2021中考数学真题知识点分类汇编（含答案）-四边形填空题1

这是一份2021中考数学真题知识点分类汇编（含答案）-四边形填空题1，共55页。

2021中考数学真题知识点分类汇编-四边形填空题1

一．多边形内角与外角（共7小题）
1．（2021•济南）如图，正方形AMNP的边AM在正五边形ABCDE的边AB上，则∠PAE＝　 　．

2．（2021•镇江）如图，花瓣图案中的正六边形ABCDEF的每个内角的度数是 　 　．

3．（2021•德阳）如图，在圆内接五边形ABCDE中，∠EAB+∠C+∠CDE+∠E＝430°，则∠CDA＝　 　度．

4．（2021•郴州）一个多边形的每一个外角都等于60°，则这个多边形的内角和为 　 　度．
5．（2021•雅安）如图，ABCDEF为正六边形，ABGH为正方形，则图中∠BCG的度数为 　 　．

6．（2021•盐城）若一个多边形的每个外角均为40°，则这个多边形的边数为 　 　．
7．（2021•衢州）如图，在正五边形ABCDE中，连结AC，BD交于点F，则∠AFB的度数为 　 　．

二．平行四边形的性质（共4小题）
8．（2021•湘潭）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是边AB的中点．已知BC＝10，则OE＝　 　．

9．（2021•哈尔滨）四边形ABCD是平行四边形，AB＝6，∠BAD的平分线交直线BC于点E，若CE＝2，则▱ABCD的周长为 　 　．
10．（2021•常州）如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是平行四边形，其中点A在x轴正半轴上．若BC＝3，则点A的坐标是 　 　．

11．（2021•广东）如图，在▱ABCD中，AD＝5，AB＝12，sinA＝．过点D作DE⊥AB，垂足为E，则sin∠BCE＝　 　．

三．平行四边形的判定（共1小题）
12．（2021•牡丹江）如图，在四边形ABCD中，AB＝DC，请添加一个条件，使四边形ABCD成为平行四边形，你所添加的条件为 　 　．

四．菱形的性质（共5小题）
13．（2021•绵阳）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，G为AD中点，点E在BC延长线上，F、H分别为CE、GE中点，∠EHF＝∠DGE，CF＝，则AB＝　 　．

14．（2021•黔东南州）如图，BD是菱形ABCD的一条对角线，点E在BC的延长线上，若∠ADB＝32°，则∠DCE的度数为 　 　度．

15．（2021•黑龙江）菱形ABCD中，AB＝6，∠ABC＝60°，以AD为边作等腰直角三角形ADF，∠DAF＝90°，连接BF，BD，则△BDF的面积为 　 　．
16．（2021•贵阳）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD对角线的交点坐标是O（0，0），点B的坐标是（0，1），且BC＝，则点A的坐标是 　 　．

17．（2021•山西）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD＝8，AC＝6，OE∥AB，交BC于点E，则OE的长为 　 　．

五．菱形的判定（共1小题）
18．（2021•益阳）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，从①AB＝AD，②AC＝BD，③∠ABC＝∠ADC中选择一个作为条件，补充后使四边形ABCD成为菱形，则其选择是 　 　（限填序号）．

六．菱形的判定与性质（共1小题）
19．（2021•淄博）两张宽为3cm的纸条交叉重叠成四边形ABCD，如图所示．若∠α＝30°，则对角线BD上的动点P到A，B，C三点距离之和的最小值是 　 　．

七．矩形的性质（共13小题）
20．（2021•内江）如图，矩形ABCD，AB＝1，BC＝2，点A在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上．当点A在x轴上运动时，点D也随之在y轴上运动，在这个运动过程中，点C到原点O的最大距离为 　 　．

21．（2021•西宁）如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，连接CE，过点E作CE的垂线交AB于点F，交CD的延长线于点G，连接CF．已知AF＝，CF＝5，则EF＝　 　．

22．（2021•锦州）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，以点B为圆心、BC的长为半径画弧交AD于点E，再分别以点C，E为圆心、大于CE的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线BF交CD于点G，则CG的长为 　 　．

23．（2021•鞍山）如图，矩形ABCD中，AB＝3，对角线AC，BD交于点O，DH⊥AC，垂足为点H，若∠ADH＝2∠CDH，则AD的长为 　 　．

24．（2021•阜新）如图，折叠矩形纸片ABCD，使点B的对应点E落在CD边上，GH为折痕，已知AB＝6，BC＝10．当折痕GH最长时，线段BH的长为 　 　．

25．（2021•丹东）如图，在矩形ABCD中，连接BD，过点C作∠DBC平分线BE的垂线，垂足为点E，且交BD于点F；过点C作∠BDC平分线DH的垂线，垂足为点H，且交BD于点G，连接HE，若BC＝2，CD＝，则线段HE的长度为 　 　．

26．（2021•哈尔滨）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥BC，垂足为点E，过点A作AF⊥OB，垂足为点F．若BC＝2AF，OD＝6，则BE的长为 　 　．

27．（2021•徐州）如图，四边形ABCD与AEGF均为矩形，点E、F分别在线段AB、AD上．若BE＝FD＝2cm，矩形AEGF的周长为20cm，则图中阴影部分的面积为 　 　cm2．

28．（2021•贵港）如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD，垂足为E，连接CE，若tan∠ADB＝，则tan∠DEC的值是 　 　．

29．（2021•宜宾）如图，在矩形ABCD中，AD＝AB，对角线相交于点O，动点M从点B向点A运动（到点A即停止），点N是AD上一动点，且满足∠MON＝90°，连结MN．在点M、N运动过程中，则以下结论正确的是 　 　．（写出所有正确结论的序号）
①点M、N的运动速度不相等；
②存在某一时刻使S△AMN＝S△MON；
③S△AMN逐渐减小；
④MN2＝BM2+DN2．

30．（2021•贺州）如图，在矩形ABCD中，E，F分别为BC，DA的中点，以CD为斜边作Rt△GCD，GD＝GC，连接GE，GF．若BC＝2GC，则∠EGF＝　 　．

31．（2021•福建）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，点E，F分别是边AB，BC上的动点，点E不与A，B重合，且EF＝AB，G是五边形AEFCD内满足GE＝GF且∠EGF＝90°的点．现给出以下结论：
①∠GEB与∠GFB一定互补；
②点G到边AB，BC的距离一定相等；
③点G到边AD，DC的距离可能相等；
④点G到边AB的距离的最大值为2．
其中正确的是 　 　．（写出所有正确结论的序号）

32．（2021•北京）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，AF＝EC．只需添加一个条件即可证明四边形AECF是菱形，这个条件可以是 　 　（写出一个即可）．

八．矩形的判定（共2小题）
33．（2021•黑龙江）如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC和AC边的中点，请添加一个条件 　 　，使四边形BEFD为矩形．（填一个即可）

34．（2021•黑龙江）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件 　 　，使平行四边形ABCD是矩形．

九．正方形的性质（共11小题）
35．（2021•威海）如图，在正方形ABCD中，AB＝2，E为边AB上一点，F为边BC上一点．连接DE和AF交于点G，连接BG．若AE＝BF，则BG的最小值为 　 　．

36．（2021•赤峰）如图，正方形ABCD的边长为2，点E是BC的中点，连接AE与对角线BD交于点G，连接CG并延长，交AB于点F，连接DE交CF于点H，连接AH．以下结论：①CF⊥DE；②＝；③GH＝；④AD＝AH，其中正确结论的序号是 　 　．

37．（2021•黄石）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝45°，AE交BD于M点，AF交BD于N点．
（1）若正方形的边长为2，则△CEF的周长是 　 　．
（2）下列结论：①BM2+DN2＝MN2；②若F是CD的中点，则tan∠AEF＝2；③连接MF，则△AMF为等腰直角三角形．其中正确结论的序号是 　 　（把你认为所有正确的都填上）．

