湖南省长沙市岳麓区周南梅溪湖中学2024-2025学年九年级上学期开学考数学试题（原卷版+解析版）

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1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程，根据定义解答．
【详解】解：A．4（x＋2）＝25不符合定义，故该项不符合题意；
B．2x2＋3x－1＝0符合定义，故该项符合题意；
C．2x＋y＝0不符合定义，故该项不符合题意；
D．＝4不符合定义，故该项不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题考查了一元二次方程的定义，熟记定义是解题的关键．
2. 一元二次方程二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）
A. 1，4，5B. 0，， C. 1，，5D. 1，，
【答案】D
【解析】
【分析】一元二次方程的一般形式为：，其中称为二次项，a为二次项系数，称为一次项，b为一次项系数，c为常数项，根据一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项的定义求解即可．
【详解】解：一元二次方程二次项系数、一次项系数和常数项分别为1，，，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次函数的一般形式，想要求出二次项系数、一次项系数和常数项就需要把函数转变为一般式：，其中称为二次项，a为二次项系数，称为一次项，b为一次项系数，c为常数项．
3. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用配方法把方程变形即可．
【详解】用配方法解方程时，配方结果为，
故选：A．
【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握配方法解一元二次方程的基本步骤是解本题的关键．
4. 对于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A. 图象开口向下B. 当时，随的增大而减小
C. 当时，随的增大而减小D. 图象的对称轴是直线
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数顶点式表达式逐一分析即可．
【详解】解：由顶点式表达式可知，
，
开口向上，错误；
对称轴，
当时，随的增大而减小，
当时，随的增大而增大，
错误；错误，
在的范围内，
当时，随的增大而减小，正确．
故选：．
【点睛】本题考查二次函数的性质和增减性，通过a的正负和对称轴判断二次函数的增减性是关键．
5. 如图，在长为54米、宽为38米的矩形草地上修同样宽的路，余下部分种植草坪．要使草坪的面积为1800平方米，设道路的宽为x米，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】运用平移的思想，设道路的宽为x米，利用“草坪的面积”作为相等关系可列方程．
【详解】解：设道路的宽为x米，
根据题意得（54-x）（38-x）=1800．
故选A．
【点睛】本题考查的是根据实际问题列一元二次方程．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．
6. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干，支干、小分支的总数是91．设每个支干长出x个分支，则可列方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，由题意设每个支干长出个小分支，因为主干长出个（同样数目）支干，则又长出个小分支，则共有个分支，即可列方程，要根据题意分别表示主干、支干、小分支的数目，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．
【详解】解：设每个支干长出个小分支，
根据题意列方程得：．
故选：A．
7. 若是方程的一个根，则的值为（ ）
A. 2020B. C. 2019D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次方程根的定义得到a2-1=a，再把变形为-a（a2-1）+a+2020，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】∵a是方程的一个根，
∴a2-a-1=0，即a2-1=a，a2-a=1
∴
=
=-1+2020
=2019．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解以及整体代入思想．
8. 在同一平面直角坐标系中，函数和函数（m是常数，且)的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数图象判断两个值，函数的图象是否正确即可得到答案．
【详解】解：A、根据函数图象可知：一次函数解析式中，二次函数解析式中，两者符号相同，但根据，得抛物线的对称轴应在轴的右侧，与图象不符，故该选项不符合题意；
B、根据函数图象可知：一次函数解析式中，二次函数解析式中m>0，故该选项不符合题意；
C、根据函数图象可知：一次函数解析式中m>0，二次函数解析式中m>0，两者符号相同，但根据，得抛物线的对称轴应在轴的左侧，与图象不符，故该选项不符合题意；
D、根据函数图象可知：一次函数解析式中，二次函数解析式中，两者符号相同，根据，得抛物线的对称轴应在轴的右侧，与图象相符，故该选项符合题意；
