2023届四川省成都市石室中学高三上学期数学（文）周练四试题含答案

这是一份2023届四川省成都市石室中学高三上学期数学（文）周练四试题含答案，共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
 成都石室中学高2023届高三上数学周练四(文)
一、单选题
1．设全集是实数集，已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．下面关于复数（其中i为虚数单位）的结论正确的是（　　）
A．对应的点在第一象限 B．
C．的虚部为i D．
3．已知数列是公比为q的等比数列，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知函数的图像在点处的切线方程是，则（    ）
A． B．2 C． D．3
5．将长方体截去一个四棱锥后得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（ ）
A． B．
C． D．
6．在区间中随机取一个实数，则事件“直线与圆相交”发生的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．已知实数x，y满足不等式组，若的最大值为m，最小值为n，则（    ）
A．4 B． C． D．







1
2
3
4
5
8．已知变量关于变量的回归方程为，其一组数据如下表所示：
若，则的值大约为（    ）
A．4.94 B．5.74 C．6.81 D．8.04
9．已知函数，若，，，则（    ）
A．     B．2     C．     D．4
10．设，，，则（    ）
A． B．
C． D．
11．已知数列满足，，，为数列的前n项和，则下列说法正确的有（    ）
A．n为偶数时， B．
C． D．的最大值为20
12．若关于的不等式的非空解集中无整数解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13.已知正项等比数列的前项和为，若，，则_______.
14．三棱锥中，平面，，，，是边上的一个动点，且直线与面所成角的最大值为，则该三棱锥外接球的表面积为__________．
15．已知椭圆的左右焦点分别为，，过作倾斜角为的直线，与以坐标轴原点为圆心，椭圆半焦距为半径的圆交于点（不同于点），与椭圆在第一象限交于点，若，则椭圆的离心率为__________．
16．对于函数，有下列4个命题：①任取，都有恒成立；②，对于一切恒成立；③函数有3个零点；④对任意，不等式恒成立.则其中所有真命题的序号是______.
三、解答题
17．已知：
（1）求函数f(x)的单调递增区间；（2）在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若f(A)＝1，a＝2，求△ABC面积的最大值.











18.如图,四棱锥中,是正三角形,四边形是矩形,且平面平面.
（Ⅰ）若点是的中点,求证:平面；
（Ⅱ）若,当三棱锥的体积为时,求实数的值.

















19. 党的十九大明确把精准脱贫作为决胜全面建成小康社会必须打好的三大攻坚战之一.为坚决打赢脱贫攻坚战，某帮扶单位为帮助定点扶贫村脱贫，坚持扶贫同扶智相结合，此帮扶单位考察了甲、乙两种不同的农产品加工生产方式，现对两种生产方式的产品质量进行对比，其质量按测试指标可划分为：指标在区间的为优等品；指标在区间的为合格品，现分别从甲、乙两种不同加工方式生产的农产品中，各自随机抽取100件作为样本进行检测，测试指标结果的频数分布表如下：
甲种生产方式：
指标区间






频数
5
15
20
30
15
15
乙种生产方式：
指标区间






频数
5
15
20
30
20
10
（Ⅰ）在用甲种方式生产的产品中，按合格品与优等品用分层抽样方式，随机抽出5件产品，①求这5件产品中，优等品和合格品各多少件；②再从这5件产品中，随机抽出2件，求这2件中恰有1件是优等品的概率；
（Ⅱ）所加工生产的农产品，若是优等品每件可售55元，若是合格品每件可售25元.甲种生产方式每生产一件产品的成本为15元，乙种生产方式每生产一件产品的成本为20元.用样本估计总体比较在甲、乙两种不同生产方式下，该扶贫单位要选择哪种生产方式来帮助该扶贫村来脱贫？









20．如图所示， 已知两点的坐标分别为，直线 的交点为，且它们的斜率之积．
(1)求点的轨迹的方程;
(2)设点为轴上 （不同于）一定点， 若过点的动直线与的交点为， 直线与 直线和直线分别交于两点，当时，请比较与大小并说明理由．
