38．（2021•包头）如图，BD是正方形ABCD的一条对角线，E是BD上一点，F是CB延长线上一点，连接CE，EF，AF．若DE＝DC，EF＝EC，则∠BAF的度数为 　 　．

39．（2021•铜仁市）如图，E、F分别是正方形ABCD的边AB、BC上的动点，满足AE＝BF，连接CE、DF，相交于点G，连接AG，若正方形的边长为2．则线段AG的最小值为 　 　．

40．（2021•张家界）如图，在正方形ABCD外取一点E，连接DE，AE，CE，过点D作DE的垂线交AE于点P，若DE＝DP＝1，PC＝．下列结论：①△APD≌△CED；②AE⊥CE；③点C到直线DE的距离为；④S正方形ABCD＝5+2，其中正确结论的序号为 　 　．

41．（2021•襄阳）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC上，点F在CB的延长线上，∠EAF＝45°，AE交BD于点G，tan∠BAE＝，BF＝2，则FG＝　 　．

42．（2021•铜仁市）如图，将边长为1的正方形ABCD绕点A顺时针旋转30°到AB1C1D1的位置，则阴影部分的面积是 　 　．

43．（2021•贺州）如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，BC＝3BE且BE＝CF，AE⊥BF，垂足为G，O是对角线BD的中点，连接OG，则OG的长为 　 　．

44．（2021•绥化）在边长为4的正方形ABCD中，连接对角线AC、BD，点P是正方形边上或对角线上的一点，若PB＝3PC，则PC＝　 　．
45．（2021•广元）如图，在正方形ABCD中，点O是对角线BD的中点，点P在线段OD上，连接AP并延长交CD于点E，过点P作PF⊥AP交BC于点F，连接AF、EF，AF交BD于G，现有以下结论：①AP＝PF；②DE+BF＝EF；③PB﹣PD＝BF；④S△AEF为定值；⑤S四边形PEFG＝S△APG．以上结论正确的有 　 　（填入正确的序号即可）．

一十．正方形的判定（共1小题）
46．（2021•黑龙江）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件 　 　，使矩形ABCD是正方形．

一十一．四边形综合题（共4小题）
47．（2021•攀枝花）如图，在正方形ABCD中，点M、N分别为边CD、BC上的点，且DM＝CN，AM与DN交于点P，连接AN，点Q为AN的中点，连接PQ，BQ，若AB＝8，DM＝2，给出以下结论：①AM⊥DN；②∠MAN＝∠BAN；③△PQN≌△BQN；④PQ＝5．其中正确的结论有 　 　（填上所有正确结论的序号）

48．（2021•鞍山）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，F是线段OD上的动点（点F不与点O，D重合），连接CF，过点F作FG⊥CF分别交AC，AB于点H，G，连接CG交BD于点M，作OE∥CD交CG于点E，EF交AC于点N．有下列结论：①当BG＝BM时，AG＝BG；②＝；③当GM＝HF时，CF2＝CN•BC；④CN2＝BM2+DF2．其中正确的是 　 　（填序号即可）．

49．（2021•雅安）如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，过点B作BF⊥AC于点M，交CD于点F，过点D作DE∥BF交AC于点N．交AB于点E，连接FN，EM．有下列结论：①四边形NEMF为平行四边形；②DN2＝MC•NC；③△DNF为等边三角形；④当AO＝AD时，四边形DEBF是菱形．其中，正确结论的序号 　 　．

50．（2021•枣庄）如图，∠BOD＝45°，BO＝DO，点A在OB上，四边形ABCD是矩形，连接AC，BD交于点E，连接OE交AD于点F．下列4个判断：①OE⊥BD；②∠ADB＝30°；③DF＝AF；④若点G是线段OF的中点，则△AEG为等腰直角三角形，其中，判断正确的是 　 　．（填序号）


参考答案与试题解析
一．多边形内角与外角（共7小题）
1．（2021•济南）如图，正方形AMNP的边AM在正五边形ABCDE的边AB上，则∠PAE＝　18°　．

【解答】解：∵五边形ABCDE为正五边形，
∴∠EAB＝＝108°，
∵四边形AMNP为正方形，
∴∠PAM＝90°，
∴∠PAE＝∠EAB﹣∠PAM＝108°﹣90°＝18°．
故答案为：18°．
2．（2021•镇江）如图，花瓣图案中的正六边形ABCDEF的每个内角的度数是 　120°　．

【解答】解：设这个正六边形的每一个内角的度数为x，
则6x＝（6﹣2）×180°，
解得x＝120°．
故答案为：120°．
3．（2021•德阳）如图，在圆内接五边形ABCDE中，∠EAB+∠C+∠CDE+∠E＝430°，则∠CDA＝　70　度．

【解答】解：∵五边形ABCDE的内角和为（5﹣2）×180°＝540°，
∴∠EAB+∠B+∠C+∠CDE+∠E＝540°，
∵∠EAB+∠C+∠CDE+∠E＝430°，
∴∠B＝540°﹣430°＝110°，
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠B+∠CDA＝180°，
∴∠CDA＝180°﹣110°＝70°．
故答案为70．
4．（2021•郴州）一个多边形的每一个外角都等于60°，则这个多边形的内角和为 　720　度．
【解答】解：∵多边形的每一个外角都等于60°，
∴它的边数为：360°÷60°＝6，
∴它的内角和：180°×（6﹣2）＝720°，
故答案为：720．
5．（2021•雅安）如图，ABCDEF为正六边形，ABGH为正方形，则图中∠BCG的度数为 　15°　．

【解答】解：∵ABCDEF为正六边形，ABGH为正方形，
∴AB＝BC＝BG，
∴∠BCG＝∠BGC，
∵正六边形ABCDEF的每一个内角是4×180°÷6＝120°，
正方形ABGH的每个内角是90°，
∴∠CBG＝360°﹣120°﹣90°＝150°，
∴∠BCG+∠BGC＝180°﹣150°＝30°，
∴∠BCG＝15°．
故答案为：15°．
6．（2021•盐城）若一个多边形的每个外角均为40°，则这个多边形的边数为 　9　．
【解答】解：360°÷40°＝9，
故答案为：9．
7．（2021•衢州）如图，在正五边形ABCDE中，连结AC，BD交于点F，则∠AFB的度数为 　72°　．

【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠BCD＝∠ABC＝＝108°，
∵BA＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA＝36°，
同理∠CBD＝36°，
∴∠AFB＝∠BCA+∠CBD＝72°，
故答案为：72°．
二．平行四边形的性质（共4小题）
8．（2021•湘潭）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是边AB的中点．已知BC＝10，则OE＝　5　．

【解答】解：在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，
∴点O是AC的中点，
∵点E是边AB的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE＝BC＝5．
故答案为：5．
9．（2021•哈尔滨）四边形ABCD是平行四边形，AB＝6，∠BAD的平分线交直线BC于点E，若CE＝2，则▱ABCD的周长为 　20或28　．
【解答】解：当E点在线段BC上时，如图：

∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BC∥AD，
∴∠BEA＝∠EAD，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠EAD，
∴∠BEA＝∠BAE，
∴BE＝AB，
∵AB＝6，
∴BE＝6，
∵CE＝2，
∴BC＝BE+CE＝6+2＝8，
∴平行四边形ABCD的周长为：2×（6+8）＝28，
当E点在线段BC延长线上时，如图：

∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BC∥AD，
∴∠BEA＝∠EAD，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠EAD，
∴∠BEA＝∠BAE，
∴BE＝AB，
∵AB＝6，
∴BE＝6，
∵CE＝2，
∴BC＝BE﹣CE＝6﹣2＝4，
∴平行四边形ABCD的周长为：2×（6+4）＝20，
综上，平行四边形ABCD的周长为20或28．
故答案为20或28．
10．（2021•常州）如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是平行四边形，其中点A在x轴正半轴上．若BC＝3，则点A的坐标是 　（3，0）　．

【解答】解：∵四边形OABC是平行四边形，BC＝3，
∴OA＝BC＝3，
∵点A在x轴上，
∴点A的坐标为（3，0），
故答案为：（3，0）．
11．（2021•广东）如图，在▱ABCD中，AD＝5，AB＝12，sinA＝．过点D作DE⊥AB，垂足为E，则sin∠BCE＝　　．

【解答】解：如图，过点B作BF⊥EC于点F，

∵DE⊥AB，AD＝5，sinA＝＝，
∴DE＝4，
∴AE＝＝3，
在▱ABCD中，AD＝BC＝5，AB＝CD＝12，
∴BE＝AB﹣AE＝12﹣3＝9，
∵CD∥AB，
∴∠DEA＝∠EDC＝90°，∠CEB＝∠DCE，
∴tan∠CEB＝tan∠DCE，
∴＝＝＝，
∴EF＝3BF，
在Rt△BEF中，根据勾股定理，得
EF2+BF2＝BE2，
∴（3BF）2+BF2＝92，
解得，BF＝，
∴sin∠BCE＝＝＝．
故答案为：．
三．平行四边形的判定（共1小题）
12．（2021•牡丹江）如图，在四边形ABCD中，AB＝DC，请添加一个条件，使四边形ABCD成为平行四边形，你所添加的条件为 　AB∥DC（答案不唯一）　．

【解答】解：添加条件为：AB∥DC，理由如下：
∵AB＝DC，AB∥DC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
故答案为：AB∥DC（答案不唯一）．
四．菱形的性质（共5小题）
13．（2021•绵阳）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，G为AD中点，点E在BC延长线上，F、H分别为CE、GE中点，∠EHF＝∠DGE，CF＝，则AB＝　4　．

【解答】解：连接CG，过点C作CM⊥AD，交AD的延长线于M，

∵F、H分别为CE、GE中点，
∴FH是△CEG的中位线，
∴HF＝CG，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DGE＝∠E，
∵∠EHF＝∠DGE，
∴∠E＝∠EHF，
∴HF＝EF＝CF，
∴CG＝2HF＝2，
∵AB∥CD，
∴∠CDM＝∠A＝60°，
设DM＝x，则CD＝2x，CM＝，
∵点G为AD的中点，
∴DG＝x，
在Rt△CMG中，由勾股定理得：
CG＝＝2，
∴x＝2，
∴AB＝CD＝2x＝4．
故答案为：4．
14．（2021•黔东南州）如图，BD是菱形ABCD的一条对角线，点E在BC的延长线上，若∠ADB＝32°，则∠DCE的度数为 　64　度．

【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴BC＝CD，AD∥BC，
∴∠CBD＝∠BDC，∠CBD＝∠ADB＝32°，
∴∠CBD＝∠BDC＝32°，
∴∠DCE＝∠CBD+∠BDC＝64°，
故答案为：64．
15．（2021•黑龙江）菱形ABCD中，AB＝6，∠ABC＝60°，以AD为边作等腰直角三角形ADF，∠DAF＝90°，连接BF，BD，则△BDF的面积为 　27+或27﹣　．
【解答】解：当AF在AD上方时，如图，延长FA交BC于E，

∵AB＝6，∠ABC＝60°，
∴BE＝3，AE＝3，
S菱形ABCD＝BC×AE＝6×＝18，
∴S△ABD＝＝9，
S△ABF＝，
S△ADF＝，
∴S△BDF＝S△ABD+S△ABF+S△ADF＝9，
当AF在AD下方时，如图，

则S△BDF＝S△ABF+S△ADF﹣S△ABD＝27﹣9，
故答案为：27+9或27﹣9．
16．（2021•贵阳）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD对角线的交点坐标是O（0，0），点B的坐标是（0，1），且BC＝，则点A的坐标是 　（2，0）　．

【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BOC＝90°，OC＝OA，
∵点B的坐标是（0，1），
∴OB＝1，
在直角三角形BOC中，BC＝，
∴OC＝＝2，
∴点C的坐标（﹣2，0），
∵点A与点C关于原点对称，
∴点A的坐标（2，0）．
故答案为：（2，0）．
17．（2021•山西）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD＝8，AC＝6，OE∥AB，交BC于点E，则OE的长为 　　．

【解答】解：∵菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，
∴OA＝OC＝，OB＝，AC⊥BD，
∵OE∥AB，
∴BE＝CE，
∴OE为△ABC的中位线，
∴，
在Rt△ABO中，由勾股定理得：
，
∴OE＝．
五．菱形的判定（共1小题）
18．（2021•益阳）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，从①AB＝AD，②AC＝BD，③∠ABC＝∠ADC中选择一个作为条件，补充后使四边形ABCD成为菱形，则其选择是 　①　（限填序号）．

【解答】解：①∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形；
②∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形；
③∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC，
因此∠ABC＝∠ADC时，四边形ABCD还是平行四边形；
故答案为：①．
六．菱形的判定与性质（共1小题）
19．（2021•淄博）两张宽为3cm的纸条交叉重叠成四边形ABCD，如图所示．若∠α＝30°，则对角线BD上的动点P到A，B，C三点距离之和的最小值是 　6cm　．

【解答】解：如图，作DE⊥BC于E，把△ABP绕点B逆时针旋转60°得到△A'BP′，
∵∠α＝30°，DE＝3cm，
∴CD＝2DE＝6cm，
同理：BC＝AD＝6cm，
由旋转的性质，A′B＝AB＝CD＝6cm，BP′＝BP，A'P′＝AP，∠P′BP＝60°，∠A'BA＝60°，
∴△P′BP是等边三角形，
∴BP＝PP'，
∴PA+PB+PC＝A'P′+PP'+PC，
根据两点间线段距离最短，可知当PA+PB+PC＝A'C时最短，连接A'C，与BD的交点即为P点，即点P到A，B，C三点距离之和的最小值是A′C．
∵∠ABC＝∠DCE＝∠α＝30°，∠A′BA＝60°，
∴∠A′BC＝90°，
∴A′C＝＝＝6（cm），
因此点P到A，B，C三点距离之和的最小值是6cm，
故答案为6cm．

七．矩形的性质（共13小题）
20．（2021•内江）如图，矩形ABCD，AB＝1，BC＝2，点A在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上．当点A在x轴上运动时，点D也随之在y轴上运动，在这个运动过程中，点C到原点O的最大距离为 　+1　．

【解答】解：如图，取AD的中点H，连接CH，OH，

∵矩形ABCD，AB＝1，BC＝2，
∴CD＝AB＝1，AD＝BC＝2，
∵点H是AD的中点，
∴AH＝DH＝1，
∴CH＝＝＝，
∵∠AOD＝90°，点H是AD的中点，
∴OH＝AD＝1，
在△OCH中，CO＜OH+CH，
当点H在OC上时，CO＝OH+CH，
∴CO的最大值为OH+CH＝+1，
故答案为：+1．
21．（2021•西宁）如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，连接CE，过点E作CE的垂线交AB于点F，交CD的延长线于点G，连接CF．已知AF＝，CF＝5，则EF＝　　．

【解答】解：∵点E是AD中点，
∴AE＝DE，
在△AEF和△DEG中，
，
∴△AEF≌△DEG（ASA），
∴EF＝EG，AF＝DG＝，
∵CE⊥EF，
∴CF＝CG＝5，
∵∠G＝∠G，∠EDG＝∠CEG＝90°，
∴△EDG∽△CEG，
∴，
∴EG2＝DG•CG＝，
∴EG＝＝EF，
故答案为．
22．（2021•锦州）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，以点B为圆心、BC的长为半径画弧交AD于点E，再分别以点C，E为圆心、大于CE的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线BF交CD于点G，则CG的长为 　　．

