2022-2023学年福建省龙岩市永定区坎市中学高一下学期期中数学试题含答案

2022-2023学年福建省龙岩市永定区坎市中学高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．复数的虚部为（    ）

A． B． C． D．2

【答案】C

【分析】直接根据虚部的定义可得解.

【详解】复数的虚部为.

故选：C

2．若＝(3，5)，＝(－1，2)，则等于（    ）

A．(4，3) B．(－4，－3)

C．(－4，3) D．(4，－3)

【答案】A

【分析】由计算即可得出结果.

【详解】

故选：A

3．已知向量，若，则（    ）

A．2 B． C． D．

【答案】B

【分析】解方程即得解.

【详解】因为，

所以.

故选：B

4．设是虚数单位，则复数对应的点在复平面内位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】B

【分析】直接根据可得解.

【详解】复数对应的点为位于第二象限，

故选：B.

5．在中，是的中点．若，，则（   ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据向量的加减及数乘运算即可求出．

【详解】∵是的中点，

∴，

∴.

故选：C

6．的内角的对边分别为，且，，，则的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】利用三角形的面积公式即可求解．

【详解】在中，由，，，

则．

故选：D．

7．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则这个三角形的形状为（    ）

A．直角三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．等腰或直角三角形

【答案】A

【解析】由条件和余弦定理可得，然后化简可得答案.

【详解】因为，所以由余弦定理可得，即

所以，所以三角形的形状为直角三角形

故选：A

8．在中，，，，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用余弦定理列方程，化简求得的值.

【详解】由余弦定理得，

即，

解得（负根舍去）.

故选：B

9．已知复数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】化简得到，再计算得到答案.

【详解】，.

故选：C

10．如图，从无人机上测得正前方的峡谷的两岸，的俯角分别为，，若无人机的高度是，则此时峡谷的宽度是（    ）

A．60 B． C．30 D．

【答案】A

【分析】利用锐角三角函数，得到，，进而利用，即可得到答案.

【详解】由已知得，得到

，，

故选：A

二、多选题

11．已知为虚数单位，复数，则下列说法不正确的是（    ）

A．的虚部为 B．的共轭复数

C． D．

【答案】ABD

【分析】根据复数虚部的定义即可判断A；根据共轭复数的定义即可判断B；根据复数的模的计算公式即可判断C；根据复数的乘法运算即可判断D.

【详解】复数的虚部为，故A错误；

的共轭复数，故B错误；

，故C正确；

，故D错误.

故选：ABD.

12．下面的命题正确的有（    ）

A．方向相反的两个非零向量一定共线

B．单位向量都相等

C．若，满足且与同向，则

D．“若A、B、C、D是不共线的四点，且”“四边形ABCD是平行四边形”

【答案】AD

【分析】根据向量的定义和性质，逐项判断正误即可.

【详解】对于A，由相反向量的概念可知A正确；

对于B，任意两个单位向量的模相等，其方向未必相同，故B错误；

对于C，向量之间不能比较大小，只能比较向量的模，故C错误；

对于D，若A、B、C、D是不共线的四点，且，

可得，且，故四边形ABCD是平行四边形；

若四边形ABCD是平行四边形，可知，且，

此时A、B、C、D是不共线的四点，且，故D正确.

故选：AD.

13．在中，若，则角的值可以为（    ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【分析】由余弦定理及同角三角函数的关系可得，根据三角形内角性质即可求角的大小.

【详解】由，显然，故，

又，则为或.

故选：AD

14．的内角在A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则下列结论正确的是（    ）

A．

B．是锐角三角形

C．的最大内角是最小内角的2倍

D．若，则外接圆半径为4

【答案】ABC

【分析】根据，得到，结合正弦定理判断AD，结合余弦定理判断BC..

【详解】因为在中，，

所以 ，解得，

由正弦定理可得，为的外接圆半径，

所以，

所以 ，故A正确；

因为，所以角C为最大角，角为最小角，

又由余弦定理可得 ，

又，所以角C为锐角，故是锐角三角形，故B正确；

则，

所以，即，

又，所以 ，故C正确；

因为，，

所以，

则由正弦定理得 ，解得，故D错误；

故选：ABC.

