1.3根的判别式（含pdf版）-2023-2024学年升初三（新九年级）数学暑假衔接教材（人教版）

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❊1.3 根的判别式知 识考 点 根的判别式1.利用判别式判断根的情况2.根据判别式求参数的取值范围3.利用判别式证明 公式法4.利用公式法解一元二次方程  内容求根公式的推导利用配方法解方程，移项：；系数化为“1”：；配方：；整理得：；开方：；整理得：.求根公式一元二次方程的求根公式：.【思考】观察求根公式，可以发现方程，1.在什么情况下有解？________________.2.在什么情况下有两个相等的解？________________.3.在什么情况下无解？________________.4.在什么情况下有两个不相等的解？________________.根的判别式（）就是一元二次方程根的判别式，根据判断的正负情况，即可判断方程根的情况.1.，方程有___________________；2.，方程有___________________；3.，方程有___________________.一元二次方程的根的情况是（    ）A．有两个不相等的正根B．有两个不相等的负根C．没有实数根D．有两个相等的实数根【答案】C【分析】根据一元二次方程根的判别式解答即可．【详解】由题意得：则方程没有实数根．故选：C．一元二次方程的根的情况是（    ）A．没有实数根B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根【答案】A【分析】根据一元二次方程判别式的性质分析，即可得到答案．【详解】解：∵关于x的一元二次方程为，∴，∴方程没有实数根，故选A．（1）若某一元二次方程的，则该方程解的情况是：____________.  （2）若某一元二次方程的，则该方程解的情况是：____________. （1）若某一元二次方程的，则该方程解的情况是：____________.（2）若某一元二次方程的，则该方程解的情况是：____________.一元二次方程的根的情况是（　　）A．有两个不相等的实数根B．没有实数根C．有两个相等的实数根D．只有一个实数根【答案】A【分析】先计算根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况即可．【详解】解：，方程有两个不相等的实数根．故选：A．关于的一元二次方程根的情况，下列说法正确的是（    ）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定【答案】C关于的一元二次方程的根的情况，以下说法正确的是（    ）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．根的情况与的取值有关【答案】A【分析】根据一元二次方程根的判别式即可进行解答．【详解】解：∵，∴，∴该方程有两个不相等的实数根，故选：A．一元二次方程（a为实数）的实数根的情况是（　　）A．有两个不同实数根B．有两个相同实数根C．没有实数根D．不能确定【答案】D【详解】先计算出的值，判断出的符号，进而可得出结论．【解答】解：∵，∴方程根的情况不能确定．故选：D．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________．【答案】【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根则可知根的判别式大于，直接列不等式求解即可．【详解】解：由题意知：解得．故答案为：若关于x的方程有两个相等的实数根，则k的值为________．【答案】/0.125【分析】根据方程有两个相等的实数根，，进行计算即可．【详解】由根与系数的关系可知，当一元二次方程有两个相等的实数根，则，即，解得，，故答案为：．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________．【答案】且【分析】根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，即可求出k的范围．【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴，且，解得：且．故答案为：且．若关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是________．【答案】且【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的性质计算，即可得到答案．【详解】∵关于的一元二次方程有实数根，∴ ∴，即且．故答案为：且．一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为________．【答案】且【分析】根据根的判别式得到，然后解不等式即可．【详解】依题意得：且解得：．故答案为：且．若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围为（    ）A．B．且C．D．