【解答】解：如图，连接EG，

根据作图过程可知：BF是∠EBC的平分线，
∴∠EBG＝∠CBG，
在△EBG和△CBG中，
，
∴△EBG≌△CBG（SAS），
∴GE＝GC，
在Rt△ABE中，AB＝6，BE＝BC＝10，
∴AE＝＝8，
∴DE＝AD﹣AE＝10﹣8＝2，
在Rt△DGE中，DE＝2，DG＝DC﹣CG＝6﹣CG，EG＝CG，
∴EG2﹣DE2＝DG2
∴CG2﹣22＝（6﹣CG）2，
解得CG＝．
故答案为：．
23．（2021•鞍山）如图，矩形ABCD中，AB＝3，对角线AC，BD交于点O，DH⊥AC，垂足为点H，若∠ADH＝2∠CDH，则AD的长为 　3　．

【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝3，∠ADC＝90°，
∵∠ADH＝2∠CDH，
∴∠CDH＝30°，∠ADH＝60°，
∵DH⊥AC，
∴∠DHA＝90°，
∴∠DAC＝90°﹣60°＝30°，
∴AD＝CD＝3，
故答案为：3．
24．（2021•阜新）如图，折叠矩形纸片ABCD，使点B的对应点E落在CD边上，GH为折痕，已知AB＝6，BC＝10．当折痕GH最长时，线段BH的长为 　6.8　．

【解答】解：由题知，当E点与D点重合时GH最长，
设BH＝x，则CH＝10﹣x，HE＝BH＝x，
由勾股定理得，HC2+CE2＝HE2，
即（10﹣x）2+62＝x2，
解得x＝6.8，
故答案为：6.8．
25．（2021•丹东）如图，在矩形ABCD中，连接BD，过点C作∠DBC平分线BE的垂线，垂足为点E，且交BD于点F；过点C作∠BDC平分线DH的垂线，垂足为点H，且交BD于点G，连接HE，若BC＝2，CD＝，则线段HE的长度为 　　．

【解答】解：∵BE平分∠DBC，
∴∠CBE＝∠FBE，
∵CF⊥BE，
∴∠BEC＝∠BEF＝90°，
又∵BE＝BE，
∴△BEC≌△BEF（ASA），
∴CE＝FE，BF＝BC＝2，
同理：CH＝GH，DG＝CD＝，
∴HE是△CGF的中位线，
∴HE＝，
在矩形ABCD中，，，
由勾股定理得：BD＝，
∴GF＝BF+DG﹣BD＝，
∴HE＝，
故答案为：．
26．（2021•哈尔滨）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥BC，垂足为点E，过点A作AF⊥OB，垂足为点F．若BC＝2AF，OD＝6，则BE的长为 　3　．

【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OB＝OC＝OD，
∵OE⊥BC，
∴BE＝CE，∠BOE＝∠COE，
又∵BC＝2AF，
∵AF＝BE，
在Rt△AFO和Rt△BEO中，
，
∴Rt△AFO≌Rt△BEO（HL），
∴∠AOF＝∠BOE，
∴∠AOF＝∠BOE＝∠COE，
又∵∠AOF+∠BOE+∠COE＝180°，
∴∠BOE＝60°，
∵OB＝OD＝6，
∴BE＝OB•sin60°＝6×＝3，
故答案为：3．
27．（2021•徐州）如图，四边形ABCD与AEGF均为矩形，点E、F分别在线段AB、AD上．若BE＝FD＝2cm，矩形AEGF的周长为20cm，则图中阴影部分的面积为 　24　cm2．

【解答】解：∵矩形AEGF的周长为20cm，
∴AF+AE＝10cm，
∵AB＝AE+BE，AD＝AF+DF，BE＝FD＝2cm，
∴阴影部分的面积＝AB×AD﹣AE×AF＝（AE+2）（AF+2）﹣AE×AF＝24（cm2），
故答案为：24．
28．（2021•贵港）如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD，垂足为E，连接CE，若tan∠ADB＝，则tan∠DEC的值是 　　．

【解答】解：如图，过点C作CF⊥BD于点F，
在△ABE与△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AE＝CF，BE＝FD，
∵AE⊥BD，tan∠ADB＝＝，
设AB＝a，则AD＝2a，
∴BD＝a，
∵S△ABD＝BD•AE＝AB•AD，
∴AE＝CF＝a，
∴BE＝FD＝a，
∴EF＝BD﹣2BE＝a﹣a＝a，
∴tan∠DEC＝＝，
故答案为：．

29．（2021•宜宾）如图，在矩形ABCD中，AD＝AB，对角线相交于点O，动点M从点B向点A运动（到点A即停止），点N是AD上一动点，且满足∠MON＝90°，连结MN．在点M、N运动过程中，则以下结论正确的是 　①②③④　．（写出所有正确结论的序号）
①点M、N的运动速度不相等；
②存在某一时刻使S△AMN＝S△MON；
③S△AMN逐渐减小；
④MN2＝BM2+DN2．

【解答】解：如图，当M与B点重合时，此时NO⊥BD，
∵在矩形ABCD中，AD＝AB，
∴∠ADB＝∠DAC＝30°，
∴∠AOD＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∴∠NAO＝∠AOD﹣∠NOD＝120°﹣90°＝30°，
∴∠DAO＝∠NOA＝30°，
∴AN＝ON＝DN•sin30°＝DN，
∵AN+DN＝AD，
∴AN＝AD，
当M点运动到M'位置时，此时OM'⊥AB，N点运动到了N'，
∵AC和BD是矩形ABCD的对角线，
∴M点运动的距离是MM'＝AB，
N点运动的距离是NN'＝＝＝AD，
又∵AD＝AB，
∴NN'＝×AB＝AB＝MM'，
∴N点的运动速度是M点的，
故①正确，
当M在M'位置时，
∵∠OM'A＝90°，∠N'AB＝90°，∠M'ON'＝90°，
∴四边形AM'ON'是矩形，
∴此时S△AMN＝S△MON，
故②正确，
令AB＝1，则AD＝，设BM＝x，则N点运动的距离为x，
∴AN＝AD+x＝+x，
∴S△AMN＝AM•AN＝（AB﹣BM）•AN＝（1﹣x）（+x）＝﹣x2，
∵0≤x≤1，在x的取值范围内函数﹣x2的图象随x增加而减小，
∴S△AMN逐渐减小，
故③正确，
∵MN2＝（AB﹣BM）2+（AD﹣DN）2＝AB2﹣2AB•BM+BM2+AD2﹣2AD•DN+DN2＝（AB2﹣2AB•BM+3AB2﹣2•DN）+BM2+DN2＝（4AB2﹣2AB•BM﹣2AB•DN）+BM2+DN2，
∵AN＝AD+BM＝AB+BM，
∴DN＝AD﹣AN＝AB﹣（AB+BM）＝AB﹣BM，
∵2AB•DN＝2AB×（AB﹣BM）＝4AB2﹣2AB•BM，
∴MN2＝（4AB2﹣2AB•BM﹣2AB•DN）+BM2+DN2＝BM2+DN2，
故④正确，
方法二判定④：如图2，延长MO交CD于M'，
∵∠MOB＝∠M'OD，OB＝OD，∠DBA＝∠BDC，
∴△OMB≌△OM'D（ASA），
∴BM＝DM'，OM＝OM'，
连接NM'，
∵NO⊥MM'，
则MN＝NM'，
∵NM'2＝DN2+DM'2，
∴MN2＝BM2+DN2，
故④正确，
故答案为：①②③④．


