人教版九年级数学上册教案设计22.2　二次函数与一元二次方程

22．2　二次函数与一元二次方程

1．理解二次函数与一元二次方程的关系．

2．会判断抛物线与x轴的交点个数．

3．掌握方程与函数间的转化．

4．会利用二次函数的图象求相应一元二次方程的近似解．

阅读教材第43至46页，自学“问题”、“思考”与“例题”，理解二次函数与一元二次方程的关系，会判断抛物线与x轴的交点情况，会利用二次函数的图象求对应一元二次方程的近似解．

自学反馈

学生独立完成后集体订正：

1．抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x＝x0时，函数的值是________，因此x＝x0就是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根．

2．二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：当b2－4ac>0时，抛物线与x轴有________个交点；当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有________个交点；当b2－4ac<0时，抛物线与x轴有________个交点．

3．观察图中的抛物线与x轴的交点情况，你能得出相应方程的根吗？

方程x2＋x－2＝0的根是________________；

方程x2－6x＋9＝0的根是________________；

方程x2－x＋1＝0的根是________________．

4．如图所示，你能直观看出哪些方程的根？

此题充分体现二次函数与一元二次方程之间的关系，即函数y＝－x2＋2x＋3中，y为某一确定值m(如4、3、0)时，相应的x值是方程－x2＋2x＋3＝m(m＝4、3、0)的根．

5．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c如图所示，则关于x的方程ax2＋bx＋c－3＝0的根是________．

此题解法较多，但是根据图象来解是最简单的方法．

活动1　小组讨论

例1已知二次函数y＝2x2－(4k＋1)x＋2k2－1的图象与x轴交于两点．求k的取值范围．

解：根据题意知b2－4ac>0，

即(4k＋1)2－4×2×(2k2－1)>0，

解得k>－.

根据交点的个数来确定b2－4ac的正、负是解题的关键，要熟悉它们之间的对应关系．

活动2　跟踪训练(独立完成后展示学习成果)

1．抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的公共点是(－1，0)、(3，0)，求抛物线的对称轴．

可根据二次函数的对称性来求．

2．画出函数y＝x2－2x－3的图象，根据图象回答：

(1)方程x2－2x－3＝0的解是什么？

(2)x取什么值时，函数值大于0？x取什么值时，函数值小于0?

x2－2x－3＝0的解，即求二次函数y＝x2－2x－3中函数值y＝0时自变量x的值．

3．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴交于点C，与x轴交于点A(x1，0)、B(x2，0)(x1<x2)，顶点M的纵坐标为－4，若x1、x2是方程x2－2(m－1)x＋m2－7＝0的两个根，且x＋x＝10.

(1)求A、B两点的坐标；

(2)求抛物线的关系式及点C的坐标；

(3)在抛物线上是否存在点P，使△ABP的面积等于四边形ACMB面积的2倍？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

此题的着入点为根据一元二次方程根与系数的关系求出m的值，求出A、B的坐标后代入二次函数的解析式，再根据顶点坐标公式得到关于a、b、c的关系式，即得到一个三元方程组，解之即可求出待定系数．第(3)题可设出点P的坐标，从而得到△ABP面积的代数式，然后建立方程模型．

活动3　课堂小结

本节课所学知识：

1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与二次方程之间的关系，当y为某一确定值m时，相应的自变量x的值就是方程ax2＋bx＋c＝m的根．

2．若抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交点为(x0，0)，则x0是方程ax2＋bx＋c＝0的根．

3．有下列对应关系：

【预习导学】

自学反馈

1．0　2.2　1　0　3.x1＝－2，x2＝1　x1＝x2＝3　无实数根　4.－x2＋2x＋3＝0的根为x1＝－1，x2＝3；－x2＋2x＋3＝4的根为x1＝x2＝1；－x2＋2x2＋3＝3的根为x1＝0，x2＝2.　5.x1＝x2＝1

【合作探究】

活动2跟踪训练

1．直线x＝1.　2.图略．(1)x1＝－1，x2＝3.(2)当x<－1或x>3时，函数值大于0；当－1<x<3时，函数值小于0.

3．(1)A(－1，0)、B(3，0)．(2)y＝x2－2x－3，C(0，－3)．(3)存在，P1(1＋，9)，P2(1－，9)．