故选：D．
【点睛】此题考查一次函数与二次函数的图象性质，根据图象判断函数解析式中字母的取值，正确理解函数图象是解题的关键．
9. 若点，，在抛物线上，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据二次函数图象性质即可判定，解题的关键掌握二次函数图象的性质．
【详解】解：由二次函数，则它的对称轴为，开口向上，
则图象上的点离对称轴越远则的值越大，
∵，，，
∴，
∴，
故选：．
10. 为了使居住环境更加美观，某小区建造了一个小型喷泉，水流从地面上的点O喷出，在各个方向上沿形状相同的抛物线落到地面，某方向上抛物线的形状如图所示，落点A到点O的距离为4，水流喷出的高度与水平距离之间近似满足函数关系式，则水流喷出的最大高度为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据点A到点O的距离为4，得到,代入求得，再将解析式化为顶点式即可得解；
【详解】点A到点O的距离为4，
,
把代入得
，
，
，
水流喷出的最大高度为，
故选择：Ａ
【点睛】本题考查了二次函数的应用，二次函数的性质，正确的求出函数解析式是解题的关键．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11. 将一元二次方程化成的形式为______．
【答案】
【解析】
【分析】去括号，移项，合并变形为一般式．
【详解】解：，，；
故答案为：
【点睛】本题考查整式乘法，一元二次方程一般式；掌握整式乘法，等式基本性质是解题的关键．
12. 把二次函数的图象先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得图象对应的函数表达式是__________．
【答案】y＝2（x+3）2﹣1
【解析】
【分析】利用二次函数平移规律 “上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【详解】解：把二次函数y＝2x2的图象先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，平移后的函数关系式是：y＝2（x+3）2﹣1．
故答案为：y＝2（x+3）2﹣1．
【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
13. 当______时，关于的方程是一元二次方程．
【答案】
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义，列方程和不等式解答．
【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程，
∴，，
解得，
故答案为：．
【点睛】考查了一元二次方程定义，一元二次方程的一般形式是： 是常数且），特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
14. 已知方程的两根分别为和，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】方程的两根分别为和，则根据根与系数的关系直接计算即可．
【详解】解： 方程的两根分别为和，

故答案为：
【点睛】本题考查的是一元二次方程的根与系数的关系，掌握“一元二次方程的根与系数的关系”是解题的关键．
15. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是________．
【答案】且
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的定义及根的判别式，由一元二次方程的二次项系数不能为0得，由方程有两个不相等的实数根可得，由此可解．
【详解】解：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，，
解得且，
故答案为：且．
16. 二次函数的图像如图所示，下列结论：①；②时，y随x的增大而增大；③；④不等式的解集是；其中正确的是________．（填序号）
【答案】①
【解析】
【分析】由抛物线图像开口方向、对称轴的位置及抛物线与y轴的交点可确定a、b、c的符号，即可判断①；直接观察图像即可判断②；由图知时，，即可判断③；观察图像可得或时，即可判断④．
本题考查了二次函数图像与系数的关系以及二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数图像与系数的关系．
【详解】解：①∵抛物线图像开口向上，
∴，
∵对称轴在y轴右侧，
∴a、b异号，
∴，
由图知，
∴，
故①正确；
②由图知，当时，y随x的增大先减小后增大，
故②错误；
③由图知时，，
∴，
故③错误；
④由图知或时，
∴不等式的解集是或，
故④错误．
故答案为：①
三．解答题（共6小题，满分72分）
17. 解方程
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1），
（2），
（3），
（4），
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
（1）利用分解因式法解方程即可；
（2）移项，然后把方程左边分解因式，利用因式分解法即可求解；
（3）利用求根公式即可求解；
（4）利用直接开平方法即可求解．
【小问1详解】
解：原方程变形为：，
则或，
则，；
【小问2详解】
解：移项，得：，
分解因式，得：，
则或，
解得：，；
【小问3详解】
解：，，，
则，
则，
解得，；
【小问4详解】
解：或，
解得：，．
18. 已知关于x的一元二次方程．
