高教版（2021·十四五）基础模块 下册7.1 多面体教案设计

这是一份高教版（2021·十四五）基础模块 下册7.1 多面体教案设计，共12页。

授课
题目
7.1 多面体
选用教材
高等教育出版社《数学》
（基础模块下册）
授课
时长
4 课时
授课类型
新授课

教学提示
本课由实物模型入手，引出学生较熟悉的空间图形，帮助学生感知并进一步
学习相关概念，选取简单的几何体（直棱柱、正棱锥）帮助学生掌握直观图的画法．通过直棱柱和正棱锥的侧面展开图，帮助学生理解侧面积、表面积公式，通过实验，帮助学生理解正棱锥的体积公式．
教学目标
能认知棱柱、棱锥的模型与直观图，通过棱柱、棱锥的侧面展开过程，能说出棱柱、棱锥的结构特征，能进行棱柱、棱锥表面积、体积的计算，逐步提高直观想象和数学运算等核心素养．
教学
重点
直棱柱、正棱锥的结构特征及相关的计算．
教学
难点
直棱柱、正棱锥的侧面积公式之间的联系．
教学
环节
教学内容
教师
活动
学生
活动
设计
意图
















情境导入
在日常生活中我们所见的空间图形，有些是规则的， 有些是不规则的，很多是由我们熟悉的基本几何体组合而成的．
观察国家游泳中心（又称“水立方”），如图所示，水立方的外形可以看作由矩形围成的长方体．







像这样，由若干个平面多边形围成的封闭的几何体称为多面体．下图所示的几何体都是多面体．

围成多面体的各个多边形称为多面体的面，相邻两个面的公共边称为多面体的棱，棱与棱的公共点称为多面体
说明







展示情境







提出问题





引导学生观察分析
体会











观察








思考







体会
从具
体的空间图形引导学生观察图形特
点 ， 总结图形特
征， 类比归纳形成概 念， 培养学生直观想象和数学抽象的



的顶点．

7.1.1 棱柱
观察图中(1)(2)(3)的多面体，它们有哪些共同特性？ 这些多面体的上下两个面都是全等多边形，且对应的
边相互平行，其余的面都是平行四边形．




提问




思考观察
核心
素养























探索新知
像这样有两个面互相平行，其余面都是平行四边形的多面体称为棱柱．
两个互相平行的面称为棱柱的底面，其余的面称为棱柱的侧面．两个侧面的公共边称为棱柱的侧棱．侧棱与底面的交点称为棱柱的顶点．不在同一个面上的两个顶点的连线称为棱柱的对角线．两个底面间的距离称为棱柱的高．如图所示．










底面为三角形、四边形、五边形、……的棱柱分别称为三棱柱、四棱柱、五棱柱、……
表示棱柱时分别顺次写出两个底面各个顶点的字母， 中间用一条短横线隔开，如图 (1)(2)(3) 中的棱柱分别记作三棱柱?????? − ??′??′??′、四棱柱???????? − ??′??′??′??′、五棱柱?????????? − ??′??′??′??′??．
侧棱垂直于底面的棱柱称为直棱柱．侧棱不垂直于底面的棱柱称为斜棱柱． 底面为正多边形的直棱柱称为正棱柱．
通过观察，我们可以发现正棱柱有以下主要性质：

（1）两个底面是平行且全等的正多边形；

引导分析




归纳



















总结




举例说明





引导学生分析




体会



理解
























领会
通过学生熟悉的正方 体， 回顾义务教务阶段学习的知识， 并进一步深 化， 师生共同对正棱柱性质的进行探讨， 引导学生推导直棱柱的侧面积和体积公
式， 培养



（2）侧面都是全等的矩形；
（3）侧棱互相平行并垂直于底面，各侧棱都相等， 侧棱与高相等．
将棱柱的侧面沿一条侧棱展开在一个平面上所得的图形称为棱柱的侧面展开图．
侧面展开图的面积称为棱柱的侧面积．因为直棱柱的侧面展开图是矩形，它的上下两条边长等于直棱柱的底面周长??，另两条对边长等于直棱柱的高ℎ，如图所示．

