2022-2023学年江西省抚州市黎川县第二中学高一下学期期中数学试题含答案

2022-2023学年江西省抚州市黎川县第二中学高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．已知向量夹角为，且，则

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由向量夹角为，且可得的值；再通过得出结论.

【详解】由题意可得：

，

结合题意有： ，

解得： .

故选：C.

2．函数为偶函数，且图象关于直线对称，，则（    ）

A．3 B．4 C． D．

【答案】B

【分析】利用函数的对称性和偶函数的性质进行求解即可.

【详解】因为函数的图象关于直线对称，所以，

又因为函数为偶函数，所以，，

而函数的图象关于直线对称，所以.

故选：B

3．已知中，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由可得D为BC中点，即可得出结果

【详解】由可得D为BC中点，.

故选：C.

4．已知，且，则的最大值为（    ）

A． B．1 C． D．

【答案】C

【分析】由变形，利用积化和差得到，进而得到，然后展开，利用商数关系求解.

【详解】因为，

由积化和差公式可知，

则，

所以，即，

即，即，

解得，

所以的最大值为，

故选：C.

5．若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用诱导公式、同角三角函数的基本关系式化简已知条件，求得，进而求得.

【详解】依题意：

即，解得，

所以．

故选：D

6．若将函数的图象上各点横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)得到函数的图象，则下列说法正确的是（　　）

A．函数在上单调递增 B．函数的周期是

C．函数的图象关于点对称 D．函数在上最大值是1

【答案】A

【分析】根据三角函数伸缩变换特点可得到解析式；利用整体对应的方式可判断出在上单调递增，正确；关于点对称，错误；根据正弦型函数最小正周期的求解可知错误；根据正弦型函数在区间内值域的求解可判断出最大值无法取得，错误.

【详解】将横坐标缩短到原来的得：

当时，

在上单调递增    在上单调递增，正确；

的最小正周期为：    不是的周期，错误；

当时，，

关于点对称，错误；

当时，    

此时没有最大值，错误.

本题正确选项：

【点睛】本题考查正弦型函数的性质，涉及到三角函数的伸缩变换、正弦型函数周期性、单调性和对称性、正弦型函数在一段区间内的值域的求解；关键是能够灵活应用整体对应的方式，通过正弦函数的图象来判断出所求函数的性质.

7．已知函数，直线与的图象的相邻两个交点的横坐标分别是和，下列正确的是（    ）

A．该函数在上的值域是

B．在上，当且仅当时函数取最大值

C．该函数的最小正周期可以是

D．的图象可能过原点

【答案】C

【解析】取可判断A选项的正误；利用函数的图象关于直线对称可判断B选项的正误；求出该函数周期的最小值，可判断C选项的正误；令求得的值，结合题意可判断D选项的正误.

【详解】当时，区间无意义，A选项错误；

当函数的图象关于直线对称时，当时，该函数在处取得可能取最大值，也可能取最小值，B选项错误；

设该函数的最小正周期为，则，所以，该函数的最小正周期可以是，C选项正确；

由，得，解得，

令，由题意可得，

所以，则，

此时，D选项错误.

故选：C．

【点睛】本题考查三角函数基本性质的判断，涉及正弦型函数的值域、周期、最值以及奇偶性的判断，考查推理能力，属于中等题.

8．已知函数的图象过点，且在区间内不存在最值，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先将点代入，求得，由在区间内不存在最值，得是单调区间的真子集，利用数轴法得到不等式组，解之即可得到的取值范围.

【详解】因为函数过点，

所以，即，故，

因为，所以，故，

由得，所以的单调递增区间为，

同理：的单调递增区间为，

因为在区间内不存在最值，所以是单调区间的真子集，

当时，有，解得，即，

又因为，，显然当时，不等式成立，且；

当时，有，解得，即，

又因为，，显然当时，不等式成立，且；

综上：或，即

故选：D.

