2022-2023学年福建省莆田市第十五中学、十八中学高二上学期期中联考数学试题（解析版）

2022-2023学年福建省莆田市第十五中学、十八中学高二上学期期中联考数学试题

一、单选题

1．已知直线，则（    ）

A．直线l的倾斜角为 B．直线l的斜率为

C．直线l的一个方向向量为 D．直线l的一个法向量为

【答案】C

【分析】将直线化为点斜式，得到斜率即可判断.

【详解】将直线化为，

直线l的斜率为，故B不正确；

因为倾斜角的范围为，所以直线l的倾斜角为，故A不正确；

因为直线l的一个方向向量为(1，k)=，所以C正确；D不正确.

故选：C

2．一道竞赛题，，，三人可解出的概率依次为，，，若三人独立解答，则仅有1人解出的概率为（    ）

A． B．

C． D．1

【答案】B

【解析】根据题意，只有1人解出，则分三类，一是A解出而其余两人没有解出，一是B解出而其余两人没有解出，一是C解出而其余两人没有解出，每一类用独立事件概率的乘法公式求解，然后这三类用互斥事件概率的加法求解.

【详解】.

故选：B

【点睛】本题主要考查了独立事件的概率和互斥事件的概率，还考查了理解辨析问题的能力，属于基础题.

3．已知直线：，则以下四个情况中，可以使的图象如下图所示的为（    ）

A．，， B．，，

C．，， D．，，

【答案】D

【分析】由直线方程求出直线在坐标轴上的截距，再根据图象列不等式可求得结果.

【详解】由，当时，，

当时，，

由图可知，

所以当时，，当时，，

所以ABC错误，D正确，

故选：D

4．在等比数列中，，则（    ）

A．4 B．8 C．16 D．32

【答案】A

【分析】根据求出，再根据可得答案.

【详解】设等比数列的公比为，

由，可得q＝2，所以.

故选：A.

5．公差不为的等差数列中，，则的值不可能是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由等差数列下标和性质可得，由此可得所有可能的取值，进而确定所有可能的结果.

【详解】由等差数列性质知：若，则，

又，，或或或或或或或或或，

可能的值为或或或或.

故选：C.

6．《史记》中讲述了田忌与齐王赛马的故事，其中，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马，若双方各自拥有上等马、中等马、下等马各1匹，且双方各自随机选1匹马进行1场比赛，则田忌的马获胜的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】本题先将所有的基本事件都列出来共9种，再将田忌的马获胜的事件选出共3种，最后计算概率即可.

【详解】解：设田忌的上等马为，中等马为：，下等马为，齐王的上等马为，中等马为：，下等马为，双方各自随机选1匹马进行1场比赛产生的基本事件为：，，，，，，，，，共9种；其中田忌的马获胜的事件为：，，，共3种，所以田忌的马获胜的概率为：.

故选：C.

【点睛】本题考查古典概型，是基础题.

7．已知直线是圆的一条对称轴，过点向圆作切线，切点为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由题设过圆心，即可得，再应用切线长的求法求.

【详解】由题设圆心在直线上，

所以，即，故，而圆的半径为，

所以.

故选：A

8．在数列中，，，，，则（    ）

A．0 B．1 C． D．

【答案】A

【分析】根据，可得，则数列是以6为周期的周期数列，再求出，即可得解.

【详解】解：由，得，

两式相除可得，

所以数列是以6为周期的周期数列，

又，

所以．

故选：A．

二、多选题

9．某社区开展“防疫知识竞赛”，甲､乙两人荣获一等奖的概率分别为p和q，两人是否获得一等奖相互独立，则这两人中至少有一人获得一等奖的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【分析】令且A、B相互独立，从正反两个角度，利用事件的关系及含义表示出两人中至少有一人获得一等奖，进而求出其概率即可.

【详解】记A为“甲获得一等奖”，B为“乙获得一等奖”，则且A、B相互独立.

从正面考虑，甲､乙两人中至少有一人获得一等奖为，为三个互斥事件，

所以；

从反面考虑，事件“甲､乙两人中至少有一人获得一等奖”的对立事件是“甲､乙两人都没获得一等奖”，即事件，易得，

所以“这两人中至少有一人获得一等奖”的概率为，

综上，A、D正确.

故选：AD

10．已知等比数列{}中，满足，，则（    ）

A．数列{}是等比数列 B．数列是递增数列

C．数列是等差数列 D．数列{}中，仍成等比数列

【答案】AC

【分析】先利用等比数列通项公式求出，从而得到，利用等比数列的定义判断A选项；得到，判断出为递减数列；求出，利用等差数列定义判断C选项，计算出，利用得到不成等比数列.