所以直棱柱的侧面积为S直棱柱侧=ch.
棱柱的侧面积与两个底面面积之和称为棱柱的表面积或全面积．
直棱柱的表面积为S直棱柱表=ch+2S底.
我们可以证明直棱柱的体积等于它的底面积与高的乘积，即V直棱柱=S底h.
其中??底、??、ℎ分别为直棱柱的底面积、底面周长和高．









引导学生观察分析















归纳





总结
总结
记忆







观察思考












主动解决








归纳总结记忆
学生
直观想象和逻辑推理等核心素养








例题辨析
例 1 已知一个正四棱柱的底面边长为2cm，高为
3cm，求这个正四棱柱的全面积和体积． 解 正四棱柱的全面积为
S全=S侧+2S底 = 2 ´ 4 ´ 3+2 ´ 2 = 32(cm ).
2 2


由于正四棱柱的底面积S底 = 2 ´ 2 = 4 (cm ) ，所以正四
2


棱柱的体积为V =S底h = 4 ´ 3 = 12 (cm ).
2
例 2 某农场为了改善水利设施，需要修筑一条横截面为等腰梯形的灌溉水渠，如图所示，已知水渠长400m，
提问



引导分析








提问
观察



思考



求解





观察
通过
例题帮助学生掌握
“ 作差比较 法”， 培养学生的数学运算、


深1.5m，渠底宽1m，渠面宽2m．

（1）修筑水渠需要挖出多少立方米的土？
（2）若在水渠的底部和侧面铺设水泥板，则需要的水泥板面积是多少（保留整数）？

解 由题意可知，水渠可以看作底面为等腰梯形的直四棱柱．于是水渠长就成为直四棱柱的高．
(1) 先求等腰梯形截面的面积，设为??1，
S = 1 ( AB + CD) ´ AE = 1 (1+ 2) ´1.5 = 2.25(m2 )
1 2 2
高ℎ = 400m，所以V =S h = 2.25´ 400 = 900(m3 ).
1

故修筑水渠需要挖土900m3．
(2)设水泥板的面积为??2，因为
DE= 1 (DC - AB) = 1 ´ (2 -1) = 0.5(m) 2 2
所以 DA= AE2 +DE2 = 1.52 +0.52 = 2.5(m)，

S2 =(2DA + AB) ´ h = (1+ 2 ´ 2.5) ´ 400 » 1664(m ).
2


故在水渠的底部和侧面需要铺设1664m2的水泥板． 探究与发现

下图是由一摞纸叠成的直棱柱，若把这摞纸按同一方向有序平移，得到如图（2）的斜棱柱．显然，这两个棱柱的底面积相同，高相等，它们的体积是否也相等？从中你可以得到什么结论．




逻辑


推理


等核


心素


养

引导

思考

分析






求解














提问













观察

分析
思考


理解















巩固练习
练习 7.1.1
1．用硬纸板制作一个直棱柱．
2．判断下列说法是否正确（正确的打“√”，错误的打“×”）．
（1）棱柱的侧棱一定相等． （ ）
（2）每个侧面都是矩形的棱柱是直棱柱． （ ）
（3）直棱柱的两个底面平行且相等． （ ）
（4）底面是正多边形的直棱柱是正棱柱． （ ）
3． 正三棱柱的底面边长为4cm，高为5cm，求这个正三棱柱的侧面积、表面积和体积（保留到小数点后第 2 位）．
4．已知高为??的直四棱柱的底面是长为3??，宽为2??的
矩形．求这个直四棱柱的表面积和体积．
提问



巡视



指导
思考



动手求解


交流
通过
练习及时掌握学生的知识掌握情况， 查漏补缺















情境导入
7.1.2 直观图的画法
如图所示是长方体的实物图，在平面中画出这个立体图形时，我们如何体现立体感？








可以将长方体的正面画成长方形，将长方体的上、下底面和左、右侧面都画成平行四边形，遮挡部分用虚线表示，如图所示，这样的画法使得长方体直观看起来有较强的立体感，接近我们观察实物的效果；同时还能直观表达长方体的各个顶点、平面之间的位置关系．
像这样，直观看起来有立体感的图形称为直观图． 如图所示就是长方体的直观图．




