2022-2023学年江西省抚州市黎川县第二中学高二下学期6月期末数学试题含答案

这是一份2022-2023学年江西省抚州市黎川县第二中学高二下学期6月期末数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江西省抚州市黎川县第二中学高二下学期6月期末数学试题 一、单选题1．在等差数列中，若，则A．10 B．15 C．20 D．25【答案】C【分析】设等差数列的公差为，得到，又由，代入即可求解，得到答案.【详解】由题意，设等差数列的公差为，则，又由，故选C.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式，准确计算是解答的关键，着重考查了计算与求解能力，属于基础题，.2．已知函数和有相同的极大值，则（    ）A．0 B．2 C． D．【答案】A【分析】利用导数，先求得的极大值，然后根据与有相同的极大值求得.【详解】求导，令，解得，令，解得，∴在上单调递增，在上单调递减，∴在处取得极大值，，令，解得，令，解得，∴在上单调递增，在上单调递减，∴在处取得极大值，依据题意，和有相同的极大值，故，解得.故选：A3．已知数列满足，且，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】计算，，，，，确定为周期是的数列，计算得到答案.【详解】，故，，，，，，故为周期是的数列，.故选：B4．设，那么(　　)A． B．C． D．【答案】A【分析】由三角函数的求导公式分别对，求导即可.【详解】因为,所以.【点睛】本题主要考查导数的基本运算，只需熟记基本初等函数的求导公式即可解题，属于基础题型.5．已知双曲线的离心率为，其中一条渐近线与圆交于A，B两点，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据双曲线的离心率求出渐近线方程，再借助点到直线距离公式求出弦心距，进而求出弦长作答.【详解】圆的圆心，半径，由双曲线的离心率为，得，解得，于是双曲线的渐近线方程为，即，  当渐近线为时，点到此直线距离，即直线与已知圆相离，不符合要求，当渐近线为时，点到此直线距离，则直线与已知圆相交，所以弦长.故选：D6．为了更好地解决就业问题，国家在2020年提出了“地摊经济”为响应国家号召，有不少地区出台了相关政策去鼓励“地摊经济”.某摊主2020年4月初向银行借了免息贷款8000元，用于进货，因质优价廉，供不应求，据测算：每月获得的利润是该月初投入资金的20%，每月底扣除生活费800元，余款作为资金全部用于下月再进货，如此继续，预计到2021年3月底该摊主的年所得收入为（    ）（取，）A．24000元 B．26000元 C．30000元 D．32000元【答案】D【分析】设，从4月份起每月底用于下月进借货的资金依次记为，由题意得出的递推关系，变形构造出等比数列，由得其通项公式后可得结论．【详解】设，从4月份起每月底用于下月进借货的资金依次记为，，、同理可得，所以，而，所以数列是等比数列，公比为，所以，，总利润为．故选：D．【点睛】思路点睛：本题考查数列的实际应用．解题方法是用数列表示月初进货款，得出递推关系，然后构造等比数列求解．7．直三棱柱如图所示，为棱的中点，三棱柱的各顶点在同一球面上，且球的表面积为，则异面直线和所成的角的余弦值为（    ）  A． B． C． D．【答案】A【分析】先根据已知条件求出侧棱长，然后建立空间直角坐标系，求出直线和的方向向量，从而可求解.【详解】因为在直三棱柱中，所以球心到底面的距离，又因为，所以，所以，所以底面外接圆半径，又因为球的表面积为，所以，而，所以，  以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，设直线和所成的角为，则.故选：A.8．已知函数，若过点能作三条直线与的图像相切，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据已知条件有三条直线相切，得两函数图像有三个交点，利用函数的单调性即可得到的取值范围.【详解】由已知：，故，设切点为 所以切线斜率为，切线方程为,将点坐标代入切线方程可得化简可得即函数与函数有三个不同的交点.故，当时，，函数单调递减当时，，函数单调递增当时，，函数单调递减且时，,，且时， 所以的取值范围为 故选：D 二、多选题9．下列说法正确的是（    ）A．线性回归方程必过B．频率分布直方图中最高的小矩形底边中点的横坐标是众数的估计值C．对于随机事件A和B，若，则事件A与事件B独立D．设具有线性相关关系的两个变量，的相关系数为，则越接近于0，和之间的线性相关程度越强【答案】ABC【分析】根据线性回归方程的概念、频率分布直方图的特点、事件的独立性和相关系数的定义依次判断选项即可.