湖南省长沙市师大附中梅溪湖中学等5校2022-2023学年九年级上学期期末数学试题（解析版）

这是一份湖南省长沙市师大附中梅溪湖中学等5校2022-2023学年九年级上学期期末数学试题（解析版），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
湖南师大附中梅溪湖中学2022-2023学年度第一学期
线上学习情况调研九年级·数学
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1. 的相反数的倒数是（ ）
A. B. C. 3 D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出的相反数，再根据倒数的定义即可得．
【详解】解：∵的相反数是，的倒数是-3，
则的相反数的倒数是-3，
故选：B．
【点睛】本题考查了相反数、倒数，熟记定义是解题关键．
2. 若一个正多边形的一个外角是60°，则这个正多边形的边数是（ ）
A. 10 B. 9 C. 8 D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】根据多边形的外角和等于360°计算即可．
【详解】解：360°÷60°＝6，即正多边形的边数是6．
故选：D．
【点睛】本题考查了多边形的外角和定理，掌握多边形的外角和等于360°，正多边形的每个外角都相等是解题的关键．
3. 总投资54亿元的万家丽高架快速路建成，不仅疏解了中心城区的交通，还形成了我市的快速路网，拉动了区域间的交流，54亿用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】绝对值大于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为，为正整数，且比原数的整数位数少1，据此可以解答．
【详解】解：亿．
故选：B
【点睛】本题考查用科学记数法表示较大的数，熟练掌握科学记数法表示较大的数一般形式为，其中，是正整数，正确确定的值和的值是解题的关键．
4. 在平面直角坐标系中，以点为圆心，3为半径的圆（ ）
A. 与x轴相交，与y轴相切 B. 与x轴相离，与y轴相切
C. 与x轴相离，与y轴相交 D. 与x轴相切，与y轴相离
【答案】B
【解析】
【分析】由已知点可求该点到x轴，y轴的距离，再与半径比较，确定圆与坐标轴的位置关系．设d为直线与圆的距离，r为圆的半径，则有若，则直线与圆相交；若，则直线于圆相切；若，则直线与圆相离．
【详解】解：点到x轴的距离为4，大于半径3，
点到y轴的距离为3，等于半径3，
故该圆与x轴相离，与y轴相切，
故选：B．
【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系以及点到坐标轴的距离，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．
5. 关于x的一元二次方程的根的情况是（　　）
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根 D. 不能确定
【答案】A
【解析】
【分析】写出根的判别式大于0，即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选A．
【点睛】本题主要考查根的判别式，掌握时，一元二次方程有两个不相等的实数根是关键．
6. 甲、乙两学生在军训打靶训练中，打靶的总次数相同，且所中环数的平均数也相同，但甲的成绩比乙的成绩稳定，那么两者的方差的大小关系是（ ）
A. B. C. D. 不能确定
【答案】A
【解析】
【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【详解】解：根据方差的意义知，成绩越稳定，则方差越小，
∵甲、乙学生所中环数的平均数相同，且甲的成绩比乙的成绩稳定，
∴.
故选A.
【点睛】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
7. 如图是由一个圆柱体和一个长方体组成的几何体，其俯视图是( )

A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
【详解】俯视图是矩形中间有一个园，圆与两个长相切，
故选：C．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．
8. 已知菱形的周长为40,一条对角线长为12，则这个菱形的面积为 ( ) ．
A. 40 B. 47 C. 96 D. 190
【答案】C
【解析】
【分析】画出草图分析．因为周长是40，所以边长是10．根据对角线互相垂直平分得直角三角形，运用勾股定理求另一条对角线的长，最后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算求解．
【详解】因为周长是40，所以边长是10．
如图所示：AB=10，AC=12．
根据菱形的性质，AC⊥BD，AO=6，
∴BO=8，BD=16．
∴面积S=AC×BD=12×16×=96．
故选C．