【详解】由题意得：，所以，则，

所以数列{}是等比数列，A正确；

，所以，且，故数列是递减数列，B错误；

，所以，C正确；

，

因为，故数列{}中，不成等比数列，D错误.

故选：AC

11．设直线与，则（    ）

A．当时， B．当时，

C．当时，l、n间的距离为 D．坐标原点到直线n的距离的最大值为

【答案】ACD

【分析】利用直线平行、垂直的判定判断A、B；由直线平行求参数a，再代入验证，进而应用平行线距离公式求距离，由点线距离公式和二次函数性质求原点到直线n的距离最值，即可判断C、D.

【详解】A：时，，，易知，正确；

B：时，，，则，故不成立，错误；

C：时，，则，可得或，

当时，，，两线重合，排除；

所以，由A知：它们的距离，正确；

D：坐标原点到直线n的距离，故时，正确.

故选：ACD

12．设有一组圆，下列命题正确的是（    ）．

A．不论如何变化，圆心始终在一条直线上

B．所有圆均不经过点

C．经过点的圆有且只有一个

D．所有圆的面积均为

【答案】ABD

【分析】求出圆心坐标和半径后可判断A、D的正误，将B、C选项中的点代入圆的方程得到关于的方程，通过方程的有解与否可判断B、C的正误，

【详解】圆心坐标为，在直线上，A正确；

令，化简得，

∵，∴，无实数根，∴B正确；

由，化简得，

∵，有两不等实根，∴经过点的圆有两个，C错误；

由圆的半径为2，得圆的面积为，D正确．

故选：ABD．

【点睛】本题考查动圆的性质，注意动圆中隐含的确定关系，另外判断动圆是否过确定的点，可转化为方程是否有解来讨论，本题属于中档题.

三、填空题

13．过点且与直线平行的直线一般式方程是_____．

【答案】

【分析】设所求直线为，代入点即可得答案.

【详解】设所求直线为，

将代入得：

故所求直线方程为.

故答案为：

14．若点为圆上的一个动点，则点到直线距离的最大值为________．

【答案】7

【分析】根据给定条件求出圆C的圆心C到直线l的距离即可计算作答.

【详解】圆的圆心，半径，

点C到直线的距离，

所以圆C上点P到直线l距离的最大值为.

故答案为：7

15．设袋子中装有3个红球，2个黄球，1个篮球，规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个篮球得3分，现从该袋子中任取（有放回，且每球取得的机会均等）2个球，则取出此球所得分数之和为3分的概率为__．

【答案】．

【详解】得分数之和为3分，可能是先取出一个红球，再取出一个黄球，或者先取出一个黄球再取出一个红球，由条件知取出红球的概率为，取出黄球的概率为，故得三分的概率为

故答案为.

四、解答题

16．某种零件按质量标准分为五个等级.现从一批该零件中随机抽取个，对其等级进行统计分析，得到频率分布表如下：

（Ⅰ）在抽取的个零件中，等级为的恰有个，求；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，从等级为和的所有零件中，任意抽取个，求抽取的个零

件等级恰好相同的概率.

【答案】(1),；（2）.

【详解】试题分析：（1）频率为频数除以样本容量，且一组数据中频率之和为1；（2）先求出等级为3和5的各自数量，然后枚举法求概率.

试题解析：（1）由题意知样本容量为20，因为等级为5的有2个，所以，故 .

（2）等级为3的有0.15×20=3个，设为，等级为5的有2个，设为

由枚举得，共有，，10种取法，抽取的2个产品等级恰好相同的取法有，，4种，故概率为.

【解析】频率、古典概型概率计算.

17．已知两条直线，．

（1）求证：直线过定点，并求出该定点的坐标；

（2）若，不重合，且垂直于同一条直线，将垂足分别记为A，B，求；

（3）若，直线l与垂直，且________，求直线l的方程．

从以下三个条件中选择一个补充在上面问题中，使满兄条件的直线l有且仅有一条，并作答．

条件①：直线l过坐标原点；

条件②：坐标原点到直线l的距离为1；

条件③：直线l与交点的横坐标为2．

【答案】（1）证明见解析；定点的坐标；（2）；（3）答案见解析．

【分析】（1）利用恒等式可得直线所过的定点；

（2）由条件可知两直线平行，代入两平行线间距离公式计算即求；

（3）由垂直的直线斜率乘积为，可得直线l的斜率，再结合所选条件即求．

【详解】（1）证明：由直线变形得：，

该式为恒等式，故

所以，，

∴直线过定点，该定点的坐标为.

（2）因为，不重合，且垂直于同一条直线，

所以，，

所以有，

从而．

即：

，即：，

所以．

（3）∵，直线l与垂直，

∴直线，

可得直线的斜率为2，则直线l的斜率为，

选①：直线l过坐标原点．

故直线l的方程为：即；

选②：坐标原点到直线l的距离为1，

设直线l的方程为，

由，得，

所以直线l的方程为：；

选③：直线l与交点的横坐标为2，

又，可知交点为，

所以直线l的方程为：，即.

