2022-2023学年四川省成都市石室中学高三下学期第一次周考数学（文科）试题含答案

这是一份2022-2023学年四川省成都市石室中学高三下学期第一次周考数学（文科）试题含答案，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
 成都石室中学2022-2023学年度下期高2023届第一次周考
数学试题(文科)
一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题列出的四个选项中,只有一项是最符合题目要求的.
1. 已知为虚数单位，则（    ）
A．1+ B．1－ C．－1+ D．－1－
2．设集合．若集合满足，则满足条件的集合的个数为（    ）
A． B． C． D．
3．若实数满足约束条件，则的最小值为（    ）．
A．2 B．3 C．5 D．6
4．在手工课上，老师将蓝、黑、红、黄、绿5个纸环分发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学，每人分得1个，则事件“甲分得红色”与“乙分得红色”是（     ）
A．对立事件 B．不可能事件 C．互斥但不对立事件 D．不是互斥事件
5.抛物线的焦点坐标为（    ）
A． B． C． D．
6．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式,有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑如图所示，某园林建筑为六角攒尖，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正六棱锥，设正六棱锥的侧面等腰三角形的顶角为，则侧棱与底面内切圆半径的比为（ ）
A． B． C． D．
7．已知数列中，（e为自然对数的底数），当其前项和最小时，n是（     ）
A．4 B．5 C．5或6 D．4或5
8．某保险公司为客户定制了A，B，C，D，E共5个险种，并对5个险种参保客户进行抽样调查，得出如下的统计图：


用该样本估计总体，以下四个说法错误的是（     ）
A．57周岁以上参保人数最少 B．18～30周岁人群参保总费用最少
C．C险种更受参保人青睐 D．31周岁以上的人群约占参保人群80％
9．某教学软件在刚发布时有100名教师用户，发布5天后有1000名教师用户.如果教师用户人数与天数之间满足关系式：，其中为常数，是刚发布时的教师用户人数，则教师用户超过20000名至少经过的天数为（     ）（参考数据：）
A．9 B．10 C．11 D．12
10．已知双曲线的左､右焦点分别是,点在双曲线的右支上,则下列说法中不正确的是(    )
A．若直线的斜率为,则
B．使得为等腰三角形的点有且仅有4个
C．点到两条渐近线的距离乘积为
D．已知点,则的最小值为
11. 在三棱锥中，已知底面，，．若三棱锥的顶点均在球的表面上，则球的半径为（     ）
A． B． C． D．
12．已知中，角的对边分别为．若，则的最小值为（    ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共计20分.
13．已知中，∠C＝90°，BC＝2，D为AC边上的动点，则______．
14．锐角满足，则____________.
15．定义在R上的奇函数f（x）满足，且当时，．则函数的所有零点之和为______．
16．过抛物线焦点的直线与抛物线交于A、B，点A、B在抛物线准线上的射影分别为、且，点在抛物线的准线上．若AP是的角平分线，则点到直线的距离为______．
三、解答题：共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题,考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17（本小题满分12分）某中学为研究课外阅读时长对语文成绩的影响，随机调查了50名学生某阶段每人每天课外阅读的平均时长（单位：分钟）及他们的语文成绩，得到如下的统计表：
平均时长（单位：分钟）
（0，20]
（20，40]
（40，60]
（60，80]
人数
9
21
15
5
语文成绩优秀人数
3
9
10
3
(1)估算该阶段这50名学生每天课外阅读平均时长的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(2)若从课外阅读平均时长在区间（60，80]的学生中随机选取3名进行研究，求所选3名学生中至少有2名语文成绩优秀的学生的概率．













18（本小题满分12分）已知等差数列{}的前三项和为15，等比数列{}的前三项积为64，且.
(1)求{}和{}的通项公式;
(2)设，求数列{}的前20项和.








19（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，其中，，，，平面ABCD，且，点M在棱PD上（不包括端点），点N为BC中点．
(1)若，求证：直线平面PAB；
(2)已知点M满足，求异面直线MN与AD所成角．








20（本小题满分12分）椭圆的离心率为，右顶点为A，设点O为坐标原点，点B为椭圆E上异于左、右顶点的动点，面积的最大值为．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)设直线交x轴于点P，直线PB交椭圆E于另一点C，直线BA和CA分别交直线l于点M和N，求的值．















