2022-2023学年福建省莆田第十五中学高一下学期期中测试数学试题含答案

2022-2023学年福建省莆田第十五中学高一下学期期中测试数学试题

一、单选题

1．已知某圆柱的内切球半径为，则该圆柱的侧面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由题意可得该圆柱底面圆的半径为，圆柱的高为7，从而可求出其侧面积．

【详解】由题意得，该圆柱底面圆的半径为，圆柱的高为7，

所以该圆柱的侧面积为．

故选：B．

2．复数为虚数单位的模为（    ）

A．1 B．2 C． D．

【答案】C

【分析】应用复数除法化简复数，即可得模.

【详解】，故模为.

故选：C

3．在中，若，则（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【分析】由正弦定理得，根据边角关系求目标式的值即可.

【详解】由题设，

所以.

故选：D

4．已知向量=(2，3)，=(－1，2)，若与平行，则实数m等于

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由题意首先求得向量与的坐标，然后由向量平行的坐标表示求解．

【详解】由题意可得：，，

结合向量平行的充分必要条件有：，

解得：.

故选：D.

5．已知a，b为两条直线，，为两个平面，且满足，，，//，则“a与b异面”是“直线b与l相交”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】根据空间中线、面关系结合充分、必要条件分析判断.

【详解】若“a与b异面”，反证：直线b与l不相交，由于，则//，

∵//，则//，

这与a与b异面相矛盾，故直线b与l相交，

故“a与b异面”是“直线b与l相交”的充分条件；

若“直线b与l相交”，反证：若a与b不异面，则a与b平行或相交，

①若a与b平行，∵//，则//，这与直线b与l相交相矛盾；

②若a与b相交，设，即，

∵，，则，

即点A为，的公共点，且，

∴，

即A为直线a、l的公共点，这与//相交相矛盾；

综上所述：a与b异面，即“a与b异面”是“直线b与l相交”的必要条件；

所以“a与b异面”是“直线b与l相交”的充分必要条件.

故选：C.

6．若的直观图如图所示，，，则顶点到轴的距离是（    ）

A．2 B．4 C． D．

【答案】D

【分析】过点作轴交于点，求得，结合斜二测画法的规则，得到点到的距离即为，即可求解.

【详解】如图（1）所示，在的直观图中，过点作轴交于点，

又因为且，可得，

作出直角坐标系中，作出的图形，如图（2）所示，

根据斜二测画法的规则，可得轴，即点到的距离即为.

故选：D.

7．已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，且，，，则球的体积是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】将三棱锥放入长方体中，设长方体的长宽高分别为，确定，得到球半径，计算体积得到答案.

【详解】将三棱锥放入长方体中，设长方体的长宽高分别为，如图所示：

则，故，球的半径，

故体积为.

故选：D

8．我国古代数学名著《九章算术》中有这样一数学用语“堑堵”，意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，现有一如图所示的堑堵，，的接圆半径为，已知三棱柱内有一球体与三个侧面都相切（三棱柱的高足够 大），该球的直径的最大值为（   ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由已知求得的斜边长，由等面积法可得三角形内切球半径与两直角边的关系，设，可得两直角边长，代入后换元，利用三角函数求最值

【详解】解：在直三棱柱中，，

所以为直角三角形，

因为的接圆半径为，所以，

设的内切球的半径为，，，

所以，得，

再设，则，

所以，

设，，则，

所以，

所以，

所以该球的直径的最大值为，

故选：D

【点睛】此题考查多面体内切球直径最大值的求法，考查空间想象能力和运算能力，属于中档题

二、多选题

9．若是关于的方程的一个复数根，则（    ）

A．

B．

C．的共轭复数为

D．关于的方程的另一个复数根为

【答案】AB

【分析】代入根计算得到，再根据复数的模，共轭复数的定义依次判断每个选项即可.

