2022-2023学年福建省莆田市第十五中学、十八中学高一上学期期中联考数学试题（解析版）

2022-2023学年福建省莆田市第十五中学、十八中学高一上学期期中联考数学试题

一、单选题

1．设是实数，则“”是“”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】解出，判断它的解集与之间的关系即可得选项

【详解】由得：={或}，令，

所以是的真子集 ，则“”是“”的充分而不必要条件.

故选：A.

2．设集合，，若，则的范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由，得，从而可求出的范围.

【详解】因为，所以，

因为，，

所以，

故选：B

3．不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】将分式不等式化为整式不等式，结合一元二次不等式的解法运算求解.

【详解】∵，则，解得

故不等式的解集为

故选：D.

4．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若 ，则下列命题正确的是（   ）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则

【答案】D

【分析】举反例，取，可判断 ,取可判断B；根据不等式性质可判断D.

【详解】取 ，满足，但，A错误；

当 ，若，则，B错误；

取 ，满足，但，C错误；

若，则 ，故，

所以，故D正确，

故选:D.

5．下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据基本初等函数的单调性与奇偶性判断即可.

【详解】解：对于A：为奇函数，但是函数在和上单调递减，在定义域上不具有单调性，故A错误；

对于B：为非奇非偶函数，在定义域上单调递减，故B错误；

对于C：为奇函数，且在定义域上单调递增，故C正确；

对于D：为偶函数，在上单调递增，在上单调递减，故D错误；

故选：C

6．设函数 ，若，则实数（    ）

A．2 B． C．或2 D．

【答案】C

【分析】根据分段函数的解析式，分段求解方程，可得a的值，即得答案.

【详解】由于，

故当时，，则，

当时，令，则，

故实数或，

故选：C

7．下列函数的最小值为2的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据基本不等式及对勾函数的性质逐项分析即得.

【详解】对于A，当时，函数没有最小值，故A错误；

对于B，，因为，

根据对勾函数的性质可得，故B错误；

对于C，因为，，所以，当且仅当取等号，故C正确；

对于D，，当且仅当取等号，又，故等号不成立，故D错误.

故选：C.

8．定义域为R的奇函数在区间上单调递减，且，则满足的x的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据函数的奇偶性和单调性求解不等式即可.

【详解】因为定义在R上的奇函数在区间上单调递减，且，

所以在区间上也是单调递减，

且，

所以当时，，

当时，，

由可得或

解得或，

所以满足的x的取值范围是．

故选：D

二、多选题

9．已知集合，，若，则实数的值可能是（    ）

A． B．0 C．1 D．2

【答案】ABC

【分析】分、、三种情况讨论，分别求出集合，再根据，求出参数的取值范围；

【详解】解：因为，且，

当时，显然满足题意，

当时，因为，所以，解得，

当时，显然满足题意，

综上可得；

故选：ABC

10．下列函数中满足“对任意，，且，都有”的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BCD

【分析】根据给定条件，确定函数的单调性，再逐项判断作答.

【详解】函数满足“对任意，，且，都有”，则有函数在上单调递增，

函数在上单调递减，A不是；

函数在上单调递增，B是；

函数在上单调递增，C是；

函数在上单调递增，D是.

故选：BCD

11．已知关于x的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（    ）

A． B．

C．的解集是 D．的解集是或

【答案】AD

【分析】由题意可得的两个根为和4，且，则有，表示出，再逐个分析判断即可.

【详解】因为关于x的不等式的解集为或，

所以的两个根为和4，且，

所以，得，

所以A正确，

对于B，因为，所以，所以B错误，

对于C，因为，所以可化为，因为，所以，得，所以的解集为，所以C错误，

对于D，因为，所以可化为，因为，所以，，得或，所以原不等式的解集为或，所以D正确，

故选：AD

12．函数 ，则下列结论正确的是（    ）

A．定义域为 B．的值域是

C．方程的解为 D．方程的解为

【答案】AC

【分析】根据的解析式可判断函数的定义域以及值域，判断A,B;讨论x为有理数或无理数，从而确定方程和的解，判断C,D.

【详解】由于函数，定义域为，A对；

函数的值域为，故B错；

当x为有理数时，，故方程即方程，则，

当x为无理数时，，故方程即方程，则，矛盾，

故方程的解为，∴C对；

当x为有理数时，，故方程即，即，

则x为有理数，

当x为无理数时，，故方程即方程，即，

则x为有理数，矛盾，

故的解为全体有理数，∴D错.

