【同步练习】高中数学人教A版(2019)必修第一册--5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 课后练习（含解析）

这是一份【同步练习】高中数学人教A版(2019)必修第一册--5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 课后练习（含解析），共12页。试卷主要包含了2%)，8%)，1%)等内容，欢迎下载使用。


高中数学人教A版（2019）必修第一册第五章5.4.2正弦函数、余弦函数的性质——课后练习（1）
一、单选题
1．函数f(x)=sin(12x−π6)，x∈R的最小正周期是（　　）
A．π2 B．π C．4π D．π4
2．函数f(x)=−3cos(2x−π6)的一条对称轴是（　　）
A．x=−π6 B．x=π12 C．x=π4 D．x=π3
3．函数f(x)=sin(2x+π6)的图象的一个对称中心是（　　）
A．(π3，0) B．(−π12，0) C．(−π6，0) D．(π6，0)
4．已知函数y=sin(x+φ) (0<φ<π)为偶函数，则φ=（　　）
A．π4 B．π3 C．π2 D．5π6
5．函数y=|5sin(2x+π3)|的最小正周期为（　　）
A．π2 B．π C．2π D．2π3
6．函数y=2sin(2x+π3)的图像（　　）
A．关于y轴对称 B．关于直线x=π6对称
C．关于点(0,0)对称 D．关于点(−π6,0)对称
7．下列函数中是奇函数,且最小正周期是π的函数是(　　)
A．y=tan2x B．y=|sinx|
C．y=sinπ2+2x D．y=cos(3π2−2x)
8．当x=π4时，函数f(x)=Asin(x+φ)(A>0)取得最小值，则函数y=f(3π4−x)是(　　)
A．奇函数且图象关于点(π2,0)对称
B．偶函数且图象关于点(π,0)对称
C．奇函数且图象关于直线x=π2对称
D．偶函数且图象关于点(π2,0)对称
二、多选题
9．下列函数，最小正周期为π的有（　　）
A．y=sin|x| B．y=|sinx|
C．y=2cosx−1 D．y=sin(π3−2x)
10．已知函数f(x)=|sinx|，则下列说法正确的是（　　）
A．f(x)的最小值为0 B．f(x)的最小正周期为π
C．f(−π6)>f(−π7) D．f(x)是奇函数
11．下列说法正确的是（　　）
A．与角19π6终边相同的角α的集合可以表示为{α|α=2kπ+π6,k∈Z}
B．若α为第一象限角，则α2为第一或第三象限角
C．函数f(x)=sin(x+ϕ+π4)是偶函数，则ϕ的一个可能值为3π4
D．“ x=π3 ”是函数f(x)=2cos(2x+π3)的一条对称轴
12．已知函数f(x)=3sin(2x+π6)，则下列选项正确的有（　　）
A．f(x)的最小正周期为π
B．曲线y=f(x)关于点(π3,0)中心对称
C．f(x)的最大值为3
D．曲线y=f(x)关于直线x=π6对称
三、填空题
13．函数y=5sin(25x+π6)的最小正周期是　　.
14．函数y=sin(2x−π6)的图像的对称轴方程为　　．
15．函数y=3sin(2x+φ)图象的一个对称中心为(5π24，0)，图象的对称轴为　　.
16．函数y=sin(2x+φ)(0<φ<π2)图象的一条对称轴在区间(π6,π3)内，则φ的取值范围为　　.
四、解答题
17．函数f(x)=Asin(ωx−π6)+1（A>0，ω>0）的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2，
（1）求函数f(x)的解析式；
（2）设α∈(0，π2)，则f(α2)=2，求α的值
18．已知函数f(x)=log12|sinx| .
（1）求函数f(x)的定义域和值域；
（2）判断函数f(x)的奇偶性；
（3）判断函数f(x)的周期性，若是周期函数，求其周期．
19．已知函数f（x）＝2sin（2x −π6）+a，a为常数
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）若x∈[0，π2 ]时，f（x）的最小值为﹣2，求a的值．

