2022-2023学年江西省吉安市双校联盟高一下学期期中考试数学试题含答案

2022-2023学年江西省吉安市双校联盟高一下学期期中考试数学试题

一、单选题

1．如果，那么下列运算正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据不等式的性质逐一判断即可.

【详解】解：因为，

所以，故A错误；

，故B错误；

，故C错误；

，故D正确.

故选：D.

2．（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用诱导公式求解即可.

【详解】因为，所以，

故选：D.

3．下列各角中，与角的终边相同的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】写出与与角的终边相同的角的集合，根据集合即可求出结果.

【详解】与角的终边相同的角的集合为，

令，得到，故选项A正确，易知，不存在，使，故选项BCD均不正确.

故选：A.

4．已知是所在平面内一点，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由平面向量线性运算可得.

【详解】

由，得

得，得，

故选：A

5．平面向量，，，则与的夹角是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】设出与的夹角为，利用向量垂直得到方程，得到，求出夹角.

【详解】设与的夹角为，

则，即，

解得，

因为，所以.

故选：D

6．（，），则（    ）

A．2 B．1 C．0 D．

【答案】A

【分析】根据两角和的正切公式变形转换，从而可求解结果.

【详解】因为，

所以.

所以.

所以

.

故选：A.

7．泰姬陵是印度在世界上知名度最高的古建筑之一，被列为“世界文化遗产”．秦姬陵是印度古代皇帝为了纪念他的皇妃建造的，于1631年开始建造，用时22年，距今已有366年历史．如图所示，为了估算泰姬陵的高度，现在泰姬陵的正东方向找一参照物，高约为，在它们之间的地面上的点Q（B，Q，D三点共线）处测得处、泰姬陵顶端处的仰角分别是和，在处测得泰姬陵顶端处的仰角为，则估算泰姬陵的高度为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由题设可得，应用正弦定理求得，进而求.

【详解】由题设且，在测得泰姬陵顶端处仰角为，

所以，则，

所以，故.

故选：A

8．设△ABC的内角A，B，C满足，面积S满足，角A，B，C的对边分别为a，b，c．给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是（    ）

A．②③ B．①②④

C．①③④ D．①②③④

【答案】B

【分析】首先可由得到，然后利用所给公式结合和差公式、倍角公式可化得，然后结合可求得外接圆半径的范围，然后可判断②③④.

【详解】因为，

所以，即，

因为，

所以

，

所以，故①正确；

设的外接圆半径为，

因为由三角形面积公式和正弦定理有，

所以，

所以，故②正确；

，故③错误，

，故④正确，

故选：B.

二、多选题

9．已知向量，，下列命题中正确的有（     ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】根据向量的模长公式，平行以及垂直的坐标表示求得结果.

【详解】对于A，向量，，故A正确；

对于B，因为，故B错误；

对于C，因为，所以，故C正确；

对于D，，，

，，，故D错误；

故选：AC.

10．已知为锐角，且，则下列选项中正确的有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】运用同角的三角函数关系式进行运算逐一判断即可.

【详解】因为，

所以，而为锐角，

所以，选项A正确；

，

所以选项C正确；

因为为锐角，

所以，

因此选项D正确，

由，

所以选项B不正确，

故选：ACD

11．将函数的图象沿x轴向左平移个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则的可能取值为（    ）

A． B． C．0 D．

【答案】AB

【分析】先进行三角函数图象变换，然后根据函数的奇偶性求得正确答案.

【详解】函数的图象沿x轴向左平移个单位长度后，

得到为偶函数，

所以，

所以的可能取值是、，AB选项正确，CD选项错误.

故选：AB

12．已知平面向量，，，若，，，设与的夹角为，则下列说法正确的有（    ）

A．若起点为原点，其终点构成的轨迹为一条直线 B．的模的最大值为

C．最大值为 D．最小值为

【答案】BD

【分析】对于A，设，然后利用可求出关于的方程，从而可进行判断，对于B，由选项A可知若起点为原点，则其终点构成的轨迹是以为圆心，为半径的圆，再利用圆有性质求解，对于CD，直接利用向量的夹角公式结合基本不等式分析判断.

【详解】对于A，设，则，

因为，所以，

化简得，即，

所以若起点为原点，其终点构成的轨迹是一个圆，所以A错误，

对于B，因为若起点为原点，则其终点构成的轨迹是以为圆心，为半径的圆，

所以的模的最大值为，所以B正确，

对于CD，因为，所以，

所以，

所以

，当且仅当，即时，取等号，

由选项B可知，所以能取到，所以有最小值，

当或时，，此时有最大值1，

所以C错误，D正确，

故选：BD

【点睛】关键点点睛：此题考查向量的数量积运算，考查向量的夹角公式的应用，考查向量的坐标运算，解题的关键是根据题意利用向量的运算求出向量起点为原点时，其终点构成的轨迹方程，然后逐个分析，考查计算能力，属于较难题.

三、填空题

13．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的周长为           .

【答案】

【分析】根据题意结合扇形的弧长和面积公式运算求解.

【详解】设扇形的半径为，由题意可得，解得，

所以扇形的周长为.

故答案为：.

