2022-2023学年福建省莆田锦江中学高一下学期期中质检数学试题含答案

2022-2023学年福建省莆田锦江中学高一下学期期中质检数学试题

一、单选题

1．已知，若，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由向量平行的坐标表示可求，再由向量坐标运算公式求.

【详解】因为，，

所以，

所以，

所以，

所以，

故选：A.

2．已知向量，，，且，则实数为（    ）

A．-4 B．-3 C．4 D．3

【答案】A

【分析】根据向量垂直列方程，化简求得的值.

【详解】，

由于，

所以.

故选：A

3．若复数z满足（其中i是虚数单位），复数z的共轭复数为，则（    ）

A．z的实部是 B．的虚部是

C．复数在复平面内对应的点在第四象限 D．

【答案】A

【分析】把转化为化简求解.

【详解】

z的实部是故A正确；，故D错误

，的虚部是故B错误，在复平面上对应的点为所以为第一象限点，故C错误.

故选：A

4．的三内角所对边分别为，若，则角的大小（    ）．

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据余弦定理直接求解即可.

【详解】解：由余弦定理得，

因为，所以.

故选：B

5．已知正三角形边长为2，用斜二测画法画出该三角形的直观图，则所得直观图的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据斜二测画法的知识确定正确答案.

【详解】正三角形的高为，

根据斜二测画法的知识可知，

直观图的面积为.

故选：B

6．已知一个圆锥的底面半径为1，母线长为2，则其侧面展开得到的扇形的圆心角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】圆锥的底面周长即侧面展开得到的扇形的弧长,再应用弧长公式求圆心角即可.

【详解】由条件知底面周长为，即侧面展开得到的扇形的弧长为，

故,圆心角为.

故选:.

7．在，其内角的对边分别为，若，则的形状是（    ）

A．等腰三角形 B．直角三角形

C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形

【答案】A

【分析】根据正弦定理可得结合条件可得，进而即得.

【详解】因为在，，

所以，

又，

所以，，

所以为等腰三角形.

故选：A.

8．中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世.如图，某同学为测量鹳雀楼的高度，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物，高约为37，在地面上点处（，，三点共线）测得建筑物顶部，鹳雀楼顶部的仰角分别为30°和45°，在处测得楼顶部的仰角为15°，则鹳雀楼的高度约为（    ）

A．64 B．74 C．52 D．91

【答案】B

【分析】求出，，，在中，由正弦定理求出m，从而得到的长度.

【详解】因为中，⊥，m，，

所以m，

因为中，⊥，，

所以，

由题意得：，

故，

在中，由正弦定理得：，

即，

故(m)，

故(m)

故选：B

二、多选题

9．已知向量，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【分析】根据向量的平行与垂直坐标公式及加减运算对选项一一判断即可．

【详解】因为，所以不平行，则A错；

由，所以，则B正确；

由，，故C错；

由，故D正确.

故选：BD

10．已知复数，则下列说法正确的有（    ）

A．复数z的实部为3 B．复数z的共轭复数为

C．复数z的虚部为 D．复数z的模为5

【答案】ABD

【分析】根据复数的定义及性质可判断A、C项，根据共轭复数的定义可判断B项，根据复数模的计算公式可判断D项.

【详解】解：复数的实部为3，虚部为4，故A项正确，C项错误；

复数的共轭复数为，故B项正确；

复数的模为，故D项正确.

故选：ABD.

11．下面关于空间几何体的表述,正确的是（    ）

A．棱柱的侧面都是平行四边形

B．直角三角形以其一边所在直线为旋转轴,其余两边旋转一周形成的面所围成的几何体是圆锥

C．正四棱柱一定是长方体

D．用一个平面去截棱锥,底面和截面之间的部分叫做棱台

【答案】AC

【分析】用简单几何体的定义及特征去逐个判断即可.

【详解】对于A:棱柱的所有侧面都是平行四边形,且每相邻两个四边形的公共边都相互平行,故A正确.

对于B:只有以直角边为旋转轴旋转才能得到圆锥,以斜边为旋转轴旋转得到的是两个圆锥的组合体.故B错误.

对于C:正四棱柱是底面是正方形的直四棱柱,所以必然是长方体,故C正确.

对于D:只有截面与底面平行时,截面与底面之间的部分才是棱台,故D错误.

故选:AC.

