2023年湖南省中考数学真题分类汇编：四边形、命题与证明(含答案)

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2023年湖南省中考数学真题分类汇编：四边形、命题与证明

一、选择题

1．（2023·常德）下列命题正确的是(　　)

A．正方形的对角线相等且互相平分

B．对角互补的四边形是平行四边形

C．矩形的对角线互相垂直

D．一组邻边相等的四边形是菱形

2．（2023·株洲）如图所示，在矩形中，，与相交于点O，下列说法正确的是（　　）

A．点O为矩形的对称中心 B．点O为线段的对称中心

C．直线为矩形的对称轴 D．直线为线段的对称轴

3．（2023·株洲）一技术人员用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知，点D为边的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则（　　）

A． B． C． D．

4．（2023·岳阳）下列命题是真命题的是（　　）

A．同位角相等 B．菱形的四条边相等

C．正五边形是中心对称图形 D．单项式的次数是4

5．（2023·衡阳）我们可以用以下推理来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”．假设三角形没有一个内角小于或等于，即三个内角都大于．则三角形的三个内角的和大于，这与“三角形的内角和等于”这个定理矛盾．所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于．上述推理使用的证明方法是（　　）

A．反证法 B．比较法 C．综合法 D．分析法

6．（2023·衡阳）如图，在四边形ABCD中，BC∥AD，添加下列条件，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）

A．AB＝CD B．AB∥CD C．∠A＝∠C D．BC＝AD

二、填空题

7．（2023·衡阳）如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是　     　 个．

8．（2023·张家界）如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点的坐标为，是以点为圆心，为半径的圆弧；是以点为圆心，为半径的圆弧，是以点为圆心，为半径的圆弧，是以点为圆心，为半径的圆弧，继续以点，，，为圆心按上述作法得到的曲线称为正方形的“渐开线”，则点的坐标是　           　．

三、综合题

9．（2023·株洲）如图所示，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，其中点A、C分别在x轴负半轴，y轴负半轴上，点B在第三象限内，点，点在函数的图像上

（1）求k的值；

（2）连接，记的面积为S，设，求T的最大值．

10．（2023·长沙）我们约定：若关于x的二次函数与同时满足，则称函数与函数互为“美美与共”函数．根据该约定，解答下列问题：

（1）若关于x的二次函数与互为“美美与共”函数，求k，m，n的值；

（2）对于任意非零实数r，s，点与点始终在关于x的函数的图像上运动，函数与互为“美美与共”函数．

①求函数的图像的对称轴；

②函数的图像是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由；

（3）在同一平面直角坐标系中，若关于x的二次函数与它的“美美与共”函数的图像顶点分别为点A，点B，函数的图像与x轴交于不同两点C，D，函数的图像与x轴交于不同两点E，F．当时，以A，B，C，D为顶点的四边形能否为正方形？若能，求出该正方形面积的取值范围；若不请说明理由．

11．（2023·张家界）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点和点两点，与y轴交于点．点D为线段上的一动点．

（1）求二次函数的表达式；

（2）如图1，求周长的最小值；

（3）如图2，过动点D作交抛物线第一象限部分于点P，连接，记与的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值．

12．（2023·衡阳）（1）[问题探究]

如图1，在正方形中，对角线相交于点O．在线段上任取一点P（端点除外），连接．

①求证：；

②将线段绕点P逆时针旋转，使点D落在的延长线上的点Q处．当点P在线段上的位置发生变化时，的大小是否发生变化？请说明理由；

③探究与的数量关系，并说明理由．

（2）[迁移探究]

如图2，将正方形换成菱形，且，其他条件不变．试探究与的数量关系，并说明理由．

答案解析部分

1．【答案】A

2．【答案】A

3．【答案】B

4．【答案】B

5．【答案】A

6．【答案】A

7．【答案】10

8．【答案】

9．【答案】（1）解：∵点在函数的图像上，

∴，

∴，

即k的值为2；

（2）解：∵点在x轴负半轴，

∴，

∵四边形为正方形，

∴，轴，

∴的面积为，

∴，

∵，

∴抛物线开口向下，

∴当时，有最大值，T的最大值是1．

10．【答案】（1）解：由题意可知：，

∴．

答：k的值为，m的值为3，n的值为2．

（2）解：①∵点与点始终在关于x的函数的图像上运动，

∴对称轴为，

∴，

∴，

∴对称轴为．

答：函数的图像的对称轴为．

②，令，解得，

∴过定点，．

答：函数y2的图像过定点，．

（3）解：由题意可知，，

∴，

∴， ，

∵且，

∴；

①若，则，

要使以A，B，C，D为顶点的四边形能构成正方形，

则为等腰直角三角形，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴；

②若，则A、B关于y轴对称，以A，B，C，D为顶点的四边形不能构成正方形，

综上，以A，B，C，D为顶点的四边形能构成正方形，此时．

11．【答案】（1）解：由题意可知，设抛物线的表达式为，

将代入上式得：，

所以抛物线的表达式为；

（2）解：作点O关于直线的对称点E，连接，

∵，，，

∴，

∵O、E关于直线对称，

∴四边形为正方形，

∴，

连接，交于点D，由对称性，

此时有最小值为的长，

∵的周长为，

，的最小值为10，

∴的周长的最小值为；

（3）解： 由已知点 ， ， ，

设直线 的表达式为 ，

将 ， 代入 中， ，解得 ，

∴直线 的表达式为 ，

同理可得：直线 的表达式为 ，

∵ ，

∴设直线 表达式为 ，

由（1）设 ，代入直线 的表达式

得： ，

∴直线 的表达式为： ，

由 ，得 ，

∴ ，

∵P，D都在第一象限，

∴

，

∴当 时，此时P点为 .

．

12．【答案】（1）①证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴CD = CB，∠DCA= ∠BCA= 45°，
∵CP=CP，
∴△DCP≌△BCP，
∴PD = PB；
②∠DPQ的大小不发生变化，∠DPQ=90°；
理由如下：如图所示：作PM⊥AB，PN⊥AD，垂足分别为点M、N，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAC = ∠BAC =45°，∠DAB= 90°，
∴四边形AMPN是矩形，PM= PN，
∴∠MPN = 90°，
∵PD=PQ，PM =PN，
∴Rt△DPN≌Rt△QPM(HL)，
∴∠DPN= ∠QPM，
∴∠QPN + ∠QPM = 90°，
∴∠QPN +∠DPN = 90°，
∴∠DPQ =90°；
③AQ=OP；
理由如下：如图所示：作PE⊥AO交AB于点E，作EF⊥OB于点F，作PM⊥AE于点M，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC=45°，∠AOB=90°，
∴∠AEP=45°，四边形OPEF是矩形，
∴PAE = ∠PEA= 45°，EF= OP，
∴PA=PE，
∵PD = PB，PD = PQ，
∴PQ= PB，
∵PM⊥AE，
∴QM=BM，AM=EM，
∴AQ= BE，
∵∠EFB= 90°，∠EBF = 45°，
∴，
∴AQ=OP.

（2）解：；

证明：∵四边形是菱形，，

∴，

∴是等边三角形，垂直平分，

∴，

∵，

∴，

作交于点E，交于点G，如图，

则四边形是平行四边形，，，

∴，都是等边三角形，

∴，

作于点M，则，

∴，

∴．