2022-2023学年福建省福州第十五中学高一上学期期中数学试题含答案

2022-2023学年福建省福州第十五中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．有下列关系式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中不正确的是（    ）

A．①③ B．②④⑤ C．①②⑤⑥ D．③④

【答案】D

【分析】根据集合相等的定义、子集的定义、空集的性质，结合元素与集合的关系进行判断即可.

【详解】对①：因为集合元素具有无序性，显然①正确；

对②：因为集合，故正确，即②正确；

对③：空集是一个集合，而集合是以为元素的一个集合，因此，故③不正确；

对④：是一个集合，仅有一个元素0，但是空集不含任何元素，于是，故④不正确；

对⑤：由④可知，非空，于是有，因此⑤正确；

对⑥：显然成立，因此⑥正确．

综上，本题不正确的有③④，

故选：D

2．命题“，”的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【分析】由特称命题的否定为全称命题：将变并否定原结论，即可写出题设命题的否定.

【详解】由特称命题的否定为全称命题，知：题设命题的否定为，.

故选：C

3．函数的定义域是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据解析式的形式可得关于的不等式组，其解集为函数的定义域.

【详解】由题设可得，故且，

故函数的定义域为.

故选：C.

4．若，则的一个充分不必要条件为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由充分必要条件关系，，反之不成立，即可判断.

【详解】由，反之不成立，所以P：的一个充分不必要条件为：，其它选项均不符合.

故选：D.

5．已知，，则下列不等式恒成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据不等式的性质或反例逐项判断后可得正确的选项.

【详解】解：对于A选项，当时，显然不等式不成立，故错误；

对于B选项，当时，不成立，故错误；

对于C选项，由不等式的性质可知，C成立，故正确；

对于D选项，当时，，故错误；

故选：C

6．已知偶函数f(x)在区间[0．+∞)上单调递增，则満足f(2x－1)＜f()的x的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由偶函数定义化不等式两边的函数自变量为同一单调区间，再利用单调性去掉函数符号“”，然后由绝对值性质得结论．

【详解】是偶函数，所以，

所以不等式化为，

又f(x)在区间[0．+∞)上单调递增，所以，

，．

故选：A．

7．下列各选项中，与表示同一函数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据相同函数的定义，判断两函数的定义域即解析式是否相同，即可得解；

【详解】解：对于定义域为，且

对于A：定义域为，函数解析式不相同，故不是同一函数；

对于B：不满足函数的定义，不是函数；

对于C：定义域为，定义域相同且函数解析式一样，故是同一函数；

对于D：定义域为，定义域不相同，故不是同一函数；

故选：C

8．已知是上的增函数，那么的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据是R上的增函数，列出不等式组，解该不等式组即可得答案．

【详解】因为函数是上的增函数，

所以，解得，

所以实数的取值范围是，

故选：C.

二、多选题

9．下列根式与分数指数幂的互化中正确的有（    ）

A． B．

C．  D．

【答案】BCD

【分析】根据分数指数幂与根式的互化逐项判断.

【详解】对于A，，故A不正确；

对于B，，故B正确；

对于C，，故C正确；

对于D，，故D正确.

故选：BCD.

10．一次函数满足：，则可以是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【分析】设，根据待定系数法求解即可.

【详解】设，

所以，

，解得或，

或，

故选：AD

11．下列不等式正确的有（    ）

A．当， B．当，

C．）最小值等于4 D．函数最小值为.

【答案】AD

【解析】对于A，D利用基本不等式判断，对于B，举反例即可判断，对于C，利用对勾函数的性质判断即可

【详解】解：对于A，因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以A正确；

对于B，当时，，所以B错误；

对于C，因为函数在单调递减，所以，所以C错误；

对于D，因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以D正确，

故选：AD

【点睛】此题考查基本不等式的应用，利用基本不等式时要注意条件“一正二定三相等”，属于基础题

12．函数同时满足：①对于定义域上的任意，恒有；②对于定义域上的任意，当，恒有.则称函数为“理想函数”，下列三个函数中，是“理想函数”的有（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【解析】由已知得出“理想函数”就是即是奇函数又是减函数的函数．由此判断各选项可得．

【详解】对于定义域上的任意，恒有，即，则是奇函数，

对于定义域上的任意，当，恒有，即当时，，则是定义域内的减函数，

ACD是奇函数，B是偶函数，排除，

其中，时，，，同样时，，，，因此是奇函数．

是减函数，满足题意；

是减函数，是减函数，而时，，在上是减函数，满足题意，

在定义域内不是减函数．

故选：AC．

【点睛】关键点点睛：本题考查新定义，解题关键是理解新定义，实际上新定义“理想函数”就是既是奇函数双是减函数的函数，这样就转化为奇函数与减函数两个已知的概念，由此可判断解决问题．

三、填空题

13．计算        .

【答案】

【分析】根据指数幂运算,即可求得答案.

