2023年湖南省中考数学真题分类汇编：一次函数、二次函数(含答案)

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2023年湖南省中考数学真题分类汇编：一次函数、二次函数

一、选择题

1．（2023·长沙）下列一次函数中，y随x的增大而减小的函数是（　　）

A． B． C． D．

2．（2023·邵阳）已知是抛物线（a是常数，上的点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴是直线；②点在抛物线上；③若，则；④若，则其中，正确结论的个数为（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

3．（2023·株洲）如图所示，直线l为二次函数的图像的对称轴，则下列说法正确的是（　　）

A．b恒大于0 B．a，b同号

C．a，b异号 D．以上说法都不对

4．（2023·衡阳）已知，若关于x的方程的解为．关于x的方程的解为．则下列结论正确的是（　　）

A． B．

C． D．

二、填空题

5．（2023·郴州）在一次函数中，随的增大而增大，则的值可以是　                　（任写一个符合条件的数即可）．

6．（2023·郴州）抛物线与轴只有一个交点，则　     　．

三、综合题

7．（2023·常德）如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C，顶点为D．O为坐标原点，．

（1）求二次函数的表达式；

（2）求四边形的面积；

（3）P是抛物线上的一点，且在第一象限内，若，求P点的坐标．

8．（2023·株洲）某花店每天购进支某种花，然后出售．如果当天售不完，那么剩下的这种花进行作废处理、该花店记录了天该种花的日需求量n（n为正整数，单位：支），统计如下表：

（1）求该花店在这天中出现该种花作废处理情形的天数；

（2）当时，日利润y（单位：元）关于n的函数表达式为：；当时，日利润为元．

①当时，间该花店这天的利润为多少元？

②求该花店这天中日利润为元的日需求量的频率．

9．（2023·张家界）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点和点两点，与y轴交于点．点D为线段上的一动点．

（1）求二次函数的表达式；

（2）如图1，求周长的最小值；

（3）如图2，过动点D作交抛物线第一象限部分于点P，连接，记与的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值．

10．（2023·郴州）已知抛物线与轴相交于点，，与轴相交于点．

（1）求抛物线的表达式；

（2）如图1，点是抛物线的对称轴上的一个动点，当的周长最小时，求的值；

（3）如图2，取线段的中点，在抛物线上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

11．（2023·邵阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，且与直线交于两点（点在点的右侧），点为直线上的一动点，设点的横坐标为．

（1）求抛物线的解析式．

（2）过点作轴的垂线，与拋物线交于点．若，求面积的最大值．

（3）抛物线与轴交于点，点为平面直角坐标系上一点，若以为顶点的四边形是菱形，请求出所有满足条件的点的坐标．

12．（2023·株洲）已知二次函数．

（1）若，且该二次函数的图象过点，求的值；

（2）如图所示，在平面直角坐标系中，该二次函数的图象与轴交于点，且，点D在上且在第二象限内，点在轴正半轴上，连接，且线段交轴正半轴于点，．

①求证：．

②当点在线段上，且．的半径长为线段的长度的倍，若，求的值．

13．（2023·岳阳）已知抛物线与轴交于两点，交轴于点．

（1）请求出抛物线的表达式．

（2）如图1，在轴上有一点，点在抛物线上，点为坐标平面内一点，是否存在点使得四边形为正方形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）如图2，将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线，抛物线的顶点为，与轴正半轴交于点，抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

14．（2023·衡阳）如图，已知抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C，连接，过B、C两点作直线．

（1）求a的值．

（2）将直线向下平移个单位长度，交抛物线于、两点．在直线上方的抛物线上是否存在定点D，无论m取何值时，都是点D到直线的距离最大，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）抛物线上是否存在点P，使，若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请说明理由．

15．（2023·怀化）如图一所示，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．

（1）求抛物线的函数表达式及顶点坐标；

（2）点为第三象限内抛物线上一点，作直线，连接、，求面积的最大值及此时点的坐标；

（3）设直线交抛物线于点、，求证：无论为何值，平行于轴的直线上总存在一点，使得为直角．

答案解析部分

1．【答案】D

2．【答案】B

3．【答案】C

4．【答案】B

5．【答案】3（答案不唯一）

6．【答案】9

7．【答案】（1）解：∵二次函数的图象与轴交于两点．

∴设二次函数的表达式为

∵，

∴，即的坐标为

则，得

∴二次函数的表达式为；

（2）解：

∴顶点的坐标为

过作于，作于，

四边形的面积

；

（3）解：如图，是抛物线上的一点，且在第一象限，当时，

连接，过作交于，过作于，

∵，则为等腰直角三角形，．

由勾股定理得：，

∵，

∴，

即，

∴

由，得，

∴．

∴是等腰直角三角形

∴

∴的坐标为

所以过的直线的解析式为

令

解得，或

所以直线与抛物线的两个交点为

即所求的坐标为

8．【答案】（1）解：当时，该种花需要进行作废处理，

则该种花作废处理情形的天数共有：（天）；

（2）解：①当时，日利润y关于n的函数表达式为，

当时，（元）；

②当时，日利润y关于n的函数表达式为；

当时，日利润为元，，

当时，

解得：，

由表可知的天数为2天，

则该花店这天中日利润为元的日需求量的频率为2．

9．【答案】（1）解：由题意可知，设抛物线的表达式为，

将代入上式得：，

所以抛物线的表达式为；

（2）解：作点O关于直线的对称点E，连接，

∵，，，

∴，

∵O、E关于直线对称，

∴四边形为正方形，

∴，

连接，交于点D，由对称性，

此时有最小值为的长，

∵的周长为，

，的最小值为10，

∴的周长的最小值为；

（3）解： 由已知点 ， ， ，

设直线 的表达式为 ，

将 ， 代入 中， ，解得 ，

∴直线 的表达式为 ，

同理可得：直线 的表达式为 ，

∵ ，

∴设直线 表达式为 ，

由（1）设 ，代入直线 的表达式

得： ，

∴直线 的表达式为： ，

由 ，得 ，

∴ ，

∵P，D都在第一象限，

∴

，

∴当 时，此时P点为 .