21（本小题满分12分）已知函数．
(1)求函数的单调递减区间；
(2)若实数满足，证明：．


















（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.
22．极坐标系与直角坐标系有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知曲线C1`的极坐标方程为，曲线C2的参数方程为（t为参数，）；射线，，，与曲线C1分别交异于极点O的四点A,B,C,D
(1)若曲线关于曲线对称，求的值，并把曲线和化成直角坐标方程；
(2)求的值．








23．已知函数，．
(1)求函数的值域；
(2)若a>0，b>0，且，不等式恒成立，求实数的取值范围．








第一次周考（文）
1．B
【分析】利用复数运算求得正确答案.
【详解】.
故选：B
2．D
【分析】根据并集结果可列举出集合所有可能的情况，由此可得结果.
【详解】，，
集合所有可能的结果为：，，，，
满足条件的集合共有个.
故选：D.
3．A
【分析】根据题意作出可行域，进而根据z的几何意义求得答案.
【详解】如图，作出不等式组对应的可行域，得三角形ABC，当且仅当动直线经过点A时，
z取得最小值，联立，
此时．

故选：A
4．在手工课上，老师将这蓝、黑、红、黄、绿5个纸环分发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学，每人分得1个，则事件“甲分得红色”与“乙分得红色”是（    ）．
A．对立事件 B．不可能事件 C．互斥但不对立事件 D．不是互斥事件
【答案
【分析】根据互斥事件和对立事件的概念求解即可.
【详解】甲、乙不可能同时得到红色，故这两件事是互斥事件.
又因为甲、乙可能都拿不到红色，即“甲或乙分得红色”的事件不是必然事件，
所以这两件事不是必然事件.
故选：C
5.抛物线的焦点坐标为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将方程化成标准型后可求焦点坐标.
【详解】抛物线的标准方程为：，故焦点坐标为：，
故选：C.

6．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑如图所示，某园林建筑为六角攒尖，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正六棱锥，设正六棱锥的侧面等腰三角形的顶角为，则侧棱与底面内切圆半径的比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】首先画出正六棱锥的底面和侧面，利用几何图形中边长的关系，求侧棱与底面内切圆半径的比.
【详解】如图，正六边形时正六棱锥的底面，等腰三角形是正六棱在的侧面，设侧棱，底面边长，底面内切圆半径，,
则是等边三角形，，侧面中，，
，即.

故选：A
7．已知数列中，（e为自然对数的底数），当其前项和最小时，n是（    ）
A．4 B．5 C．5或6 D．4或5
【答案】D
【分析】根据已知分析数列中当时，，且，即可根据数列前项和的定义得出答案.
【详解】，在时，，且时，，
则数列中当时，，且，
，
则当其前项和最小时，n是4或5，
故选：D.
8．某保险公司为客户定制了A，B，C，D，E共5个险种，并对5个险种参保客户进行抽样调查，得出如下的统计图：


用该样本估计总体，以下四个说法错误的是（    ）．
A．57周岁以上参保人数最少 B．18～30周岁人群参保总费用最少
C．C险种更受参保人青睐 D．31周岁以上的人群约占参保人群80％
【答案】B
【分析】根据扇形图、散点图、频率图对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，57周岁以上参保人数所占比例是，是最少的，A选项正确.
B选项，“18～30周岁人群参保平均费用”比“57周岁以上人群参保平均费用”的一半还多，
而18～30周岁人群参保人数所占比例是57周岁以上参保人数所占比例的两倍，
所以57周岁以上参保人群参保总费用最少，B选项错误.
C选项，C险种参保比例，是最多的，所以C选项正确.
D选项，31周岁以上的人群约占参保人群，D选项正确.
故选：B
9．某教学软件在刚发布时有100名教师用户，发布5天后有1000名教师用户.如果教师用户人数与天数之间满足关系式：，其中为常数，是刚发布时的教师用户人数，则教师用户超过20000名至少经过的天数为（    ）（参考数据：）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】D
【分析】根据已知条件求得，结合及指对数关系、对数运算性质求解集，即可得结果.
【详解】由题设，可得，
所以，则，故，
所以教师用户超过20000名至少经过12天.
故选：D
10．已知双曲线的左､右焦点分别是,点在双曲线的右支上,则下列说法不正确的是(   )
A．若直线的斜率为,则
B．使得为等腰三角形的点有且仅有个
C．点到两条渐近线的距离乘积为
D．已知点,则的最小值为
【答案】D
【分析】对于A,设,根据题意,将直线的斜率为化简为二次函数,利用二次函数求出范围;对于B,和各有两个,可判断正误;对于C,利用点到直线距离公式可求点到两条渐近线的距离,进而判断C的正误;对于D,根据点与双曲线的位置关系和双曲线的定义进行转化,当三点共线时,可求最小值.
【详解】对于A,由题意可知,,设,
则直线的斜率为,
,
令
则,
，
令
则在单调递减,