且【答案】D【分析】先根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到且，然后求出两个不等式的公共部分即可．【详解】解：根据题意得且，解得且，即k的取值范围为且．故选：D．已知关于x的一元二次方程．求证：无论m为任意实数，方程总有实数根．【详解】（1）解：，∴无论为任意实数，方程总有实数根．已知关于x的一元二次方程．求证：方程有两个不相等的实数根．【分析】求出判别式，据此可得答案；【详解】（1）证明：∵，∴方程有两个不相等的实数根；已知关于x的一元二次方程．求证：无论m取什么值，该方程总有两个实数根．【分析】根据一元二次方程根的判别式进行求解即可．【详解】证明：由题意得，，∴无论取什么值，该方程总有两个实数根．已知关于x的一元二次方程求证：方程总有两个不相等的实数根.【分析】求出即可证出结论【详解】解：证明：∵∴方程有两个不相等的实数根； 内容公式法1.当时，可以利用求根公式解一元二次方程；2.求根公式：.用公式法解方程：.【解】：∵a=_____，b=_____，c=_____.∴_____________=_____.∴_____.∴_____，_____.【答案】【分析】利用公式法解答，即可求解．【详解】解：，∵，∴，∴，∴．用公式法解方程：.【解】：∵a=_____，b=_____，c=_____.∴_____________=_____.∴_____.∴_____，_____. 【答案】，．【分析】先计算判别式的值，然后利用求根公式解方程．【详解】解：，∵，，，∴，∴，∴，．用公式法解方程：.【解】：∵a=_____，b=_____，c=_____.∴_____________=_____.∴_____.∴_____，_____. 【答案】，【分析】根据题意先求出，再代入求根公式，即求出即可．【详解】解：，方程的系数分别是，，，∴，∴，∴，．用公式法解方程：（1）（2）   【答案】(1)，；(2)． 【分析】找出a，b，c的值，计算出根的判别式的值，代入求根公式计算即可求出解．【详解】（1）解：，，∴，∴．∴，；（2）解：，，∴，∴，∴．    1.一元二次方程的根的情况是（　　）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．只有一个实数根【答案】B【分析】求出一元二次方程的判别式，即可确定根的情况，得到答案．【详解】解：即所以方程有两个相等的实数根，故选：B．2.关于x的一元二次方程，以下说法正确的是（    ）A．没有实数根B．有两个相等实数根C．有两个不相等实数根D．根的情况与m的取值有关【答案】C【分析】先根据一元二次方程根的判别式得出，即可得出方程有两个不相等实数根．【详解】解：∵，∴方程有两个不相等实数根，故C正确．故选：C．3.关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是________.【答案】/【分析】利用一元二次方程根的判别式列式求解即可．【详解】解：∵一元二次方程有实数根，∴，即，解得：，故答案为：．4.关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是________.【答案】且【分析】由关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，即可得判别式，继而可求得a的范围．【详解】∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴，解得：，∵方程是一元二次方程，∴，∴a的范围是：且，故答案为：且．5.若关于x的一元二次方程没有实数根，则a的取值范围为________.【答案】【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两不等式的公共部分即可．【详解】解：根据题意得且，解得：．故答案为：．6.关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是________.【答案】且．【分析】根据一元二次方程的定义，以及根的判别式，得出不等式组，解不等式组即可求解．【详解】解：根据题意得且，解得：且．的取值范围为且．故答案为：且．．7.关于的一元二次方程为. 求证：无论为何实数，方程总有实数根．【分析】先计算判别式的值，利用配方法得到△＝4（m+1）2，然后证明△≥0即可；【答案】证明：△＝（﹣2）2﹣4×[﹣m（m+2）]＝4m2+8m+4＝4（m+1）2，∵4（m+1）2≥0，∴△≥0，∴无论m为何实数，方程总有实数根；8.已知是关于的一元二次方程. 证明：此方程总有两个不相等的实数根．【分析】计算判别式的值得到△＝4m2，从而得到△＞0，然后根据判别式的意义得到结论；【答案】证明：△＝（﹣8）2﹣4×（16﹣m2）＝4m2，∵m≠0，∴m2＞0，∴△＞0，∴此方程总有两个不相等的实数根；9.用公式法解方程：.【答案】，【分析】运用公式法公式 即可求解．【详解】解：，∴，，10.用公式法解方程：．【答案】【分析】根据公式法解一元二次方程即可求解．【详解】解：，∴，，∴，解得：．11.用公式法解方程：．【答案】，【分析】用公式法解一元二次方程即可【详解】∵，∴．∴，，，∴．∴，∴，．