18．设是等差数列，，且，，成等比数列．

(1)求数列的通项公式；

(2)记的前项和为，求当为何值时，取得最小值.

(3)求数列的前项和的值.

【答案】(1)

(2)或

(3)

【分析】（1）根据等比数列定义，结合等差数列通项公式可构造方程求得的公差，进而可求得；

（2）利用等差数列求和公式可表示出，根据的二次函数性可确定取得最小值时的取值；

（3）由等差数列定义可证得数列是以为首项，为公差的等差数列，由等差数列求和公式可求得结果.

【详解】（1），，成等比数列，，

设等差数列的公差为，则，解得：，

.

（2）由（1）得：，

当或时，取得最小值.

（3），，

是以为首项，为公差的等差数列，.

19．矩形ABCD的两条对角线相交于点，AB边所在直线的方程为，点在AD边所在直线上.

(1)求AD边所在直线的方程；

(2)求矩形ABCD外接圆的方程；

(3)若点P为矩形ABCD外接圆上一动点，求点与点P距离的最小值.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）根据直线关系，建立斜率方程，求得对应斜率，利用点斜式公式，可得答案；

（2）根据矩形外接圆的性质，利用直线求交点，求得圆的半径和圆心，可得答案；

（3）先明确点与圆的位置关系，利用该点与圆心的距离与半径，可得答案.

【详解】（1）AD边所在直线与AB边所在直线垂直，所以，因为AB边所在直线的方程为，即，所以，又因为点在AD边所在直线上，所以AD边所在直线的方程为：，化简为：

（2）AB边所在直线与AD边所在直线相交于点A，联立得：，解得：，即，所以矩形ABCD外接圆的半径，所以矩形ABCD外接圆的方程为：

（3）因为.，点T在圆外,所以最小值为=

20．已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线相切．

（1）求圆的方程；

（2）设直线与该圆相交于两点，求实数a的取值范围；

（3）在（2）的条件下，是否存在实数a，使得过点的直线l垂直平分弦？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2）；（3）存在实数，理由见解析.

【解析】（1）设圆心为M（m，0），根据相切得到，计算得到答案.

（2）把直线ax﹣y+5＝0，代入圆的方程，计算△＝4（5a﹣1）2﹣4（a2+1）＞0得到答案.

（3）l的方程为，即x+ay+2﹣4a＝0，过点M（1，0），计算得到答案.

【详解】（1）设圆心为M（m，0）（m∈Z）．由于圆与直线4x+3y﹣29＝0相切，且半径为5，

所以 ，即|4m﹣29|＝25．因为m为整数，故m＝1．

故所求圆的方程为（x﹣1）2+y2＝25．

（2）把直线ax﹣y+5＝0，即y＝ax+5，代入圆的方程，消去y，

整理得（a2+1）x2+2（5a﹣1）x+1＝0，

由于直线ax﹣y+5＝0交圆于A，B两点，故△＝4（5a﹣1）2﹣4（a2+1）＞0，

即12a2﹣5a＞0，由于a＞0，解得a，所以实数a的取值范围是（）．

（3）设符合条件的实数a存在，则直线l的斜率为，

l的方程为，即x+ay+2﹣4a＝0，

由于l垂直平分弦AB，故圆心M（1，0）必在l上，

所以1+0+2﹣4a＝0，解得．由于，

故存在实数，使得过点P（﹣2，4）的直线l垂直平分弦AB.

【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，意在考查学生的计算能力和转化能力.

21．已知数列的前n项和公式为．

(1)求证：数列是等比数列；

(2)令，求数列的前n项和；

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）利用之间的关系，求得的关系，根据等比数列的定义，即可证明；

（2）根据（1）中所求，求得，对进行分类讨论，结合等比数列的前项和公式，即可求得结果.

【详解】（1）数列的前n项和，，

则当时，，即，

当时，，解得，

所以数列是以首项为2，公比为2的等比数列.

（2）由（1）知，，，，

当n为偶数时，，

于是得，

当n为奇数时，，

所以.

五、双空题

22．已知等比数列的前n项和，那么______，______．

【答案】     11    

【分析】第一空，根据等比数列的前n项和公式，可求得数列的通项公式，即可求得答案；第二空，说明数列是等比数列，首项为1，公比为4，根据等比数列的前n项和公式求得答案.

【详解】当时，，

当时，，

当时符合上式，所以，

所以;

因为，所以当时，，又，

所以数列是等比数列，首项为1，公比为4，

所以．

故答案为：11；