故选：AC.

三、填空题

13．命题“，”的否定是________．

【答案】，

【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．

【详解】因为特称命题的否定是全称命题，所以：命题“，”的否定是：“，”.

故答案为：，.

14．函数的定义域为______．

【答案】

【分析】根据二次根式有意义的条件及分母不为0得不等式组，解之可得．

【详解】解：由题意得：

，

解得：且，

所以函数的定义域为．

故答案为：．

15．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则_______．

【答案】18

【分析】由函数的奇偶性可知，代入函数解析式即可求出结果.

【详解】函数是定义在上的奇函数，，则，

.

故答案为：18

16．若集合有且仅有两个子集，则实数k的值是_______.

【答案】－1或

【分析】依据题意可知A中只有一个元素，然后分，讨论计算即可.

【详解】由条件，知A中只有一个元素．

当时，．

当时，，解得，此时．

综上所述，实数k的值为或．

故答案为：－1或

四、解答题

17．集合 ．

(1)若，求；

(2)若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围．

【答案】(1)，；

(2).

【分析】（1）根据的值确定集合，然后根据交集与并集的定义即可求解出答案；

（2）由题意，可得，根据集合的包含关系列不等式组求解即可得答案.

【详解】（1）当时，，又 ，

所以，；

（2）因为是的必要不充分条件，所以，即，

所以有 ，解得，经验证时，符合题意，

所以实数m的取值范围为.

18．解下列关于x的不等式，并将结果写成集合或区间的形式.

(1)；

(2).

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）根据一元二次不等式的解法进行求解即可；

（2）根据分式的运算性质，结合一元二次不等式的解法进行求解即可.

【详解】（1），

一元二次方程的两个根为，

所以的解集为

因此原不等式的解集为；

（2）由，或，

所以原不等式的解集为

19．求下列式子的最小值

(1)已知，，且，求的最小值；

(2)已知，求的最小值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值；

（2）将函数解析式变形为，利用基本不等式可求得原函数的最小值.

【详解】（1）解：由题意可得，

当且仅当时，等号成立，故的最小值为.

（2）解：因为，则，

所以，，

当且仅当时，等号成立，故的最小值为.

20．已知是二次函数，满足且.

(1)求的解析式；

(2)当时，求不等式的解集.

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】(1) 设函数，

【详解】（1）设函数，由且列出方程组求解;(2)分类讨论解一元二次不等式.

因为，可得，

所以，

又，得，

即，

对于任意的x成立，则有解得,

∴.

（2）当时，由得

，即

①当时，不等式的解集为,

②当时，变形为

若时，，不等式的解集为

若时，，不等式的解集为；

若时，，不等式的解集为

综上所述，当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为

21．已知函数的定义域为，满足且.

(1)求函数的解析式；

(2)用定义法证明函数在上单调递增；

(3)解不等式.

【答案】(1)；

(2)证明见解析；

(3).

【分析】（1）根据化简可得，利用求得，即得函数解析式；

（2）按照函数单调性的定义即可证明结论；

（3）结合函数性质将不等式化为，再利用函数单调性结合定义域可得不等式组，求得答案.

【详解】（1）由可得，可得，解得，

，，故.

（2）证明：任取、且，即，则，，

所以，，

则，所以，函数在上为增函数.

（3）由可得，

结合函数单调性可得，解得或，

因此，不等式的解集为.

22．为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2022年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量（即该厂的年产量）万件与年促销费用（）万元满足（为常数）．如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件．已知2022年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分）．

(1)求常数的值；

(2)将该厂家2022年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数（利润总销售额产品成本年促销费用）；

(3)该厂家2022年的年促销费用投入多少万元时厂家利润最大？

【答案】(1)

(2)

(3)2022年的年促销费用投入2.5万元时，该厂家利润最大

【分析】（1）依题意当时代入计算可得；

（2）依题意得到，再将代入计算可得；

（3）由（2）可得，利用基本不等式计算可得.

【详解】（1）解：由题意可知，当时，所以，解得；

（2）解：由于，故，

∴

；

（3）解：由（2）知：   

当且仅当，即时取等号.   

所以当2022年的年促销费用投入万元时，该厂家利润最大.