高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质课时练习

5.4.2-课时1：正弦函数、余弦函数的周期性

1.    下列函数中，最小正周期为的偶函数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.    下列函数中，最小正周期是且图象关于直线对称的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.    函数在的图象大致为(    )

A.  B.
C.  D.

4.    函数是(    )

A. 最小正周期为的奇函数 B. 最小正周期为的偶函数
C. 最小正周期为的奇函数 D. 最小正周期为的偶函数

5.    已知函数是周期函数，最小正周期为，当时，若，则满足的所有取值的和为(    )

A.  B.  C.  D.

6.    我国著名数学家华罗庚先生曾说，数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休在数学的学习和研究中，经常用函数的图象研究函数的性质已知函数的图象可能为(    )

A.  B.
C.  D.

7.    下列函数周期为的是(    )

A.  B.
C.  D.

8.    下列命题中，真命题的是(    )

A. 的图象与的图象关于轴对称
B. 的图象与的图象相同
C. 的图象与的图象关于轴对称
D. 的图象与的图象相同

9.    下列结论中，正确的是(    )

A. 幂函数的图象经过点，其图象过点
B. 设正实数、满足，则的最小值为
C. 函数的最小正周期是
D. 函数的图象必过定点

10. 已知函数的图象关于直线对称，则的值为          ．
11. 函数的最小正周期为          ．
12. 已知函数，则的最小正周期是          ，其图象在区间上的对称中心的坐标是          ．
13. 已知函数，若方程的解为，则          ，          ．
14.                     ．
15. 写出一个最小正周期为的偶函数          ．
16. 判断函数的奇偶性．
17. 求下列函数的最小正周期；
    ，；，．
18. 已知是以为周期的偶函数，且时，，当时，求的解析式．
19. 求的最小正周期，并判断其奇偶性．
20. 已知函数．

求函数的定义域并判断函数的奇偶性；

求函数的最小正周期．

21. 判断下列函数的奇偶性

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查三角函数的图象和性质，要求熟练掌握三角函数的周期性、单调性和奇偶性，属于基础题．
分别根据函数的单调性奇偶性和周期性进行判定即可得到结论．

【解答】

解：对于，函数的最小正周期为的偶函数．
对于，函数是最小正周期为的奇函数．不满足条件；
对于，函数是最小正周期为的偶函数，不满足条件；
对于，是最小正周期为的偶函数，不满足条件．
故选A．

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了三角函数的周期与对称性，直接由三角函数的性质求出最小正周期，以及当时，可取得最值即可得到答案．

【解答】

解：由题意知，，当时，可取得最值．
对于，将代入，可得，故排除；
对于，将代入，可得，故B正确；
对于，的周期为，故排除；
对于，将代入，可得，故排除．
故选B．

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了函数图象的识别，函数的奇偶性．
由的解析式知为奇函数可排除，然后计算，判断正负即可排除，，从而可得结果．

【解答】

解：，，
，
为上的奇函数，因此排除；
又，因此排除，，
故选D．

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查三角函数的周期性和函数的奇偶性．
计算周期，由可知该函数为偶函数．

【解答】

解：函数的最小正周期为，
且，
函数是最小正周期为的偶函数．
故选B．

5.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查正弦函数的性质以及函数的周期性，属于中档题．
根据时，，且，解得，然后由函数的最小正周期为，得到所有的取值即可求解．

【解答】

解：  因为时，，

所以若，

则，又，

所以，解得，

因为函数的最小正周期为，

所以当时，

满足的所有的取值为，，，，，，，，

所以所有取值的和为，

故选：

6.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查函数图象的识别和判断，结合函数的奇偶性和对称性，利用排除法是解决本题的关键，属于常考题．
判断函数的奇偶性和对称性，结合当时的函数符号进行排除即可．

【解答】

解：，则函数是偶函数，图象关于轴对称，排除，，
当时，，排除．
故选：．

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查三角函数的周期性，属于基础题．
根据正弦函数，余弦函数，正切函数的周期公式分析各选项即可．

【解答】

解：对于，函数的周期为，故A错误；
对于，函数的周期为，故B正确；
对于，函数的周期为，故C正确；
对于，函数的周期为，故D正确．
故选BCD．

8.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查三角函数的图象，考查命题真假的判断，考查学生分析解决问题的能力．
利用正弦曲线和余弦曲线以及正余弦函数的奇偶性，借助图象变换，逐个判断，即可得出结论．

【解答】

解：对于，是偶函数，而为奇函数，
故与的图象不关于轴对称，故A错误；
对于，，，即其图象相同，故B正确；
对于，当时，，即此时两图象相同，故C错误；
对于，，故这两个函数图象相同，故D正确，
故选BD．