【详解】是方程的一个复数根，则，

整理得到，故，解得，

对选项A：，正确；

对选项B：，正确；

对选项C：，共轭复数为，错误；

对选项D：，解得或，错误.

故选：AB

10．如图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中，以下四个命题中，正确的是（    ）

A．

B．

C．与为异面直线

D．DM与BN为异面直线

【答案】BCD

【分析】把平面展开图还原成原几何体，再由正方体的结构特征及异面直线定义核对四个命题得答案.

【详解】作出正方体的直观图，如图，

由直观图可知与为互相垂直的异面直线，故A错误；

，故B正确；

由异面直线的定义可知，与为异面直线，与是异面直线，故C正确，D正确.

故选：BCD．

11．已知正四面体的棱长为，则（    ）．

A．四面体的内切球半径为

B．四面体的表面积为

C．四面体的体积为

D．四面体的外接球半径为

【答案】BD

【分析】A选项，由体积法求内切球半径；

B选项，正四面体的表面积等于其四个面的面积之和，且每一个面都是正三角形，利用正三角形的面积公式求解即可；

C选项，由底面积和高求四面体的体积；

D选项、将正四面体，补成正方体，则正四面体的棱为正方体的面上对角线，根据正四面体外接球求出外接球的半径的即可．

【详解】正四面体的各棱长为，表面积等于其四个面的面积之和，且每一个面都是正三角形，

所以正四面体的表面积．故B选项正确；

如图，为中点，设在底面的投影为，为的中心，

正四面体各棱长为，则，，，

四面体的体积为，故C选项错误；

正四面体的表面积为，体积为，设正四面体的内切球半径为r，

则有，即，解可得，A选项错误；

将正四面体，补成正方体，则正四面体的棱为正方体的面上对角线，

正四面体的棱长为，正方体的棱长为，

正四面体的外接球，就是以正四面体的棱为面对角线的正方体的外接球，球的直径就是正方体的对角线的长，

所以正方体的对角线为，，．故D选项正确．

故选：BD．

12．软木锅垫一般用于餐厅、咖啡厅、酒店等公共饮食场所，可作广告饰品以提高形象．杯垫透气、无毒、无异味、防水防潮、耐油耐酸、弹性环保，具有耐冲击、不变形、耐用等特点．正、反面可加置印刷公司LOGO、图片、产品、广告、联系方式等，更接近人们的生活，较强的摩擦力可以防止玻璃、瓷杯滑落，亦可保护桌面不被烫坏．如图，这是一个边长为10厘米的正六边形的软木锅垫，则下列选项正确的是（    ）

A．向量与向量是相等向量 B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】根据相等向量的定义判断A，根据数量积的定义判断B，C，根据向量的线性运算定义求，再解三角形求其大小，判断D.

【详解】对于A，由图可得向量与向量方向相同，大小相等，

所以向量与向量相等向量，A正确．

对于B，由图易得向量与向量的夹角为，则，B错误．

如图，因为， ，，

则，C正确．

因为为正三角形，所以根据平行四边形法则得，

与共线且同方向，又均为含角的直角三角形，所以，

，

所以，

，D正确．

故选：ACD.

三、填空题

13．表面积为24的正方体的顶点都在一个球面上，则该球的体积为            ．

【答案】

【分析】设正方体的棱长为a，求出的值，设球的半径为R，求出R即得解.

【详解】解：设正方体的棱长为a，则，得．

设球的半径为R，则，即．所以球的体积．

故答案为：

14．如图，在正六边形ABCDEF中，向量在向量上的投影向量是，则         ．

【答案】/－0.5

【分析】由在向量上的投影向量公式计算即可.

【详解】设正六边形边长为1，则与的夹角为 ，

故在向量上的投影向量为，

所以.