21．已知函数，其中a，．
（I）若直线是曲线的切线，求ab的最大值；
（Ⅱ）设，若关于x的方程有两个不相等的实根，求a的最大整数值．（参考数据：）

























22．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为根据方程根的情况求参数取值范围问题，转化思想、构造新函数，利用新函数的单调性是解题的关键.
参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
(1)求曲线的直角坐标方程和直线的极坐标方程；
(2)射线，和曲线分别交于点，，与直线分别交于，两点，求四边形的面积．
23．已知函数．
(1)若，求的解集；
(2)若恒成立，求实数a的取值范围．



















成都石室中学高2023届高三上数学周练四(文)
一、单选题
1．设全集是实数集，已知集合，，则
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】

本题选择C选项.
2．下面关于复数（其中i为虚数单位）的结论正确的是（　　）
A．对应的点在第一象限 B．
C．的虚部为i D．
【答案】D
【分析】根据复数的有关概念，复数的几何意义，以及复数的加法，除法运算逐个进行判断即可．
【详解】∵，则有：
，则对应的点在第三象限，故A错误；
，则，，故B错误；
z的虚部为1，故C错误；
，则，故D正确.
故选：D.
3．已知数列是公比为q的等比数列，则“”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】先根据等比数列的性质，结合不等式，可以确定q的取值范围，然后根据充分性、必要性的定义选出正确答案.
【详解】.
显然由不一定能推出，但由一定能推出，因此“”是“”的必要不充分条件，故本题选B.
【点睛】本题考查了必要不充分条件的判断，利用等比数列的性质是解题的关键.
4．已知函数的图像在点处的切线方程是，则（    ）
A． B．2 C． D．3
【答案】D
【分析】利用导数的几何意义求出和，即可求得.
【详解】函数的图像在点处的切线的斜率就是在该点处的导数，即就是切线的斜率，所以.
又，
所以.
故选：D
5．将长方体截去一个四棱锥后得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为

A． B． C． D．
【答案】D
【详解】将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体,左向右看得到矩形,
矩形对角线从左下角连接右上角，且对角线为虚线，
故该几何体的侧视图为D
6．在区间中随机取一个实数，则事件“直线与圆相交”发生的概率为
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意可知圆心（3，0）到直线y=kx的距离，解得，根据几何概型，选B.
【点睛】直线与圆相交问题，都转化为圆心与直线的距离与半径关系．

7．已知实数x，y满足不等式组，若的最大值为m，最小值为n，则（    ）
A．4 B． C． D．
【答案】B
【分析】先作出不等式组表示的平面区域,求出平面区域顶点的坐标,再根据的几何意义分别求出m,n,即可得到结果.
【详解】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示：

由，可解得：，同理可求：.
设P(1,1),则数形结合可知.
(其中为点P到直线的距离，)，
所以.
所以.
故选：B
8．已知变量关于变量的回归方程为，其一组数据如下表所示：







1
2
3
4
5
若，则的值大约为（    ）A．4.94 B．5.74 C．6.81 D．8.04
【答案】C
【分析】令，把转化为的线性回归方程，再用线性回归的方法处理即可
【详解】由，令，则，由题意，，，所以，解得，所以，所以，解得.
故选：C
9．已知函数，若，，，则（    ）
A．     B．2     C．     D．4
【答案】B
【分析】计算出，再根据，由此可得出结果.
【详解】，，则恒成立，
又因为
，
因为，则，
因此，.
故选：B
10．设，，，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】令，利用导数说明函数的单调性，即可得到当时，从而说明，再比较与的大小关系，即可得解.
【详解】解：令，则，所以在定义域上单调递减，
所以当时，，即，所以，
又，，且，，
所以；
故选：B
11．已知数列满足，，，为数列的前n项和，则下列说法正确的有（    ）
A．n为偶数时， B．
C． D．的最大值为20
【答案】C
【分析】对选项A，偶数项构成等比数列，即可求得通项；对选项B，检验当时，所给表达式不满足；对选项C，按照n为奇数和偶数分别讨论，根据，可直接求得；对选项D，的最大值为
【详解】根据递推关系可知，n为奇数时，
n为偶数时，，故A错；