答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】函数f(x)=sin(12x−π6)的最小正周期T=2π12=4π.
故答案为：C

【分析】利用正弦型函数周期公式直接计算作答.
2．【答案】B
【解析】【解答】由余弦函数性质，有2x−π6=kπ， k∈Z，即x=kπ2+π12， k∈Z，
∴当k=0时，有x=π12.
故答案为：B

【分析】利用余弦函数的图象的对称性，即可得出答案.
3．【答案】B
【解析】【解答】∵y=sin(2x+π6)
令2x+π6=kπ，k∈Z，解得：x=12kπ−π12，k∈Z.
所以函数f(x)的图象的对称中心为(12kπ−π12，0)，k∈Z.
当k=0时，(−π12，0)就是函数的图象的一个对称中心，
故答案为：B.

【分析】利用正弦函数的对称性质可知2x+π6=kπ，从而可得函数f(x)的图象的对称中心为(12kπ−π12，0)，k∈Z再赋值即可得答案．
4．【答案】C
【解析】【解答】因为函数y=sin(x+φ) (0<φ<π)为偶函数，
所以φ=kπ+π2，k∈Z，
因为0<φ<π，
所以当k=0时，φ=π2，
故答案为：C．

【分析】利用三角函数奇偶性的性质求出答案.
5．【答案】A
【解析】【解答】函数y=5sin(2x+π3)的周期为：T=2π2=π
由于y=|5sin(2x+π3)|的周期为y=5sin(2x+π3)的周期的一半.
所以y=|5sin(2x+π3)|的周期为：π2
故答案为：A
【分析】首先求出y=5sin(2x+π3)的周期，进一步利用y=|5sin(2x+π3)|的周期为y=5sin(2x+π3)的周期的一半求出结论．
6．【答案】D
【解析】【解答】当x=0时，y=2sinπ3=3，函数值不为0，且无法取到最值，A,C不符合题意；
当x=π6时，y=2sin(π3+π3)=3，函数值不为0，且无法取到最值，B不符合题意；
当x=−π6时，y=2sin(−π3+π3)=0，函数值为0，关于点(−π6,0)中心对称；
故答案为：D.

【分析】由已知利用正弦函数的对称性，分别判断各选项即可得结果.
7．【答案】D
【解析】【解答】函数y=tan2x是奇函数但周期是π2，故答案A不符合题意．函数y=|sinx|周期是π，但是偶函数，故答案B不符合题意．函数y=sin(π2+2x)=cos2x的周期为π，但为偶函数，故答案C不符合题意．函数y=cos(3π2−2x)=−sin2x是奇函数且周期为π， D符合题意．
故答案为：D

【分析】利用三角型函数的最小正周期公式和奇函数的定义结合已知条件，从而找出满足要求的函数。
8．【答案】C
【解析】【解答】由x=π4时函数f(x)=Asin(x+φ)(A>0)取得最小值，
∴−A=Asin(π4+φ)，可得：sin(π4+φ)=−1，
∴π4+φ=2kπ−π2，k∈Z，解得：φ=2kπ−3π4，k∈Z，
∴f(x)=Asin(x−3π4)，
∴y=f(3π4−x)=Asin(3π4−x−3π4)=−Asinx，
∴函数是奇函数且图象关于直线x=π2对称，
故答案为：C．
【分析】由题意可得sin(π4+φ)=−1，解得φ=2kπ−3π4，k∈Z，从而可求y=f(3π4−x)=Asin(3π4−x−3π4)=−Asinx，利用正弦函数的图象和性质即可得答案。
9．【答案】B,D
【解析】【解答】A，y=sin|x|为偶函数，图像关于y轴对称，其图像如下，不是周期函数，所以A不正确.

B，作出函数y=|sinx|的图像如下，观察可得其最小正周期为π，所以B符合题意.