【详解】A：线性回归方程必过中心，故A正确；B：频率分布直方图最高的小矩形代表次数最多的取值范围，底边中点的横坐标为众数的估计值，故B正确；C：由，得，所以事件A和事件B独立，故C正确；D：相关系数越接近于1，的线性关系越强，故D错误.故选：ABC.10．关于递增等比数列，下列说法正确的是（    ）．A．当时， B．当时，C．当时， D．【答案】AC【分析】利用等比数列的性质，逐个选项进行判断即可求解【详解】A．当，时，从第二项起，数列的每一项都大于前一项，所以数列递增，正确；B．当，时，为摆动数列，故错误；C．当，时，数列为递增数列，故正确；D．，当时，，此时，当时，，，故错误故选AC．11．在如图所示的数表中，第1行是从1开始的正整数，从第2行开始每个数是它肩上两个数之和，则（    ）A．第5行第1个数为48B．第2023行第1个数为C．第2023行的数从左到右构成公差为的等差数列D．第2023行第2023个数为【答案】ABD【分析】确定每一行都是等差数列，第行公差为，第行的第一个数为，再根据通项公式和公差依次判断每个选项得到答案.【详解】根据数表，每一行都是等差数列，第行公差为，设第行的第一个数为，则，，则，是首项为2，公差为1的等差数列，故，故，对选项A：第5行第1个数为，正确；对选项B：第2023行第1个数为，正确；对选项C：第2023行的数从左到右构成公差为的等差数列，错误；对选项D：第2023行第2023个数为，正确.故选：ABD12．已知定义在R上的函数的图象连续不间断，当时，，且当时，，则下列说法正确的是（    ）A．B．在上单调递减C．若，则D．若是的两个零点，且，则【答案】ACD【分析】对于A，在中令，即可判断A；对于B，对两边求导，结合，即可得出在上单调递增，即可判断B.对于C，分别讨论和 ，再结合在上单调递增，上单调递减，即可判断C.对于D，先证明，则，再令，而由，所以，所以，即可判断D.【详解】对于A，在中令，则，所以，故A正确；对于B，当时，，对两边求导，则，所以时，，所以，令，，，所以在上单调递增，所以B错；对于C，由B知，在上单调递增，上单调递减，由知不可能均大于等于1，否则，则，这与条件矛盾，舍去.①若，则，满足条件，此时，；’②若，则，而，则，所以，而，所以，C正确；对于D，由在上单调递增，上单调递减，知，注意到，，，所以，若，则，则，所以()，这与矛盾，舍去.所以，在时，中，令，而由，所以，所以，故D正确.故选：ACD. 三、填空题13．若正数，满足，，则的值为          .【答案】【分析】根据对数的运算性质列出方程组求出即可求解.【详解】因为，所以，又因为，所以，联立解得，所以，故答案为：.14．奇函数在上满足，且，则不等式的解集为           .【答案】【分析】由函数f（x）在（0，+∞）上满足，故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；结合f（2）=0，函数f（x）为奇函数，可得函数的图象和性质，进而得到不等式的解集．【详解】：∵函数f（x）在（0，+∞）上满足，故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；又由f（2）=0，函数f（x）为奇函数，故函数f（x）在（-∞，0）上单调递增，且f（-2）=0，故当x∈（-∞，-2）∪（0，2）时，f（x）＜0，当x∈（-2，0）∪（2，+∞）时，f（x）＞0，∵故x∈（-2，0）∪（0，2），即答案为．【点睛】本题考查的知识点是函数的单调性，函数的奇偶性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．15．某位业务经理经常从北京去上海出差，每次从北京出发去上海乘坐飞机和高铁的概率分别为和，飞机和高铁准点到达的概率分别为和，若他已准点抵达上海，则此次去上海乘坐飞机准点到达比乘坐高铁准点到达的概率高        ．（分数作答）【答案】【分析】设出事件，确定，根据条件概率公式计算得到答案.【详解】设准点抵达上海为事件，乘坐飞机为事件，乘坐高铁为事件，，，，故去上海乘坐飞机准点到达比乘坐高铁准点到达的概率高.故答案为：.16．设，函数，，若对任意的，存在都有成立，则实数的取值范围是        ．【答案】【分析】先依题意判断两函数最值的关系，再分别求其最值，列关系计算参数范围即可.【详解】依题意，对任意的，存在都有成立，则需.函数，中，得，故，，递减，，，递增，故；函数，中，，，故在上递增，故.因此，又，.故答案为：.【点睛】本题考查了任意性和存在性问题的转化策略，考查了函数导数与其单调性、最值的应用，属于中档题. 四、解答题17．已知数列满足，(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和．