二、多选题

9．下列说法正确的是（    ）

A．与角终边相同的角的集合可以表示为

B．若为第一象限角，则为第一或第三象限角

C．函数是偶函数，则的一个可能值为

D．“”是函数的一条对称轴

【答案】BD

【解析】由判断A，由确定的象限判断B，取得出为奇函数判断C，由判断D.

【详解】对于A项，由可知，A错误；

对于B项，因为为第一象限角，所以，则，即为第一或第三象限角，B正确；

对于C项，当时，为奇函数，C错误；

对于D项，由可知，是函数的一条对称轴，D正确；

故选：BD

【点睛】关键点睛：在判断D选项时，关键是利用对称轴一定过余弦函数的最低点或最高点，从而判断是一条对称轴.

10．已知函数的图象关于直线对称，则（    ）

A．若将的图象向右平移个单位得到，则函数为偶函数

B．函数在上单调递增

C．函数的图象关于中心对称

D．若，则的最小值为

【答案】ACD

【分析】利用三角函数图象变换以及正弦型函数的对称性求出的值，再利用三角函数图象以及余弦型函数的奇偶性可判断A选项；利用正弦型函数的单调性可判断B选项；利用正弦型函数的对称性可判断C选项；利用正弦型函数的周期可判断D选项.

【详解】对于A选项，因为的图象关于直线对称，

则，所以，，则，所以，，

将的图象向右平移个单位得到，

则，

所以，函数为偶函数，A对；

对于B选项，当时，则，所以，函数在上不单调，B错；

对于C选项，因为，所以，函数的图象关于中心对称，C对；

对于D选项，因为，且，

则或，故的最小值为函数最小正周期的一半，

即，D对.

故选：ACD.

11．已知函数，则下列说法正确的是（    ）

A．该函数的最大值与最小值的差为2；

B．是该函数的一个对称中心；

C．若，则存在，使得；

D．无论取何值，对任意，的最大值为1．

【答案】AC

【分析】A. 根据函数的最大值为，最小值为判断；B.根据 是否为零判断；C.由，得到，取特殊值判断；D.根据选项A判断.

【详解】A. 因为函数的最大值为，最小值为，所以该函数的最大值与最小值的差为2，故正确；

B. 因为，所以不一定是该函数的一个对称中心，故错误；

C.若，则，当时，，故正确；

D. 由选项A知错误；

故选：AC

12．在中，为边上的中线，，以下说法正确的是（    ）

A． B．

C．若，则 D．若，则的取值范围是

【答案】ACD

【分析】利用向量的线性运算可判断A，由题可知，，进而可判断B，由题可得，进而可得，利用基本不等式可得可判断C，由题可得，结合条件可得，结合可判断D.

【详解】对于A，∵为边上的中线，

∴，故A正确；

对于B，∵，，又，

∴，

∴，故B错误；

对于C，若，，

由，可得

∴，

∴，，

∴，故C正确；

对于D，在中，设角所对边为为，

因为，

由上知，，

所以，

∴，即，

∴

，

又，

∴，，

∴，故D正确.

故选：ACD.

三、填空题

13．在菱形中，，，则          ．

【答案】

【详解】在菱形中，，，

故答案为

14．已知函数（，，）的部分图象如图所示，则    .

【答案】

【分析】由图象的最低点纵坐标可得的值，由周期可得的值，由关键点结合可得的值，进而可得的解析式，将代入的解析式即可求解.

【详解】根据图象可知：，，可得，所以，所以，

所以，

又因为，所以，

因为，所以，

所以，

所以，

故答案为：.

15．已知：，，且，，则       .

【答案】

【分析】由题意结合同角三角函数基本关系求得，，的值，然后求解的值即可.

【详解】，

,，

.

【点睛】(1)给值求值问题一般是正用公式将所求“复角”展开，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入展开式即可．

(2)通过求所求角的某种三角函数值来求角，关键点在选取函数，常遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好．

16．已知函数，，若的值域为，则的取值范围是          .

【答案】

【解析】设，将原函数转化为二次函数的最值问题求解即可.

