湖南省长沙市师大附中梅溪湖中学2023-2024学年九年级上学期开学考试数学试题

九上入学考试数学试卷

一.选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.下列方程中，属于一元二次方程的是（    ）

A. B. C. D.

2.点在正比例函数的图象上，则的值为（    ）

A. B.2 C.3 D.4

3.在中，若，则的度数是（    ）

A.70° B.110° C.120° D.140°

4.将直线向下平移1个单位得到的直线是（    ）

A. B. C. D.

5.某企业参加“科技创新企业百强”评选，创新能力、创新价值、创新影响三项得分分别为8分，9分，7分，若将三项得分依次按的比例计算总成绩，则该企业的总成绩为（    ）

A.8分 B.8.1分 C.8.2分 D.8.3分

6.已知关于的方程有两个相等实数根，则的值为（    ）

A.3 B.2 C.1 D.0

7.在平面直角坐标系中，点，在函数的图象上，则（    ）

A. B. C. D.以上都有可能

8.如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，，点的坐标为，则点的坐标为（    ）

A. B. C. D.

9.某商店购进一种商品，单价为30元.试销中发现这种商品每天的销售量（件）与每件的销售价（元）满足关系：.若商店在试销期间每天销售这种商品获得200元的利润，根据题意，下面所列方程正确的是（    ）

A. B.

C. D.

10.如图，在中，，，点为上一点，点为的中点，连接.若，则的值为（    ）

A. B.1 C. D.

二.填空题（共6小题，每小题3分，共18分）

11.函数中，自变量的取值范围是______.

12.已知是方程的一个实数根，则的值是______.

13.如图，矩形的对角线，相交于点，再添加一个条件，使得四边形是正方形，这个条件可以是______（写出一个条件即可）.

14.如图，大正方形是由四个全等的直角三角形和面积分别为，的两个正方形所拼成的.若直角三角形的斜边长为2，则的值为______.

15.如图，中，，，，为的角平分线，则的长度为______.

16.如图，，，点是射线上的一个动点，，垂足为点，点为的中点，则线段的长的最小值为______.

三.解答题（共9小题，其中17、18、19每小题6分，20、21每小题8分，22、23每小题9分，24、25每小题10分，共72分）

17.解方程：.

18.如图，在中，，的平分线，分别与线段交于点，，与交于点.

（1）求证：；

（2）求证：.

19.如图，一次函数的图象与轴和轴分别交于点和点.

（1）求点和点的坐标；

（2）求点到直线的距离.

20.某校为了解全校1500名学生的视力情况，随机抽取了名学生调查，将抽取的学生视力情况绘制成不完整的频数分布表和扇形统计图.

请你根据图表提供的信息，回答下列问题：

（1）填空，______，______，组所在扇形的圆心角等于______°；

（2）此次抽样调查中，视力的中位数在______组别，众数在______组别；

（3）如果视力在第，两组范围内（4.9及以上）均属视力良好.请估计该校视力良好的学生有多少名？

21.关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，.

（1）求实数的取值范围；

（2）若方程的两实数根，满足，求的值.

22.受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2016年利润为2亿元，2018年利润为2.88亿元.

（1）求该企业从2016年到2018年利润的年平均增长率；

（2）若2019年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2019年的利润能否超过3.4亿元？

23.如图，在中，，点，，分别为，，的中点.

（1）求证：四边形是菱形；

（2）若，，求四边形的面积.

24.著名数学家高斯曾说过：“如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现”，我们向伟人看齐，将这种勤思善学、砺能笃行的精神运用于日常的数学学习中来，尝试发现新的惊喜.

【提出问题】

我们曾探究过一元二次方程根与系数的关系，如果一元二次方程的系数按照某种规律发生变化，原方程的根与新方程的根是否也会产生某种联系？

【构造关系】

将一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项按照的比例放大或缩小，其中，我们称新方程为原方程的“系变方程”，系变倍数为.

（1）当系变倍数为3时，求解一元二次方程的“系变方程”.

【自能探究】

（2）已知某一元二次方程有两个实数根，，当时，其“系变方程”也有两个实数根、，且，求的最小值.

（3）已知关于的方程有四个实数根、、、，问是否存在定值，对于任意实数，都满足，若存在，请求出的值.若不存在，请说明理由.

25.如图，在平面直角坐标系中，平行四边形中点的坐标为，点坐标为，与轴交于点，点是射线上一动点，点是的中点，连接交轴于点，过点作交延长线于点，交于点，连接.

（1）若，求的长.

（2）若，求的长.

（3）①连接，问直线是否经过一定点，若经过，请求出该定点；若不经过，请说明理由；

②连接，，若，求的长.

九上入学考试数学试卷·答案

一、选择题（分）

二、填空题（分）

11. 12.2026 13.

14.4 15. 16.

三、解答题（72分）

17.，

18.证明：（1）∵平分，∴.

∵平分，∴.

∵四边形平行四边形，∴，，，，

∴，即，∴，

∴.∴；

（2）∵，∴，∴，∴，

∵，∴，∴，∴，∵，∴；

19.（1）解：当时，，当时，，∴，

（2）解：∵，，∴，，∴，

设点到直线的距离为，∴，

∵，∴，∴点到直线的距离为.

20.（1），，30%

（2），

（3）解：（人）；

答：全校良好及以上的学生人数为675人.

21.解：（1）根据题意得，解得；

（2），，∵，∴，

整理得，解得，，而，∴.

22.解：（1）设这两年该企业年利润平均增长率为.根据题意得，

解得，（不合题意，舍去）.

答：这两年该企业年利润平均增长率为20%.

（2）如果2019年仍保持相同的年平均增长率，那么2019年该企业年利润为：，

答：该企业2019年的利润能超过3.4亿元.

23.（1）证明：∵，分别是，的中点，

∴且.同理且.

又∵，∴，∴四边形是菱形.

（2）解：∵，，点，，分别为，，的中点，

∴，，∴，

∴菱形的面积为.

24.（1）解：当系变倍数为3时，系变方程为：，解得：，.

（2）解：设原方程，当时，系变方程为：，

∵，∴，

∴原式

∴当，时，原式取到最小值.

（3）解：令，，

∵，∴，∴，

即，∴，

∴或，设方程：①，

则系变方程为：②，系变方程两边同时乘，变形得：，

∴若原方程有解，则系变方程必有解，且解存在倍数关系，

∵和互为系变方程，

且无论取何实数，两个方程都有实数解∴，或.

25.解：（1）∵，是的中点∴

∵∴直线的解析式为：

∵交延长线于点∴当时，∴∴

（2）延长，过点作于点

∵，∴

∵∴∴平分

∵∴设，，则，

∵∴∴

∵∴，，

∵平分∴∴

∴∴∴

∵直线的解析式为：∴∴

（3）①∵直线的解析式为：∴

∴直线的解析式为：∴

∴∴当，即，时，等式成立

∴直线经过定点

②记∴点和点关于轴对称∴

∵∴作关于的对称图形∴

过点作设，则∵∴

∵∴∴

∵∴∴∴