2022-2023学年四川省成都市石室中学高三下学期第4次周考（文科）数学试题含答案

这是一份2022-2023学年四川省成都市石室中学高三下学期第4次周考（文科）数学试题含答案，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
  成都石室中学高2023届高三下学期周考四（文科）一、单选题1．复数的共轭复数对应点的坐标为，则的虚部为（    ）A． B． C． D．2．已知全集是不大于5的自然数集，，，则（     ）A． B． C． D．3．如图（1）反映了我国2016-2021年全国R&D经费及投入强度情况；图（2）反映了我国2016-2021年全国基础研究经费及占R&D经费投入比重情况.根据统计图提供的信息，下列推断不合理的是（    ）A．2019-2020年，我国R&D经费与GDP之比增长幅度最快B．2016-2021年，我国R&D经费总量及基础研究经费均逐年增长C．2016-2021年，我国R&D经费总量平均值超过21000亿元D．2016-2021年，我国基础研究经费及占R&D经费投入比重的中位数分别为1213亿元及4．如图，网格纸上绘制的是一个几何体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（    ）A． B． C． D．45．已知函数的图象如图所示，其解析式可能是（    ）A．    B．C．    D．6．当时，函数取得最小值1，则（    ）A． B． C． D．7．已知体积为的球与正三棱柱的所有面都相切，则三棱柱外接球的表面积为（    ）A． B． C． D．8．古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础．现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度，已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B，C两点与点A在同一条直线上，且在点A的同侧．若在B，C处分别测得球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且BC 100 m，则该球体建筑物的高度约为（    ）（cos10° ≈ 0.985）A．49.25 m       B．50.76 m      C．56.74 m       D．58.60 m9．如图所示，长方体中，，O是的中点，直线交平面于点M，则下列结论错误的是（    ）A．A，M，O三点共线                                B．的长度为1C．直线与平面所成角的正切值为          D．的面积为10．在平面直角坐标系中，已知双曲线左、右顶点为A，B，若该双曲线上存在点P，使得的斜率之和为1，则该双曲线离心率的范围为（    ）A． B． C． D．11．已知函数，在上恰好有7个零点，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．12．已知a，b，c均为负实数，且，，，则（    ）．A．      B．      C．      D．二、填空题13.若抛物线过点，则该抛物线的焦点坐标为__________．14．已知平面向量满足，则向量的夹角为__________．15．若直线与圆交于两点，则面积的最大值为_____16．在锐角中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，且，则的取值范围是______．三、解答题17．如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，，，，，，．(1)求四棱锥的体积；(2)在线段PB上是否存在点M，使得平面PAD？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．            18．已知数列是等差数列，数列是公比不等于1的等比数列，且，，.(1)求与；(2)设，求.                 19．2022年12月份以来，全国多个地区纷纷采取不同的形式发放多轮消费券，助力消费复苏.记发放的消费券额度为x（百万元），带动的消费为y（百万元）.某省随机抽查的一些城市的数据如下表所示.x33455668y1012131819212427 (1)根据表中的数据，请用相关系数说明y与x有很强的线性相关关系，并求出y关于x的线性回归方程.(2)（ⅰ）若该省A城市在2023年2月份准备发放一轮额度为10百万元的消费券，利用（1）中求得的线性回归方程，预计可以带动多少消费？（ⅱ）当实际值与估计值的差的绝对值与估计值的比值不超过10％时，认为发放的该轮消费券助力消费复苏是理想的.若该省A城市2月份发放额度为10百万元的消费券后，经过一个月的统计，发现实际带动的消费为30百万元，请问发放的该轮消费券助力消费复苏是否理想？若不理想，请分析可能存在的原因.参考公式：，，.当时，两个变量之间具有很强的线性相关关系.参考数据：.             20．已知椭圆的离心率为，且过点，．(1)求椭圆的方程；(2)直线与椭圆交于不同的，两点，且直线，，的斜率依次成等比数列．椭圆上是否存在一点，使得四边形为平行四边形？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．                       21．已知函数的最大值是．(1)求实数的值；(2)设函数，若，使，求实数的取值范围．                      22．在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；(2)P为l上一点，过P作曲线C的两条切线，切点分别为A，B，若，求点P横坐标的取值范围．        23．设函数.(1)解不等式；(2)令的最小值为，正数，，满足，证明：.