故答案为：

15．广州国际金融中心大楼，简称“广州IFC”，又称“广州西塔”，位于广东省广州市，为地处天河中央商务区的一栋摩天大楼，东面珠江公园，南邻珠江和广州塔，西近广州大道，北望天河体育中心与白云山.小胜为测量其高度，在点处测得广州国际金融中心大楼顶端处的仰角为，在点处测得广州国际金融中心大楼顶端处的仰角为，在点处测得广州国际金融中心大楼顶端处的仰角为，其中，，三点共线且与广州国际金融中心大楼底部在同一水平高度，已知米，则广州国际金融中心大楼的高度为      米.

【答案】435

【分析】作出图形，设，由余弦定理求出和，利用可求得．

【详解】如图是塔底，显然与垂直，

，，，

设，则，，，

由余弦定理得，，

因为，，即，

所以，

即，解得．

故答案为：435.

16．已知等腰中，底边长为2，腰长为为所在平面内一点，则的最小值是          .

【答案】

【分析】若为的中点，构建如下直角坐标系，令，，由并应用数量积的坐标表示求最小值即可.

【详解】若为的中点，构建如下直角坐标系，令，，如下图示，

由，则，

而，则，

所以，当时，的最小值为.

故答案为：

四、解答题

17．已知复数

(1)求；

(2)求.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）法1：设，利用复数乘法及复数相等列方程求参数即可；法2：应用复数除法求；

（2）利用复数除法化简即可.

【详解】（1）法1：设，，

所以，则，故；

法2：；

（2）由（1）知：

18．正方体中，、分别为、的中点，、分别是、的中点．

(1)求证：E、F、B、D共面；

(2)求证：平面平面．

【答案】(1)证明见详解

(2)证明见详解

【分析】（1）根据题意证明，即可得结果；

（2）根据线面、面面平行的判定定理分析证明.

【详解】（1）连接，由题意可得：分别为的中点，则，

∵，，则为平行四边形，

∴，

则，故E、F、B、D共面.

（2）由题意可得：分别为的中点，则，

∵，则，且平面，平面，

∴平面，

连接，由题意可得：分别为的中点，则，，

∵，，则，，即为平行四边形，

∴，

平面，平面，

∴平面，

，平面，

故平面平面.

19．六角螺帽也叫做六角螺母，一般螺帽有很多种类，有六角螺帽，有圆螺帽，方型螺帽等等，而不同种类的螺帽也有不同的尺寸标准.已知某种六角螺帽是一个在正六棱柱内部挖去一个圆柱得到的几何体，它的尺寸（单位：cm）如图所示.

(1)求该六角螺帽的体积；

(2)求该六角螺帽的表面积.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）六角螺帽的体积为正六棱柱的体积减去圆柱的体积，计算即可.

（2）根据棱柱和圆柱的表面积公式计算六角螺帽的表面积得到答案.

【详解】（1）六角螺帽的体积为正六棱柱的体积减去圆柱的体积，

，

（2）六角螺帽的表面积：

.

20．已知点求

(1)的模；

(2)的面积.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由，得到的坐标，进而得到的坐标求解；

（2）利用夹角公式求得，进而得到，然后利用三角形面积公式求解.

【详解】（1）解：因为，

所以，

所以

.

（2）因为，

所以，

，

所以，

.

21．如图，在平面四边形中，，，.

(1)求的大小；

(2)求边的长度.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用三角形的内角和定理及正弦定理，结合三角函数的特殊值对应的特殊角注意角的范围即可求解；

（2）根据（1）的结论及余弦定理即可求解.

【详解】（1）因为，

所以，即.

因为，

所以，

在中，由正弦定理得,即,

所以或.

因为，

所以，

所以.

（2）由（1）知，，

所以,

在中，,

由余弦定理得,即,

所以.

22．已知在锐角中，定义向量且

(1)求角B；

(2)求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用向量平行的充要条件和同角三角函数的基本关系可得，进而求解即可；

（2）结合（1）知，然后利用三角函数的图象和性质即可求解.

【详解】（1）由得，

，，

（2）由（1）知，

，

，，

，