2023届四川省成都市石室中学高三上学期数学（文）周练二试题含答案

这是一份2023届四川省成都市石室中学高三上学期数学（文）周练二试题含答案，共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
 成都石室中学高2023届高三上数学周练二(文)
班级______ 姓名________
一、单选题
1．已知集合，，，则集合，，的关系为（    ）
A． B． C． D．，
2．设，复数，则“在复平面内对应的点位于第一象限”的一个充分不必要条件是（    ）
A． B． C． D．
3．若变量、满足约束条件，则目标函数取最大值时的最优解是（    ）
A． B． C． D．
4．河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟.在龙门石窟的某处“浮雕象”共有7层，每一层的数量是它下一层的2倍，这些“浮雕象”构成一幅优美的图案.已知该处共有个“浮雕象”，则正中间那层的“浮雕象”的数量为（    ）
A． B． C． D．
5．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，a＝2，A＝45°，若三角形有两解，则b的可能取值是（    ）
A．2 B．2.3 C．3 D．4
6．如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的表面积为（    ）
A． B．
C． D．
7．已知抛物线的焦点为，准线为，过点且倾斜角为30°的直线交抛物线于点（在第一象限），，垂足为，直线交轴于点，若，则抛物线的方程是（    ）
A． B．
C． D．
8．已知变量关于变量的回归方程为，其一组数据如下表所示：







1
2
3
4
5
若，则的值大约为（    ）
A．4.94 B．5.74 C．6.81 D．8.04
9．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，P为CC1的中点，点Q在四边形DCC1D1内（包括边界）运动，若AQ∥平面A1BP，则AQ的最小值为（    ）

A．1 B． C． D．
10．已知函数，若关于x的方程有6个不同的实数根，则m的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
11．从双曲线的左焦点引圆的切线，切点为T，延长交双曲线右支于P点，M为线段的中点，O为坐标原点，若，则双曲线的离心率为（    ）
A． B． C．2 D．

12．已知，且，其中e为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是（    ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知，，则向量在向量上的投影为______．
14．下面如图是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号同学的成绩依次为，如图是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的算法流程图，那么该算法流程图输出的结果是___________.
15．在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n＝8时Sn取得最大值，则d的取值范围为_____．
16．若存在直线l与曲线C1和曲线C2都相切，则称曲线C1和曲线C2为“相关曲线”，有下列四个命题：
①有且只有两条直线l使得曲线C1：和曲线C2：为“相关曲线”；
②曲线C1：和曲线C2：是“相关曲线”；
③当b>a>0时，曲线C1：和曲线C2：一定不是“相关曲线”；
④必存在正数a使得曲线C1：和曲线C2：为“相关曲线”．
其中正确命题的个数为________个．
三、解答题
17．在中，角A，，所对的边分别为，，，且．
(1)若，，求角
(2)设的角平分线交于点，若面积为，求长的最大值．













18．如图，在三棱柱中，平面平面，，，为棱的中点．
（1）证明：；
（2）求三棱柱的高．
















19．为了调查某大学学生的某天上网的时间，随机对名男生和名女生进行了不记名的问卷调查.得到了如下的统计结果：
表1：男生上网时间与频数分布表
上网时间（分钟）





人数





表2：女生上网时间与频数分布表
上网时间（分钟）





人数





（1）用分层抽样在选取人，再随机抽取人，求抽取的人都是女生的概率；
（2）完成下面的列联表，并回答能否有的把握认为“大学生上网时间与性别有关”？

上网时间少于分钟
上网时间不少于分钟
合计
男生



女生



合计















附：














20．已知椭圆的离心率为，椭圆上一动点与左､右焦点构成的三角形面积最大值为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆的左､右顶点分别为，直线交椭圆于两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，已知.
①求证：直线恒过定点；
②设和的面积分别为，求的最大值.















21．已知函数，，其中，为自然对数的底数.
(1)求的最小值；
(2)设函数（为的导函数），如果函数在内有两个不同的零点，求实数的取值范围.




