参考答案：1．C【分析】由复数的概念及性质，根据运算法则即可求解.【详解】依题意，因为复数的共轭复数对应点的坐标为，所以，所以.故选：C.2．B【解析】化简集合，根据补集和交集定义，即可求解.【详解】，则.故选:B.【点睛】本题考查集合间的运算，属于基础题.3．D【分析】根据统计图读取相关数据，再逐项判断各选项即可.【详解】对于A，由图(1)可得2017年我国R&D经费与GDP之比比2016增长0.02%，2018年我国R&D经费与GDP之比比2017增长0.02%，2019年我国R&D经费与GDP之比比2019增长0.10%，2020年我国R&D经费与GDP之比比2020增长0.175%，2021年我国R&D经费与GDP之比比2021增长0.03%，A正确；由统计图(1) 2016-2021年，我国R&D经费总量（单位：亿元）依次为，所以2016-2021年期间，我国R&D经费总量逐年增加，由统计图(2) 2016-2021年，我国基础研究经费（单位：亿元）依次为， 所以2016-2021年期间，我国基础研究经费逐年增加，B正确；所以2016-2021年，我国R&D经费总量的平均值为（亿元），所以2016-2021年，我国R&D经费总量平均值超过21000亿元，C正确；由图(2) 2016-2021年我国基础研究经费的中位数为（亿元），2016-2021年我国基础研究经费占R&D经费投入比重的中位数为，D错误；故选：D.4．B【分析】首先还原几何体，然后计算其体积即可.【详解】如图所示，题中三视图对应的几何体为图中棱长为2的正方体中的三棱锥,其体积.故选：B.5．C【解析】由图像可知函数的定义域为，是偶函数，且，再结合选项即可求出结果.【详解】由图像可知函数的定义域为，是偶函数，且，当时，，故选项A错误；当时，，故选项B错误；当时，，故选项D错误；综上可知，选项C正确.故选：C.【点睛】本题主要考查了函数图像，考查了学生的数形结合能力，属于基础题.6．A【分析】由题意可得，，，即可求出a，b的值，进而得到.【详解】由题意可得，，，因为，所以，解得，则，所以，故选：A.7．B【分析】根据球与正三棱柱的所有面都相切，求得底面三角形内切圆的半径以及棱柱的高，继而求得外接球半径，即可求得答案.【详解】因为球的体积为，所以球的半径为1，又球与正三棱柱的所有面都相切，所以正三棱柱底面内切圆的半径为1，棱柱高为2，设正三棱柱的外接球的球心为O，底面内切圆的圆心为,设的中点为D，则在上，且,又,则三棱柱外接球的半径为，即外接球的表面积为,故选：B8．B【分析】根据三角函数可得，利用求解即可.【详解】如图，设球的半径为，，，故选：B9．C【分析】利用公理3证明三点共线即可判断A，利用长方体的性质以及中位线定理，可判断B，利用线面角的定义，根据长方体的几何性质，结合三角函数定义，可判断C，利用三角形面积转化求解，可判断D.【详解】 对于A，连结，则，四点共面，平面，，平面，又平面，在平面与平面的交线上，同理也在平面与平面的交线上.三点共线，故A正确：对于B，设直线与平面的交点为，，平面，平面，平面，，平面，平面，平面，又，平面，平面，平面平面，又平面平面，平面平面，，为中点，为中点，同理可得为的中点，，故B正确；对于C，取中点，连接，，平面，则即为直线与平面所成角，又平面平面，故即为直线与平面所成角，又，，故C错误；对于D，，，，故D正确.故选：C10．D【分析】由题可得与双曲线有公共点，据此可得答案.【详解】易知，设，则，所以，又，所以，即，所以，即直线与双曲线有公共点.联立与双曲线方程，有，消去得：，则要使方程有根，需使.故选：D11．A【分析】先化简为，令，即在上恰有个不相等的实根，由的性质可得解【详解】，令，，，由题意在上恰有个零点，即在上恰有个不相等的实根，即，或，，当时，，…当，.由的性质可得，解得．故选：A．12．A【分析】对变形，构造，则，，，求导得到函数单调性，数形结合得到.【详解】由，得，于是．同理由，可得．对于，可得，两边同时取对数得，于是．构造函数，则，，．因为，所以当时，，在内单调递减，当时，，在内单调递增，所以，又，，，如图所示，故．故选：A【点睛】构造函数比较大小是高考热点和难点，结合代数式的特点，选择适当的函数，通过导函数研究出函数的单调性，从而比较出代数式的大小，本题中变形得到，，及，从而达到构造出适当函数的目的.13. 14．##【分析】根据向量垂直的表示，结合数量积的定义求出向量的夹角.【详解】因为，所以，所以，所以，又，所以，所以，又，所以向量的夹角为，故答案为：.15．【分析】由题知直线过定点，在圆内部，进而可知当时，弦取得最小值，此时也最小，即可得，再根据求解即可.【详解】解：因为直线方程变形为，所以直线过定点，由题知圆的圆心为，半径为，因为所以，定点在圆内部，所以，当时，弦取得最小值，此时也最小，所以，当时，弦的最小值为，的最小值为，所以，所以，面积故答案为：16．【分析】由正弦定理和正弦二倍角公式将已知化为，根据为锐角三角形可得，以及，再由正弦定理可得，利用两角和的正弦展开式和的范围可得答案.【详解】由正弦定理和正弦二倍角公式可得，因为，所以，可得，因为，所以，所以，，由，可得，所以，，由正弦定理得.故答案为：.17．