2022-2023学年江西省万安中学高一下学期期中数学试题含答案

2022-2023学年江西省万安中学高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．“”是“”的(  )

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】试题分析：若成立，则一定成立；反之若成立，则不一定成立；因此“”是“”的充分而不必要条件；

【解析】充分必要条件;

2．已知i是虚数单位，z＝，则复数z的实部为

A．－ B． C．－ D．

【答案】A

【分析】根据复数的除法运算直接计算即可.

【详解】z＝＝.

∴复数z的实部为－

故选：A

3．一个棱柱是正四棱柱的充要条件是（    ）

A．底面是正方形，有两个侧面是矩形

B．底面是正方形，有两个侧面垂直于底面

C．底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直

D．每个侧面都是全等矩形的四棱柱

【答案】C

【分析】由正四棱柱的定义及几何特征，结合充要条件的概念，依次判断即可．

【详解】若底面是正方形，有相对的两个侧面是矩形，另外两个侧面是不为矩形的平行四边形，则棱柱为斜棱柱，故A不满足要求；

若底面是正方形，有相对的两个侧面垂直于底面，另外两个侧面不垂直于底面，则棱柱为斜棱柱，故B不满足要求；

若底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直则底面为正方形，侧棱与底面垂直，此时棱柱为正四棱柱，反之也成立，故C满足要求；

若每个侧面都是全等矩形的四棱柱，其底面可能不是正方形，故D不满足要求.

故选：C．

4．的内角的对边分别为，若，则的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由余弦定理求出关系，再结合可求得，再用三角形面积公式计算出面积．

【详解】由余弦定理得：，∴，又，

所以，∴，∴　，∴.

故选：.

【点睛】本题考查余弦定理和三角形面积公式，属于基础题．利用余弦定理求得的关系，并结合已知求得的值是关键，三角形的面积公式.

5．在边长为1的正方形中，若，则等于（    ）

A．0 B．1 C．2 D．

【答案】C

【分析】利用平面向量的线性运算计算即可.

【详解】.

故选：C

6．在平行四边形中，与交于点，是线段的中点，的延长线与交于点.若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由，根据题意得到，利用，结合向量的运算法则，即可求解.

【详解】如图所示，在平行四边形中，可得，

因为是线段的中点，可得，

所以.

故选：C.

7．在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，．若，则面积的最大值为（    ）

A． B． C．16 D．

【答案】B

【分析】根据诱导公式，结合二倍角公式与正弦定理与余弦定理化简可得，再根据基本不等式结合面积公式求解最值即可

【详解】由，，

所以，即，

所以，因为，所以．

因为，所以，所以，当且仅当时等号成立，所以．

故选：B．

8．已知函数的值域为，则（    ）

A． B． C．或 D．或

【答案】C

【分析】由题可得，令，设，则，再利用二次函数的性质分类讨论即求.

【详解】∵，

∴，

令，设，则，

当时，在上单调递减，

∴，解得，∴，

当时，在上单调递增，

∴，解得，∴，

当时，，无解，

当时，，无解.

综上，或.

故选：C.

二、多选题

9．命题“，”是真命题的一个充分条件是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】先求得命题“，”是真命题时a的范围，再由充分条件的定义得出选项.

【详解】当命题“，”是真命题时，只需，．又在上的最大值是，所以．因为，,

故选：AC．

10．给出下列命题，其中正确的是（    ）

A．复数对应的点在第二象限

B．若，则z为实数

C．若，为复数，且，则

D．复数为纯虚数的充要条件为

【答案】AB

【分析】求出复数对应点坐标判断A；设出复数的代数形式推理判断B；举例说明判断C；利用纯虚数的定义判断D作答.

【详解】对于A，复数对应的点在第二象限，A正确；

对于B，设，由得，解得，即是实数，B正确；

对于C，令，满足，而，C错误；

对于D，复数为纯虚数的充要条件为，D错误.

故选：AB

11．已知向量，，则（    ）

A． B．

C．在上的投影向量是 D．

【答案】BC

【分析】根据平面向量坐标表示的加减法运算，数量积的计算公式，模的计算公式，投影向量的计算公式，分别判断每个选项即可．

【详解】对于A：，，则，所以与不垂直，故A错误；

对于B：，，则，，所以，故B正确；

对于C：，所以在上的投影向量是，故C正确；

对于D：，，所以，故D错误，

故选：BC．

12．已知，且，函数，则下列结论中正确的是（    ）

A．点是函数图像的一个对称中心

B．直线是函数图像的一条对称轴

C．函数在区间上单调递减

D．若，则函数的值域为

【答案】AC

【分析】先利用弦化切的思想，求出，由此求出的值，然后利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的性质求解即可．

【详解】：因为，由，

可得

而 ，所以 ，

于是

 .

 ，点是函数图像的一个对称中心，

直线不是函数图像的对称轴，A选项正确，B选项错误；

时，，是正弦函数的单调递减区间，所以在区间上单调递减，C选项正确；

当时，有， ，

则的值域为，D选项错误．

故选：AC

三、填空题

13．中，角，，所对应的边分别为，，，已知，，，则         

【答案】.

【分析】化简得到，，再利用正弦定理计算得到答案.

【详解】，即，，

，故，，，，故.

故答案为：.

【点睛】本题考查了三角恒等变换，正弦定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.

14．如图，某货轮在处看灯塔在货轮的北偏东，距离为，货轮由处向正北航行到处时，再看灯塔在北偏东，则与间的距离为        .

【答案】24

【分析】利用正弦定理直接解三角形.