【详解】设，则，

则.

当时，则，得或，；

当时，则，得或，；

又，若的值域为，

则的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】本题考查二次函数型的复合函数的值域问题，本题是根据值域研究定义域，注意内层函数的值域作为外层函数的定义域，是一道难度较大的题目.

四、解答题

17．已知函数

（1）化简；

（2）若，求的值.

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）利用诱导公式进行化简即可；

（2）由（1）结果两边平方，再利用同角三角函数的基本关系联立解方程组即可得出结果.

【详解】解：（1）

 所以.

（2）由，平方可得，

即.  所以，

因为，

又，所以，，所以,

所以.

【点睛】本题考查了诱导公式、同角三角函数的化简与求值，属于基础题.

18．已知向量，，．

(1)求与垂直的单位向量的坐标；

(2)若，求实数的值．

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）设，利用向量模长和垂直关系的坐标表示可构造方程组求得结果；

（2）利用向量平行的坐标表示可构造方程求得的值.

【详解】（1）设与垂直的单位向量，

则，解得：或，

或.

（2），，又，

，解得：.

19．在中，设内角、、的对边分别为、、，.

（1）求角的大小；

（2）若且，求的面积.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）由得出的值，结合的取值范围求解；

（2）利用余弦定理求出的值，然后利用三角形的面积公式求解.

【详解】解：（1），即，

解得，

在中，

，

；

（2）由余弦定理得，

，

，

，

，

所以的面积为.

20．已知函数（其中，，）的相邻对称轴之间的距离为，且该函数图象的一个最高点为．

（1）求函数的解析式和单调递增区间；

（2）若，求函数的最大值和最小值．

【答案】（1），单调递增区间为：；（2）最大值为，最小值为.

【分析】（1）由三角函数解析式的求法得：由题意有：，，求得，由当时，函数取最大值，结合，求得，即可得解，（2）由三角函数的值域的求法得：当，则，所以，得解．

【详解】（1）由题意有：， ，即，

由当时，函数取最大值，即，解得，又，所以，

即，

令，得：，

故函数的分析式为：．

函数的单调递增区间为：．

（2）当，

则，

所以，

故函数的最大值为，最小值为．

【点睛】本题考查了三角函数解析式的求法及三角函数的值域，熟记公式准确计算是关键，属中档题．

21．如图，某中学在实施“五项管理”中，将学校的“五项管理”做成宣传牌（CD），放置在教学楼的顶部（如图所示），该中学研究性学习小组在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60°，沿该中学围墙边坡AB向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°．已知．

(1)分别求AE、BH的长；

(2)求宣传牌CD的高度（结果保留根号）．

【答案】(1)，，

(2)

【分析】（1）由及，可得BH，由及，可得AE；

（2）过点作，垂足为，解三角形可得结果.

【详解】（1）由于所以，

设，则，

所以

在中，

所以

（2）过点作，垂足为．

则，

又

所以

故宣传牌CD的高度为

22．已知向量，（其中），记，且满足．

(1)求函数的解析式；

(2)若关于x的方程在上有三个不相等的实数根，求实数m的取值范围．

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）利用平面向量的数量积和三角恒等变换化为正弦型函数，从而求出ω和的解析式；

（2）由题意求得函数的值域，设，把问题转化为关于t的方程在两个区间上分别有实数根，再构造函数，讨论该函数的零点应用问题，从而求得实数的取值范围．

【详解】（1）

由，得π是函数的一个周期，

所以，f（x）的最小正周期为，解得；

又由已知，得；

因此

（2）由得，

故，

因此函数的值域为，

设，

要使关于x的方程在上有三个不相等的实数根，

当且仅当关于t的方程在和上分别有一个实数根，

或者有一个实数根为1，另一个根在区间上；

令，

①关于t的方程在和上分别有一个实数根时，

则解得；

②当方程的一根是时，

令一个根不满足条件；

③方程的一根是时，，

令一个根不满足题意；

综上所述，满足条件的实数m的取值范围是