22．已知曲线的参数方程为 （为参数），以直角坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线的极坐标方程.
(1)求的极坐标方程；
(2)若曲线与曲线、曲线分别交于两点A，B，点 ，求△PAB的面积.

参考答案：
1．B
【分析】对三个集合中元素进行变形，确定元素间的关系，判断出集合的包含关系.
【详解】因为，，，
其中均表示全体整数，表示全体奇数，
所以．
故选：B．
2．A
【分析】根据复数的乘法运算及几何意义求出的取值范围，再由充分条件和必要条件的定义即可求解.
【详解】解：复数，
若复数在复平面内对应的点位于第一象限，则，
所以，
所以“在复平面内对应的点位于第一象限”的一个充分不必要条件是，
故选：A.
3．C
【分析】作出满足约束条件的可行域，平移直线，即可得出结果.
【详解】作出满足约束条件的可行域（如图中阴影部分所示）.

可化为，
平移直线，
当其经过点时，目标函数取得最大值，
联立，解得，，
故最优解是，
故选：C.
4．D
【分析】根据题意，可知从最下层往上“浮雕象”每层的数量构成一个公比为2等比数列，故只需利用，求出最下层的浮雕数量，即可求出正中间那层，即第4层的“浮雕象”的数量.
【详解】根据题意，可知从最下层往上“浮雕象”每层的数量构成一个公比为2等比数列，
设最下层的浮雕数量为，则由，解得，
所以正中间那层为第4层，其“浮雕象”的数量.
故选：D
【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式及等比数列的前项和公式的应用，属于基础题.
5．B
【分析】结合图形即可由解的个数求得b的取值范围，从而得到答案.
【详解】如图，有两解的充要条件是，解得，
故b的取值范围是，结合各选项可知B正确．
故选: B

6．D
【分析】把三视图还原为实物图，分析结构为直三棱柱与四棱锥组合而成，分别求出对应面的面积，即可得到答案.
【详解】由多面体的三视图得到多面体的直观图如图所示：

它可以看成由直三棱柱与四棱锥组合而成.
其中三角形的底,高为，所以其面积为；
梯形与梯形全等，上底为，下底为,高为，所以其面积为；
三角形的底,高为，所以其面积为；
底面为矩形，底,高为，其面积为.
所以表面积.
故选：D.
7．C
【分析】如图所示，过点作，垂足为. 先证明是等边三角形，再求出，求出的值即得解.
【详解】解：如图所示，过点作，垂足为.
由题得,所以.
因为，所以是等边三角形.
因为是的中点，所以，
所以，所以.
所以.
所以
所以抛物线的方程是.
故选：C

8．C
【分析】令，把转化为的线性回归方程，再用线性回归的方法处理即可
【详解】由，令，则，由题意，，，所以，解得，所以，所以，解得.
故选：C
9．B
【分析】由线面平行与面面平行的判定定理求解即可
【详解】取C1D1，D1D，CD，FG中点分别为E、F、G，H，连接EP，AF，FG，AG，AH，如图所示：
∵P为CC1的中点，
则平面A1BP即为平面A1BPE，EP∥DB，FG∥DB，A1E∥AG，EP∥FG，
∵FG⊄平面A1BPE，AG⊄平面A1BPE，
∴FG∥平面A1BPE，AG∥平面A1BPE，
又FG∩AG＝G，FG⊂平面AFG，AG⊂平面AFG，
∴AFG∥平面A1BP，
∴当Q运动到FG中点H时，此时AH⊂平面AFG，AH∥平面A1BP，AQ的最小值为AH，
∵AB＝2，
∴AF＝AG，FG，
在Rt△AFH中，AH，
故AQ的最小值为，
故选：B．

10．A
【分析】画出的图象，令，则先讨论的零点，根据二次函数判别式与韦达定理，结合的图象可得的较小根的范围，进而根据与较小根的关系式结合函数的单调性求解即可.
【详解】画出的图象如图，令，则先讨论的零点.
当，即时，不合题意；
当，即时，易得或，此时当或时均不满足有6个零点，不合题意；
故，或，设的两根为，不妨设，由韦达定理，且.
①当时，与均无零点，不合题意；
②当时：
1. 若，则，此时有4个零点，有2个零点，合题意；
2. 若，此时有3个零点，则有且仅有3个零点，此时，故；
综上可得或.
又，故，结合在上为减函数可得在，上为增函数.
故