【详解】如图，可知，

在中，由正弦定理得：，

所以.

故答案为：24.

15．在《九章算术》中，将有三条棱互相平行且有一个面为梯形的五面体称为“羡除”.现有一个羡除如图所示，平面，四边形均为等腰梯形，四边形为正方形，，，，点F到平面的距离为2，则这个羡除的表面积为         .

【答案】

【分析】先证得点到平面的距离为到的距离，再根据平面几何性质求各表面面积，即得结果.

【详解】

因为平面，平面所以平面平面，

过作于，根据面面垂直的性质定理得平面

所以点到平面的距离为到的距离，

因此等腰梯形的高为2，

腰，

因为四边形为正方形，且，

等腰梯形的高为，

所以该羡除的表面积为

故答案为：

【点睛】本题考查面面垂直判定与性质定理、几何体表面积，考查基本分析论证与求解能力，属基础题.

16．在锐角中，若，则的最小值是        .

【答案】16

【分析】结合三角形关系和已知可得,进而得到，再结合函数的性质可求出最小值.

【详解】解：因为

所以，

因为为锐角三角形，

所以，，

所以，

又因为

所以

令，由为锐角可得，，

所以，得

所以 ，

因为，由得，，

所以 的最小值为16

故答案为：16

【点睛】此题考查了三角恒等式的变化技巧和函数单调性的知识，有一定的灵活性，属于难题.

四、解答题

17．已知，，

（1）求；

（2）求；

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）由所给条件求出、，利用两角差的余弦公式求解即可；（2）利用两角和的正弦公式求解.

【详解】（1），，

，，

；

（2）由（1）得.

【点睛】本题考查同角三角函数的平方关系、两角和与差的正弦、余弦公式，属于基础题.

18．已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2ccosC=bcosA+acosB.

(1)求角C的大小；

(2)若，求的周长的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由正弦定理化边为角，然后由两角和的正弦公式、诱导公式变形后可昨角；

（2）由正弦定理把用角表示，并由两角和与差的正弦公式化简，由锐角三角形得的范围，然后由正弦函数性质得取值范围，从而得周长范围．

【详解】（1）由正弦定理得：，代入，

∴，又，

∴，而0<C< ，则，

∴，故.

（2）由正弦定理得：，

，

因为为锐角三角形，所以，，

由内角和为，则，

所以，则，

周长为，

故的取值范围为.

19．在中，点分别在边和边上，且，，交于点，设，．

(1)试用，表示；

(2)在边上有点，使得，求证：三点共线．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）利用向量的线性运算及平面向量的基本定理即可求解；

（2）利用向量的线性运算及共线向量基本定理即可求解.

【详解】（1）设，由题意，

所以，①，

设，由，，②，

由①、②得，，

所以，解得，

所以；

（2）由，得，

所以，

所以，

因为与有公共点B，

所以B，P，F三点共线．

20．已知函数.

（1）求函数在上的单调区间；

（2）若，，求的值.

【答案】（1）递增区间为，，递减区间为；（2）.

【解析】（1）化简函数的解析式为，根据，得到，结合三角函数的性质，即可求解.

（2）由，结合，得到，利用三角函数的基本关系式，即可求解.

【详解】（1）由题意得

，

因为，所以，

令，解得；

令，解得，

令，得.

所以函数在上的单调递增区间为，，

单调递减区间为.

（2）由（1）知.

因为，所以，

又因为，所以，

所以.

【点睛】三角函数的化简求值的规律总结：

1、给角求值：一般给出的角是非特殊角，要观察所给角与特殊角的关系，利用三角变换转化为求特殊角的三角函数值问题；

2、给值求值：即给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使相关角相同或具有某种关系；

3、给值求角：实质上可转化为“给值求值”即通过求角的某个三角函数值来求角（注意角的范围）.

21．已知函数.

(1)求的最小正周期;

(2)当时,求的最大值和最小值以及对应的的值.

【答案】(1);(2)当时,取得最小值;当时,取得最大值.

【分析】（1）利用降幂扩角公式先化简三角函数为标准型，再求解最小正周期；

（2）由定义域，先求的范围，再求值域.

【详解】（1）

所以的最小正周期为.

（2）由，得，

当，即时，取得最小值，

当，即时，取得最大值.

【点睛】本题考查利用三角恒等变换化简三角函数解析式，之后求解三角函数的性质，本题中包括最小正周期以及函数的最值，属综合基础题.

22．给定常数，定义在上的函数.

(1)若在上的最大值为2，求的值；

(2)设为正整数.如果函数在区间内恰有2022个零点，求的值.

【答案】(1)；

(2)或.

【分析】（1）根据诱导公式及二倍角公式可得，设，分类讨论，根据二次函数的性质即可求解；

（2）由题意可得有两个不等的实数根，

.分与讨论，结合正弦函数的图象即可求解.

【详解】（1）

，

设，

则，

的开口向下，对称轴为，

当，即时，，

又，所以，解得，与矛盾.

当，即时，当时，，

又，所以，解得.

综上所述，.

（2），令，，

则.

因为，所以有两个不等的实数根，且，

所以.

又，

当时，

时，有2个根；时，有2个根；

故时，有4个根.

因为在区间内恰有2022个零点，所以.

当时，

时，有1个根；时，有2个根；

故时，有3个根.

因为在区间内恰有2022个零点，且，所以.

综上所述，的值为或.

【点睛】关键点睛：

二次函数与正弦型函数的复合问题，求值域可利用换元法，转化为二次函数求值域，单调性问题需要结合正弦函数及二次函数的单调性.