【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用构造法证得是等比数列，从而求得的通项公式；（2）利用分组求和法与等比数列的前项和公式即可得解.【详解】（1）因为，所以，又因为，则，所以是首项为，公比为的等比数列，所以，故.（2）由（1）得，所以.18．如表是某位同学连续5次周考的数学、物理的成绩，结果如下：周次12345数学（x分）7981838587物理（y分）7779798283参考公式：，，表示样本均值.（1）求该生5次月考数学成绩的平均分和物理成绩的方差；（2）一般来说，学生的数学成绩与物理成绩有较强的线性相关关系，根据上表提供的数据，求两个变量x、y的线性回归方程.【答案】（1）83，4.8；（2）.【解析】(1)利用所给数据即可求该生5次月考数学成绩的平均分和物理成绩的方差；(2)利用最小二乘法做出线性回归直线的方程的系数，写出回归直线的方程，得到结果.【详解】（1）数学成绩的平均分为，因为物理成绩的平均分为，所以物理成绩的方差；（2）由已知数据得，所以，所以，所以两个变量x、y的线性回归方程为.19．设是数列的前项和，，，.(1)求的通项；(2)设，求数列的前项和.【答案】(1)(2) 【分析】（1）将转化为，化简后利用配凑法得到是以为公差的等差数列，其首项为，求得，再根据，，求得的通项公式；（2）根据（1）化简，利用裂项求和法求得.【详解】（1）解：，时，，展开化简整理得，，若，，则，此时，显然不成立，所以，，所以数列是以为公差的等差数列，其首项为，，，又，，所以，显然当时不满足题意，所以.（2）解：由于， 数列的前项和，.20．有编号为1，2，3的三只小球，和编号为1，2，3，4的四个盒子，将三个小球逐个随机的放入四个盒子中､每只球的放置相互独立.（1）求三只小球恰在两个盒子中的概率；（2）求三只小球在三个不同的盒子，且至少有两个球的编号与所在盒子编号不同的概率；（3）记录至少有一只球的盒子.以表示这些盒子编号的最大值，求.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）三只小球装两个盒，则三只小球分成两组，有种，然后选两个小盒有种，把两组小球装入两个盒中有种，所以装法有种，总的可能有种，计算比值可求出概率；（2）此题分为恰有两个和恰有三个的情况，当恰有两个时，有种，恰有三个时有种，分别和总数计算比值然后求和可得结果；（3），分别计算取各个值时概率，按照公式可求出期望值.【详解】（1）设“三只小球恰在两个盒子中”为事件，则.（2）设“恰有两个球的编号与盒子编号不同”为事件，“三个球的编号与盒子的编号不同”为事件，则“至少有两个球的编号与所在盒子编号不同”为事件：，，，与互斥，故.（3）.；；；；故.【点睛】本题考查排列组合的综合应用，属于中档题.易错点睛：（1）分组分配问题先分组后分配；（2）球入盒问题，分球不同盒不同，球同盒不同，球不同盒同，球同盒同四种情况，要注意审题，本题为球不同盒也不同，既要选盒又要选球；21．已知函数.(1)求的极值；(2)当时， 求证：.【答案】(1)极小值为，无极大值；(2)证明见解析. 【分析】（1）求出函数的导数及零点，再探讨在零点左右值的符号即可作答.（2）在给定条件下，等价变形要证不等式，再构造函数，借助单调性推理作答.【详解】（1）函数定义域为R，求导得，由得x=0，当时，，当时，，即在上单调递减，在上单调递增，所以当时，取极小值，无极大值.（2）因，有，，令，求导得，当时，，，即，则，因此，在上单调递增，当时，，即，所以当时，成立.【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用函数思想是解决问题的关键.22．已知函数（且，为自然对数的底数）．(1)若曲线在点处的切线斜率为0，且有极小值，求实数的取值范围．(2)当 时，若不等式： 在区间内恒成立，求实数的最大值．【答案】(1)；(2). 【分析】（1）由题可得，然后利用导函数与单调性，极值的关系即得；（2）由题可得，构造新函数，利用导数讨论函数的性质，进而可得.【详解】（1），，∵，则，，当时，单调递增，单调递减，∴函数有极大值而无极小值；当时，单调递减，单调递增，所以函数有极小值而无极大值，∴，即实数的取值范围为；（2）∵，，∴， 设，则，令， ∵，∴，∴在内单调递增，∴当时，，当时，即时，，∴在区间内单调递增，∴当时，恒成立；当时，即时，，∴存在，使得，∴在区间内单调递减，在内单调递增，由，∴不恒成立．综上所述，实数的取值范围为．∴实数的最大值为．【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：若在区间上有最值，则（1）恒成立：；；（2）能成立：；.若能分离常数，即将问题转化为：（或），则（1）恒成立：；；（2）能成立：；.