提问









引导



分析




思考







观察








想象
通过观察长方体的实物图， 引导学生分析长方体的点、棱和面之间的关 系， 培养学生直观想象等核心素
养
































探索新知

1．正三角形直观图的画法

平面内水平放置的正三角形??????，如图（1）所示，其直观图画法如下：
（1）建立直角坐标系O????；
（2）以底边????中点为坐标轴原点，以????所在的直线为??轴，以线段????垂直平分线所在的直线为??轴，如图
（2）所示．对应??轴和??轴画出??′轴和??′轴，使两轴交于

点 ，且Ðx 'O ' y ' = 45o ，如图（3）所示；
??′
（3）在??′轴上取??′??′，使??′??′ = ????，且??′为??′??′的中点，即与??轴平行或重合的线段，在直观图中保持原长度
1
不变；在??′轴上取一点??′，使??′??′ = 2 ????，即与??轴垂直的
线段，其长度等于原长度的一半，如图（3）所示；
（4）依次连接三点??′、??′、??′，所得的三角形??′??′??′就是正三角形??????的直观图，如图（4）所示．
试一试 画出水平放置的长方形的直观图．

2．正方体直观图的画法
棱长为2cm的正方体的直观图的画法如下：

说明












举例









分析












强调画法




体会























尝试







画图
教师通过正三角形直观图、正方体直观图画法演示和指导， 引导学生学会画直观图的一般方法， 培养学生直观想象等核心素养



（1）画正方体底面的直观图，即画水平放置的边长为2cm的正方形????????的直观图．作ÐxAy = 45o ，在??轴正向取???? = 2cm，在??轴正向取???? = 1cm，分别过点??、
??作??轴和??轴的平行线，两线交于点??．则平行四边形
????????即为正方形????????的直观图，如图所示．








（2）过四点??、??、??、??向上分别作????、????的垂线， 取过点??的垂线所在的直线为??轴，在垂线上分别截取
????′ = ????′ = ????′ = ????′ = 2????，如图所示．

（3）连接??′??′、??′??′、??′??′、??′??′，擦去坐标轴，并将被遮挡住的线段画成虚线，如图所示，???????? −
??′??′??′??′就是棱长为2cm的正方体的直观图．
上述画三角形、正方体直观图的方法称为斜二测画法．
探究与发现

用斜二测画法画图时应注意什么?


举例







分析












强调画法




















提问引导





尝试












画图



























思考总结



巩固练习
练习 7.1.2
1．已知长方形的长、宽分别是3cm、2cm，试画该长方形的直观图．
2．已知边长为2cm的正三角形．试用斜二测画法画出
提问



巡视
思考



动手求解
通过
练习及时掌握学生的知



它水平放置时的直观图．

3．已知长方体的长、宽、高分别是3cm、2cm、2cm．试画出该长方体的直观图．
指导

交流
识掌
握情况， 查漏补缺









情境导入
7.1.3 棱锥
观察图中所示的四个多面体，它们有什么共同点？


可以发现，这些多面体都有一个面是多边形，其余各面是三角形，且这些三角形有一个公共点．
展示
情
境， 提出问
题， 引导学生观察分析


观察情
境， 思考问
题，
通过
学生分析比较四个多面体， 培养学生直观想象和逻辑推理等核心素养













探索新知
我们称这样的多面体为棱锥．这个多边形称为棱锥的底面(简称底)，其余各面称为棱锥的侧面；各侧面的公共点称为棱锥的顶点，如图中所示的??点；相邻侧面的公共边称为棱锥的侧棱，如图中所示的????、????、????；顶点到
底面的距离称为棱锥的高，如图中的????．
类似于棱柱，底面为三角形、四边形、五边形…的棱锥分别称为三棱锥、四棱锥、五棱锥…并分别记作棱锥?? −
??????、棱锥?? − ????????、棱锥?? − ??????????等．
底面是正多边形，顶点在底面内的投影是底面中心的棱锥称为正棱锥．正棱锥侧面三角形的高称为棱锥的斜高，如下图中的ℎ′．
精炼
语
言， 讲解关键词语