故选：A
【点睛】本题主要考查了数形结合解决复合函数零点的问题，需要换元先分析二次函数的零点情况，数形结合判断零点所在的区间，进而得出零点所在的区间，并结合二次函数的性质与韦达定理求解.属于难题.
11．B
【分析】先求得的关系，再去求双曲线的离心率
【详解】设双曲线的右焦点，连接,

则△中，,，则
由直线与圆相切，可得
又双曲线中，
则
又，则，整理得
两边平方整理得，则双曲线的离心率
故选：B
12．B
【分析】构造，，求导研究其单调性，判断出D选项，利用同角三角函数关系得到AB选项，构造差函数，得到，从而判断出C选项.
【详解】构造，，则恒成立，
则，
当时，，，
当时，，
所以在单调递增，在单调递减，
因为，所以，，
又，所以，D错误，
因为，所以，，
所以，所以，A错误，B正确.
令，则，

当时，恒成立，
所以在上单调递增，
当时，，即，
因为，
所以
因为，
所以，
因为在在单调递减，
所以，即
因为在上单调递减，
所以，C错误
故选：B
【点睛】结合题目特征，构造函数，利用函数单调性比较函数值的大小，是比较大小很重要的方法，本题中构造进行求解.
13．##
【分析】根据向量投影的定义，及数量积的几何意义求投影.
【详解】向量在向量上的投影为．
故答案为：
14．10
【分析】根据算法流程图可知是统计大于或等于90分的人数，结合茎叶图即可求解.
【详解】由算法流程图可知，其统计的是数学成绩大于或等于90的人数.由茎叶图知，数学成绩大于若等于90的人数为10，因此输出结果为10.
故答案为：10
15．
【分析】根据数列最大值的性质，结合等差数列前n项和公式进行求解即可.
【详解】∵Sn＝7n，当且仅当n＝8时Sn取得最大值，
∴，即，解得：，
综上：d的取值范围为（﹣1，）．
故答案为：
16．3
【分析】由两圆的位置关系可判断①；作图可判断②③；取，作图可判断④.
【详解】对于①，由题意得曲线C1是以(0，0)为圆心，2为半径的圆；曲线C2是以(2，−1)为圆心，半径为1的圆．两圆的圆心距为，由于，故两圆相交，因此有两条外公切线，故①正确．
对于②，由题意得曲线C1，C2是共轭双曲线（它们各自在x轴上方的部分），具有相同的渐近线，因此两曲线没有公切线，故②不正确．

对于③，因为b>a>0，在同一坐标系内画出两曲线，如图中的图形．

由图可得圆在抛物线的内部，所以两曲线不会有公切线，故③正确．
对于④，当a=1时，曲线C1：，此时直线与曲线C1和曲线C2都相切，故④正确．

综上可得有3个命题正确．
故答案为：3
17．(1)
(2)

【分析】（1）从正弦定理出发进行角换边，再利用余弦定理求得角A，再利用一次正弦定理求得角度.
（2）利用角平分线性质及面积公式得到，再利用基本不等式得出最值.
（1）
解：因为，
依据正弦定理，
所以，
即，
由余弦定理变形知，
因为，所以．
因为，，
则在中，由正弦定理得：
又，
因为，所以．
（2）
法一：因为，
是的角平分线，
而，
所以，
即，
所以，
因为，，，且，故AD
当且仅当取等，
所以最大值为．
答：当时，最大值为．
法二：因为,
设，，
在，中由正弦定理知：
①，
②，
因为，所以①②得，