．

10．【答案】（1）解：∵抛物线与轴相交于点，，

∴，解得：，

∴；

（2）解：∵，当时，，

∴，抛物线的对称轴为直线

∵的周长等于，为定长，

∴当的值最小时，的周长最小，

∵关于对称轴对称，

∴，当三点共线时，的值最小，为的长，此时点为直线与对称轴的交点，

设直线的解析式为：，

则：，解得：，

∴，

当时，，

∴，

∵，

∴，，

∴；

（3）解：存在，

∵为的中点，

∴，

∴，

∵，

∴，

在中，，

∵，

∴，

①当点在点上方时：

过点作，交抛物线与点，则：，此时点纵坐标为2，

设点横坐标为，

则：，

解得：，

∴或；

②当点在点下方时：设与轴交于点，

则：，

设，

则：，，

∴，解得：，

∴，

设的解析式为：，

则：，解得：，

∴，

联立，解得：或，

∴或；

综上：或或或．

11．【答案】（1）解：∵抛物线经过点和点，

∴，

解得：，

∴抛物线解析式为：；

（2）解：∵抛物线与直线交于两点，（点在点的右侧）

联立，

解得：或，

∴，

∴，

∵点为直线上的一动点，设点的横坐标为．

则，，

∴，当时，取得最大值为，

∵，

∴当取得最大值时，最大，

∴，

∴面积的最大值；

（3）解：∵抛物线与轴交于点，

∴，当时，，即，

∵，

∴，

，，

①当为对角线时，，

∴，

解得：，

∴，

∵的中点重合，

∴，

解得：，

∴，

②当为边时，

当四边形为菱形，

∴，

解得：或，

∴或，

∴或，

由的中点重合，

∴或，

解得：或，

∴或，

当时；

如图所示，即四边形是菱形，

点的坐标即为四边形为菱形时，的坐标，

∴点为或，

综上所述，点为或或或或．

12．【答案】（1）解：∵，

∴二次函数解析式为，

∵该二次函数的图象过点，

∴

解得：；

（2）解：①∵，，

∴

∴

∴

∵

∴；

②∵该二次函数的图象与轴交于点，且，

∴，，

∵．

∴，

∵的半径长为线段的长度的倍

∴，

∵，

∴，

∴，

即①，

∵该二次函数的图象与轴交于点，

∴是方程的两个根，

∴，

∵，，

∴，

即②，

①代入②，即，

即，

整理得，

∴，

解得：（正值舍去）

∴，

∴抛物线的对称轴为直线，

∴，

∴．

13．【答案】（1）解：∵抛物线与轴交于两点，交轴于点，

∴把代入，得，

解得，

∴抛物线的解析式为：；

（2）解：假设存在这样的正方形，如图，过点E作于点R，过点F作轴于点I，

∴

∵四边形是正方形，

∴

∴

∴

又

∴

∴

∵

∴

∴

∴；

同理可证明：

∴

∴

∴；

（3）解：∵

∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线，

令则，

解得，

∴

∴将抛物线的图象右平移2个单位后，则有：，对称轴为直线，即

∴点B在平移后的抛物线的对称轴上，

∴

∴

设直线的解析式为，

把代入得，

解得，

∴直线的解析式为，

当时，

∴此时

∴

∴

又

∴，

∴

∴

所以，当点P与点B重合时，即点P的坐标为，则有．

14．【答案】（1）解：抛物线与x轴交于点，

得，

解得：；

（2）解：存在，理由如下：

设与轴交于点，由（1）中结论，得抛物线的解析式为，

当时，，即，

，，即是等腰直角三角形，

，

，

，

设，过点作轴交于点，作于点，

，即是等腰直角三角形，

设直线的解析式为，代入，

得，解得，

故直线的解析式为，

将直线向下平移个单位长度，得直线的解析式为，

，

，

当时，有最大值，

此时也有最大值，；

（3）解：存在或，理由如下：

当点在直线下方时，

在轴上取点，作直线交抛物线于（异于点）点，

由（2）中结论，得，

，

，

，

，

设直线的解析式为，代入点，

得，解得，

故设直线的解析式为，

联立，解得（舍），

故；

当点在直线上方时，如图，在轴上取点，连接，过点作抛物线于点，

，

，

，

，

，

设直线的解析式为，代入点，

得，解得，

故设直线的解析式为，

，且过点，

故设直线的解析式为，

联立，解得，（舍），

故，

综上所述：或

15．【答案】（1）解：将代入，得

，

解得：，

∴抛物线解析式为：，
∴对称轴为
∴当时，
∴顶点坐标为（-1，-9）；

（2）解：如图所示，过点作轴于点，交于点，

由，令，

解得：，

∴，

设直线的解析式为，将点代入得，，

解得：，

∴直线的解析式为，

设，则，

∴

，

当时，的最大值为

∵

∴当取得最大值时，面积取得最大值

∴面积的最大值为，

此时，

∴

（3）解：设、，的中点坐标为，

联立，消去，整理得：，

∴，

∴，

∴，

∴，

设点到的距离为，则，

∵、，

∴，

∴

∴，

∴

∴，

∴点总在上，为直径，且与相切，

∴为直角．

∴无论为何值，平行于轴的直线上总存在一点，使得为直角．