【点睛】本题考查了菱形的性质及其面积计算，主要利用菱形的对角线互相垂直平分及勾股定理来解决，要掌握菱形的面积有两种求法：（1）利用底乘以相应底上的高；（2）利用菱形的特殊性，菱形面积=×两条对角线的乘积．
9. 如图，内接于，，的角平分线交于．若，，则的长为（ ）

A. 12 B. 8 C. 10 D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接，由可得是的直径，从而得到，由是的角平分线可得，则，进而得到是等腰直角三角形，最后由勾股定理进行计算即可得到答案．
【详解】解：如图，连接，
，
，
是的直径，
，
是的角平分线，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理及圆的基本性质、等腰直角三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理，熟练掌握圆周角定理及圆的基本性质、等腰直角三角形的判定与性质、角平分线的性质，是解题的关键．
10. 周末晚会上，师生共有20人参加跳舞，其中方老师和7个学生跳舞，张老师和8个学生跳舞……依次下去，一直到何老师，他和参加跳舞的所有学生跳过舞，这个晚会上参加跳舞的学生人数是（ ）
A. 15 B. 14 C. 13 D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】设有x个老师，根据第一个老师和（6+1）个学生跳过舞；第二个老师和（6+2）个学生跳过舞，根据规律可知第x个是何老师和（6+x）个学生跳过舞，根据总人数是20人，即可得解．
【详解】解：设参加跳舞老师有x人，
根据题意得：第一个方老师和（6+1）个学生跳过舞；第二是张老师和（6+2）个学生跳过舞；第x个是何老师和（6+x）个学生跳过舞，
∴x+（6+x）=20，
解得x=7，
答：参加跳舞的学生人数为20-7=13．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11. 分解因式：______．
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式3x，再用平方差公式分解．
【详解】解：=．
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法． 因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．
12. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围为______．
【答案】且
【解析】
【分析】根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，即可求解．
【详解】解：根据题意得： 且 ，
解得：且．
故答案为：且．
【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数非负，分式的分母不等于零是解题的关键．
13. 如图，与为位似图形，点O是它们的位似中心，位似比是，已知的面积为2，那么的面积是____________．

【答案】18
【解析】
【分析】由与为位似图形，位似比是，即可得与为相似三角形，且相似比为，又由相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求得答案．
【详解】解：∵与为位似图形，
∴，
∵位似比是，
∴相似比是，
∴与△的面积比为，
∵的面积为2，
∴的面积是：．
故答案为：18．
【点睛】本题考查了位似图形的性质．注意位似图形是相似图形的特殊情况，解题的关键是掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方．
14. 圆锥底面圆的半径为3cm，其侧面展开图是半圆，则圆锥母线长为________．
【答案】6．
【解析】
【详解】试题分析：设母线长为x，根据题意得
2πx÷2=2π×3，
解得x=6．
故答案是6 m．
考点：圆锥的计算．
15. 如图，已知在中，点D、E、F分别是边上的点，，且，那么等于___________．

【答案】##
【解析】
【分析】根据平行线分线段成比例定理，由DEBC得到AE：EC=AD：DB=3：5，则利用比例性质得到CE：CA=5：8，然后利用EFAB可得到CF：CB=5：8．
【详解】解：∵DEBC，
∴AE：EC=AD：DB=3：5，
∴CE：CA=5：8，
∵EFAB，
∴CF：CB=CE：CA=5：8．
即．
故答案为：
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
16. 如图，点A在反比例函数的图象上，与y轴相切于点B，交x轴于点C，D．若点B的坐标为，则图中阴影部分的面积为_______．

【答案】
【解析】
【分析】连接，，，作于点E，结合切线的定义证明四边形是矩形，可得，，再根据点A在反比例函数图象上，可得，根据勾股定理可得，根据垂径定理可知，进而可得，再解可得，，则图中阴影部分的面积等于．
【详解】解：如图所示，连接，，，作于点E，