（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；
（2）若方程两实数根分别为，，且满足，求实数m的值．
【答案】（1）
（2）1
【解析】
【分析】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当时，方程有实数根”；（2）根据根与系数的关系结合，找出关于的一元二次方程．
（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出实数的取值范围；
（2）根据根与系数的关系可得出，，结合可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合（1）的结论即可确定的值．
【小问1详解】
解：关于的一元二次方程有实数根，
，
解得：，
当方程有实数根时，实数的取值范围为；
【小问2详解】
解：方程两实数根分别为，，
，．
，
，
，
整理，得：，
解得：，．
，
实数的值为1．
19. 已知二次函数
（1）把函数表达式配方成的形式为 ．
（2）函数图象的开口方向向 ，顶点坐标为 ，对称轴为直线 ，函数图象与x轴的交点坐标为 ，与y轴的交点坐标为 ．
（3）函数的图象可由抛物线向 平移 个单位长度，再向 平移 个单位长度得到；
（4）根据图象，写出时，x的取值范围是 ．
（5）当y随x的增大而增大时，x的取值范围是 ．
【答案】（1）
（2）下，，，或，
（3）上，2，左，1 （4）
（5）
【解析】
【分析】本题考查的是抛物线与轴的交点，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点所代表的意义、图象上点的坐标特征等．
（1），即可求解；
（2），故函数图象的开口方向向下，顶点坐标为，对称轴为直线，，令，则，令，则或，故：函数图象与轴的交点坐标为或，与轴的交点坐标为，即可求解；
（3）函数的图象可由抛物线向上平移2个单位，向左平移1个单位得到，即可求解；
（4）根据图象，写出时，的取值范围是：，即可求解；
（5）函数的对称轴为：，故当随的增大而增大时，的取值范围是，即可求解．
【小问1详解】
解：；
故答案为：；
【小问2详解】
解：，故函数图象的开口方向向下，顶点坐标为，对称轴为直线，
令，则，
令，可得，则或，
故函数图象与轴的交点坐标为或，与轴的交点坐标为，
故答案为：下，，，或，；
【小问3详解】
解：函数的图象可由抛物线向上平移2个单位，向左平移1个单位得到，
故答案为：上，2，左，1；
【小问4详解】
解：根据图象，写出时，的取值范围是：，
故答案为：；
【小问5详解】
解：函数的对称轴为：，故当随的增大而增大时，的取值范围是，
故答案为：．
20. 2024年是农历甲辰龙年，含有“龙”元素的饰品深受大众喜爱．商场购进一批单价为70元的“吉祥龙”公仔，并以每个80元售出．由于销售火爆，公仔的销售单价经过两次调整后，上涨到每个125元，此时每天可售出75个．
（1）若销售单价每次上涨的百分率相同，求该百分率；
（2）市场调查发现：销售单价每降低1元，其销售量相应增加5个．那么销售单价应降低多少，才能使每天所获销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）
（2）销售单价降低元，所获销售利润最大，最大为元
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用，解题时要能找准等量关系，正确列出一元二次方程及二次函数关系式是解题的关键．
（1）依据题意，设每次上涨的百分率为x，再由题意列出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）依据题意，设每个降价为a元，可列出关于a的二次函数，再由二次函数的性质进行判断计算可以得解．
【小问1详解】
解：设每次上涨的百分率为，列方程为：
，
解得：，（舍去），
答：每次上涨的百分率为；
【小问2详解】
解：设销售单价降低元，销售利润为元，
，
∴当销售单价降低元，所获销售利润最大，最大为元．
21. 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(﹣2，0)，B(0，﹣2)，C(1，0)三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；
（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝﹣x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．
【答案】（1）y＝x2+x﹣2；（2）S＝﹣m2﹣2m（﹣2＜m＜0），S的最大值为1；（3）点Q坐标为：(﹣2，2)或(﹣1+，1﹣)或(﹣1﹣，1+)或(2，﹣2)．
【解析】
【分析】（1）设此抛物线的函数解析式为：y＝ax2+bx+c，将A，B，C三点代入y＝ax2+bx+c，列方程组求出a、b、c的值即可得答案；
（2）如图1，过点M作y轴的平行线交AB于点D，M点的横坐标为m，且点M在第三象限的抛物线上，设M点的坐标为（m，m2+m﹣2），﹣2＜m＜0，由A、B坐标可求出直线AB的解析式为y＝﹣x﹣2，则点D的坐标为（m，﹣m﹣2），即可求出MD的长度，进一步求出△MAB的面积S关于m的函数关系式，根据二次函数的性质即可求出其最大值；
（3）设P（x，x2+x﹣2），分情况讨论，①当OB为边时，根据平行四边形的性质知PQ∥OB，且PQ＝OB，则Q（x，﹣x），可列出关于x的方程，即可求出点Q的坐标；②当BO为对角线时，OQ∥BP，A与P应该重合，OP＝2，四边形PBQO为平行四边形，则BQ＝OP＝2，Q横坐标为2，即可写出点Q的坐标．