，
令，，
由于，
所以，易得此函数在为单调递增函数，
所以当时，最大值为．
【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，利用正弦定理解决范围与最值问题，涉及求余弦定理的值域或最值，利用单调性求最值，属于较难题．
18．（1）证明见解析（2）
【分析】（1）连接，，作为棱的中点，连结，，由平面平面，得到平面，则，再由，即可证明平面，从而得证；
（2）根据等体积法求出点面距.
【详解】（1）证明：连接，．
∵，，
∴是等边三角形．
作为棱的中点，连结，，∴．
∵平面平面，平面平面，平面，
∴平面．
∵平面，∴．
∵，
∴平行四边形是菱形．
∴．
又，分别为，的中点，
∴，∴．
又，平面，平面．
∴平面．
又平面，∴．

（2）解：连接，∵，，
∴为正三角形．
∵为的中点，∴，
同理可得
又∵平面平面，
且平面平面，平面，
∴平面．
∴，
又三棱柱的高即点到平面的距离．
在中，，，则．
又∵，
∴，

则．

【点睛】本题考查线面垂直，线线垂直的证明，三棱锥的体积及点到平面的距离的计算，属于中档题.
19．（1）；（2）详见解析.
【分析】（1）用分层抽样法求出抽取的人数，用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值；
（2）填写列联表，计算K2，对照临界值得出结论．
【详解】（1）用分层抽样在[30，40）选取6人，男生有2人记为A、B，女生有4人，记为c、d、e、f；
再从这6人中随机抽取2人，基本事件为
AB、Ac、Ad、Ae、Af、Bc、Bd、Be、Bf、cd、ce、cf、de、df、ef共15种；
抽取的2人都是女生的事件为cd、ce、cf、de、df、ef共6种，
故所求的概率为 ；
（2）填写2×2列联表如下，

上网时间少于分钟
上网时间不少于分钟
合计
男生



女生



合计




，
.
没有的把握认为“大学生上网时间与性别有关”.
【点睛】本题考查了列举法求古典概型的概率问题，也考查了独立性检验的问题，是基础题．
20．(1)；
(2)①证明见解析；②.

【分析】（1）由离心率、焦点三角形最大面积及椭圆参数关系列方程组求椭圆参数，即可得方程；
（2）①设为，与椭圆方程联立，根据已知条件，应用韦达定理、两点斜率公式化简求得，即可证结论；②由面积公式与韦达定理化简后转化为函数求最值.
（1）
由题意，解得，所以椭圆C的方程为．
（2）
①依题意，设，
若直线的斜率为0则P，Q关于y轴对称，必有，不合题意．
所以直线斜率必不为0，设其方程为，
与椭圆C联立，整理得：，
所以，且
因为是椭圆上一点，即，
所以，则，即
因为
，
所以，此时，
故直线恒过x轴上一定点．
②由①得：，
所以
，
而，当时的最大值为．
21．(1)0；
(2).

【分析】（1）利用导数，分析函数的单调性，直接求出极小值（也是最小值）即可；
（2）函数在内有两个不同的零点则在上不单调可得，据此求出，转化为，且即可求解.
（1）
因为，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以，，即的最小值为0.
（2）
，.
因为，所以，即，
若或时，函数在区间上单调，
所以在上至多有一个零点，不符合题意，所以.
当，∵，
则在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，
如果在上存在两个零点，则，且.
由，得，
又，且，，所以.
下面证明时，，
令，
则，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以，
又因为，所以，所以，即恒成立.
因此，当时，在上有两个零点，
综上所述，满足题意.
【点睛】关键点点睛：函数在上存在两个零点转化为，且是第一个关键点，先由得出，然后转化为在时证明是第二个关键点，也是本题重要的解题策略，第三个关键点构造函数，利用导数求最大值，再证明最大值小于0，本题思路上、运算上难度较大.
22．(1)
(2)

【分析】（1）将的参数方程化为普通方程，再根据极坐标与直角坐标的转化公式即可得答案;
（2）联立方程，分别求得点A，B的极坐标，根据三角形面积公式即可求得答案.
（1）
由消去参数，得,
因为，
所以曲线的直角坐标方程为，
因为，
所以曲线的极坐标方程为 ；
（2）
由 得:，
所以曲线与曲线交于点A，
由,得:，    
所以曲线与曲线:交于点B，
则
.