点B的坐标为，
，
与y轴相切于点B，
轴，
，
四边形是矩形，
，，
点A在反比例函数的图象上，
，即，
解得，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
图中阴影部分的面积为，
故答案为：．
【点睛】本题考查切线的定义，矩形的判定与性质，反比例函数，勾股定理，垂径定理，扇形的面积公式，解直角三角形等，解题的关键是综合运用上述知识，计算出和．
三、解答题（共8小题，第17、18、19题6分，第20、21题8分，第22、23题9分，第24、25题10分，共72分）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】根据乘方、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、二次根式及绝对值运算法则行计算，然后进行加减．
【详解】解：原式



【点睛】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记乘方、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、二次根式及绝对值运算法则．
18. 先化简，再求值：，其中满足．
【答案】2a2+4a,6
【解析】
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，再代值计算即可求出值．
【详解】解：原式=
=
=
=2a(a+2)
=2a2+4a.
∵，
∴a2+2a=3.
∴原式=2（a2+2a）=6.
【点睛】此题主要考查了分式的化简求值，正确化简分式是解题关键．
19. “一号龙卷风”给小岛O造成了较大的破坏，救灾部门迅速组织力量，从仓储D处调集救援物资，计划先用汽车运到与D在同一直线上的C、B、A三个码头中的一处，再用货船运到小岛O．已知：OA⊥AD，∠ODA=15°，∠OCA=30°，∠OBA=45°CD=20km．若汽车行驶的速度为50km/时，货船航行的速度为25km/时，问这批物资在哪个码头装船，最早运抵小岛O？（在物资搬运能力上每个码头工作效率相同，参考数据：≈1.4，≈1.7）．

【答案】这批物资在B码头装船，最早运抵小岛O．
【解析】
【分析】利用三角形外角性质计算出∠COD=15°，则CO=CD=20，在Rt△OCA中利用含30度的直角三角形三边的关系计算出OA=OC=10，CA=OA≈17，在Rt△OBA中利用等腰直角三角形的性质计算出BA=OA=10，OB=OA≈14，则BC=7，然后根据速度公式分别计算出在三个码头装船，运抵小岛所需的时间，再比较时间的大小进行判断．
【详解】解：∵∠OCA=∠D+∠COD，
∴∠COD=30°﹣15°=15°，
∴CO=CD=20，在Rt△OCA中，
∵∠OCA=30°，∴OA=OC=10，CA=OA=≈17，
在Rt△OBA中，∵∠OBA=45°，∴BA=OA=10，OB=OA≈14，
∴BC=17﹣10=7，
当这批物资在C码头装船，运抵小岛O时，所用时间==1.2（小时）；
当这批物资在B码头装船，运抵小岛O时，所用时间=（小时）；
当这批物资在A码头装船，运抵小岛O时，所用时间=（小时）；
所以这批物资在B码头装船，最早运抵小岛O．
20. 达州市某中学举行了“中国梦，中国好少年”演讲比赛，菲菲同学将选手成绩划分为A、B、C、D四个等级，绘制了两种不完整统计图．

根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）参加演讲比赛的学生共有 人，扇形统计图中m= ，n= ，并把条形统计图补充完整．
（2）学校欲从A等级2名男生2名女生中随机选取两人，参加达州市举办的演讲比赛，请利用列表法或树状图，求A等级中一男一女参加比赛的概率．（男生分别用代码 A1、A2表示，女生分别用代码B1、B2表示）
【答案】（1）40，20，30，作图见试题解析；（2）．
【解析】
【详解】试题分析：（1）由题意得：参加演讲比赛的学生共有：4÷10%=40（人），然后根据扇形统计图的知识，可求得m，n的值，继而补全统计图；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与A等级中一男一女参加比赛的情况，再利用概率公式即可求得答案．
试题解析：（1）根据题意得：参加演讲比赛的学生共有：4÷10%=40（人），∵n%=×100%=30%，∴m%=1﹣40%﹣10%﹣30%=20%，∴m=20，n=30；
如图：