30．（2021•贺州）如图，在矩形ABCD中，E，F分别为BC，DA的中点，以CD为斜边作Rt△GCD，GD＝GC，连接GE，GF．若BC＝2GC，则∠EGF＝　45°　．

【解答】解：∵CD为斜边作Rt△GCD，GD＝GC，
∴∠GDC＝∠GCD＝45°，∠DGC＝90°，
∴∠FDG＝∠FDC+∠CDG＝90°+45°＝135°，
∵E，F分别为BC，DA的中点，BC＝2GC，
∴DF＝DG，CE＝CG，
∴∠DGF＝∠DFG＝（180°﹣∠FDG）＝×45°＝22.5°，
同理，可得∠CEG＝∠CGE＝（180°﹣∠ECG）＝，
∴∠EGF＝∠DGC﹣∠DGF﹣∠EGC＝90°﹣22.5°﹣22.5°＝45°．
故答案为：45°．
31．（2021•福建）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，点E，F分别是边AB，BC上的动点，点E不与A，B重合，且EF＝AB，G是五边形AEFCD内满足GE＝GF且∠EGF＝90°的点．现给出以下结论：
①∠GEB与∠GFB一定互补；
②点G到边AB，BC的距离一定相等；
③点G到边AD，DC的距离可能相等；
④点G到边AB的距离的最大值为2．
其中正确的是 　①②④　．（写出所有正确结论的序号）

【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
又∵∠EGF＝90°，四边形内角和是360°，
∴∠GEB+∠GFB＝180°，
故①正确；
过G作GM⊥AB，GN⊥BC，分别交AB于M，交BC于N，

∵GE＝GF且∠EGF＝90°，
∴∠GEF＝∠GFE＝45°，
又∵∠B＝90°，
∴∠BEF+∠EFB＝90°，即∠BEF＝90°﹣∠EFB，
∵∠GEM＝180°﹣∠BEF﹣∠GEF＝180°﹣45°﹣（90°﹣∠EFB）＝45°+∠EFB，
∠GFN＝∠EFB+∠GFE＝∠EFB+45°，
∴∠GEM＝∠GFN，
在△GEM和△GFN中，
，
∴△GEM≌△GFN（AAS），
∴GM＝GN，
故②正确；
∵AB＝4，AD＝5，并由②知，
点G到边AD，DC的距离不相等，
故③错误：
在直角三角形EMG中，MG≤EG，当点E、M重合时EG最大，
∵EF＝AB＝4，
∴GE＝EB＝BF＝FG＝4×＝2，
故④正确．
故答案为：①②④．
32．（2021•北京）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，AF＝EC．只需添加一个条件即可证明四边形AECF是菱形，这个条件可以是 　AE＝AF　（写出一个即可）．

【解答】解：这个条件可以是AE＝AF，
理由：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
即AF∥CE，
∵AF＝EC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AE＝AF，
∴四边形AECF是菱形，
故答案为：AE＝AF．
八．矩形的判定（共2小题）
33．（2021•黑龙江）如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC和AC边的中点，请添加一个条件 　AB⊥BC　，使四边形BEFD为矩形．（填一个即可）

【解答】解：∵D，E，F分别是AB，BC和AC边的中点，
∴DF、EF都是△ABC的中位线，
∴DF∥BC，EF∥AB，
∴四边形BEFD为平行四边形，
当AB⊥BC时，∠B＝90°，
∴平行四边形BEFD为矩形，
故答案为：AB⊥BC．
34．（2021•黑龙江）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件 　∠ABC＝90°（答案不唯一）　，使平行四边形ABCD是矩形．

【解答】解：添加一个条件为：∠ABC＝90°，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，
故答案为：∠ABC＝90°（答案不唯一）．
九．正方形的性质（共11小题）
35．（2021•威海）如图，在正方形ABCD中，AB＝2，E为边AB上一点，F为边BC上一点．连接DE和AF交于点G，连接BG．若AE＝BF，则BG的最小值为 　﹣1　．

【解答】解：如图，取AD的中点T，连接BT，GT，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB＝2，∠DAE＝∠ABF＝90°，
在△DAE和△ABF中，
，
∴△DAE≌△ABF（SAS），
∴∠ADE＝∠BAF，
∵∠BAF+∠DAF＝90°，
∴∠EDA+∠DAF＝90°，
∴∠AGD＝90°，
∵DT＝AT，
∴GT＝AD＝1，BT＝＝＝，
∴BG≥BT﹣GT，
∴BG≥﹣1，
∴BG的最小值为﹣1．
故答案为：﹣1．

36．（2021•赤峰）如图，正方形ABCD的边长为2，点E是BC的中点，连接AE与对角线BD交于点G，连接CG并延长，交AB于点F，连接DE交CF于点H，连接AH．以下结论：①CF⊥DE；②＝；③GH＝；④AD＝AH，其中正确结论的序号是 　①②④　．

【解答】解：∵四边形ABCD是边长为2的正方形，点E是BC的中点，
∴AB＝AD＝BC＝CD＝2，BE＝CE＝，∠DCE＝∠ABE＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°，
∴△ABE≌△DCE（SAS），
∴∠CDE＝∠BAE，DE＝AE，
∵AB＝BC，∠ABG＝∠CBG，BG＝BG，
∴△ABG≌△CBG（SAS），
∴∠BAE＝∠BCF，
∴∠BCF＝∠CDE，
又∵∠CDE+∠CED＝90°，
∴∠BCF+∠CED＝90°，
∴∠CHE＝90°，
∴CF⊥DE，故①正确；
∵CD＝2，CE＝，
由勾股定理得，DE＝＝＝5，
∵S△DCE＝CD×CE＝DE×CH，
∴CH＝2，
∵∠CHE＝∠CBF，∠BCF＝∠ECH，
∴△ECH∽△FCB，
∴＝，
∴＝，
∴CF＝5，
∴HF＝CF﹣CH＝3，
∴＝，故②正确；
如图，过点A作AM⊥DE于点M，

∵DC＝2，CH＝2，
由勾股定理得，DH＝＝＝4，
∵∠CDH+∠ADM＝90°，∠DAM+∠ADM＝90°，
∴∠CDH＝∠DAM，
又∵AD＝CD，∠CHD＝∠AMD＝90°，
∴△ADM≌△DCH（AAS），
∴CH＝DM＝2，AM＝DH＝4，
∴MH＝DM＝2，
又∵AM⊥DH，
∴AD＝AH，故④正确；
∵DE＝5，DH＝4，
∴HE＝1，
∴ME＝HE+MH＝3，
∵AM⊥DE，CF⊥DE，
∴∠AME＝∠GHE，
∵∠HEG＝∠MEA，
∴△MEA∽△HEG，
∴＝，
∴＝，
∴HG＝，故③错误．
综上，正确的有：①②④．
故答案为：①②④．
37．（2021•黄石）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝45°，AE交BD于M点，AF交BD于N点．
（1）若正方形的边长为2，则△CEF的周长是 　4　．
（2）下列结论：①BM2+DN2＝MN2；②若F是CD的中点，则tan∠AEF＝2；③连接MF，则△AMF为等腰直角三角形．其中正确结论的序号是 　①③　（把你认为所有正确的都填上）．

【解答】解：（1）过A作AG⊥AE，交CD延长线于G，如图：

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴∠BAE＝90°﹣∠EAD＝∠DAG，∠ABE＝∠ADG＝90°，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（ASA），
∴BE＝DG，AG＝AE，
∵∠EAF＝45°，
∴∠EAF＝∠GAF＝45°，
在△EAF和△GAF中，
，
∴△EAF≌△GAF（SAS），
∴EF＝GF，
∴△CEF的周长：EF+EC+CF
＝GF+EC+CF
＝（DG+DF）+EC+CF
＝DG+（DF+EC）+CF
＝BE+CD+CF
＝CD+BC，
∵正方形的边长为2，
∴△CEF的周长为4；
故答案为：4；
（2）①将△ABM绕点A逆时针旋转90°得到△ADH，连接NH，