则故A正确.
对于B,当,则满足条件的有两个;
当,则满足条件的有两个;
易得不存在满足,
满足为等腰三角形的有4个,故B正确.
对于C,渐近线方程为,即,
所以,故C正确.
11. 在三棱锥中，已知底面，，．若三棱锥的顶点均在球的表面上，则球的半径为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先求得外接圆半径，则所求半径.
【详解】
，，外接圆半径，
底面，球的半径.
故选：B.
12．已知中，角的对边分别为．若，则的最小值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用正弦定理边化角，可得，再次角化边可得关系，利用余弦定理和基本不等式可求得的最小值.
【详解】由正弦定理得：，
即，
，则，
（当且仅当，即时取等号），
的最小值为.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，解题关键是能够灵活应用正弦定理进行边角互化，从而得到三角形三边之间满足的等量关系，将等量关系代入余弦定理，则可利用基本不等式求得最值.
13．已知中，∠C＝90°，BC＝2，D为AC边上的动点，则______．
【答案】
【分析】利用向量的数量积运算求得.
【详解】.
故答案为：

14．锐角满足，则____________.
【答案】
【分析】利用二倍角公式和诱导公式实现角之间的转化，代入数值即可求得结果.
【详解】由题意可知，，
又，且为锐角，所以，
即.
故答案为：

15．定义在R上的奇函数f（x）满足，且当时，．则函数的所有零点之和为______．
【答案】
【分析】判断出的对称性、周期性，画出的图象，结合图象求得的所有零点之和.
【详解】依题意，定义在R上的奇函数f（x）满足，
，所以关于对称，

，所以是周期为的周期函数.
，所以关于点对称.
关于点对称.
当时，，
画出的图象如下图所示，
由图可知，有个公共点，
所以的所有零点和为.
故答案为：


16．过抛物线焦点的直线与抛物线交于A、B，点A、B在抛物线准线上的射影分别为、且，点在抛物线的准线上．若AP是的角平分线，则点到直线的距离为______．
【答案】5
【分析】连，，根据抛物线的定义以及，证明，从而推出和，可得就是点P到直线l的距离，再根据，推出，结合，可得.
【详解】如图，连，，

由抛物线的定义可知，，又，，
所以，所以，，即，
所以就是点P到直线l的距离，
因为，，，
所以，所以，
所以，又，所以.
故点P到直线l的距离为.
故答案为：
17.某中学为研究课外阅读时长对语文成绩的影响，随机调查了50名学生某阶段每人每天课外阅读的平均时长（单位：分钟）及他们的语文成绩，得到如下的统计表：
平均时长（单位：分钟）
（0，20]
（20，40]
（40，60]
（60，80]
人数
9
21
15
5
语文成绩优秀人数
3
9
10
3
(1)估算该阶段这50名学生每天课外阅读平均时长的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(2)若从课外阅读平均时长在区间（60，80]的学生中随机选取3名进行研究，求所选3名学生中至少有2名语文成绩优秀的学生的概率．
【答案】(1)平均数为分钟
(2)

【分析】（1）根据平均数的求法，求得平均数.
（2）利用列举法，结合古典概型的概率计算公式，计算出所求概率.
(1)
平均数为分钟.
(2)
区间（60，80]的学生有人，记为，其中为语文成绩优秀，
从中任取人，基本事件有：，共种，
其中至少有人语文成绩优秀的为：，共种，
所以所选3名学生中至少有2名语文成绩优秀的学生的概率为.

18．已知等差数列{}的前三项和为15，等比数列{}的前三项积为64，且.
(1)求{}和{}的通项公式;
(2)设，求数列{}的前20项和.
【答案】(1)，
(2)

【分析】（1）根据等差，等比数列的性质，分别求公差和公比，即可求得通项公式；
（2）根据（1）的结果求数列的通项公式，再利用分组求和法，求数列的前20项和.
【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
由条件可知，，得，，
所以，
等比数列中，，则，，
所以；
（2）,
对数列为奇数时，，
所以数列的奇数项是首项为2，公差为6的等差数列，
对数列为偶数，，
所以数列的偶数项是首项为2，公比为2的等比数列，
所以数列的前20项和为：

.
19．如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，其中，，，，平面ABCD，且，点M在棱PD上（不包括端点），点N为BC中点．