C，由周期的计算公式T=2π|ω|可得y=2cosx−1的最小正周期为2 π，所以C不正确.
D，由周期的计算公式T=2π|ω|可得y=sin(π3−2x)的最小正周期为π，所以D符合题意.
故答案为：BD

【分析】根据题意由正弦函数的图象结合已知条件以及周期公式代入数值计算出结果即可判断出答案。
10．【答案】A,B,C
【解析】【解答】对选项A，−1≤sinx≤1，则0≤|sinx|≤1，A正确；
对选项B，|sinx|=|sin(x+π)|，即有：f(x)=f(x+π)，B正确；
对选项C，f(−π6)=sinπ6，f(−π7)=sinπ7，由正弦函数在[0，π2]上单调递增，则有：f(−π6)>f(−π7)，C正确；
对选项D，f(x)=|sinx|，f(−x)=|sin(−x)|=|sinx|，故f(x)为偶函数，D错误.
故答案为：ABC

【分析】由题意，利用正弦函数的图象和性质逐项进行判断，可得答案.
11．【答案】B,D
【解析】【解答】对于A项，由19π6=2kπ+π6,k=32∉Z可知，A不符合题意；
对于B项，因为α为第一象限角，所以2kπ<α<π2+2kπ,k∈Z，则kπ<α2<π4+kπ,k∈Z，即α2为第一或第三象限角，B符合题意；
对于C项，当ϕ=3π4时，f(x)=sin(x+π)=−sinx为奇函数，C不符合题意；
对于D项，由f(π3)=2cosπ=−2可知，x=π3是函数f(x)=2cos(2x+π3)的一条对称轴，D符合题意；
故答案为：BD

【分析】直接利用象限角，终边相同的角，正弦型函数的性质，余弦型函数性质的应用判断A、B、C、D的结论．
12．【答案】A,C,D
【解析】【解答】由题意，函数f(x)=3sin(2x+π6)，
对于A，由于f(x)的最小正周期T=2π2=π，故正确；
对于B，由于f(π3)=3sin(2×π3+π6)=32≠0，故错误；
对于C，由于f(x)max=3，故正确；
对于D，f(x)的对称轴为2x+π6=2kπ+π2得x=kπ+π6，当k=0时，x=π6，
即y=f(x)关于直线x=π6对称，所以D符合题意.
故答案为：ACD.

【分析】由函数的周期的求法及函数的性质逐项进行判断，即可得出答案。
13．【答案】5π
【解析】【解答】函数y=5sin(25x+π6)中ω=25，
∴T=2πω=5π .
故答案为：5π
【分析】直接利用三角函数的周期公式，求出函数的周期即可.
14．【答案】x=kπ2+π3(k∈Z)
【解析】【解答】y=sinx的图像的对称轴方程是x=kπ+π2(k∈Z)，令2x−π6=kπ+π2(k∈Z)，得x=kπ2+π3(k∈Z)，∴所求的对称轴方程为x=kπ2+π3(k∈Z)．
答案：x=kπ2+π3(k∈Z)
【分析】利用y=sinx的图像的对称轴方程是x=kπ+π2(k∈Z)，直接令2x−π6=kπ+π2(k∈Z)，进而求解即可
15．【答案】x=11π24+kπ2(k∈Z)
【解析】【解答】函数y=3sin(2x+φ)的图象对称中心为(5π24，0)，
可知2×5π24+φ=kπ，可得φ=kπ−512π(k∈Z) .
y=3sin(2x+kπ−512π)(k∈Z)，令2x−512π=kπ+π2 .
得x=11π24+kπ2(k∈Z) .
故答案为：x=11π24+kπ2(k∈Z)

