江西省抚州市黎川县第二中学2023-2024学年高三上学期开学考试数学试题

23-24上开学考试

高三数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡的相应位置上：

2.作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将答题卡交回。

一、单选题（每题5分，共40分）

1．已知全集，集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．在等差数列中，首项为，公差为，则（    ）

A．2 B．0 C． D．

3．下列求导数运算中正确的是（    ）

A． B．

C． D．

4．已知，则（    ）

A． B． C． D．

5．袋中装有标号为且大小相同的个小球，从袋子中一次性摸出两个球，记下号码并放回，如果两个号码的和不是的倍数，则获奖，若有人参与摸球，则恰好人获奖的概率是（    ）

A． B． C． D．

6．在正方体中，是棱上一点，是棱上一点，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

7．已知双曲线C：的右焦点F的坐标为，点P在第一象限且在双曲线C的一条渐近线上，O为坐标原点，若，，则双曲线C的离心率为（    ）

A． B．2 C． D．3

8．若函数，，则函数在上平均变化率的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

二、多选题（每题5分，共20分）

9．下列说法正确的是（    ）

A． B．

C． D．

10．已知正项等比数列的前n项积为，且，则下列结论正确的是（    ）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则

11．已知数列满足，且对任意的正整数，都有，则下列说法正确的有（    ）

A． B．数列是等差数列

C． D．当为奇数时，

12．已知函数及其导函数满足，且，则下列说法正确的是（    ）

A．在上有极小值 B．的最小值为

C．在上单调递增 D．的最小值为

三、填空题（共20分）

13．的单调递减区间是     .

14．在数列中，已知，则该数列前2023项的和          .

15．已知抛物线C：的焦点F到其准线的距离为2，圆M；，过F的直线l与抛物线C和圆M从上到下依次交于A，P，Q，B四点，则的最小值为              ．

16．已知，则当取得最大值时，          ．

四、解答题（共70分）

17．设直线的方程为.

(1)已知直线在x轴上的截距为，求的值；

(2)已知直线的斜率为1，求的值．

18．为了提高居民参与健身的积极性，某社区组织居民进行乒乓球比赛，每场比赛采取五局三胜制，先胜3局者为获胜方，同时该场比赛结束，每局比赛没有平局.在一场比赛中，甲每局获胜的概率均为p，且前4局甲和对方各胜2局的概率为.

(1)求p的值；

(2)记该场比赛结束时甲获胜的局数为X，求X的分布列与期望.

19．在正四棱锥中，已知，，，.

(1)证明：平面；

(2)求二面角的大小.

20．椭圆的左顶点为，右顶点为，满足，且椭圆的离心率为．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)已知点在椭圆的内部，直线和直线分别与椭圆交于另外的点和点，若的面积为，求的值．

21．已知数列的前项和为且；等差数列前项和为满足.

(1)求数列的通项公式；

(2)设，求数列的前项和；

(3)设，若，对任意的正整数都有恒成立，求的最大值.

22．已知函数.

(1)讨论的单调性；

(2)当时，，求实数a的取值范围.

答案

1．A

解：或，

所以

所以，

故选：A

2．D

由等差数列中，首项为，公差为，

则.

故选：D.

3．D

对A，，故A错误；

对B，，故B错误；

对C，，故C错误；

对D，，故D正确；

故选：D.

4．D

，

则．

故选：D

5．D

从袋子中一次性摸出两个球，共有种情况，

其中两个号码的和为的倍数的有，，，，，共种情况，

一个人摸球，能够获奖的概率为，

人参与摸球，恰好人获奖的概率.

故选：D.

6．A

不妨设，

以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，

则，

所以，

所以，

所以，

所以异面直线与所成角的余弦值为．

故选：A

7．B

由题意知点P在第一象限且在双曲线C：的一条渐近线上，

设渐近线的倾斜角为，则，即，

结合，可得，

结合题意可知，故，

又，，

在中利用余弦定理得，

即，

即，即，

故，解得或（舍去），

故选：B

8．B

当，时，

在上平均变化率为，

令，，

可看做图象上任一点与点连线的斜率，

即，

当点从点运动到点，斜率逐渐减小，点重合时，

表示函数在点处的切线的斜率，

，

所以，

当点位于点时，点连线的斜率最大，

，

故.