举例说明




强调
体会












理解
师生共同总结棱锥特点和性质， 并通过侧面展开图推导正棱锥的侧面积公式， 通过小实验推导棱
锥的








我们来研究下正棱锥的性质：

（1）各条侧棱相等，斜高相等，侧面是全等的等腰三角形；
（2）顶点到底面中心的连线垂直于底面，是正棱锥的高；
（3）正棱锥的高、斜高和斜高在底面上的投影构成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面的投影构成一个直角三角形．
如果我们把棱锥的侧面沿一条侧棱展开在一个平面上，所得的图形称为棱锥的侧面展开图，展开图的面积称为棱锥的侧面积，如上图所示．

从侧面展开图中我们可以观察到，正棱锥的侧面展开图由各个等腰三角形组成，由此得到正棱锥的侧面积和表面积：
S = 1 ch¢ S = 1 ch¢+S .
正棱锥侧 2 正棱锥表 2 底
其中，??为正棱锥底面的周长， ℎ′是正棱锥的斜高，??底为正棱锥的底面积．
而且，我们由棱锥的定义就可以推导出棱锥的表面积．
关于正棱锥的体积，我们将通过一个小实验来验证． 实验 正棱锥的体积
实验用具：同底等高的正三棱柱和正三棱锥容器，如图所示，水或细沙．

引导学生归纳总结















引导学生分析








引导学生总结











实验操作




分析总结




记忆











观察思考

推导







领会
体积
公 式， 培养学生直观想 象、逻辑推理和数学运算等核心素养




实验步骤：

（1）在正三棱锥容器中装满水或细沙；
（2）将正三棱锥容器中的水或细沙全部倒入正三棱柱容器中；
（3）重复步骤（1）（2）两次．
实验结果：水或细沙刚好注满正三棱柱容器．

实验结论：正三棱柱体积是同底等高的正三棱锥体积的 3 倍．
通过这个小实验，我们可以证明，棱锥的体积等于它的底面积与高的乘积的三分之一，即
V = 1 S h.
棱 锥 3 底
其中， ??底表示棱锥底面积，ℎ是棱锥的高．

















总结




提升学生认识





观察




分析







领会推导记忆












例题辨析
例 3 如图所示，正四棱锥锥?? − ????????的底面边长是
4????，斜高锥???? = 2√5 ????，求该正四棱锥的表面积和体积．







解 因为正四棱锥?? − ????????的底面边长是4????，所以底面周长?? = 4 × 4 = 16(????) ， 底面积??底 = 4 × 4 =
16(????2)，斜高???? = 2√5 ????．所以，
提问















引导分析




观察







思考
通过例题帮助学生棱锥的表面积和体积的求 法， 培养学生的数学运算和直观
想象



S = 1 c × PE = 1 ´16 ´ 2 5 = 16 5 (cm2 )，
侧 2 2
S表=S侧+S底 = 16 5 +16 (cm ).
2

作????垂直于底面????????，连接????，在直角△ ??????中，

PO2 =PE2 - OE2 = (2 5)2 - 22 = 16
PO = 4cm
所以棱锥的高ℎ即????为4????．因此正四棱锥体积为
V = 1 S h = 1 ´16 ´ 4 = 64 (cm3 ).
正棱锥 3 底 3 3
探究与发现
观察棱柱与棱锥的形状，可以发现，当棱柱的一个底面保持不变，另一个底面收缩为一个点时，棱柱就变成了棱锥，棱柱的侧面从平行四边形变成了三角形．当正棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到什么样的棱锥？棱锥侧面是什么三角形？



















提问

引导分析

求解
















观察思考
解决问题
等核
心素养






巩固练习
练习 7.1.3
1．用硬纸板制作一个正四棱锥．
2．已知正四棱锥的底面边长和侧棱长为2????．求正四棱锥的侧面积和体积．
3．已知正三棱锥的底面边长为3????，高为2????．
（1）求该三棱锥的表面积和体积；
（2）画出该三棱锥的直观图．
提问



巡视



指导
思考



动手求解


交流
通过
练习及时掌握学生的知识掌握情况， 查漏补缺




归纳总结


引导总结

反思交流
培养
学生总结学习过程能力
布置
1.书面作业：完成课后习题和学习与训练；


巩固


作业
2.查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习回顾；
3.拓展作业：阅读教材扩展延伸内容．

说明

记录
提
高， 查漏补缺