝(－8)2－4×1×9＝28，

∴x＝，即x＝4±，

∴x1＝4＋，x2＝4－.

②∵x是一元二次方程x2－8x＋9＝0的根，

∴x2－8x＝－9.

∴2x2－＝2x2－

＝2x2－16x＋＝2(x2－8x)＋＝2×(－9)＋

＝－.