2022-2023学年福建省漳州市第二中学高一下学期期中考试数学试题含答案

2022-2023学年福建省漳州市第二中学高一下学期期中考试数学试题

一、单选题

1．设复数，则（    ）

A． B． C．3 D．5

【答案】A

【分析】求得后再求模长即可.

【详解】，故.

故选：A

2．已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，则（    ）

A．30° B．45° C．150° D．30°或150°

【答案】A

【分析】运用正弦定理，结合三角形大边对大角的性质进行求解即可.

【详解】因为，，，所以由正弦定理可得，所以或150°．因为，所以，所以．

故选：A

3．已知向量，，，若，则实数m的值是（    ）

A．－10 B．－8 C．10 D．8

【答案】A

【分析】利用向量的坐标运算即可.

【详解】

；

故选：A.

4．已知，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先利用倍角公式将条件变形，然后结合列方程组求解.

【详解】,

①,

又②，

由①②得.

故选：D.

5．已知△ABC的外接圆圆心为O，且，，则向量在向量上的投影向量为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由题意作出符合题意的图形，判断出OBAC为菱形,直接得到向量在向量上的投影向量.

【详解】如图示：

因为△ABC的外接圆圆心为O，，，

所以,所以△AOC为等边三角形，所以OBAC为菱形，

所以.

所以向量在向量上的投影向量为.

故选：B

6．已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位长度后，所得到的函数的图象关于原点对称，则的值可能为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用图象求出函数的解析式，利用三角函数图象变换可得出函数的解析式，利用函数的对称性可求得的表达式，即可得出结果.

【详解】由图可得，函数的最小正周期为，则，

因为，可得，

因为且函数在附近单调递增，故，所以，，

将函数的图象向右平移个单位长度后，可得到函数的图象，

则，

因为函数的图象关于原点对称，则，解得，

当时，，

故选：B.

7．已知的顶点坐标分别为、、，则的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用平面向量数量积的坐标运算可求得的值，再利用同角三角函数的基本关系求出的值，最后利用三角形的面积公式可求得的面积.

【详解】因为的顶点坐标分别为、、，则，，

所以，，则为锐角，

所以，，

因此，.

故选：B.

8．已知平面向量，，其中，，的夹角是，若为任意实数，则的最小值为（    ）

A．1 B． C． D．2

【答案】C

【分析】根据给定条件，作出几何图形，利用图形结合向量的几何意义求出最小值作答.

【详解】依题意，作，使，如图，

显然对，的终点的轨迹是线段确定的直线，

于是为点与直线上的点的距离，过作线段于，

所以.

故选：C

二、多选题

9．已知正四棱台上、下底面边长分别为，侧棱长为，则（    ）

A．正四棱台的高为 B．正四棱台的斜高为

C．正四棱台的表面积为 D．正四棱台的体积为

【答案】BCD

【分析】由正四棱台的结构特征可知其高即为对角面的等腰梯形的高，斜高即为侧面等腰梯形的高，由上下底长度和腰长可确定AB正误；根据棱台表面积和体积的求法可确定CD正误.

【详解】对于A，正四棱台上下底面对角线长为，

正四棱台的高，A错误；

对于B，正四棱台的斜高，B正确；

对于C，正四棱台侧面积为，上下底面面积分别为，

正四棱台的表面积，C正确；

对于D，正四棱台的体积，D正确.

故选：BCD.

10．如图（1），筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今在农业生产中仍得到使用.如图（2），一个筒车按照逆时针方向旋转，筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：m）（在水下则为负数）、与时间（单位：s）之间的关系是，则下列说法正确的是（    ）

A．筒车的半径为3m，旋转一周用时30s

B．筒车的轴心距离水面的高度为

C．时，盛水筒处于向上运动状态

D．盛水筒出水后至少经过20s才可以达到最高点

【答案】BD

【分析】根据振幅和最小正周期可确定A错误；利用可知B正确；根据正弦型函数单调性的判断方法可知C错误；令，由正弦型函数的值可构造方程求得，进而得到，知D正确.

【详解】对于A，的振幅为筒车的半径，筒车的半径为；

的最小正周期，旋转一周用时，A错误；

对于B，，筒车的半径，筒车的轴心距离水面的高度为，B正确；

对于C，当时，，此时单调递减，

盛水筒处于处于向下运动的状态，C错误；

对于D，令，，

，解得：，

又，当时，，即盛水筒出水后至少经过才可以达到最高点，D正确.

故选：BD.

11．下列说法中正确的为（    ）

A．若，则

B．向量，不能作为平面内所有向量的一组基底

C．已知，，且与的夹角为锐角，则实数取值范围为

D．非零向量和满足，则与的夹角为

【答案】ABD

【分析】对于A，根据数量积的定义分析判断，对于B，由基底的定义分析判断，对于C，由且与不共线可求得取值范围，对于D，设，平方化简可求出，然后利用向量的夹角公式可求得结果.

【详解】对于A，因为，所以，所以A正确，

对于B，因为，，所以，所以向量，不能作为平面内所有向量的一组基底，所以B正确，

对于C，因为，，所以，

因为与的夹角为锐角，所以且与不共线，

由，得，得，

由与共线，得，得，

所以当且时，与的夹角为锐角，所以C错误，

对于D，因为非零向量和满足，所以设，

所以，得，

所以，

设与的夹角为，则，

因为，所以，所以与的夹角为，所以D正确.

