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湖南省衡阳市2023-2024学年高三上学期期末数学试题（学生版）
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这是一份湖南省衡阳市2023-2024学年高三上学期期末数学试题（学生版），共5页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容， 星等是衡量天体光度量，5等星亮度的倍等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 下列函数的最小正周期为，且在上单调递减的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 某旅游团计划去湖南旅游，该旅游团从长沙､衡阳､郴州､株洲､益阳这5个城市中选择4个（选择的4个城市按照到达的先后顺序分别记为第一站､第二站､第三站､第四站），且第一站不去株洲，则该旅游团四站的城市安排共有（ ）
A. 96种B. 84种C. 72种D. 60种
4. 在复数范围内，是方程的两个不同的复数根，则的值为（ ）
A. 1B. C. 2D. 或2
5. 星等是衡量天体光度量.为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕佮斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念，例如：2等星的星等值为2.已知两个天体的星等值和它们对应的亮度满足关系式，则（ ）
A. 3等星的亮度是0.5等星亮度的倍
B. 0.5等星的亮度是3等星亮度的倍
C. 3等星的亮度是0.5等星亮度的10倍
D. 0.5等星的亮度是3等星亮度的10倍
6. 已知是抛物线上的两点，为的焦点，，点到轴的距离为，则的最小值为（ ）
A. 9B. 10C. D.
7. 若函数与图象的交点为，则曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（ ）
A. 4B. 6C. D.
8. 在正三棱台中，，二面角为，则该三棱台的体积为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知半径为的圆的圆心在直线上，且圆与直线相切，则圆的圆心坐标可能为（ ）
A B. C. D.
10. 若三个不同的平面两两相交，且，则交线的位置关系可能是（ ）
A. 重合B. 相交于一点C. 两两平行D. 恰有两条交线平行
11. 已知平行四边形的面积为，且，则（ ）
A. 的最小值为2
B. 当在上的投影向量为时，
C. 的最小值为
D. 当在上的投影向量为时，
12. 已知函数的定义域为，函数是定义在上的奇函数，函数），则必有（ ）
A. B.
C D.
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 若，则__________.
14. 已知椭圆的周长，其中分别为椭圆的长半轴长与短半轴长.现有如图所示的椭圆形镜子，其外轮廓是椭圆，且该椭圆的离心率为，长轴长为，则这面镜子的外轮廓的周长约为__________cm.（取3.14，结果精确到整数）
15. 某中学高一､高二､高三的学生人数比例为，假设该中学高一､高二､高三的学生阅读完《红楼梦》的概率分别为，若从该中学三个年级的学生中随机选取1名学生，则这名学生阅读完《红楼梦》的概率不大于0.233，已知该中学高三的学生阅读完《红楼梦》的概率不低于高一的学生阅读完《红楼梦》的概率，则的取值范围是__________.
16. 若为正整数，记集合中整数元素个数为，则数列的前62项和为__________.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 已知某超市销售的袋装食用盐的质量（单位：）服从正态分布，且0.15.某次该超市称量了120袋食用盐，其总质量为的值恰好等于这120袋食用盐每袋的平均质量（单位：）.
（1）若从该超市销售的袋装食用盐中随机选取2袋，设这2袋中质量不小于的袋数为，求的分布列；
（2）若从该超市销售的袋装食用盐中随机选取（为正整数）袋，记质量在的袋数为，求满足的的最大值.
18. 在平面四边形中，平分.
（1）证明：与相等或互补.
（2）若，求内切圆的半径.
19. 在数列中，且.
（1）证明：是等差数列；
（2）设的前项和为，证明：.
20. 在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，直线与平面交于点.
（1）求的长；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.
21. 在平面直角坐标系中，，动点满足，点的轨迹记为曲线.
（1）求方程.
（2）已知，过点的直线（斜率存在且斜率不为0）与交于两点，直线与交于点，若为圆上的动点，试问是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由.
