数学必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质第1课时同步测试题
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这是一份数学必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质第1课时同步测试题,共8页。
[对应学生用书P98]
知识点1 正弦函数、余弦函数的周期性
1.函数的周期性
(1)一般地,对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期.
(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
2.正弦函数、余弦函数的周期性
(1)正弦函数是周期函数,2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期,最小正周期是2π.
(2)余弦函数是周期函数,2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期,最小正周期是2π.
[微体验]
1.思考辨析
(1)因为sin(45°+90°)=sin 45°,所以90°是函数y=sin x的一个周期.( )
(2)所有周期函数都有最小正周期.( )
(3)如果T是函数f(x)的一个周期,那么nT(n∈Z且n≠0)也是f(x)的周期.( )
答案 (1)× (2)× (3)√
2.函数y=2cs x+5的最小正周期是________.
解析 函数y=2cs x+5的最小正周期为T=2π.
答案 2π
知识点2 正弦函数、余弦函数的奇偶性
正弦函数是奇函数,余弦函数是偶函数.
[微体验]
1.函数y=f(x)=-sin x的奇偶性是( )
A.奇函数
B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数[来源:Z*xx*k.Cm]
D.非奇非偶函数
A [因为x∈R,f(-x)=-sin(-x)=sin x=-f(x),所以函数f(x)为奇函数.]
2.y=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x+\f(π,2)))是( )
A.周期为π的奇函数
B.周期为π的偶函数
C.周期为2π的奇函数
D.周期为2π的偶函数
D [因为y=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x+\f(π,2)))=cs x,所以该函数是周期为2π的偶函数.]
[对应学生用书P99]
探究一 正弦函数、余弦函数的周期问题
求下列函数的最小正周期:
(1)y=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x+\f(π,3)));(2)y=|cs x|.
解 (1)定义法:y=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x+\f(π,3)))
=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x+\f(π,3)+2π))=sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2x+π+\f(π,3))),
所以此函数的周期是π.
公式法:利用公式T=eq \f(2π,|ω|),
得y=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x+\f(π,3)))的周期为eq \f(2π,2)=π.
(2)作出函数y=|cs x|的图象,如图所示.
观察图象可知此函数的周期是π.
[变式探究] 本例(2)中函数改为y=cs |x|,则其周期又是什么?
解 由诱导公式得y=cs |x|=cs x.
所以其周期T=2π.
[方法总结]
求三角函数周期的三种方法
(1)定义法.
(2)公式法.对y=Asin(ωx+φ)或y=Acs(ωx+φ)(A,ω,φ是常数,且A≠0,ω≠0),
T=eq \f(2π,|ω|).
(3)观察法(图象法).
其中公式法是较常用的方法.
[跟踪训练1] 下列函数中,周期为eq \f(π,2)的是( )
A.y=sineq \f(x,2) B.y=sin 2x
C.y=cseq \f(x,4) D.y=cs 4x
D [选项A,周期T=eq \f(2π,\f(1,2))=4π;选项B,周期T=eq \f(2π,2)=π;选项C,周期T=eq \f(2π,\f(1,4))=8π;选项D,周期T=eq \f(2π,4)=eq \f(π,2).]
探究二 正弦函数、余弦函数的奇偶性问题
(1)函数y=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2 019,2)π-2 020x))是( )
A.奇函数 B.偶函数
C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数
(2)已知a∈R,函数f(x)=sin x-|a|(x∈R)为奇函数,则a等于( )
A.0 B.1
C.-1 D.±1
(1)B [因为原式=sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)-2 020x))+1 008π))
=-sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)-2 020x))=-cs 2 020x,所以为偶函数.]
(2)A [函数的定义域为R, 因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=sin(-x)-|a|=-f(x)=-sin x+|a|,所以|a|=0,从而a=0.]
[方法总结]
判断函数奇偶性的两个关键点
关键点一:看函数的定义域是否关于原点对称;
关键点二:看f(-x)与f(x)的关系.
对于三角函数奇偶性的判断,有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断.
[跟踪训练2] 判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=|sin x|+cs x;
(2)f(x)=eq \r(1-cs x)+eq \r(cs x-1).
解 (1)函数的定义域为R,
又f(-x)=|sin(-x)|+cs(-x)=|sin x|+cs x=f(x),所以f(x)是偶函数.
(2)由1-cs x≥0且cs x-1≥0,得cs x=1,从而x=2kπ,k∈Z,此时f(x)=0,故该函数既是奇函数又是偶函数.[来源:学。科。网]
探究三 正弦函数、余弦函数周期性与奇偶性的综合
定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数.若f(x)的最小正周期是π,且当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0, \f(π,2)))时,f(x)=sin x,则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)))的值是多少?
解 ∵f(x)的最小正周期为π,
∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)))=feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)+π))=feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)))=feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π-\f(π,3)))=feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(π,3))).
又f(x)是偶函数,∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(π,3)))=feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))=sin eq \f(π,3)=eq \f(\r(3),2).
即feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)))=eq \f(\r(3),2).