三、填空题

15．已知复数满足，则      ．

【答案】

【分析】利用复数除法运算求得，进而求得.

【详解】，则.

故答案为：

16．已知向量，．则向量，的夹角      ．

【答案】

【解析】根据以及，计算出、以及的值，然后通过即可计算出结果.

【详解】令向量与的夹角为，，由，，

所以，，，

所以，故向量，的夹角为，

故答案为：.

【点睛】关键点睛：本题考查向量的夹角的计算，解题的关键是熟悉向量的数量积公式，向量的模的计算以及数量积的坐标表示，考查计算能力，属于基础题.

17．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果，，，那么的最大内角的余弦值为        .

【答案】

【解析】由边的大小关系可知是最大角，然后利用余弦定理求解.

【详解】角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果，，，则是最大角，

则，

故答案为：.

【点睛】本题考查三角形中的边角关系，考查余弦定理的应用，属于简单题.

18．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，且，，则        .

【答案】2

【分析】由向量加减法的几何意义，求得，由为线段的中点，得到，即可求解.

【详解】以为临边作平行四边形，如图所示，

由向量加减法的几何意义，可知，

因为，所以，

又由，且为线段的中点，

所以.

故答案为：.

19．已知船在灯塔北偏东且到的距离为，船在灯塔北偏西且到的距离为，则，两船的距离为      .

【答案】

【解析】由题意作出图形，再利用余弦定理求解即可.

【详解】根据题意如图：

由题意得，又，

由余弦定理得

所以

故答案为：．

【点睛】本题考查余弦定理在实际中的应用，考查作图能力，考查运算能力，属于基础题.

20．欧拉在1748年给出的著名公式(欧拉公式)是数学中最卓越的公式之一，其中,底数＝2.71828…，根据欧拉公式，任何一个复数，都可以表示成的形式，我们把这种形式叫做复数的指数形式，若复数，则复数在复平面内对应的点在第        象限．

【答案】四

【分析】由欧拉公式求出，再由复数的乘除运算计算出，由此求出复数在复平面内对应的点在几象限．

【详解】因为，所以，  

所以，则复数在复平面内对应的点在第四象限．

【点睛】本题考查复数的基本计算以及复数的几何意义，属于简单题．

四、解答题

21．已知复数

（1）当实数m为何值时，z为实数；

（2）当实数m为何值时，z为纯虚数.

【答案】（1）或；（2）.

【分析】（1）当复数的虚部为0时，z为实数，求出m的值即可；

（2）当复数的实部为0，虚部不为0时，z为纯虚数，求出m的值即可.

【详解】（1）若z为实数，则，解得或；

（2）若z为纯虚数，则，解得.

【点睛】方法点睛：该题考查的时有关复数的分类，解题方法如下：

（1）要明确复数为实数时满足虚部为0，列式求解；

（2）要明确复数为纯虚数时满足实部为0虚部不为0，列式求解.

22．已知点，，.

(1)若点，，三点共线，求实数的值；

(2)若是以为斜边的直角三角形，求实数的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意可得，再利用向量共线求解即可；

（2）由题意可得，再利用平面向量的数量积的坐标表示求解即可.

【详解】（1）因为点，，三点共线，

所以，

又，，

所以，即.

（2）由题意，，

因为，，

则，

所以.

23．已知，，为的三个内角，其所对的边分别为，，，且.

（1）求角A的大小；

（2）若，，求的值.

【答案】（1）（2）

【解析】（1）根据降幂公式可知,代入条件式即可求得,进而求得角A的大小;

（2）根据余弦定理,代入角和,即可求得的值.

【详解】（1）,,

,

,因为

.

（2）由余弦定理可知.

又,,,

,

化简,得,

解得或（舍去）.

【点睛】本题考查了降幂公式的应用,余弦定理解三角形的简单应用,属于基础题.

24．已知a，b，c分别为锐角内角A，B，C的对边，．

(1)求角B；

(2)若，求的面积．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意利用正弦定理边化角，进而运算求解即可；

（2）利用余弦定理可得，再结合面积公式运算求解.

【详解】（1）因为，由正弦定理可得，

且，则，可得，

 又因为为锐角，所以．

（2）由余弦定理得，整理得，

因为，即，可得，

所以的面积．