(1)(2)存在， 【分析】（1）先证明平面ABCD,则PG为四棱锥的高,再应用体积公式； （2）先过点C作交AB于点N，过点N作交PB于点M,再证平面平面CMN，最后得出比值成立即可.【详解】（1）取AD的中点G，连接PG，GB，如图所示．在中，，G是AD的中点，所以．又平面平面ABCD，平面平面，平面PAD，所以平面ABCD，即PG为四棱锥的高．又平面ABCD，所以．在中，由余弦定理得，故．在中，，，，所以．所以．（2）过点C作交AB于点N，则，过点N作交PB于点M，连接CM，则．又因为，平面PAD，平面PAD，所以平面PAD．因为，平面PAD，平面PAD，所以平面PAD．又，，平面CNM，所以平面平面CMN．又平面CMN，所以平面PAD．所以在PB上存在点M，使得平面PAD，且．18．(1)，(2) 【分析】（1）运用等差数列、等比数列的基本量计算即可.（2）运用错位相减法求和即可.【详解】（1）设的公差为，的公比为，由，，，得，解得，，所以，.（2）由（1）得，所以，两式相减得，所以.19．(1)具有很强的线性相关关系,(2)（ⅰ）35.25百万元（ⅱ）不理想，理由见解析，答案不唯一 【分析】（1）通过相关系数公式求得相关系数，利用回归直线方程的计算公式求得回归直线方程.（2）（ⅰ）利用回归直线方程求得预测值.（ⅱ）根据“理想”的定义进行分析，从而确定正确答案.【详解】（1），.，，，代入公式可得相关系数.由于且r非常接近1，所以y与x具有很强的线性相关关系.经计算可得，.所以所求线性回归方程为.（2）（ⅰ）当时，，所以预计能带动的消费达35.25百万元.（ⅱ）因为％，所以发放的该轮消费券助力消费复苏不是理想的.发放消费券只是影响消费的其中一个因素，还有其他重要因素，比如：A城市经济发展水平不高，居民的收入水平直接影响了居民的消费水平；A城市人口数量有限、商品价格水平、消费者偏好、消费者年龄构成等因素一定程度上影响了消费总量.（只要写出一个原因即可）.20．(1)(2)存在，或． 【分析】（1）由离心率的值，可得，的关系，设椭圆的方程，将点的坐标代入椭圆的方程，可得的值，进而求出椭圆的方程；（2）由题意可得直线的斜率存在且不为0，设直线的方程，与椭圆的方程联立，可得两根之和及两根之积，由四边形为平行四边形可得的坐标，将的坐标代入椭圆的方程，可得参数的关系，求出直线，的斜率之积，由直线，，的斜率依次成等比数列可得参数的关系，进而求出参数的值，即求出直线的方程．【详解】（1）由离心率，可得，所以椭圆的方程为：，将点，代入椭圆的方程可得：，解得，所以椭圆的方程为；（2）由题意可得直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为：，设，，，，联立，整理可得：，，即，且，，，因为四边形为平行四边，与互相平分，所以，因为在椭圆上，则，整理可得：，①又因为直线，，的斜率依次成等比数列，即，即，而，可得，②由①②可得：，，符合△，可得，，所以直线的方程为：或．【点睛】本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合应用，等比数列的性质的应用，属于中档题,本题的关键是韦达定理求得根与系数的关系，求得点的坐标，以及表示写了的关系.21．(1)(2) 【分析】（1）求出函数导数，分析函数单调性，据此求出函数的最大值即可得解；（2）构造函数，求导后由局部再构造函数，利用导数可得函数单调性，利用零点存在性定理确定唯一零点的大致范围，由此可知为函数最小值，再由隐零点的满足条件化简即可得解.【详解】（1）求导，得，令 ， 解得 ．当 时， ；当 时， ， 所以在 上单调递增， 在上单调递减，所以当 时， 函数有最大值， 即， 所以（2）令，求导， 得 令， 求导得， 当时， ， 所以在 上单调递增.因为 所以存在唯一的， 使， 当时， ; 当时， ，所以在 上单调递减， 在上单调递增，由， 得 构造函数， 求导， 得，所以在 上单调递增， 又，所以 所以.故实数的取值范围是 【点睛】关键点点睛：构造后，由导数知函数在 上单调递增，需要找到两个合适的值，确定隐零点的范围是解题的第一个关键点，当确定存在唯一的， 使后，利用隐零点得到函数极值，再由隐零点满足的条件构造函数，利用单调性得出是解题的第二个关键所在，解决这两个关键点，即可得解.22．(1)；(2) 【分析】（1）把曲线C的方程两边平方相加可求曲线C的普通方程,利用两角和的余弦公式可求直线l的直角坐标方程;（2）设，由题意可得，计算可求点P横坐标的取值范围.【详解】（1）由曲线的参数方程为（为参数），可得由,得,即,曲线的普通方程为,直线的直角坐标方程为（2）设,连接，易得，若,则，在中，，,,两边平方得,解得,点横坐标的取值范围为23．(1)(2)证明见解析 【分析】（2）分，，三种情况讨论，去绝对值符号，从而可得答案；（2）根据绝对值的三角不等式求出的最小值，再根据基本不等式中“1”的整体代换结合基本不等式即可得证.【详解】（1）当时，，解得；当时，，解得；当时，，解得，综上所述，不等式的解集为；（2）由题，当且仅当即时取“等号”，故的最小值，即，则，,当且仅当，即，时取等号,所以．