[方法总结]
三角函数周期性与奇偶性的解题策略
(1)探求三角函数的周期,常用方法是公式法,即将函数化为y=Asin(ωx+φ)或y=Acs(ωx+φ)的形式,再利用公式求解.
(2)判断函数y=Asin(ωx+φ)或y=Acs(ωx+φ)是否具备奇偶性,关键是看它能否通过诱导公式转化为y=Asin ωx(A、ω≠0)或y=Acs ωx(A、ω≠0).
[跟踪训练3] 若f(x)是以eq \f(π,2)为周期的奇函数,且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))=1,求feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(5π,6)))的值.
解 ∵f(x)是以eq \f(π,2)为周期的奇函数,
∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)))=feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,6)+\f(π,2)))=feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))=1.
∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(5π,6)))=-feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)))=-feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))=-1.
[对应学生用书P100]
1.求函数的最小正周期的常用方法
(1)定义法,即观察出周期,再用定义来验证;也可由函数所具有的某些性质推出使f(x+T)=f(x)成立的T.
(2)图象法,即作出y=f(x)的图象,观察图象可求出T.如y=|sin x|.
(3)公式法,一般地,函数y=Asin(ωx+φ)(其中A,ω,φ为常数,A≠0,ω>0,x∈R)的周期T=eq \f(2π,ω).
2.判断函数的奇偶性应遵从“定义域优先”原则,即先求定义域,看它是否关于原点对称.涉及三角函数有关的问题时注意诱导公式的运用.
课时作业(四十) 正弦函数、余弦函数的周期性
与奇偶性
[见课时作业(四十)P183]
1.函数f(x)=x+sin x,x∈R( )
A.是奇函数,但不是偶函数
B.是偶函数,但不是奇函数
C.既是奇函数,又是偶函数
D.既不是奇函数,又不是偶函数
A [由f(-x)=-x-sin x=-(x+sin x)=-f(x)可知f(x)是奇函数.]
2.下列是定义在R上的四个函数图象的一部分,其中不是周期函数的是( )
D [结合周期函数的定义可知A,B,C均为周期函数,D不是周期函数.]
3.下列函数中是奇函数,且最小正周期是π的函数是( )
A.y=cs|2x| B.y=|sin x|
C.y=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)+2x)) D.y=cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)-2x))
D [y=cs|2x|是偶函数,y=|sin x|是偶函数,y=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)+2x))=cs 2x是偶函数,y=cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)-2x))=-sin 2x是奇函数,根据公式求得其最小正周期T=π.]
4.函数y=eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(cs x+\f(1,2)))的周期为( )
A.2π B.π
C.eq \f(π,2) D.4π
A [作出函数y=eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(cs x+\f(1,2)))的图象(图略),由图象知,该函数的周期为2π.]
5.(多选题)关于x的函数f(x)=sin (x+φ)说法正确的是( )
A.对任意的φ,f(x)都是非奇非偶函数
B.存在φ,使f(x)是偶函数
C.存在φ,使f(x)是奇函数
D.对任意的φ,f(x)都不是偶函数
BC [当φ=0时,f(x)=sin x是奇函数.
当φ=eq \f(π,2)时,f(x)=cs x是偶函数.故B、C正确,A、D错误.]
6.函数y=4sin(2x+π)的图象关于________对称.
解析 y=4sin(2x+π)=-4sin 2x,易证函数为奇函数,所以其图象关于原点对称.
答案 原点
7.在函数:①y=cs|2x|;②y=|cs x|;③y=cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x+\f(π,6)))中,最小正周期为π的所有函数的序号是________.
解析 由图象(略)知,①②的最小正周期均为π;y=cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x+\f(π,6)))的最小正周期为π.
答案 ①②③
8.函数y=cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(k,4)x+\f(π,3)))(k>0)的最小正周期不大于2,则正整数k的最小值应是________.
解析 ∵T=eq \f(2π,\f(k,4))≤2,即k≥4π,∴正整数k的最小值是13.
答案 13
9.已知函数f(x)满足f(x+2)=-eq \f(1,fx),求证:f(x)是周期函数,并求出它的一个周期.
证明 ∵f(x+4)=f(x+2+2)=-eq \f(1,fx+2)=f(x),
∴f(x)是周期函数,且4是它的一个周期.
10.已知f(x)是以π为周期的偶函数,且x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0, \f(π,2)))时,f(x)=1-sin x,求当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5π,2), 3π))时f(x)的解析式.
解 x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5π,2), 3π))时,3π-x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0, \f(π,2))),
因为x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0, \f(π,2)))时,f(x)=1-sin x,
所以f(3π-x)=1-sin(3π-x)=1-sin x.
又f(x)是以π为周期的偶函数,
所以f(3π-x)=f(-x)=f(x),
所以f(x)的解析式为f(x)=1-sin x,x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5π,2), 3π)).
1.设f(x)是定义域为R,最小正周期为eq \f(3π,2)的函数,若f(x)=eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(cs x,-\f(π,2)≤x≤0,,sin x,0
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