【分析】首先根据对称中心，求φ值，再整体代入求函数的对称轴。
16．【答案】(0,π6)
【解析】【解答】由题, y=sin(2x+φ)(0<φ<π2)的对称轴为2x+φ=kπ+π2⇒x=kπ+π2−φ2 .
故π6 因为0<φ<π2所以0<φ<π6 .
故答案为：(0,π6)
【分析】先求解对称轴的表达式,再利用x的范围得出φ的取值范围即可.
17．【答案】（1）由三角函数性质得，最大值为A+1=3，∴A=2，
周期π2×2=π=2πω⇒ω=2，
∴f（x）=2sin（2x- π6）+1
（2）α∈(0，π2)，f（α2）=2
∴2sin（2×α2 - π6）+1=2，得sin（α - π6）= 12，α = π3
【解析】【分析】(1)首先由周期的公式计算出ω的值，由此即可得出函数的解析式。
(2)根据题意把点的坐标代入计算出α的值即可。
18．【答案】（1）解：对于函数f(x)=log12|sinx|，可得|sinx|>0，则sinx≠0，解得x≠kπ(k∈Z)，
所以，函数f(x)的定义域为{x|x≠kπ,k∈Z} .
由于0<|sinx|≤1，则f(x)=log12|sinx|≥0，即函数f(x)的值域为{y|y≥0}
（2）解：函数f(x)的定义域关于原点对称，
且f(−x)=log12|sin(−x)|=log12|−sinx|=log12|sinx|=f(x)，
所以，函数f(x)为偶函数
（3）解：如下图所示：

函数y=|sinx|在{x|x≠kπ,k∈Z}上是最小正周期为π的周期函数，
∵f(x+π)=log12|sin(x+π)|=log12|−sinx|=log12|sinx|=f(x)，
所以，函数f(x)是周期函数，且最小正周期为π
【解析】【分析】(1)由真数大于零结合正弦函数的性质就得出函数f(x)的定义域，根据题意由，正弦函数的值域0<|sinx|≤1，结合对数函数的性质即可得出答案。
(2)由函数奇偶性的定义即可得出答案。
(3)根据题意首先求出函数周期，由此作出函数的图象，再由诱导公式整理结合周期的定义即可得出f(x)的周期。
19．【答案】（1）解：∵f（x）＝2sin（2x −π6）+a，
∴f（x）的最小正周期T =2π2= π．
（2）解：当x∈[0，π2 ]时，2x −π6 ∈[ −π6，5π6 ]，
故当2x −π6=−π6时，函数f（x）取得最小值，即sin（−π6）=−12，
∴f（x）取得最小值为﹣1+a＝﹣2，
∴a＝﹣1．
【解析】【分析】（1）利用正弦函数的周期性，求得函数f（x）的最小正周期．（2）由条件利用正弦函数的定义域和值域，求得a的值．

试题分析部分
1、试卷总体分布分析
总分：67分
分值分布
客观题（占比）
28.0(41.8%)
主观题（占比）
39.0(58.2%)
题量分布
客观题（占比）
12(63.2%)
主观题（占比）
7(36.8%)
2、试卷题量分布分析
大题题型
题目量（占比）
分值（占比）
填空题
4(21.1%)
4.0(6.0%)
解答题
3(15.8%)
35.0(52.2%)
多选题
4(21.1%)
12.0(17.9%)
单选题
8(42.1%)
16.0(23.9%)
3、试卷难度结构分析
序号
难易度
占比
1
普通
(36.8%)
2
容易
(63.2%)
4、试卷知识点分析
序号
知识点（认知水平）
分值（占比）
对应题号
1
余弦函数的奇偶性与对称性
5.0(7.5%)
2,11
2
余弦函数的周期性
18.0(26.9%)
9,18
3
终边相同的角
3.0(4.5%)
11
4
正弦函数的奇偶性与对称性
22.0(32.8%)
3,4,6,7,8,10,11,12,14,15,16
5
正弦函数的单调性
6.0(9.0%)
10,12
6
正弦函数的定义域和值域
25.0(37.3%)
18,19
7
正切函数的奇偶性与对称性
2.0(3.0%)
7
8
正弦函数的图象
10.0(14.9%)
17
9
函数奇偶性的判断
15.0(22.4%)
18
10
象限角、轴线角
3.0(4.5%)
11
11
对数函数的定义域
15.0(22.4%)
18
12
正弦函数的周期性
36.0(53.7%)
1,5,7,9,10,12,13,17,19