故选：B

9．CD

A：因为，所以本选项不正确；

B：当时，，所以本选项不正确；

C：画出两个函数的图象如下图所示：

显然有一个交点，因此本选项正确；

D：设，

当时，单调递减，当时，单调递增，

故，所以本选项正确，

故选：CD

10．ABD

不妨设正项等比数列的公比为，所以，；

对于A，若，则，由等比数列性质可得，

所以可得，即A正确；

对于B，若，可得，又，所以；

所以，又，可得，

因此可得，即，所以B正确；

对于C，若，可得，又，因此的大小无法判断，所以C错误；

对于D，若，可得，又，所以可得，即数列为递减数列；

可得，即，所以D正确；

故选：ABD

11．ABD

由题意知，

令，得，解得，故A正确.

此时，令，得，

从而，

所以数列是以3为首项，2为公差的等差数列，故B正确.

所以，

所以

，

所以，故C错误.

令，得，所以，

令，则k为奇数，则，

又适合上式，所以当为奇数时，，故D正确.

故选：ABD

12．ACD

因为函数及其导函数满足，

则，即，令（为常数），

所以，，因为，可得，所以，，，

，时，，递减，时，，递增，

对于A选项，易得时达到极小值；A对

对于B选项，，B错；

，

对于C选项，当时，，所以在上单调递增，C对；

对于D选项，，令，可得，

当时，，此时单调递减，当时，，此时单调递增，

所以，，D对.

故选：ACD．

13．

的定义域是，，

令，解得，

故的单调递减区间是.

故答案为：

14．2023

由可知，数列为等差数列，

所以，

所以.

故答案为：2023.

15．12

因为抛物线的焦点到准线的距离为，所以，

所以抛物线方程为，

如下图，，

因为，

设，所以，

所以，

因为直线水平时显然不合题意，故可设，

因为直线所过定点在抛物线内部，则直线必然与抛物线有两交点，同样与圆也有两交点，

联立，，

所以，

所以，

当且仅当，即时取等号，

所以的最小值为12.

故答案为：12.

16．

设，因为，则，则，

则．

设函数，

则．

当时，即，，此时单调递增；

当时，即，，此时单调递减，

所以当时，取得最大值，即取得最大值，

此时．

故答案为：.

17．(1)

(2)

（1）令得，，由题意得，解得.

（2）因为直线的斜率存在，所以直线的方程可化为

由题意得，解得．

18．(1)

(2)答案见解析，

（1）由题可知，前4局甲和对方各胜2局的概率为，        

则，即，                

解得.

（2）由题可知，的取值可能为，

且，

则的分布列为

所以

19．(1)证明见解析

(2)

（1）连接交于，如图所示，以为坐标原点建立空间直角坐标系，

则，，，，，

可得，，，，

则，，，

所以，，

因为，，则.

可得，所以，，共面，

且平面，所以平面.

（2）设平面的法向量为，则，

令，则，则，

因为，则平面平面，

所以二面角的大小是.

20．(1)；

(2).

（1）由题意,,得.

离心率,得，

所以椭圆的标准方程为；

（2）设，

点,直线的方程为,即.

与椭圆方程联立得:,解得:.

点,直线的方程为.

与椭圆方程联立得:,解得: .

三角形面积比

.

又因为,

所以

，

由题意, ,

整理得,解得:或.

又由点在椭圆内部,故,即.

21．(1)，

(2)

(3)2

（1）由，得，

当时，，即，

所以，且，

所以，

所以为首项为，公比为3的等比数列，

所以.

设等差数列的公差为，

则，解得，，

所以.

（2）由（1）知，，，

则，

令为的前项和，

则即.

（3）因为，，

，

所以，

故恒成立，

设，

当时，；

当时，，即，

所以，即，

所以，

所以恒成立，

即恒成立，

因为，当且仅当，即时等号成立，

所以，故的最大值为2.

22．(1)答案见解析

(2)

（1）依题意，得.

当时，，所以在单调递增.

当时，令，可得；

令，可得，

所以在单调递增，在单调递减.

综上所述，当时，在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减.

（2）因为当时，，所以，

即，

即，

即.

令，则有对恒成立.

因为，所以在单调递增，          

故只需，

即对恒成立.

令，则，令，得.

当时，，当时，，

所以在单调递增，在单调递减，

所以.

因此，所以.