12．已知中，其内角A，B，C的对边分别为a，b，c下列命题正确的有（    ）

A．若，则

B．若，，则外接圆半径为10

C．若，则为等腰三角形

D．若，，，则

【答案】ACD

【分析】利用三角形性质和正弦定理可知A正确，利用正弦定理可知B,C的正误，利用三角形面积公式可知D正确.

【详解】因为，所以，由正弦定理，可得，即，A正确；

由正弦定理可知，所以外接圆半径为5，B不正确；

因为，所以，即，

整理可得，即，

因为为三角形的内角，所以，即为等腰三角形，C正确；

因为，，，所以，D正确.

故选：ACD.

三、填空题

13．设复数为实数，则实数m的值是          ．

【答案】3

【分析】复数为实数，则虚部为零，结合分母不等于零得出答案.

【详解】依题意有，

解得m＝3.

故答案为：3.

14．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为64，则这个球的表面积是          .

【答案】

【分析】先求正四棱柱的底面边长，然后求其对角线，即球的直径，结合球的表面积公式计算即可求解．

【详解】解：正四棱柱高为4，体积为64，

所以底面积为16，则底面正方形边长为4，

所以正四棱柱的对角线长即球的直径为，

球的半径为，球的表面积，

故答案为：.

15．若，与的夹角为，则向量在上的投影向量为           ．

【答案】

【分析】根据投影向量的定义求解.

【详解】，与的夹角为，则，

所以向量在上的投影向量为．

故答案为：.

16．在中，角所对的边分别为，，，，且面积为，若，则      ．

【答案】3

【分析】根据三角形面积解得，代入解得或；然后根据余弦定理求得.

【详解】解得：；

又，代入得：或；

根据余弦定理得：，

解得：；

故答案为：3

四、解答题

17．已知：复数，其中为虚数单位．

(1)求及；

(2)若，求实数的值．

【答案】(1)，

(2)，

【详解】（1），则.

（2）由（1）得：，

，解得：.

18．在平面直角坐标系中，已知向量．

(1)求；

(2)若，，求实数的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用向量坐标运算法则计算得到，从而计算出模长；（2）利用向量坐标运算和数量积等于0求出实数的值.

【详解】（1），

所以

（2），

因为，

所以，

解得：

19．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，，，求：

(1)角B；

(2)的面积S.

【答案】(1)

(2).

【分析】(1)正弦定理求解；

(2)根据面积公式求解.

【详解】（1）由正弦定理，得，

因为在中，且，所以.

（2）因为，

所以.

所以.

20．如图，在平行四边形中，、分别在、上，且，，，.

（1）试用、表示、；

（2）若，，，求的值.

【答案】（1），；（2）.

【分析】（1）利用平面向量的减法、加法法则可得出、关于、的表达式；

（2）利用平面向量数量积的定义以及运算性质可求得的值.

【详解】（1）由已知可得，，

所以，，；

（2）由平面向量数量积的定义可得，

所以，.

21．如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知半球的直径是6 cm，圆柱筒长2 cm．

(1)这种“浮球”的体积是多少?（结果精确到0.1)

(2)要在2500个这样的“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，那么共需涂胶约多少克?附：．

【答案】(1)

(2)3768

【分析】（1）分别求出两个半球的体积，和圆柱体的体积，即可求出“浮球”的体积；

（2）先求出一个“浮球”的表面积，再求出2500个的面积，即可求解.

【详解】（1）该半球的直径，

所以“浮球”的圆柱筒直径也是，得半径，

所以两个半球的体积之和为，

而，

该“浮球”的体积是；

（2）上下两个半球的表面积是，

而“浮球”的圆柱筒侧面积为，

所以1个“浮球”的表面积为，

因此，2500个“浮球”的表面积的和为，

因为每平方米需要涂胶100克，

所以总共需要胶的质量为：（克）．

22．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.

(1)求A；

(2)若，求面积的最大值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由正弦定理将边化为角，结合三角函数的两角和的正弦公式，可求得答案;

（2）由余弦定理结合基本不等式可求得，再利用三角形面积公式求得答案.

【详解】（1）根据正弦定理及，

得.

∵，

∴.

∵，

∴.

（2）由（1）知，又，

由余弦定理得，

即，

∵，

∴，即，

当且仅当时取等号.

∴.

∴的最大值为.