故答案为40，20，30；
（2）画树状图得：

∵共有12种等可能的结果，A等级中一男一女参加比赛的有8种情况，∴A等级中一男一女参加比赛的概率为：=．
考点：1．列表法与树状图法；2．扇形统计图；3．条形统计图．
21. 如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿对角线AC折叠，点B落在点E处，CE与AD相交于点O．
（1）求证：△AOE≌△COD；
（2）若∠OCD=30°，AB=，求△AOC的面积．

【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【详解】试题分析：（1）根据矩形的对边相等可得AB=CD，∠B=∠D=90°，再根据翻折的性质可得AB=AE，∠B=∠E，然后求出AE=CD，∠D=∠E，再利用“角角边”证明即可；
（2）根据全等三角形对应边相等可得AO=CO，解直角三角形求出CO，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解．
试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠B=∠D=90°，
∵矩形ABCD沿对角线AC折叠点B落在点E处，
∴AB=AE，∠B=∠E，
∴AE=CD，∠D=∠E，
在△AOE和△COD中，
，
∴△AOE≌△COD（AAS）；
（2）解：∵△AOE≌△COD，
∴AO=CO，
∵∠OCD=30°，AB=，
∴CO=CD÷cos30°=÷=2，
∴△AOC的面积=AO•CD=×2×=．
考点：翻折变换（折叠问题）

22. 某校为美化校园，计划安排甲乙两个施工队共同进行绿化．已知甲队每天完成绿化面积是乙队每天完成绿化面积的2倍；且甲乙两队分别完成400m2的绿化面积时，甲队比乙队少用4天．
（1）求甲、乙两队每天能完成的绿化面积分别是多少m2？
（2）学校每天需付给甲队的绿化费用为0.4万元，乙队为0.25万元．已知学校计划绿化面积1800m2，要使这次的绿化总费用不超过8万元，至少应安排甲队工作多少天？
【答案】（1）甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是100m2、50m2．（2）至少应安排甲队工作10天．
【解析】
【分析】（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是xm2，根据在独立完成面积为400m2的绿化面积时，甲队比乙队少用4天，列出方程，求解即可；
（2）设应安排甲队工作y天，根据这次的绿化总费用不超过8万元，列出不等式，求解即可．
【详解】解：（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是xm2，
根据题意得：，
解得：x＝50，
经检验x＝50是原方程的解，
则甲工程队每天能完成绿化的面积是：50×2＝100（m2），
∴甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是100m2、50m2．
（2）设应安排甲队工作y天，
根据题意得：0.4y+×0.25≤8，
解得：y≥10，
答：至少应安排甲队工作10天．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．
23. 如图，等腰三角形中，，．以为直径作⊙O交于点，交于点，，垂足为，交的延长线于点．

（1）连接，求证：∽；
（2）求的长度；
（3）求的值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据直径所对应的圆心角为，通过角相等即可证明∽；
（2）根据等腰三角形的性质求出的长度，再利用相似三角形的性质，列出方程，即可求解；
（3）先根据中位线的性质证明，得出，再结合三角函数的定义列出，先求出的值，从而求出．
【小问1详解】
解：如图，连接，则，即