(1)若，求证：直线平面PAB；
(2)已知点M满足，求异面直线MN与AD所成角．
【答案】(1)证明见解析
(2)90°．

【分析】（1）取PA的一个靠近点P的三等分点Q，连接MQ，QB，由题意可证得，再由线面平行的判定定理即可证明；
（2）过点M作，交AD于K，连接KN，由线面垂直的判定定理证明面MNK，即可得出，即可得出答案.
【详解】（1）取PA的一个靠近点P的三等分点Q，连接MQ，QB，
因为，所以且，
又因为，且，点N为BC中点，
所以且，则四边形MQBN为平行四边形，
所以，平面PAB，平面PAB，
所以直线平面PAB．

（2）过点M作，交AD于K，连接KN，
可知面ABCD，因为面ABCD，所以，
又因为，所以．
∵∴，∴，，
所以四边形AKNB为平行四边形，，
又因为，所以，
又，∴面MNK，因为面MNK，
∴，
所以异面直线MN与AD成角为90°．
20．椭圆的离心率为，右顶点为A，设点O为坐标原点，点B为椭圆E上异于左、右顶点的动点，面积的最大值为．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)设直线交x轴于点P，直线PB交椭圆E于另一点C，直线BA和CA分别交直线l于点M和N，求的值．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）由离心率得，代入面积的最大值为可求得得椭圆方程；
（2）设直线BC方程为，，，直线方程代入椭圆方程后由韦达定理得，由直线方程求得的纵坐标，从而计算并代入可得结论．
【详解】（1）由题意，设椭圆半焦距为c，
则，即，得．
设，，
由，所以的最大值为，
将代入，有，解得，，
所以椭圆的标准方程为．
（2），设，因为点B为椭圆E上异于左、右顶点的动点，
则直线BC不与x轴重合，
设直线BC方程为，与椭圆方程联立得，
，可得，
由韦达定理可得，，
直线BA的方程为，
令得点M纵坐标，同理可得点N纵坐标．
则，

，
所以．
【点睛】方法点睛：直线与椭圆相交问题，常常设出直线方程，代入椭圆方程应用韦达定理得（或），再利用交点坐标表示出题中要求的量，代入韦达定理的结果化简即可得结论．
21．已知函数．
(1)求函数的单调递减区间；
(2)若实数满足，证明：．
【答案】(1)在上单调递减
(2)证明见解析

【分析】（1）对求导可得，令，再对求导，求出的单调性以及正负，即可求出的单调递减区间；
（2）将题目转化为，令，有，要证，即证，即，设，对求导，研究的单调性和最值，即可证明.
【详解】（1）因为，
令，故恒成立，
故函数在R上单调递减，而，
所以当时，，；
当时，，．
故在上单调递增，在上单调递减．
（2）由得，
令，有，
由（1）可得在在上单调递增，在上单调递减，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
故a，b一正一负．
不妨设，要证，即证，即证，
即，
设，注意到，
则，
令，则，
当时，显然恒成立，
所以在上单调递增，则，
又在上恒成立，所以当时，，
所以在上单调递减，，
因为，所以，即得证．
【点睛】方法点睛：1. 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.
3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.

22．极坐标系与直角坐标系有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知曲线C1`的极坐标方程为，曲线C2的参数方程为（t为参数，）；射线，，，与曲线C1分别交异于极点O的四点A,B,C,D
(1)若曲线关于曲线对称，求的值，并把曲线和化成直角坐标方程；
(2)求的值．
【答案】(1)，：，：
(2)

【分析】（1）把、的方程化为直角坐标方程，根据曲线关于曲线对称，知圆心在上，从而求得的值；
（2）由题意得，，，，再由两角和与差的余弦公式计算求解．
【详解】（1）：，∵曲线关于曲线对称，∴圆心在上，即，整理得，即．
∴：．
（2），，，，
∴
．
23．已知函数，．
(1)求函数的值域；
(2)若a>0，b>0，且，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)．

【分析】（1）根据绝对值的几何含义，分，，三种情况，分类讨论求解或者绝对值不等式性质求解.
（2）根据“1”的代换，结合基本不等式，求出的最小值，结合（1）分情况讨论，解不等式即可.
【详解】（1）法一：由题得，
其中，当时，，从而易得函数的值域为．
法二：由绝对值不等式的性质可得，，
所以，当且仅当，即或时取得等号，
故函数的值域为．
（2）由基本不等式，得，
当且仅当时取得等号，故的最小值为2．
由题得，，即，
等价于或或，
由此可解得，故原不等式的解集为．