根据奇数项构成等差数列
可得：
而又：
则有：，故B错误；
，故C对；
根据中的奇数项构成等差数列，而偶数项之和不是1就是0，因此根据特点可知：
的最大值在奇数项之和取得最大值的附近，，，，，，，的最大值为，故D错
故选：C
12．若关于的不等式的非空解集中无整数解，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】原不等式可化为，设，则直线过定点，由题意得函数的图象在直线的下方．∵，∴．设直线与曲线相切于点，则有，消去整理得，解得或（舍去），故切线的斜率为，解得．又由题意知原不等式无整数解，结合图象可得当时，，由解得，当直线绕着点旋转时可得，故实数的取值范围是．选B．
二、填空题
13．已知正项等比数列的前项和为，若，，则_______.
14．三棱锥中，平面，，，，是边上的一个动点，且直线与面所成角的最大值为，则该三棱锥外接球的表面积为__________．
【答案】
【分析】根据题意画出图形，结合图形找出的外接圆圆心与三棱锥外接球的球心，求出外接球的半径，再计算它的表面积.
【详解】由题意，三棱锥中，平面，直线与平面所成的角为，
如图所示，则，且的最大值是，
所以，所以的最小值是，即到的距离为，
所以，因为，在中可得，即可得,
取的外接圆圆心为，作，
所以，解得，所以,
取为的中点，所以，
由勾股定理得，
所以三棱锥的外接球的表面积是.

【点睛】本题考查了有关球的组合体问题，以及球的表面积的计算问题，解答时要认真审题，确定球的球心和半径，注意球的性质的合理运用是解答的关键，对于求解球的组合体问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）利用球的截面的性质，根据勾股定理列出方程求解球的半径.着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及数形结合思想的应用.
15．已知椭圆的左右焦点分别为，，过作倾斜角为的直线，与以坐标轴原点为圆心，椭圆半焦距为半径的圆交于点（不同于点），与椭圆在第一象限交于点，若，则椭圆的离心率为__________．
【答案】
【分析】由与为直径所对的圆周角得出为线段的垂直平分线，再结合已知条件中的角与椭圆的定义得出且，列式即可得出答案.
【详解】，
点A是线段的中点，
为直径所对的圆周角，
，
为线段的垂直平分线，
，，
过的直线的倾斜角为，
，
，
，为椭圆C的焦点，
，
且，
，
，
点B在椭圆C上，
，
，
，即，
故答案为：.
16．对于函数，有下列4个命题：①任取，都有恒成立；②，对于一切恒成立；③函数有3个零点；④对任意，不等式恒成立.则其中所有真命题的序号是______.
【答案】①③④
【分析】因为,定义域为,以长度为变化区间的正弦类型的曲线,且当时,后面每个周期都是前一个周期振幅的,根据相应性质判断命题即可求得答案.
【详解】对于①,如图:

任取
当,
当,,
,,恒成立
故①正确.
对于②,

,
故②错误.
对于③,的零点的个数问题,分别画出和的图像
如图:

和图像由三个交点.
的零点的个数为:.
故③正确.
对于④,设,
    
,
令 在,
可得:
当时,,,,

若任意,不等式恒成立,
即,可得
求证:当,,化简可得:
设函数,则
当时,单调递增,可得

即:
综上所述,对任意,不等式恒成立.
故④正确.
故答案为:①③④.
【点睛】本题考查了三角函数的图像与性质,分段函数的性质和函数的零点.对于含参数不等式恒成立问题可转化为求函数的最值问题,然后再构造辅助函数,利用函数的最值即可求出结果,考查了推理能力与计算能力.
三、解答题
17．已知：
（1）求函数f(x)的单调递增区间；
（2）在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若f(A)＝1，a＝2，求△ABC面积的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】）（1）首先化简得到，通过整体代换求得的单调增区间；（2）由余弦定理及基本不等式，得 .
【详解】（1）因为，
所以
，
令，解得，
所以的单调递增区间：；
（2）因为f(A)＝1，所以，
又因为，所以，
在三角形中，
利用余弦定理得：，
整理得：，
又因为，
所以，即，
所以，当且仅当时等号成立，

所以，
当且仅当时，
取得最大值.
【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.
18.(本小题满分12分)
如图,四棱锥中,是正三角形,四边形是矩形,且平面平面.
（Ⅰ）若点是的中点,求证:平面；
（Ⅱ）若,当三棱锥的体积为时,求实数的值.