∵，
∴，
，
又∵，
∴∽；
【小问2详解】
由（1）知，即，
∵，，，
∴，
∵∽，
∴，
∴，
解得：；
小问3详解】
由（2）知是的中点，
∵是的中点，是的中点，
∴，
，
，
，
∵，，
∴，
设，则，
解得：，
．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、中位线的性质、等腰三角形的性质以及三角函数，熟练掌握各个性质定理是解题的关键．
24. 党的二十大报告指出：“高质量发展”是全面建设社会主义现代化国家的首要任务，在数学中，我们不妨约定：在平面直角坐标系内，如果点满足到两坐标轴的距离之和等于4，则称点为“高质量发展点”．
（1）判断下列各点是否是“高质量发展点”，并说明理由：
，，；
（2）一次函数上是否存在“高质量发展点”，若存在，求出所有“高质量发展点”的坐标，若不存在，说明理由；
（3）的圆心的坐标为，半径为．若上存在“高质量发展点”，求的取值范围．
【答案】（1）点，是“高质量发展点”，点不是“高质量发展点”
（2）一次函数上存在“高质量发展点”，坐标为或
（3）的取值范围为
【解析】
【分析】（1）将各点横、纵坐标的绝对值相加，取和为4的点即是所求；
（2）假设一次函数上存在“高质量发展点”，并设一次函数上存的“高质量发展点”的坐标为，根据题意得：，分当时；当时；当时，根据绝对值的性质，去绝对值进行计算即可得到答案；
（3）设“高质量发展点”的坐标为，则，画出函数图象，分当与相切时和当经过点时两种情况求出的值，再结合题意，即可得出的取值范围．
【小问1详解】
解：，，，
点，是“高质量发展点”，点不是“高质量发展点”；
【小问2详解】
解：假设一次函数上存在“高质量发展点”，并设一次函数上存的“高质量发展点”的坐标为，
根据题意得：，
当时，，
，
，
此时发展点的坐标为，
当时，，
，
，不满足，故舍去，
当时，，
，
，
此时发展点的坐标为，
综上所述，一次函数上存在“高质量发展点”，坐标为或；
【小问3详解】
解：设“高质量发展点”坐标为，则，
当时，，即，
当时，，即，
当时，，即，
当时，，即，
画出该函数图象，如图所示：
，
由图象可知，，
，
为等腰直角三角形，
，
当与相切时，此时的半径最小，作交直线于，此时，
，
，
是等腰直角三角形，
，，，
，
当经过点时，此时的半径最大，，
若上存在“高质量发展点”，则的取值范围为．
【点睛】本题主要考查了求点到坐标轴的距离，一次函数的实际应用，圆的综合问题，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点，采用数形结合和分类讨论的思想解题，是解此题的关键．
25. 如图1，点，，a，b满足，抛物线经过A，B两点，点关于点B的对称点M刚好落在抛物线上.

（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，点为第一象限抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，过点作交轴于点，求的最大值及此时点的坐标；


（3）过点作平行于轴交于点，若点为抛物线上的一点，点在轴上，连接，，．是否存在点使得与相似？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）抛物线的解析式为
（2）
（3）点的坐标为，或，或，或，或，
【解析】
【分析】（1）先求出点、的坐标，再根据点与点关于点对称，得出，，再利用待定系数法把点、的坐标代入，解方程组即可；
（2）设，，根据待定系数法求出直线的解析式，表示出，再根据∽，表示出，从而求出关于的式子，再根据二次函数的性质即可求解；
（3）设，，过点作平行于轴交于点，交轴于点，先解直角三角形得出：，，再根据与相似分类讨论即可．
【小问1详解】
解：，
，
，，
又∵点，，，，
∴，，，，
∵点，和点关于点，对称，设点，，
，解得，
，；
设二次函数解析式，由，，，，，三点在二次函数上，则
，解得
∴该抛物线的解析式为；
【小问2详解】
如图，过点作轴于点，

设，，则
设直线的解析式为，将，，，代入，得
，解得，
∴直线的解析式为，
∵轴交直线于点，
∴，
∴，
，
∵，轴于点，
∴，，
∴∽，
∴，
又∵中，，
∴，
∴，
，
，且
时，的值最大，为；
【小问3详解】
存在．设，，
过点作平行于轴交于点，交轴于点，
∵，，，，，，
∴，，，，
∴，,
，，
，，
，，
当点与点重合，即，时，如图1，

若，则∽，此时点与点关于轴对称，，；
若，则∽，则，即，，，
，
，解得：，
，；
当点在轴下方对称轴左侧抛物线上时，如图2，设，，

，
，
解得：（舍去）或，
，，
若，则∽，
∴点与点关于轴对称，，；
∴，则∽，
∴，即，，，
，
，解得：，
，；
当点与点重合，即，时，如图3，

点在点的，即，
若，则∽，
，
，
∴，
，；
综上所述，点的坐标为，或，或，或，或，．
【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法，中心对称、轴对称的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等，注意分类讨论是解题的关键．