【详解】

故答案为:.

【点睛】本题主要考查了指数幂运算,解题关键是掌握指数幂运算的基础知识,考查了计算能力,属于基础题.

14．已知函数是定义在上的奇函数，当时，,则          .

【答案】12

【分析】由函数的奇偶性可知，代入函数解析式即可求出结果.

【详解】函数是定义在上的奇函数，，则，

.

【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，属于基础题型.

15．不等式的解集是           .

【答案】

【分析】由指数函数的单调性可得，求解即可.

【详解】，，即，解得，

故不等式的解集为.

故答案为：.

16．幂函数的图象不经过坐标原点，则实数的值为         ．

【答案】2

【解析】由幂函数的定义及性质即可得解.

【详解】因为函数为幂函数，

所以，解得或，

当时，函数的图象不过原点，符合题意；

当时，函数的图象经过原点，不符合题意；

故.

故答案为：2.

四、解答题

17．已知集合.

（1）当时，求；

（2）若，求的取值范围.

【答案】（1）（2）

【解析】（1）当时，化简集合A, B，求即可；

（2）由题意求出集合包含关系，再分为和进行讨论即可．

【详解】（1），

当时，，

此时

（2）由可知．

若，则；

若，则．

综上所述，实数的取值范围为．

18．已知关于的不等式的解集为或

(1)求，的值；

(2)当，且满足时，有恒成立，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)．

【分析】（1）根据不等式的解集可确定1和是方程的两个实数根且，结合韦达定理即可求得答案；

（2）利用基本不等式可求得的最小值，根据恒成立可得，即可求得答案.

【详解】（1）因为不等式的解集为或，

所以1和是方程的两个实数根且，

所以，解得，即．

（2）由（1）知，于是有，

故，

当且仅当，结合，即时，等号成立，

依题意有，即，

得，即，

所以的取值范围为．

19．已知是定义在上的偶函数，当时，.

（1）用分段函数形式写出的解析式；

（2）写出的单调区间；

（3）求出函数的最值.

【答案】（1）；（2）的增区间为，，减区间为，；（3）最小值为-4，无最大值.

【分析】（1）根据是定义在上的偶函数，且当时，，

设，则，通过求解.

（2）每一段都是二次函数，根据二次函数的图象和性质求解.

（3）利用（2）的单调性求解.

【详解】（1）是定义在上的偶函数，

当时，，

当时，设，则，

即时，.

故.

（2）如图所示：

当时，，对称轴为，

增区间为，减区间为；

当时，，对称轴为，

增区间为，减区间为.

综上，的增区间为，，减区间为，.

（3）由（2）知，当时，，

，无最大值；

当时，，

，无最大值.

综上，函数的最小值为-4，无最大值.

【点睛】本题主要考查分段函数的图象和性质，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.

20．已知函数（且）的图象经过点．

(1)求函数的解析式；

(2)求函数的值域．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用待定系数法，将代入即可得到解析式

（2）可先确定的范围，再确定由指数函数的性质确定的范围

【详解】（1）由已知得：，解得，

∴函数的解析式为

（2）令

∵，∴，

∴，

故的值域是．

21．已知是定义域在(−1，1)上的奇函数，且f()=．

(1)求f(x)的解析式并判断其单调性（无需证明），写出f(x)的单调区间；

(2)解关于t的不等式f(2t−2)+f(t)<0．

【答案】(1)；函数f(x)为增函数；单调增区间

(2)

【分析】（1）根据奇函数的定义求解析式，由单调性的定义证明得单调区间；

（2）由奇函数性质变形不等式，由单调性化简后可解．

【详解】（1）由题意，则是奇函数，

又，，

所以，

在上是增函数，证明如下：

设，则，，，

所以，

所以，

所以是上的增函数；增区间为（-1，1）

（2），

所以，解得．

所以不等式的解集为．

22．受新冠疫情影响全球海运受到极大影响，为此各相关企业在积极拓展市场的同时，也积极进行企业内部细化管理，某集装箱码头在货物装卸与运输上进行大力改进，改进后单次装箱的成本单位：万元与货物量（单位：吨）满足函数关系式，单次装箱收入单位：万元与货物量的函数关系式已知单次装箱的利润，且当时，．

(1)求的值；

(2)当单次装箱货物为多少吨时，单次装箱利润可以达到最大，并求出最大值．

【答案】(1)

(2)每日产量为吨时，日利润最大万元

【分析】（1）先求得每日利润与日产量的函数关系式，然后根据时，求得.

（2）利用函数的单调性和基本不等式求得利润的最大值.

【详解】（1）由题意得，每日利润与日产量的函数关系式为:

，

当时，，即：，

解得.

（2）当时，为单调递减函数，

故当时，的最大值为，

当时，，

当且仅当，

即时，的最大值为，

综合上述情况，当每日产量为吨时，日利润最大万元.