解：（Ⅰ）如图,连接,设,又点是的中点,
则在中,中位线,
又平面平面.
所以平面…………………………………………..4分


（Ⅱ）依据题意可得:,取中点,所以,且
又平面平面,则平面;……………………3分
作于上一点,则平面,
因为四边形是矩形,所以平面,……………………..6分
则为直角三角形 
所以,则直角三角形的面积为
………………………9分
由得:……………………………12分
19. (本小题满分12分)
党的十九大明确把精准脱贫作为决胜全面建成小康社会必须打好的三大攻坚战之一.为坚决打赢脱贫攻坚战，某帮扶单位为帮助定点扶贫村脱贫，坚持扶贫同扶智相结合，此帮扶单位考察了甲、乙两种不同的农产品加工生产方式，现对两种生产方式的产品质量进行对比，其质量按测试指标可划分为：指标在区间的为优等品；指标在区间的为合格品，现分别从甲、乙两种不同加工方式生产的农产品中，各自随机抽取100件作为样本进行检测，测试指标结果的频数分布表如下：
甲种生产方式：
指标区间






频数
5
15
20
30
15
15

乙种生产方式：
指标区间






频数
5
15
20
30
20
10

（Ⅰ）在用甲种方式生产的产品中，按合格品与优等品用分层抽样方式，随机抽出5件产品，①求这5件产品中，优等品和合格品各多少件；②再从这5件产品中，随机抽出2件，求这2件中恰有1件是优等品的概率；
（Ⅱ）所加工生产的农产品，若是优等品每件可售55元，若是合格品每件可售25元.甲种生产方式每生产一件产品的成本为15元，乙种生产方式每生产一件产品的成本为20元.用样本估计总体比较在甲、乙两种不同生产方式下，该扶贫单位要选择哪种生产方式来帮助该扶贫村来脱贫？
【解析】
（Ⅰ）①由频数分布表知：甲的优等品率为0.6，合格品率为0.4，所以抽出的5件产品中，优等品3件，合格品2件.
②记3件优等品为，，，2件合格品分别为，，从中随机抽2件，抽取方式有，，，，，，，，，共10种，
设“这2件中恰有1件是优等品的事件”为，则事件发生的情况有6种，
所以.
（Ⅱ）根据样本知甲种生产方式生产100件农产品有60件优等品，40件合格品；乙种生产方式生产100件农产品有80件优等品，20件合格品.
设甲种生产方式每生产100件所获得的利润为元，
乙种生产方式每生产100件所获得的利润为元，
可得（元），
（元），
由于，所以用样本估计总体知乙种生产方式生产的农产品所获得的利润较高，该扶贫单位要选择乙生产方式来帮助该扶贫村来脱贫较好.



20．如图所示， 已知两点的坐标分别为，直线 的交点为，且它们的斜率之积．

(1)求点的轨迹的方程;
(2)设点为轴上 （不同于）一定点， 若过点的动直线与的交点为， 直线与 直线和直线分别交于两点，当时，请比较与大小并说明理由．
【答案】(1)
(2)，理由见解析

【分析】（1）设点P的坐标为，根据，化简即可得到轨迹方程.
（2）设直线的方程为，表示出点的坐标，由，可得，再联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，即可得到结果.
（1）
设点P的坐标为，
由题设得，
故所求的点P的轨迹的方程为．
（2）
设，由题设知，直线的斜率存在，
不妨设直线的方程为，将代入，可得，则，同理．
由，可得，所以，即，
且，
由消去y并整理得，
则且，
可得

