人教版（中职）基础模块下册8.3 圆的方程教学设计

这是一份人教版（中职）基础模块下册8.3 圆的方程教学设计，共4页。教案主要包含了教学目标，教学重点，教学难点，教学方法，教学过程等内容，欢迎下载使用。
1．掌握圆的一般方程，能判断一个二元二次方程是否是圆的方程．
2．能根据圆的一般方程求出圆心坐标和半径，会用待定系数法求圆的方程．
3．进一步培养学生数形结合的能力，综合应用知识解决问题的能力．
【教学重点】
圆的一般方程．
【教学难点】
二元二次方程与圆的一般方程的关系．
【教学方法】
这节课主要采用讲练结合的方法．首先由圆的标准方程展开得到圆的一般方程，然后讨论一个二元二次方程满足什么样的条件才能表示圆．最后通过例题，让学生初步感悟待定系数法和求曲线方程的一般步骤．
【教学过程】
环节
教学内容
师生互动
设计意图
引
入
1. 圆心为C(a，b)，半径为r(r＞0)的圆的标准方程是什么？
2. 回答下列问题
（1）以原点为圆心，半径为3的圆的方程是 ；
（2）圆(x－1)2＋(y＋2)2＝25的圆心坐标是 ，半径是 ．
3. 直线方程有多种形式，圆的方程是否还有其他的形式？
师：上节课我们学习了圆的标准方程，请同学们回顾一下，圆心坐标为(a，b)，半径为r的圆的方程是什么？
学生回答教师提出的问题．
学生口答，教师点评．
教师类比直线方程提出问题．
回顾上节所学内容，为学习新知做好准备．
新
课
新
课
新
课
探究一
（1）请将圆心在(a，b)半径为r的圆的标准方程展开；
（2）展开后得到的方程有几个未知数？最高次是几次？这个方程是几元几次方程？
（3）如果令－2a＝D，－2b＝E，a2＋b2－r2＝F，这个方程是什么形式？
（4）任意一个圆的方程都可表示为
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
的形式吗？
探究二
（1）请举出几个形式为
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
的方程；
（2）你所举出的方程一定表示圆吗？
下述方程表示的是圆吗？
x2＋y2＋2x＋2y＋8＝0，
x2＋y2＋2x＋2y＋2＝0，
x2＋y2＋2x＋2y＝0．
探究三
满足怎样的条件时，方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 ①
表示圆？
将方程配方，得
(x＋ EQ EQ \F(D,2))2＋(y＋ EQ EQ \F(E,2))2＝ EQ \F(D2＋E2－4F,4)． ②
（1）当D2＋E2－4F>0时，方程①表示以(－ EQ \F(D,2)，－ EQ \F(E,2))为圆心，且半径为 EQ \F(1,2) EQ \R(,D2＋E2－4F)的圆；
（2）当D2＋E2－4F＝0时，方程①表示点(－ EQ \F(D,2)，－ EQ \F(E,2))；
（3）当D2＋E2－4F0时，方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
叫做圆的一般方程．
练习一
求出下列圆的圆心及半径：
（1）x2＋y2－6x＝0；
（2）x2＋y2－4x－6y＋12＝0.
例1 求过点O(0，0)，M(1，1)，N(4，2)的圆的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标．
解：设所求圆的方程为
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
其中D，E，F待定．
由题意得
EQ \B\LC\{(\A\AL\COL(F＝0,D＋E＋F＋2＝0,4D＋2E＋F＋20＝0))
解得
D＝－8，E＝6，F＝0．
于是所求圆的方程为
x2＋y2－8x＋6y＝0．
将这个方程配方，得
(x－4)2＋(y＋3)2＝25．
所以所求圆的圆心坐标是(4，－3)，半径为5．
练习二
求经过三点(0，0)，(3，2)，(－4，0)的圆的方程．
例2 已知一曲线是与两个定点O(0，0)，A(3，0) 距离比为 EQ \F(1,2)的点轨迹，求这个曲线的方程．
解 在给定的坐标系中，设M(x，y)是曲线上的任意一点，点M在曲线上的充要条件是
EQ \F(|OM|,|AM|)＝ EQ \F(1,2)．
由两点间的距离公式，上式可用坐标表示为
EQ \F( EQ \R(,x2＋y2), EQ \R(,(x－3)2＋y2)) ＝ EQ \F(1,2)，
两边平方并化简，得曲线方程
x2＋y2＋2x－3＝0．
将方程配方，得
(x＋1)2＋y2＝4.
所以所求曲线是以C(－1，0)为圆心，半径为2的圆．
练习三
求与两定点A(－1，2)，B(3，2)的距离比为 EQ \R(,2) 的点的轨迹方程．
学生解决教师提出的问题，教师点评．
师：在方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋ F＝0中D，E，F是常数吗？为什么？
学生回答教师提出的问题．
学生思考教师提出的问题．
师：将方程x2＋y2＋2x＋2y＋ 8＝0配方，你能得到怎样的方程？
学生根据教师提示分组解答，配方后方程分别为
(x＋1)2＋(y＋1)2＝－6，
(x＋1)2＋(y＋1)2＝0，
(x＋1)2＋(y＋1)2＝2．
学生猜想．
教师强调配方法的应用，引导学生解答．
师：将方程②同圆的标准方程比较，如果方程②表示圆，必须满足怎样的条件？
此时圆的圆心坐标是多少？圆的半径呢？
学生回答，教师点评．
师：由以上探究可知，只有当D2＋E2－4F>0时，方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
才表示一个圆．
师：圆的标准方程指明了圆的圆心和半径，圆的一般方程表明了圆的方程形式是二元二次方程．
学生练习，教师巡视时应当引导学生用配方法求解．
师：确定一个圆的标准方程需要知道哪几个值？要确定圆的一般方程呢？
学生回答．
师：先设所求方程为
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0．
师：根据圆经过三个点，这三个点的坐标应满足方程，所以我们会得到一个三元一次方程组．
教师引导学生解方程组．
师：求出D，E，F的值，所求圆的方程也就确定了．
师：像这种求圆的一般方程的方法叫待定系数法．
师：类似前面的讨论，我们可以用配方法表示出圆的标准方程，然后写出圆心坐标及半径．
学生练习，教师巡视．
师：请同学们回顾一下推导圆的标准方程时的过程．
学生看书回顾，教师指明推导标准方程的主要步骤．
师：设动点，写出动点M满足的条件．
师：用点的坐标表示M满足的几何条件．
师：化简方程．
教师演示所得图形曲线．
学生练习，教师巡视．
使学生初步了解圆的一般方程的形式．
强调方程中D，E，F是常数．
加深对圆的一般方程形式的认识．
学生通过举例验证引出问题（2）．
让学生主动猜想．
强调配方法在解决二次问题中的应用．
类比圆的标准方程，探究方程二元二次方程表示圆的条件．
强调圆的标准方程和一般方程的特点．
让学生了解待定系法求圆的方程的一般步骤．
类比推导圆的标准方程的步骤，让学生初步感悟求曲线方程的一般步骤和方法．
强化训练．
小
结
1．圆的一般方程是
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
其中D2＋E2－4F>0．
2．待定系数法求圆的一般方程．
学生在教师的引导下回顾本节主要内容．
简洁明了概括本节课的重要知识，学生易于理解记忆．
作
业
教材P96练习A组第1，2题．
教材P96练习B组第2题（选做）．
学生标记作业．
针对学生实际，对课后书面作业实施分层设置．