22. 已知函数.
（1）证明：当时，对恒成立.
（2）若存在，使得，比较与的大小，并说明理由.
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 下列函数的最小正周期为，且在上单调递减的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 某旅游团计划去湖南旅游，该旅游团从长沙､衡阳､郴州､株洲､益阳这5个城市中选择4个（选择的4个城市按照到达的先后顺序分别记为第一站､第二站､第三站､第四站），且第一站不去株洲，则该旅游团四站的城市安排共有（ ）
A. 96种B. 84种C. 72种D. 60种
4. 在复数范围内，是方程的两个不同的复数根，则的值为（ ）
A. 1B. C. 2D. 或2
5. 星等是衡量天体光度量.为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕佮斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念，例如：2等星的星等值为2.已知两个天体的星等值和它们对应的亮度满足关系式，则（ ）
A. 3等星的亮度是0.5等星亮度的倍
B. 0.5等星的亮度是3等星亮度的倍
C. 3等星的亮度是0.5等星亮度的10倍
D. 0.5等星的亮度是3等星亮度的10倍
6. 已知是抛物线上的两点，为的焦点，，点到轴的距离为，则的最小值为（ ）
A. 9B. 10C. D.
7. 若函数与图象的交点为，则曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（ ）
A. 4B. 6C. D.
8. 在正三棱台中，，二面角为，则该三棱台的体积为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知半径为的圆的圆心在直线上，且圆与直线相切，则圆的圆心坐标可能为（ ）
A B. C. D.
10. 若三个不同的平面两两相交，且，则交线的位置关系可能是（ ）
A. 重合B. 相交于一点C. 两两平行D. 恰有两条交线平行
11. 已知平行四边形的面积为，且，则（ ）
A. 的最小值为2
B. 当在上的投影向量为时，
C. 的最小值为
D. 当在上的投影向量为时，
12. 已知函数的定义域为，函数是定义在上的奇函数，函数），则必有（ ）
A. B.
C D.
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 若，则__________.
14. 已知椭圆的周长，其中分别为椭圆的长半轴长与短半轴长.现有如图所示的椭圆形镜子，其外轮廓是椭圆，且该椭圆的离心率为，长轴长为，则这面镜子的外轮廓的周长约为__________cm.（取3.14，结果精确到整数）
15. 某中学高一､高二､高三的学生人数比例为，假设该中学高一､高二､高三的学生阅读完《红楼梦》的概率分别为，若从该中学三个年级的学生中随机选取1名学生，则这名学生阅读完《红楼梦》的概率不大于0.233，已知该中学高三的学生阅读完《红楼梦》的概率不低于高一的学生阅读完《红楼梦》的概率，则的取值范围是__________.
16. 若为正整数，记集合中整数元素个数为，则数列的前62项和为__________.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 已知某超市销售的袋装食用盐的质量（单位：）服从正态分布，且0.15.某次该超市称量了120袋食用盐，其总质量为的值恰好等于这120袋食用盐每袋的平均质量（单位：）.
（1）若从该超市销售的袋装食用盐中随机选取2袋，设这2袋中质量不小于的袋数为，求的分布列；
（2）若从该超市销售的袋装食用盐中随机选取（为正整数）袋，记质量在的袋数为，求满足的的最大值.
18. 在平面四边形中，平分.
（1）证明：与相等或互补.
（2）若，求内切圆的半径.
19. 在数列中，且.
（1）证明：是等差数列；
（2）设的前项和为，证明：.
20. 在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，直线与平面交于点.
（1）求的长；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.
21. 在平面直角坐标系中，，动点满足，点的轨迹记为曲线.
（1）求方程.
（2）已知，过点的直线（斜率存在且斜率不为0）与交于两点，直线与交于点，若为圆上的动点，试问是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由.
22. 已知函数.
（1）证明：当时，对恒成立.
（2）若存在，使得，比较与的大小，并说明理由.
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