江西省抚州市黎川县第二中学2023-2024学年高二上学期开学考试数学试题

23-24上开学考试

高二数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡的相应位置上：

2.作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将答题卡交回。

一、单选题（每题5分，共40分）

1．集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

2．下列命题不正确的是（    ）

A．正方体一定是正四棱柱 B．平行六面体的六个面均为平行四边形

C．有相邻两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱 D．底面是正多边形的棱柱是正棱柱

3．函数是（    ）

A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．以上都不对

4．若向量，且，则（    ）

A． B． C． D．

5．如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，，且，则（    ）

A．， B．，

C．， D．，

6．已知锐角满足，则等于（    ）

A． B．或 C． D．

7．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用图明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理图假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心到水面的距离为，筒车的半径为，筒车转动的角速度为，如图所示，盛水桶视为质点的初始位置距水面的距离为，则后盛水桶到水面的距离近似为（    ）

A． B． C． D．

8．如图，在直角梯形中，，将沿折起，使得平面平面．在四面体中，下列说法正确的是（    ）

A．平面平面 B．平面平面

C．平面平面 D．平面平面

二、多选题（每题5分，共20分）

9．已知复数，，则下列结论中一定正确的是（    ）

A．若，则或 B．若，则

C．若，则 D．若，则

10．在中，角的对边分别为，则下列结论正确的是（        ）

A．若，则一定是钝角三角形

B．若，则

C．若，则为等腰三角形

D．若为锐角三角形，则

11．已知函数图象的一条对称轴和一个对称中心的最小距离为，则下列说法正确的是（    ）

A．函数的最小正周期为 B．是函数的一个零点

C． D．

12．如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（       ）

A．直线平面

B．三棱锥的体积为定值

C．异面直线与所成角的取值范围是

D．当P为的中点时，直线与平面所成角的正弦值为

三、填空题（共20分）

13．若圆锥侧面展开图是圆心角为，半径为2的扇形，则这个圆锥表面积为        ．

14．不等式的解集为          ．

15．如图，一个水平放置在桌面上的无盖正方体容器，，容器内装有高度为的水，现将容器绕着棱所在直线顺时针旋转，容器中水恰好未溢出，则      ．

16．中，角A，B，C满足，则的最小值为      ．

四、解答题（共70分）

17．已知，且是第三象限角.

(1)求和的值；

(2)求的值.

18．已知两个非零向量与不共线.

(1)若与平行，求实数的值；

(2)若，，且，求.

19．已知i是虚数单位，复数．

(1)若z为纯虚数，求实数a的值；

(2)若z在复平面上对应的点在直线上，求复数z的模．

20．如图，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，，．

(1)求三棱柱的表面积；

(2)求证：平面．

21．在海岸A处，发现北偏西75°的方向，与A距离2海里的B处有一艘走私船，在A处北偏东45°方向，与A距离（）海里的C处的缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船．此时，走私船正以10海里/小时的速度从B向北偏西30°方向逃窜，问：

(1)刚发现走私船时，缉私船距离走私船多远？在走私船的什么方向？

(2)缉私船沿什么方向能最快追上走私船？

22．如图①梯形ABCD中，，，，且，将梯形沿BE折叠得到图②，使平面平面BCDE，CE与BD相交于O，点P在AB上，且，R是CD的中点，过O，P，R三点的平面交AC于Q．

(1)证明：Q是AC的中点；

(2)证明：平面BEQ；

(3)M是AB上一点，已知二面角为45°，求的值．

答案

1．A

因为，，所以．

故选：A．

2．D

对于A，上、下底面都是正方形，且侧棱垂直于底面的棱柱叫做正四棱柱，所以正方体是正四棱柱，故A正确；

对于B，底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体，而棱柱的各个侧面都是平行四边形，故B正确．

对于C，有两个相邻的侧面是矩形，说明公共侧棱与底面两条相交直线垂直，则侧棱与底面垂直，而侧棱与底面垂直的棱柱为直棱柱，所以有相邻两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱，故C正确；

对于D，底面是正多边形的直棱柱是正棱柱，底面是正多边形但侧棱与底面不垂直的棱柱不是正棱柱，故D错误；

故选：D.

3．B

依题意，函数，化为是偶函数.

故选：B

4．A

由向量，

因为，可得，解得，即，

所以.

故选：A.

5．C

由可得，

所以，

，．

故选：C

6．C

因为满足，

所以，.

由此可得.

又因为，所以，

故选：C.

7．A

设初始位置时对应的角为，则，则，

因为筒车转到的角速度为，

所以水桶到水面的距离，

当时，可得.

故选：A.

8．B

对于B：因为在直角梯形中，，

在中，，由余弦定理，得，

所以，可得，又平面平面，

且平面平面，平面，

故平面，平面，则，又，

，平面，

所以平面，又平面，所以平面平面，故B正确；

对于A：若平面平面，平面平面，平面，

又，所以AD平面，而平面，所以，

由B知平面，平面，所以，

在中，，显然不可能，故B错误；

对于C：取的中点，连接，因为，所以，

因为平面平面，平面平面，平面，

所以平面，作与点，连接，因为平面，

所以，若平面平面，平面平面，

平面，所以平面，因为平面，所以，

在中，，显然不可能，故C错误；

对于D：若平面平面，平面平面，平面，

且由B知，所以平面，因为平面，所以，

在中，，显然不可能，故D错误.