14．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知，，．则边        ．

【答案】5

【分析】根据题意利用余弦定理直接列方程求解即可

【详解】在中，，，，

则由余弦定理得，即，

化简得，解得或（舍去），

故答案为：5

15．某同学为了测量学校天文台的高度，选择学校宿舍楼三楼一阳台，到地面的距离为，在它们之间的地面上的点(、、三点共线)处测得阳台，天文台顶的仰角分别是和，在用台处测得天文台顶的仰角为，假设、和点在同一平面内，则学校天文台的高度为      .

【答案】

【分析】由已知可得，求出、的大小，利用正弦定理求出，然后在可求出的长.

【详解】在中，，

在中，，，

，

由正弦定理得，

故，

在中，，

故学校天文台的高度为.

故答案为：.

16．在平面四边形中，，，，则的最大值为      .

【答案】

【分析】设，利用三角函数函数得，再利用余弦定理结合三角恒等变换即可得到最值.

【详解】设，，则，代入数据得，

，，

在中运用余弦定理得，

即

，，

所以当，即时，的最大值为3，则的最大值为.

故答案为：.

【点睛】关键点睛：本题的关键在于引角，设，再利用三角函数和余弦定理得到，最后结合诱导公式和三角恒等变换即可求出最值.

四、解答题

17．计算：

(1) ；

(2)已知，则的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据分数指数幂以及对数恒等式和换底公式进行化简，即可得答案；

（2）利用诱导公式以及同角的三角函数关系化简，结合特殊角的三角函数值，即得答案.

【详解】（1）

；

（2）

，

故.

18．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.

(1)求角A的大小；

(2)若，且，求的面积.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理即可求解；

（2）利用余弦定理和三角形面积公式即可求解.

【详解】（1）由得，

利用正弦定理可得，化为，

所以由余弦定理得，，.

（2）由余弦定理可得，

所以，

所以.

19．已知中，是边（含端点）上的动点．

(1)若点为与的交点，请用表示；

(2)若点使得，求的取值范围．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）由已知得，再由A、O、P三点共线，令，由得，然后由C、O、Q三点共线，求出作答.

（2）由（1）中信息，设，则，再由垂直关系的向量表示及数量积的运算律，求出，借助函数的单调求解作答.

【详解】（1）因为，则 ，又A、O、P三点共线，有，，

又，即有，而C、O、Q三点共线，于是，解得，

所以.

（2）由（1）知，，而，设，则，

由，得，即，

整理得，即，

于是，显然函数在上单调递增，

因此，

所以的取值范围.

20．已知函数，若函数图象相邻两条对称轴间的距离是

(1)求及单调递减区间.

(2)若方程在上有解，求实数m的取值范围.

【答案】(1)，单调递减区间为；

(2).

【分析】（1）利用三角恒等变换得到，然后利用题意得到周期，代入周期的计算公式可得，然后代入正弦函数即可求解；

（2）结合（1）的结论，求出函数在上的值域即可求解.

【详解】（1）因为，

又图象相邻两条对称轴间的距离是，所以函数的周期为，

所以，则，所以，

令，解得，

所以函数单调递减区间为.

（2）由（1）知：，

因为，所以，则，

所以，要使在上有解，则.

21．某港口水深（米是时间（，单位：小时）的函数，下表是水深数据：

根据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数的图象.

(1)试根据数据表和曲线，求出的表达式；

(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度（船底与水面的距离）为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？（忽略离港所用的时间）

【答案】(1)

(2)16小时.

【分析】（1）根据图象的最高点和最低点可以求出，由两个最高点的之间的距离可以求出，从而可求函数的表达式；

（2）在当的前提下，解不等式即可.

【详解】（1）根据数据，，

，，，

，

函数的表达式为；

（2）由题意，水深，

即，

，

，，1，

或；

所以，该船在至或至能安全进港，

若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16小时.

22．，且.

(1)方程在有且仅有一个解，求的取值范围．

(2)设，对，总，使成立，求的范围．

(3)若与的图象关于对称，求不等式的解集．

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）由已知条件求出的值，可得出函数的解析式，分析可知函数与函数在上的图象只有一个公共点，数形结合可得出关于实数的不等式，解之即可；

（2）求出函数在上的最小值，可得出，令，求出函数在上的最大值，即可得出实数的取值范围；

（3）利用函数的对称性可得出函数的解析式，由结合余弦函数的图象可得出，结合正弦函数基本性质可解此不等式.

【详解】（1）解：因为，

则，可得，

因为，则，所以，，可得，

所以，，

当时，，

作出函数与函数在上的图象如下图所示：

由图可知当或时，即当时，

函数与函数在上的图象只有一个公共点，

所以，实数的取值范围是.

（2）解：因为，

由题意，对，总，使，则，

当时，，则，

所以，，使得，

所以，，

因为，则，

令，函数在上单调递减，

所以，，所以，，

因此，实数的取值范围是.

（3）解：因为与的图象关于对称，

则

，

因为，令，

则，即，

作出函数的图象如下图所示：

由可得，

即，

因为，故，可得，

解得或，

即，

因此，原不等式的解集为.

【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：

一般地，已知函数，，，.

（1）若，，有成立，则；

（2）若，，有成立，则；

（3）若，，有成立，则；

（4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集.