9.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查命题的真假判断，涉及知识点较多，综合性较强，但难度不大，是中档题．
A.根据幂函数的定义求出函数的解析式即可进行判断．
B.根据基本不等式的性质进行证明．
C.根据三角函数绝对值函数的周期性质进行判断．
D.根据对数函数过定点的性质进行判断．

【解答】

解：经过点，，
则，则，图象过点，故A正确，
B.，，
当且仅当，即时，取等号，即的最小值为，故B正确，
C.的最小正周期是，而的最小正周期是，故C错误，
D.当时，，即的图象必过定点，故D正确．
故选：．

10.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查三角函数的图象和性质，利用正弦函数的对称性建立方程关系是解决本题的关键．
根据正弦函数的对称性建立方程关系进行求解即可．

【解答】

解：的图象关于直线对称，
，，
即，，
，
当时，，
故答案为：．

11.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查求三角函数的周期问题，涉及正弦函数的图象与性质，属于基础题．
根据题意得到即可求得最小正周期．

【解答】

解：，

由函数的图象得：的最小正周期为，
故答案为．

12.【答案】

【解析】

【分析】本题主要考查的图象和性质，属于基础题．
由条件利用的图象和性质可得最小正周期和对称中心．
【解答】解：对于函数， 
它的周期为，
令， ，
解得，，
故对称中心为，
故，时可得在区间上的对称中心的坐标是；
故答案为；．  

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了三角函数的对称性，及利用诱导公式化简三角函数并求值，解题的关键是要注意到是的两个根，由三角函数图象的对称性得到两个根的对称性，从而得解，考查了学生的分析解题能力与转化能力，属于中档题．
由已知求出的范围，根据方程的解的对称性可求得；再利用表示，即可表示为，再根据已知条件结合三角函数求值即可得到答案．

【解答】

解：，
，

又方程的解为，
，解得．
，

 ，

由，可得，
 

又，可得，

．

故答案为：；．

14.【答案】  

【解析】

【分析】

本题主要考查特殊角的正弦值，函数的周期性的应用，属于基础题．
由题意利用特殊角的正弦值，函数的周期性，计算求得结果．

【解答】

解：，
由于函数是以为最小正周期的周期函数，
要求的式子共有项，
故要求式子的值为 ，
故答案为：；．

15.【答案】答案不唯一 

【解析】

【分析】

本题利用函数的奇偶性与周期性求函数解析式的问题．

利用，，并结合余弦函数的性质，即可写出一个最小正周期为的偶函数．

【解答】

解：由题意知：，，不妨设，
且，

为一个最小正周期为的偶函数．

故答案为：

16.【答案】解：，，由于定义域不关于原点对称，

所以该函数非奇非偶函数．

【解析】本题考查了判断函数的奇偶性，判断时需先判断函数的定义域是否关于原点对称．
首先判断函数的定义域是否关于原点对称，然后再利用函数的奇偶性定义进行判断即可．
 

17.【答案】解：函数，的最小正周期是；
函数，的最小正周期是． 

【解析】本题考查了正弦型、余弦型函数的周期计算问题，是基础题．
根据正弦型、余弦型函数的周期为，计算即可．
 

18.【答案】解：当时，，

所以，

因为是以为周期的偶函数，

所以，

所以，

【解析】本题考查函数的周期性和奇偶性，属于基础题．
当时，，再结合已知和函数的周期性和奇偶性可得答案
 

19.【答案】解：列表：

描点，并将它们用平滑的曲线连接起来，可得的图像如图所示，由函数图像可知函数的最小正周期为，
，
由图像知为偶函数． 

【解析】本题主要考查了函数的周期性，奇偶性，属于基础题列表，描点，画出图像，可得性质．
 

20.【答案】解：由，得，，
所以函数的定义域为，

．

因为，且函数的定义域关于坐标原点对称，故函数为偶函数．

因为，
所以的最小正周期为．

【解析】本题主要考查三角函数的化简，函数的奇偶性，三角函数的周期性．
根据分母不等于零求得的定义域，化简解析式，结合奇偶性的定义判断出的奇偶性．

利用三角函数最小正周期公式计算出的最小正周期．

21.【答案】解：设，定义域为，
，所以为偶函数．

设，定义域为，
则，所以为偶函数．

设，定义域为，
则，所以为奇函数．

【解析】本题考查函数奇偶性的判断，属于基础题．
利用函数的奇偶性的定义，判断与的关系，注意函数的定义域．