故选：B.

9．AC

A选项，设，

，

则，则或，

即或，所以A选项正确.

B选项，若，但，所以B选项错误.

C选项，若，则，所以，所以，C选项正确.

证明：，

.

D选项，若，则，所以D选项错误.

故选：AC

10．ABD

对于A选项，因为，则，

故角为钝角，A选项正确；

对于B选项，因为，由正弦定理可得，所以，B选项正确；

对于C选项，因为，即，

整理可得，所以，或，

故为等腰三角形或直角三角形，C选项错误；

对于D选项，若为锐角三角形，所以，所以，

则，D选项正确.

故选：ABD

11．ABD

，，

由于图象的一条对称轴和一个对称中心的最小距离为，

所以，所以，

A选项，函数的最小正周期为，A选项正确.

B选项，，B选项正确.

C选项，，所以C选项错误.

D选项，，所以，D选项正确.

故选：ABD

12．AB

对于选项A：因为为正方形，则，

又因为平面，平面，则，

且，平面，

所以平面，

且平面，可得，

同理可得：，

且，平面，

所以直线平面，故A正确；

对于选项B：因为∥，且，则为平行四边形，可得∥，

且平面，平面，所以∥平面，

又因为点在线段上运动，则到平面的距离为定值，

且的面积是定值，所以三棱锥的体积为定值，故B正确；

对在选项C：由选项B可知：∥，

所以异面直线与所成角为直线与直线的夹角.

又因为，则为等边三角形，

当为的中点时，直线与直线的夹角最大，

可得，即直线与直线的夹角为；

当与点或重合时，直线与直线的夹角最小，

可得直线与直线的夹角为；

所以异面直线与所成角的取值范围是，故C错误；

对于选项D：当P为的中点时，直线即为直线，

所以直线与平面所成角即为直线与平面所成角，

设点到平面的距离为d，正方体的棱长为2，

因为，

由等体积法可得，解得，

所以直线与平面所成角的正弦值为，

即直线与平面所成角的正弦值为，故D错误；

故选：AB.

13．

设圆锥底面半径为，扇形的弧长为，

因为，所以，

所以，

.

故答案为：.

14．

画出时，的图象．

令，，解得或

又的周期为，所以的解集为．

用代替解出．可得

则的解集为.

故答案为：.

15．1

因为容器是正方体，所以绕着棱A1B1所在直线顺时针旋转45°,

得到三棱柱,如图

此时水占了该正方体体积的一半，

则有．

故答案为：1．

16．

依题意，，

，

，由正弦定理得，

所以，所以为锐角，且.

，由于且，

所以且，

所以，

所以，当，是等号成立.

所以的最小值为.

故答案为：

17．(1)，；

(2)

（1）因为是第三象限角，所以，

因为，，故，；

（2）由（1）可知，，

故.

18．(1)

(2)或

（1）因为与平行，且与不共线

所以

所以，解得

（2）因为

所以，解得或.

经检验，均满足与不共线，故或

19．(1)

(2)

（1）∵是纯虚数，

∴，解得；

（2）易知z在复平面上对应的点为，该点在直线上，

得，即，得．

∴．则．

20．(1)

(2)证明见解析

（1）因为侧棱底面，所以三棱柱为直三棱柱，

所以侧面，，均为矩形．

因为，所以底面，均为直角三角形．

因为，，所以．

所以三棱柱的表面积为

．

（2）连接交于点，连接，因为四边形为矩形，

所以为的中点．因为为的中点，所以．

因为平面，平面，所以平面．

21．(1)缉私船距离走私船海里，在走私船的正东方向

(2)缉私船沿北偏西的方向能最快追上走私船

（1）由题意，可得，

则 ，

在中，由正弦定理，即，

解得，因为，所以，所以为水平线，

所以刚发现走私船时，缉私船距离走私船海里，在走私船的正东方向．

（2）设经过时间小时后，缉私船追上走私船，

在中，可得，

由正弦定理得，

因为为锐角，所以，

所以缉私船沿北偏西的方向能最快追上走私船．

22．(1)证明见解析

(2)证明见解析

(3)

（1）在图①中过C作，则，

图②中，连接BD，CE，

又∵，∴，∴，∴且．

∴，∴，

在中，，

∴，又平面ACD，平面ACD，

∴平面ACD，平面平面，

∴，∴，

又R是CD的中点，∴Q是AC的中点；

（2）如图，在直角梯形BCDE中，，∴

中，，，∴

∴，∴

又∵平面平面BCDE，平面平面BCDE，

∴平面BCDE，平面BCDE，∴，

又，平面ACE，

又平面ACE，∴，

在中，，，∴

∴，又由（1）Q是AC的中点，

∴，，∴平面ACD，

又平面ACD，∴

又∵，，∴平面ADE，

∴，又，∴平面BEQ；

（3）如图，过M作，过H作于点G，连结MG，

则∠MGH为二面角的平面角，∴，

设，∴

又，∴

在中，，

由得，即，∴

∴