【详解】（1）设此抛物线的函数解析式为：y＝ax2+bx+c，
将A（﹣2，0），B（0，﹣2），C（1，0）三点代入，得，
解得：，
∴此函数解析式为：y＝x2+x﹣2．
（2）如图，过点M作y轴平行线交AB于点D，
∵M点的横坐标为m，且点M在第三象限的抛物线上，
∴设M点的坐标为（m，m2+m﹣2），﹣2＜m＜0，
设直线AB的解析式为y＝kx﹣2，
把A（﹣2，0）代入得，-2k-2=0，
解得：k＝﹣1，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x﹣2，
∵MD∥y轴，
∴点D的坐标为（m，﹣m﹣2），
∴MD＝﹣m﹣2﹣（m2+m﹣2）＝﹣m2﹣2m，
∴S△MAB＝S△MDA+S△MDB
＝MD•OA
＝×2（m2﹣2m）
＝﹣m2﹣2m
＝﹣（m+1）2+1，
∵﹣2＜m＜0，
∴当m＝﹣1时，S△MAB有最大值1，
综上所述，S关于m的函数关系式是S＝﹣m2﹣2m（﹣2＜m＜0），S的最大值为1．
（3）设P（x，x2+x﹣2），
①如图，当OB为边时，根据平行四边形的性质知PQ∥OB，且PQ＝OB，
∴Q的横坐标等于P的横坐标，
∵直线的解析式为y＝﹣x，
则Q（x，﹣x），
由PQ＝OB，得|﹣x﹣（x2+x﹣2）|＝2，
即|﹣x2﹣2x+2|＝2，
当﹣x2﹣2x+2＝2时，x1＝0（不合题意，舍去），x2＝﹣2，
∴Q（﹣2，2），
当﹣x2﹣2x+2＝﹣2时，x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣，
∴Q（﹣1+，1﹣）或（﹣1﹣，1+），
②如图，当BO为对角线时，OQ∥BP，
∵直线AB的解析式为y=-x-2，直线OQ的解析式为y=-x，
∴A与P重合，OP＝2，四边形PBQO为平行四边形，
∴BQ＝OP＝2，点Q的横坐标为2，
把x=2代入y＝﹣x得y=-2，
∴Q（2，﹣2），
综上所述，点Q的坐标为（﹣2，2）或（﹣1+，1﹣）或（﹣1﹣，1+）或（2，﹣2）．
【点睛】本题是对二次函数的综合考查，有待定系数法求二次函数解析式，三角形的面积，二次函数的最值问题，平行四边形的对边相等的性质，平面直角坐标系中两点间的距离的表示，熟练掌握二次函数的性质把运用分类讨论的思想是解题关键．
22. 已知y是关于x的函数，若其函数图象经过点P（t，t），则称点P为函数图象上的“和谐点”．
（1）求出直线y=3x﹣2的“和谐点”坐标；
（2）若抛物线y=﹣x2+（a+1）x﹣a+1上有“和谐点”，且“和谐点”为A（x1，y1）和B（x2，y2），求W=x12+x22的最小值；
（3）若函数y=x2+（m﹣t+1）x+n+t﹣2的图象上存在唯一的一个“和谐点”且当2≤m≤3时，n的最小值为t，求t的值．
【答案】（1）；（2）w有最小值是；（3）t的值为3﹣或4+．
【解析】
【分析】（1）根据“和谐点”的坐标特征设出坐标，代入双曲线中，有解则有“和谐点”；
（2）设抛物线“和谐点”的坐标为，代入抛物线的关系式中得到关于x的一元二次方程，因为有两个“和谐点”，则这两个“和谐点”的横坐标就是这个一元二次方程的两个根，再由根与系数的关系得：两根和与两根据积的式子，得到w关于a的二次函数，求最小值即可；
（3）设函数“和谐点”的坐标为，代入函数的关系式中得到关于x的一元二次方程，因为有一个“和谐点”，则，得到n=（m﹣t）2﹣t+2，把它看成一个二次函数，对称轴m=t，分三种情况讨论即可．
【详解】解：（1）设“和谐点”的坐标为，
将点坐标代入直线y=3x﹣2得：t=3t﹣2，
解得：t=1，
故“和谐点”的坐标为；
（2）设抛物线“和谐点”的坐标为，
代入抛物线y=﹣x2+（a+1）x﹣a+1中得：
x=﹣x2+（a+1）x﹣a+1，
﹣x2+ax﹣a+1=0，
∵“和谐点”为和，
∴x1、x2是方程﹣x2+ax﹣a+1=0的两个根，
则x1+x2=﹣=，x1•x2==2a﹣2，
w=x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（）2﹣2（2a﹣2），
w=﹣4a+4=（a﹣）2+，
∵＞0，
∴抛物线开口向上当a=时，w有最小值是；
（3）设函数“和谐点”的坐标为，
代入函数y=x2+（m﹣t+1）x+n+t﹣2得：
x=x2+（m﹣t+1）x+n+t﹣2，
x2+（m﹣t）x+n+t﹣2=0，
∵存在唯一的一个“和谐点”，
∴=（m﹣t）2﹣4××（n+t﹣2）=0，
n=（m﹣t）2﹣t+2，
这是一个n关于m的二次函数，图象为抛物线，开口向上，对称轴为m=t，对称轴左侧，n随m的增大而减小；对称轴右侧，n随m的增大而增大；
①t＜2，当2≤m≤3时，在对称轴右侧递增，
∴当m=2时，n有最小值为t，
即（2﹣t）2﹣t+2=t，
t2﹣6t+6=0，
解得：t1=3+＞2（舍去），t2=3﹣，
②t＞3，当2≤m≤3时，在对称轴左侧递减，
∴当m=3时，n有最小值为t，
即（3﹣t）2﹣t+2=t，
解得：t1=4+，t2=4﹣＜3（舍），
③当2≤t≤3，当2≤m≤3时，n有最小值为﹣t+2，
∴﹣t+2=t，
t=1＜2（舍去），
综上所以述：t的值为3﹣或4+．
【点睛】本题考查了二次函数的性质及一元二次方程的根与二次函数的关系；明确一元二次方程根据与系数的关系，方程的解与根的判别式的关系；尤其是二次函数的最值问题，在自变量的所有取值中：①当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，函数有最小值；②当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，函数有最大值；如果在规定的取值中，要看图象和增减性来判断．