∵∠EAF＝45°，
∴∠EAF＝∠HAF＝45°，
∵△ABM绕点A逆时针旋转90°得到△ADH，
∴AH＝AM，BM＝DH，∠ABM＝∠ADH＝45°，
又AN＝AN，
∴△AMN≌△AHN（SAS），
∴MN＝HN，
而∠NDH＝∠ABM+∠ADH＝45°+45°＝90°，
Rt△HDN中，HN2＝DH2+DN2，
∴MN2＝BM2+DN2，
故①正确；
②过A作AG⊥AE，交CD延长线于G，如图：

由（1）知：EF＝GF＝DF+DG＝DF+BE，∠AEF＝∠G，
设DF＝x，BE＝DG＝y，则CF＝x，CD＝BC＝AD＝2x，EF＝x+y，CE＝BC﹣BE＝2x﹣y，
Rt△EFC中，CE2+CF2＝EF2，
∴（2x﹣y）2+x2＝（x+y）2，
解得x＝y，即＝，
设x＝3m，则y＝2m，
∴AD＝2x＝6m，DG＝2m，
Rt△ADG中，tanG＝＝＝3，
∴tan∠AEF＝3，
故②不正确；
③∵∠MAN＝∠NDF＝45°，∠ANM＝∠DNF，
∴△AMN∽△DFN，
∴＝，即＝，
又∠AND＝∠FNM，
∴△ADN∽△MFN，
∴∠MFN＝∠ADN＝45°，
∴∠MAF＝∠MFA＝45°，
∴△AMF为等腰直角三角形，故③正确，
故答案为：①③．
38．（2021•包头）如图，BD是正方形ABCD的一条对角线，E是BD上一点，F是CB延长线上一点，连接CE，EF，AF．若DE＝DC，EF＝EC，则∠BAF的度数为 　22.5°　．

【解答】解：如右图，连接AE，
∵BD为正方形ABCD的对角线，
∴∠BDC＝45°，
∵DE＝DC＝AD，
∴∠DEC＝∠DCE＝＝67.5°，
∵∠DCB＝90°，
∴∠BCE＝90°﹣∠DCE＝90°﹣67.5°＝22.5°，
∵EF＝EC，
∴∠FEC＝180°﹣∠EFC﹣∠ECF＝180°﹣22.5°﹣22.5°＝135°，
∵∠BEC＝180°﹣∠DEC＝180°﹣67.5°＝112.5°，
∴∠BEF＝135°﹣112.5°＝22.5°，
∵AD＝DE，∠ADE＝45°，
∴∠AED＝＝67.5°，
∴∠BEF+∠AED＝22.5°+67.5°＝90°，
∴∠AEF＝180°﹣90°＝90°，
在△ADE和△EDC中，
，
∴△ADE≌△EDC（SAS），
∴AE＝EC，
∴AE＝EF，
即△AEF为等腰直角三角形，
∴∠AFE＝45°，
∴∠AFB＝∠AFE+∠BFE＝45°+22.5°＝67.5°，
∵∠ABF＝90°，
∴∠BAF＝90°﹣∠AFB＝90°﹣67.5°＝22.5°，
故答案为：22.5°．

39．（2021•铜仁市）如图，E、F分别是正方形ABCD的边AB、BC上的动点，满足AE＝BF，连接CE、DF，相交于点G，连接AG，若正方形的边长为2．则线段AG的最小值为 　　．

【解答】解：如图1，在正方形ABCD中，AB＝BC＝2，∠B＝∠DCF＝90°，

∵AE＝BF，
∴BE＝CF，
在△DCF和△CBE中，
，
∴△DCF≌△CBE（SAS），
∴∠CDF＝∠BCE，
∵∠DCE+∠BCE＝90°，
∴∠CDF+∠DCE＝90°，
∴∠CGD＝90°，
∴点G在以DC为直径的圆上，

如图2，取CD的中点H，点G的运动路径是以H为圆心，以DC为直径的圆，
当E与A重合，点F与B重合，此时点G与AC与BD的交点O重合，
∴AG的最小值＝AC＝．
故答案为：．
40．（2021•张家界）如图，在正方形ABCD外取一点E，连接DE，AE，CE，过点D作DE的垂线交AE于点P，若DE＝DP＝1，PC＝．下列结论：①△APD≌△CED；②AE⊥CE；③点C到直线DE的距离为；④S正方形ABCD＝5+2，其中正确结论的序号为 　①②④　．

【解答】解：①∵DP⊥DE，
∴∠PDE＝90°．
∴∠PDC+∠CDE＝90°，
∵在正方形ABCD中，∠ADC＝∠ADP+∠PDC＝90°，AD＝CD，
∴∠CDE＝∠ADP．
在△APD和△CED中，
，
∴△APD≌△CED（SAS），
故①正确；
②∵△APD≌△CED，
∴∠APD＝∠CED，
又∵∠APD＝∠PDE+∠DEP，∠CED＝∠CEA+∠DEP，
∴∠PDE＝∠CEA＝90°．
即AE⊥CE，故②正确；
③过点C作CF⊥DE的延长线于点F，如图，
∵DE＝DP，∠PDE＝90°，
∴∠DPE＝∠DEP＝45°．
又∵∠CEA＝90°，
∴∠CEF＝∠FCE＝45°．
∵DP＝DE＝1，
∴PE＝＝．
∴CE＝＝＝2，
∴CF＝EF＝＝，
即点C到直线DE的距离为，故③错误；
④∵CF＝EF＝，DE＝1，
在Rt△CDF中，CD2＝CF2+DF2＝＝2+3+＝，
∴S正方形ABCD＝，
故④正确．
综上所述，正确结论的序号为①②④，
故答案为：①②④．

41．（2021•襄阳）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC上，点F在CB的延长线上，∠EAF＝45°，AE交BD于点G，tan∠BAE＝，BF＝2，则FG＝　2　．

【解答】解：如图，过点E作EH⊥AC于点H，

则△EHC是等腰直角三角形，
设EH＝a，则CH＝a，CE＝a，
在Rt△ABE中，∠ABE＝90°，
∴tan∠BAE＝＝，
∴BE＝AB，
∴BE＝CE＝a，
∴AB＝BC＝2a，
∴AC＝4a，AH＝3a，
∴tan∠EAH＝＝，
∵∠EAF＝∠BAC＝45°，
∴∠BAF＝∠EAH，
∴tan∠BAF＝tan∠EAH＝，
∵BF＝2，
∴AB＝6，BE＝CE＝3，
∴AE＝3，AF＝2，
∴EF＝5，
∵AD∥BC，
∴AD：BE＝AG：GE＝2：1，
∴GE＝，
∵EF：GE＝5：＝：1，
AE：BE＝3：3＝：1，
∠GEF＝∠BEA，
∴EF：GE＝AE：BE，
∴△GEF∽△BEA，
∴∠EGF＝∠ABE＝90°，
∴∠AGF＝90°，
∴△AGF是等腰直角三角形，
∴FG＝AF＝2．
故答案为：2．
42．（2021•铜仁市）如图，将边长为1的正方形ABCD绕点A顺时针旋转30°到AB1C1D1的位置，则阴影部分的面积是 　2﹣　．