故选：ABD

12．中，内角，，的对边分别为，，，已知，点是边上的动点，则下列说法正确的是（    ）

A．

B．

C．若，则

D．若，则的最小值为

【答案】ACD

【分析】设，求出比例即可判断A选项；由余弦定理得，结合向量数量积即可判断B选项；由向量的线性运算得即可判断C选项；取中点，由求出最小值即可判断D选项.

【详解】

设，则，三式联立解得，对于A，，A正确；

对于B，，则，B错误；

对于C，若，则，则，

即，即，则，，C正确；

对于D，若，则，取中点，连接，

则，显然当时，最小，

此时，则，则的最小值为，D正确.

故选：ACD.

三、填空题

13．写出一个同时满足下列两个性质的函数：          .

①为偶函数；    

②在上的最大值为2.

【答案】（答案不唯一）

【分析】根据已知条件可结合基本函数的性质可求得答案

【详解】因为为偶函数，在上的最大值为2，

所以满足条件，

故答案为：（答案不唯一）

14．中，内角，，的对边分别为，，.若，，的面积，则           .

【答案】

【分析】根据三角形面积公式求出，再利用余弦定理即可得到答案.

【详解】根据三角形面积公式得，解得，

根据余弦定理得，解得.

故答案为：.

15．如图，在离地面高的热气球上，观察到山顶处的仰角为，山脚处的俯角为，已知，则山的高度为          .

【答案】

【分析】首先在中，求得，然后再，利用正弦定理求得，最后在中，利用直角三角形的性质，即可求解.

【详解】在直角中，可得，所以，

因为中，，

所以，

由正弦定理，可得，

在直角中，因为，可得.

故答案为：300m

16．一个正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为，底面边长为，则该球的表面积为      .

【答案】

【分析】画出正四棱锥及对角截面，找到外接球的球心，设，利用PO=OB=r建立方程，求出，进而求出半径和球的表面积.

【详解】如图所示，正四棱锥P-ABCD，PE为正四棱锥的高，因为正四棱锥的顶点都在同一球面上，所以外接球球心一定在该棱锥的高上，设球心为O，半径为r，连接EB，OB，则EB为正方形ABCD对角线的一半，PO=OB=r.

因为棱锥的高为，底面边长为，所以PE=2，BE=，设，则，

由勾股定理得：，所以，解得：，所以，所以该球的表面积为

故答案为：.

四、解答题

17．已知z是复数，为实数，为纯虚数（i为虚数单位）．

(1)求复数z；

(2)求的模．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设复数，根据题意为实数，为纯虚数，利用复数的运算即可求解；

（2）根据复数的除法运算和复数模的计算公式即可求解.

【详解】（1）设复数，

因为为实数，所以，则复数，

又因为为纯虚数，

则，得，

所以复数.

（2）由（1）可知复数，则，

所以的模为.

18．已知

(1)求的值

(2)求的值

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)由求出，最后利用两角和的正切公式求出结果.

(2)方法一：利用诱导公式和平方关系得到，求出结果；

方法二：利用平方关系求出，，再利用诱导公式求出结果.

【详解】（1）因为，

所以，

所以.

（2）方法一：

.

方法二：

因为，

所以，

所以.

19．已知.

(1)将表示成的形式；

(2)求在上的最大值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用三角恒等变换公式化简变形即可，

（2）由，得，然后利用正弦函数的性质可求出其最大值.

【详解】（1）

（2），得，

所以，所以，

所以，所以，

所以在上的最大值为

20．已知的内角的对边分别为，且

(1)求角；

(2)若，，求的值．

【答案】(1)

(2)，

【分析】（1）先用正弦定理边化角，再利用三角恒等变换的公式化简求解即可；（2）先利用正弦定理找到边的关系，然后根据条件利用余弦定理求解即可.

【详解】（1）已知，

由正弦定理得，

，

显然，

所以有，得，

因为角为内角，

所以.

（2）由正弦定理可知，

由（1）可知，因为，

由余弦定理可得，，

所以有，，

解得，.

21．如图，在菱形中，.

(1)若，求的值；

(2)若，，求.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意可知，即可求解；

（2），从而即可求解.

【详解】（1）因为在菱形中，.

故，

故，所以.

（2）显然，

所以

①，

因为菱形，且，，

故，.

所以.

故①式.

故.

22．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.

(1)证明：；

(2)求的取值范围.

【答案】(1)证明见解析.

(2).

【分析】（1）运用余弦定理得，再运用正弦定理边化角化简计算即可.

（2）运用三角形内角范围求得角C的范围，进而求得范围，运用边化角将问题转化为求关于的二次函数在区间上的值域.

【详解】（1）∵，

∴，

∴由余弦定理得：，即：，

由正弦定理得：，

∴，

整理得：，即：，

又∵，

∴，即：.

（2）∵，

∴，

又∵，，，

∴由正弦定理得：

，

又∵，

∴，

令，则，，

∵对称轴为，

∴在上单调递增，

当时，；当时，，

∴，即：的范围为.