又因为，所以
所以当时．
21．已知函数，其中a，．
（I）若直线是曲线的切线，求ab的最大值；
（Ⅱ）设，若关于x的方程有两个不相等的实根，求a的最大整数值．（参考数据：）
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【分析】（I）设出直线与相切的切点坐标为，然后对函数进行求导，这样可以得到，切点又在直线上，这样可以得到
，则有，设函数
，求导，判断函数的单调性，最后求出函数的最大值，也就求出ab的最大值；
（Ⅱ）方法1：原方程化为，令进行换元，方程等价于，构造函数，原问题等价于函数需有两个不同的零点．对函数进行求导，根据函数的导函数的单调性，可以知道在上存在唯一实根，这样可以判断出函数的单调性，然后根据的正负性进行分类讨论，根据函数的单调性最后求出a的最大整数值．
方法2：原方程即为，设，
则原方程等价于关于的方程有两个不同的解，
即关于的方程）有两个不同的解．构造函数，求导得，得到函数的单调性，最后求出a的最大整数值．，
【详解】解：（I）设直线与相切于点．
因为，所以
所以．
又因为P在切线上，所以
所以，，
因此.
设，
则由
解得.
所以在上单调递增，在上单调递减，
可知的最大值为，
所以的最大值为.
（Ⅱ）方法1：原方程即为，
设，则上述方程等价于．
设，则函数需有两个不同的零点．
因为在上单调递减，
且在上存在唯一实根，
即，即．
所以当时，，当时，．
因此在上单调递增，在上单调递减．
若，则．
，
不合题意，舍去．
若，则．
当时，则，
取，则；
当时，则，
取，则．
由此，且，.
要使函数有两个不同的零点，
则只需，
所以只需.
因为是关于的增函数．
且，
所以存在使得，
所以当时，．
因为是关于的减函数，
所以
又因为，
所以的最大整数值为．
方法2：原方程即为，设，
则原方程等价于关于的方程有两个不同的解，
即关于的方程）有两个不同的解．
设，则.
设，
由知，所以
在区间上单调递减，又，
所以存在使得.
当时，，；当时，，．
所以在上单调递增，在上单调递减，
所照．
要使得关于的方程有两个不同的解，则.
当时，设，
则，可知在上单调递增，
在单调递减．
又，，，
有两个不同的零点，符合题意．
所以的最大整数值为．
【点睛】本题考查了导数的几何意义、考查了利用用导数，根据方程根的情况求参数取值范围问题，转化思想、构造新函数，利用新函数的单调性是解题的关键.
22．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
(1)求曲线的直角坐标方程和直线的极坐标方程；
(2)射线，和曲线分别交于点，，与直线分别交于，两点，求四边形的面积．
【答案】(1)；
(2)

【分析】（1）根据，可得直线的极坐标方程，根据，可得曲线的直角坐标方程；
（2）法一：将射线转化为直角坐标方程，联立求各个交点的坐标，根据图形组合，可得答案；
法二：直接在极坐标下，求出各个交点的极坐标，然后根据图形组合，可得答案.
（1）
曲线转换为直角坐标方程为．
直线的直角坐标方程为，根据，
整理得，即．
（2）
法一：射线，和曲线分别交于点，，
与直线分别交于，两点，如图所示：
所以直线的直角坐标方程为，
直线的直线方程为，
所以，解得，
设直线与轴交于点，
将代入，得，即．
所以．
同理：，解得，
所以，
所以
．











法二：由，得，
由，得，
所以，，
所以．
23．已知函数．
(1)若，求的解集；
(2)若恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）分，和三种情况求解即可，
（2）问题转化为，令，然后利用绝对值三角不等式求出的最小值，使，从而可求出实数a的取值范围.
（1）
由题知，即．当时，．
当时，，解得，；
当时，，恒成立，；
当时，，解得，，
的解集为．
（2）
由，即．
令，
，当且仅当时等号成立，
，，
∴，
解得或，
实数a的取值范围为．