【解答】解：如图，

连接AE，根据题意可知AB1＝AD＝1，∠B1＝∠D＝90°，∠BAB1＝30°，
在Rt△AB1E和Rt△ADE中，
，
∴Rt△AB1E≌Rt△ADE（HL），
∵∠B1AE＝∠DAE＝∠B1AD＝30°，
∴＝，解得DE＝，
∴S四边形ADEB1＝2S△ADE＝2××AD×DE＝，
∴S阴影部分＝2（S正方形ABCD﹣S四边形ADEB1）＝2×（1﹣）＝2﹣，
故答案为：2﹣．
43．（2021•贺州）如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，BC＝3BE且BE＝CF，AE⊥BF，垂足为G，O是对角线BD的中点，连接OG，则OG的长为 　　．

【解答】解：以B为原点，BC所在直线为x轴，建立直角坐标系，如图：

∵四边形ABCD是正方形，边长为6，
∴AB＝BC＝6，∠ABE＝∠BCF＝90°，
∵BC＝3BE，BE＝CF，
∴BE＝CF＝2，
∴E（2，0），F（6，2），A（0，6），D（6，6），
设直线AE解析式为y＝ax+b，则，
解得，
∴直线AE解析式为y＝﹣3x+6，
设直线BF解析式为y＝cx，则2＝6c，
解得c＝，
∴直线BF解析式为y＝x，
由得，
∴G（，），
∵O为BD中点，
∴O（3，3），
∴OG＝＝，
故答案为：．
补充方法一：
过B作BH⊥OG于H，连接OA，如图：

∵边长为6的正方形ABCD，BC＝3BE，
∴BE＝2，AE＝＝2，
由面积法可得BG＝＝，
由O是正方形对角线BD中点知：∠AOB＝90°，OB＝BD＝3，
而∠AGB＝90°，
∴A、B、G、O四点共圆，
∴∠ABO＝∠AGO＝45°，
∴∠BGH＝45°，
∴△BGH是等腰直角三角形，
∴BH＝GH＝＝，
在Rt△BOH中，OH＝＝，
∴OG＝OH﹣GH＝＝．
补充方法二：
连接AC，如图：

由O是正方形对角线BD中点知：∠AOB＝90°，
而∠AGB＝90°，
∴A、B、G、O四点共圆，
∴∠ABO＝∠AGO＝45°＝∠ACE，
又∠GAO＝∠CAE，
∴△AOG∽△AEC，
∴＝，
在Rt△ABE中，AE＝＝2，
而CE＝BC＝4，OA＝＝3，
∴＝，
∴OG＝．
44．（2021•绥化）在边长为4的正方形ABCD中，连接对角线AC、BD，点P是正方形边上或对角线上的一点，若PB＝3PC，则PC＝　1或或　．
【解答】解：如图1，∵四边形ABCD是正方形，AB＝4，

∴AC⊥BD，AC＝BD，OB＝OD，AB＝BC＝AD＝CD＝4，∠ABC＝∠BCD＝90°，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝＝4，
∴OB＝2，
∵PB＝3PC，
∴设PC＝x，则PB＝3x，
有三种情况：
①点P在BC上时，如图2，

∵AD＝4，PB＝3PC，
∴PC＝1；
②点P在AC上时，如图3，

在Rt△BPO中，由勾股定理得：BP2＝BO2+OP2，
（3x）2＝（2）2+（2﹣x）2，
解得：x＝（负数舍去），
即PC＝；
③点P在CD上时，如图4，

在Rt△BPC中，由勾股定理得：BC2+PC2＝BP2，
42+x2＝（3x）2，
解得：x＝（负数舍去），
即PC＝；
综上，PC的长是1或或．
故答案为：1或或．
45．（2021•广元）如图，在正方形ABCD中，点O是对角线BD的中点，点P在线段OD上，连接AP并延长交CD于点E，过点P作PF⊥AP交BC于点F，连接AF、EF，AF交BD于G，现有以下结论：①AP＝PF；②DE+BF＝EF；③PB﹣PD＝BF；④S△AEF为定值；⑤S四边形PEFG＝S△APG．以上结论正确的有 　①②③⑤　（填入正确的序号即可）．

【解答】解：取AF的中点T，连接PT，BT．
∵AP⊥PF，四边形ABCD是正方形，
∴∠ABF＝∠APF＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°，
∵AT＝TF，
∴BT＝AT＝TF＝PT，
∴A，B，F，P四点共圆，
∴∠PAF＝∠PBF＝45°，
∴∠PAF＝∠PFA＝45°，
∴PA＝PF，故①正确，
将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABM，
∵∠ADE＝∠ABM＝90°，∠ABC＝90°，
∴∠ABC+∠ABM＝180°，
∴C，B，M共线，
∵∠EAF＝45°，
∴∠MAF＝∠FAB+∠BAM＝∠FAB+∠DAE＝45°，
∴∠FAE＝∠FAM，
在△FAM和△FAE中，
，
∴△FAM≌△FAE（SAS），
∴FM＝EF，
∵FM＝BF+BM＝BF+DE，
∴EF＝DE+BF，故②正确，
连接PC，过点P作PQ⊥CF于Q，过点P作PW⊥CD于W，则四边形PQCW是矩形，
在△PBA和PCB中，
，
∴△PBA≌△PBC（SAS），
∴PA＝PC，
∵PF＝PA，
∴PF＝PC，
∵PQ⊥CF，
∴FQ＝QC，
∵PB＝BQ，PD＝PW＝CQ＝FQ，
∴PB﹣PD＝（BQ﹣FQ）＝BF，故③正确，
∵△AEF≌△AMF，
∴S△AEF＝S△AMF＝FM•AB，
∵FM的长度是变化的，
∴△AEF的面积不是定值，故④错误，
∵A，B，F，P四点共圆，
∴∠APG＝∠AFB，
∵△AFE≌△AFM，
∴∠AFE＝∠AFB，
∴∠APG＝∠AFE，
∵∠PAG＝∠EAF，
∴△PAG∽△FAE，
∴＝（）2＝（）2＝，
∴S四边形PEFG＝S△APG，故⑤正确，
故答案为：①②③⑤．

一十．正方形的判定（共1小题）
46．（2021•黑龙江）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件 　AB＝AD（或AC⊥BD答案不唯一）　，使矩形ABCD是正方形．

【解答】解：AB＝AD（或AC⊥BD答案不唯一）．
理由：∵四边形ABCD是矩形，
又∵AB＝AD，
∴四边形ABCD是正方形．
或∵四边形ABCD是矩形，
又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是正方形，
故答案为：AB＝AD（或AC⊥BD答案不唯一）．
一十一．四边形综合题（共4小题）
47．（2021•攀枝花）如图，在正方形ABCD中，点M、N分别为边CD、BC上的点，且DM＝CN，AM与DN交于点P，连接AN，点Q为AN的中点，连接PQ，BQ，若AB＝8，DM＝2，给出以下结论：①AM⊥DN；②∠MAN＝∠BAN；③△PQN≌△BQN；④PQ＝5．其中正确的结论有 　①④　（填上所有正确结论的序号）

【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠ADM＝∠DCN＝90°，
在△ADM和△DCN，
，
∴△ADM≌△DCN（SAS），
∴∠DAM＝∠CDN，
∵∠CDN+∠ADP＝90°，
∴∠ADP+∠DAM＝90°，
∴∠APD＝90°，
∴AM⊥DN，故①正确，
不妨假设∠MAN＝∠BAN，
在△APN和△ABN中，
，
∴△PAN≌△ABN（AAS），
∴AB＝AP，
∵这个与AP＜AD，AB＝AD，矛盾，
∴假设不成立，故②错误，
不妨假设△PQN≌△BQN，
则∠ANP＝∠ANB，同法可证△APN≌△ABN，
∴AP＝AB，
∵这个与AP＜AD，AB＝AD，矛盾，
∴假设不成立，故③错误，
∵DM＝CN＝2，AB＝BC＝8，
∴BN＝6，
∵∠ABN＝90°，
∴AN＝＝＝10，
∵∠APN＝90°，AQ＝QN，
∴PQ＝AN＝5．故④正确，
故答案为：①④．

