2023届四川省成都市石室中学高三上学期数学（文科）第三次周考试题含答案

这是一份2023届四川省成都市石室中学高三上学期数学（文科）第三次周考试题含答案，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
  成都石室中学2022-2023学年度上期高2023届第三次周考数学试题(文科)一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题列出的四个选项中,只有一项最符合题目要求.1.已知向量,,若,则(   )A. B.2 C.1 D.2.已知集合,则(   )A. B. C.         D.3.已知复数, 则(   )A.   B.   C.     D.4.执行如图所示的程序框图,若输出的为4,则输入的应为(   )A.－2           B.16            C.－2或8        D.－2或165. 某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积是(   )
A.        B.         C.          D.6.若实数满足约束条件则的最小值是(   )A.            B.            C.            D. 7.已知,,,且在上无最小值,则(   )A.                B.1                 C.                 D.28.香农定理是所有通信制式最基本的原理,它可以用香农公式来表示,其中是信道支持的最大速度或者叫信道容量,是信道的带宽,是平均信号功率,是平均噪声功率.已知平均信号功率为,平均噪声功率为,在不改变平均噪声功率和信道带宽的前提下,要使信道容量增加到原来的2倍,则平均信号功率需要增加到原来的(   )A.1.2倍 B.12倍              C.102倍 D.1002倍9.已知等比数列的前项和,则(   )A. B.              C. D.10. 已知是双曲线的左、右焦点,过的直线与的左、右两支分别交于两点.若,则该双曲线的离心率为(   )A. 2        B.      C.    D.11.平面上到两条相交直线的距离之和为常数的点的轨迹为平行四边形,其中这两条相交直线是该平行四边形对角线所在的直线.若平面上到两条直线,的距离之和为2的点的轨迹为曲线,则曲线围成的图形面积为(   )A. B. C. D.12.已知球的体积为,高为1的圆锥内接于球,经过圆锥顶点的平面截球和圆锥所得的截面面积分别为,若,则(       )A.  B.  C.  D.  二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共计20分.13.已知等差数列的首项为2,且,则　       　.14.已知圆与抛物线的准线相切,则　       　.15.已知平面向量满足,则在方向上的投影为　       　. 16.已知椭圆的焦点为,,过的直线与交于两点.若,,则的值为　       　. 三、解答题：共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题：共60分.17.PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物.我国PM2.5标准采用前卫组织设定的最宽限值,即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级;在35微克/立方米与75微克/立方米之间的空气质量为二级;在75微克/立方米以上的空气质量为超标.为了解甲, 乙两座城市年的空气质量情况,从全年每天的PM2.5监测数据中随机抽取20天的数据作为样本,监测值如以下茎叶图所示(十位为茎,个位为叶).(1)从甲, 乙两城市共采集的40个数据样本中,从PM2.5日均值在范围内随机取2天数据,求取到2天的PM2.5均超标的概率;(2)以这20天的PM2.5日均值数据来估计一年的空气质量情况,则甲, 乙两城市一年(按365天计算)中分别约有多少天空气质量达到一级或二级.(结果精确到整数)           18.在中,角的对边分别为,(1)求;(2)若,的面积为,求的周长.         19.在多面体中,平面平面,是面积为的矩形,,,.(1)证明:;(2)求点到平面的距离.          20.已知直线和与抛物线分别相交于两点(异于坐标原点), 与直线分别相交于两点,且.(1)求线段的中点的轨迹方程; (2)求面积的最小值.         21.已知函数.(1)当时,讨论函数的单调性;(2)设,若关于的不等式在上有解,求的取值范围.            (二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.【选修4-4：坐标系与参数方程】22.在直角坐标系中,已知直线的参数方程为为参数,,,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)判断直线与曲线的交点个数;(2)若直线与曲线相交于,两点,且,求直线的直角坐标方程.     【选修4-5：不等式选讲】23.已知函数.(1)求不等式,的解集;(2)已知函数的最小值为,且,,都是正数,,证明：.      成都石室中学2022-2023学年度上期高2023届第三次周考数学试题(文科)答案一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题列出的四个选项中,只有一项是最符合题目要求的.BBADB    CACDC    AC二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共计20分.13.4       14.4      15.     16.9三、解答题：共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题：共60分.17.解:(1)从甲, 乙两城市共采集的40个数据样本中,PM2.5日均值在内的共有6天,而PM2.5日均值为超标(大于75微克/立方米)的有3天.记PM2.5日均值超标的3天为,不超标的3天为,则从这6天中随机取2天,共有如下15种结果(不记顺序):,,       ……………………2分其中,抽出2天的PM2.5均超标的情况有3种：.…4分由古典概型知,抽到2天的PM2.5均超标的概率.  ……………………6分(2)各抽取的20天样本数据中,甲城市有15天达到一级或二级;……………………7分      乙城市有16天达到一级或二级.         …………………………………………8分      由样本估计总体知,甲, 乙两城市一年(按365天计算)中空气质量达到一级或二级的天数分别约为:,  .……………………12分18.解:（1）∵,∴∴,∴由正弦定理可得：, ∴,∴, ∴ --------------------------------------6分(2) ,且,∴   由余弦定理可得： ∴ 周长=   --------------------------------------12分19.解:(1)证明：如图所示,延长,,交于点,由于,故为的中位线,从而为等边三角形,据此可得,由于是的矩形,则,平面平面,故平面,据此可得,结合可得平面,故. (2)以点为坐标原点,,,所在的直线为轴,轴,轴建立如图所示的空间直角坐标系,由长方形的面积可得,从而,设平面的法向量为,则,据此可得,且,据此可得点到平面的距离.20. 线段的中点的轨迹方程为所以,面积的最小值是21.解：(Ⅰ)由题意知,,.令,当时,恒成立,∴当时,;当时,,∴函数在上单调递增,在上单调递减.…………4分(Ⅱ)∵,∴,由题意知,存在,使得成立.即存在,使得成立,令,∴.①时,,则,∴函数在上单调递减,∴成立,解得,∴;②当时,令,解得;令,解得,∴函数在上单调递增,在上单调递减,又,∴,解得,∴无解;③当时,,则,∴函数在上单调递增,∴,不符合题意,舍去.综上所述,的取值范围为.…………………………12分(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.【选修4-4：坐标系与参数方程】22.解:(1)由得：,则,曲线的直角坐标方程为：;由直线参数方程可知：恒过点,,点在圆内部,直线与曲线相交,即有两个不同的交点. ------------------------------5分(2)将直线参数方程代入曲线直角坐标方程得：,即;设,对应的参数分别为,,则,,,解得：,,又,,或,则直线方程为或.------------------------------5分【选修4-5：不等式选讲】23.解:(1)当时,,解得,当时,,解得,当时,,解得,综上,原不等式的解集为,,.------------------------------4分(2)证明：,当且仅当即时,等号成立,则,,故,当且仅当时,等号成立,故.------------------------------5分