48．（2021•鞍山）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，F是线段OD上的动点（点F不与点O，D重合），连接CF，过点F作FG⊥CF分别交AC，AB于点H，G，连接CG交BD于点M，作OE∥CD交CG于点E，EF交AC于点N．有下列结论：①当BG＝BM时，AG＝BG；②＝；③当GM＝HF时，CF2＝CN•BC；④CN2＝BM2+DF2．其中正确的是 　①③④　（填序号即可）．

【解答】解：如图1中，过点G作GT⊥AC于T．
∵BG＝BM，
∴∠BGM＝∠BMG，
∵∠BGM＝∠GAC+∠ACG，∠BMG＝∠MBC+∠BCM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠GAC＝∠MBC＝45°，AC＝BC，
∴∠ACG＝∠BCG，
∵GB⊥CB，GT⊥AC，
∴GB＝GT，
∵＝＝＝＝，
∴AG＝BG，故①正确，
假设＝成立，
∵∠FOH＝∠COM，
∴△FOH∽△COM，
∴∠OFH＝∠OCM，显然这个条件不成立，故②错误，
如图2中，过点M作MP⊥BC于P，MQ⊥AB于Q，连接AF．
∵∠OFH+∠FHO＝90°，∠FHO+∠FCO＝90°，
∴∠OFH＝∠FCO，
∵AB＝CB，∠ABF＝∠CBF，BF＝BF，
∴△ABF≌△CBF（SAS），
∴AF＝CF，∠BAF＝∠BCF，
∵∠CFG＝∠CBG＝90°，
∴∠BCF+∠BGF＝180°，
∵∠BGF+∠AGF＝180°，
∴∠AGF＝∠BCF＝∠GAF，
∴AF＝FG，
∴FG＝FC，
∴∠FCG＝∠BCA＝45°，
∴∠ACF＝∠BCG，
∵MQ∥CB，
∴∠GMQ＝∠BCG＝∠ACF＝∠OFH，
∵∠MQG＝∠FOH＝90°，FH＝MG，
∴△FOH≌△MQG（AAS），
∴MQ＝OF，
∵∠BMP＝∠MBQ，MQ⊥AB，MP⊥BC，
∴MQ＝MP，
∴MP＝OF，
∵∠CPM＝∠COF＝90°，∠PCM＝∠OCF，
∴△CPM≌△COF（AAS），
∴CM＝CF，
∵OE∥AG，OA＝OC，
∴EG＝EC，
∵△FCG是等腰直角三角形，
∴∠GCF＝45°，
∴∠CFN＝∠CBM，
∵∠FCN＝∠BCM，
∴△BCM∽△FCN，
∴＝，
∴CF2＝CB•CN，故③正确，
如图3中，将△CBM绕点C顺时针旋转90°得到△CDW，连接FW．则CM＝CW，BM＝DW，∠MCW＝90°，∠CBM＝∠CDW＝45°，
∵∠FCG＝∠FCW＝45°，CM＝CW，CF＝CF，
∴△CFM≌△CFW（SAS），
∴FM＝FW，
∵∠FDW＝∠FDC+∠CDW＝45°+45°＝90°，
∴FW2＝DF2+DW2，
∴FM2＝BM2+DF2，
∵BD⊥AC，FG⊥CF，
∴∠COF＝90°，∠CFG＝90°，
∴∠FCN+∠OFC＝90°，∠OFC+∠GFM＝90°，
∴∠FCN＝∠GFM，
∵∠NFC＝∠FGM＝45°，FG＝CF，
∴△CFN≌△FGM（ASA），
∴CN＝FM，
∴CN2＝BM2+DF2，故④正确，
故答案为：①③④．



49．（2021•雅安）如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，过点B作BF⊥AC于点M，交CD于点F，过点D作DE∥BF交AC于点N．交AB于点E，连接FN，EM．有下列结论：①四边形NEMF为平行四边形；②DN2＝MC•NC；③△DNF为等边三角形；④当AO＝AD时，四边形DEBF是菱形．其中，正确结论的序号 　①②④　．

【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AD∥BC，CD∥AB
∴∠DAN＝∠BCM，
∵BF⊥AC，DE∥BF，
∴DE⊥AC，
∴∠DNA＝∠BMC＝90°，
在△ADN和△CBM中，
，
∴△ADN≌△CBM（AAS），
∴DN＝BM，
∵DF∥BE，DE∥BF，
∴四边形DFBE是平行四边形，
∴DE＝BF，
∴EN＝FM，
∵NE∥FM，
∴四边形NEMF是平行四边形，故①正确，
∵△ADN≌△CBM，
∴AN＝CM，
∴CN＝AM，
∵∠AMB＝∠BMC＝∠ABC＝90°，
∴∠ABM+∠CBM＝90°，∠CBM+∠BCM＝90°，
∴∠ABM＝∠BCM，
∴△AMB∽△BMC，
∴＝，
∵DN＝BM，AM＝CN，
∴DN2＝CM•CN，故②正确，
若△DNF是等边三角形，则∠CDN＝60°，∠ACD＝30°，
这个与题目条件不符合，故③错误，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OD，
∵AO＝AD，
∴AO＝AD＝OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠ADO＝∠DAN＝60°，
∴∠ABD＝90°﹣∠ADO＝30°，
∵DE⊥AC，
∴∠ADN＝∠ODN＝30°，
∴∠ODN＝∠ABD，
∴DE＝BE，
∵四边形DEBF是平行四边形，
∴四边形DEBF是菱形；故④正确．
故答案为：①②④．

50．（2021•枣庄）如图，∠BOD＝45°，BO＝DO，点A在OB上，四边形ABCD是矩形，连接AC，BD交于点E，连接OE交AD于点F．下列4个判断：①OE⊥BD；②∠ADB＝30°；③DF＝AF；④若点G是线段OF的中点，则△AEG为等腰直角三角形，其中，判断正确的是 　①③④　．（填序号）

【解答】解：①∵四边形ABCD是矩形，
∴EB＝ED，
∵BO＝DO，
∴OE⊥BD 故①正确；
②∵∠BOD＝45°，BO＝DO，
∴∠ABD＝（180°﹣45°）＝67.5°，
∴∠ADB＝90°﹣27.5°＝22.5°，故②错误；
③∵四边形ABCD是矩形，
∴∠OAD＝∠BAD＝90°，
∴∠ABD+∠ADB＝90°，
∵OB＝OD，BE＝DE，
∴OE⊥BD，
∴∠BOE+∠OBE＝90°，
∴∠BOE＝∠BDA，
∵∠BOD＝45°，∠OAD＝90°，
∴∠ADO＝45°，
∴AO＝AD，
∴△AOF≌△ABD（ASA），
∴OF＝BD，
∴AF＝AB，
连接BF，如图1，

∴BF＝AF，
∵BE＝DE，OE⊥BD，
∴DF＝BF，
∴DF＝AF，故③正确；
④根据题意作出图形，如图2，

∵G是OF的中点，∠OAF＝90°，
∴AG＝OG，
∴∠AOG＝∠OAG，
∵∠AOD＝45°，OE平分∠AOD，
∴∠AOG＝∠OAG＝22.5°，
∴∠FAG＝67.5°，∠ADB＝∠AOF＝22.5°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴EA＝ED，
∴∠EAD＝∠EDA＝22.5°，
∴∠EAG＝90°，
∵∠AGE＝∠AOG+∠OAG＝45°，
∴∠AEG＝45°，
∴AE＝AG，
∴△AEG为等腰直角三角形，故④正确；
∴判断正确的是①③④．
故答案为：①③④．